2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.設(shè)復(fù)數(shù)Z=T-i(i為虛數(shù)單位)，則2—Z的模等于()

A.√5B.5C.√iθD.10

【答案】C

【分析】先計算2-z,再根據(jù)模長公式即可求解.

【詳解】因為z=—l-i,所以2-z=3+i,

所以∣2-z∣=∣3+i∣=J3。+[=VFo.

故選：C

2.已知非零向量”，滿足M=閭4，且(a-〃)_L(3a+3)，則”與匕的夾角為()

A.45oB.135°C.60oD.120°

【答案】B

【分析】根據(jù)(a-b)?L(34+26)得到(α-力(3q+2?)=0,結(jié)合M=應(yīng)M即可得到a`b=-a2,然后

求COSe即可得到“與〃的夾角.

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)”與b的夾角為仇

因為(α-6),W+2b),W=√∑W

所以(a—6)，(3"+2〃)=3a-a?b-2b=-a?b-a=O,變形可得q/=—∕*

,?a`b-a5/2

則HrFRrF

又由O≤6>≤180,所以0=135°.

故選：B.

3.已知正三棱錐A-3CO,各棱長均為6,則其外接球的體積為()

?9√3r81√2「9an9√3

816816

【答案】C

【分析】抓住正三棱錐的特征，底面是正三角形，邊長為G，則高線的投影在底面正三角形的重心

上，則外接球的球心在高線上，且到各個頂點的距離相等，構(gòu)造直角三角形，從而即可求出外接球

的半徑為「，進而可求出外接球的體積.

【詳解】由A-Ba）是正三棱錐，底面是正三角形，邊長為6，

則高線的投影在底面正三角形的重心上，則外接球的球心在高線上，且到各個頂點的距離相等,

如圖，取8的中點，連接BF,過A作AE，平面Ba）,且垂足為E,則3E=2EF,

由48=BC=CO=4。=3。=石,

3

則在RjBCF中，有BF=

2

23

所以BE=彳x==l,

32

則在RtaAfiE中，有AE=Z可一E=&\

設(shè)外接球的半徑為小

222

則8爐+（施一療=/，Bpi+（√2-r）=r,解得r=手,

AΛ

故外接球的體積為M=-πr3=-π×

33

故選：C.

4.三條直線兩兩相交，最多可以確定平面（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，結(jié)合公理2,即可得出答案.

【詳解】在空間中，兩兩相交的三條直線最多可以確定3個平面.

如圖，PAPB,PC相交于一點P,且PA,尸B,PC不共面，則PApB確定一個平面p4β,

PB,PC確定一個平面PBC,PA,PC確定一個平面PAC.

故選：C.

AC

B

5.在,.ABC中，a=x,b=2,ZB=45o,若解三角形時有兩解，則X的取值范圍是()

A.x>2B.X<2

C.2<x<2y∣2D.2<x≤2√2

【答案】C

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)三角形有兩個解的條件列式即可求得X的取值范圍.

【詳解】根據(jù)題意作圖，如下圖所示

當(dāng)X的值確定以后，以C為圓心，2為半徑的圓與C邊的交點即為頂點A的位置,

由圖可知，兩種臨界條件分別為：

(1)圓與C邊所在直線相切，此時/03=90。，三角形只有一個解，

此時根據(jù)正弦定理，三=上，可得X=2√L

sinAsinB

(2)圓過B時，ZCAB=45°,三角形只有一個解，此時*=2；

所以當(dāng)2<x<2√∑時，三角形有兩個解，

所以X的取值范圍為2<X<2√L

故選：C.

6.在JlBC中，^AC2-AB2=2AM^AC-AB),那么動點M的軌跡必通過一ABC的()

A.垂心B.內(nèi)心C.重心D.外心

【答案】D

【分析】設(shè)線段BC的中點為推導(dǎo)出Z)M_L3C,結(jié)合外心的定義可得出結(jié)論.

【詳解】設(shè)線段BC的中點為。，則08、DC互為相反向量，

所以，AB+AC=(AD+DB^+(AD+DC)=2AD+^DB+DC)=2AD,

因為Ae2-AB^=2AM-(AC-AB),Bp(AC+Λβ)(ΛC-AB)=2AM-BC,

所以，(4C+AB)?(AC-A8)=2AM?8C,βp2AD-BC=2AM-BC，

即8C?(AM-AO)=8C?OΛ∕=0,即OΛ∕J_BC,

所以，DW垂直且平分線段BC,

因此動點”的軌跡是BC的垂直平分線，必通過A5C的外心.

故選：D.

7.已知復(fù)數(shù)Z的共挽復(fù)數(shù)5,滿足區(qū)+4-2i∣=l,則∣z-i∣的最小值為()

A.4B.8C.√Γ7-1D.a+1

【答案】A

【分析】設(shè)z=x+yi,先分析出點(x,y)在以(-4,-2)為圓心，1為半徑的圓上.利用幾何法求出∣z-i∣的

最小值.

【詳解】設(shè)Z=X+yi,(x,ywR,i是虛數(shù)單位)J∣Jz=x->i.

因為B+4—2i∣=l,所以(犬+4)2+(-尸2)2=1表示點(初)在以(-4,-2)為圓心，1為半徑的圓上.

而∣z-i∣=Jd+(y-l)2表示圓(x+4),(y+2)2=1上任意一點至IJ(0,1)的距離.

由幾何法可知：|z-i∣的最小值為(0,1)到圓心(-4,-2)減去圓的半徑，即為J4?+(/-I)?-1=5-1=4.

故選：A

8.秦九韶是我國南宋數(shù)學(xué)家，其著作《數(shù)書九章》中的大衍求一術(shù)、三斜求積術(shù)和秦九韶算法是具

有世界意義的重要貢獻.秦九韶把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜，三斜求積術(shù)即已知三

邊長求三角形面積的方法，用公式表示為：SABC=Wa%。,+72),其中α,"c是JLgC的

內(nèi)角A8,c的對邊.已知_ABC中，-=cosB+√3cosC,&=佇史上乂，則ASC面積的最大

CCCOSC

值為()

A.膽B(tài).亞C.—D.—

2448

【答案】B

【分析】利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得。=TJc,利用余弦定理可得。=3,將“力,c代入題干

中的面積公式即可求解.

【詳解】解：V—=cosB+?^cosC,.?.a=c(cosB+TJcosC),sinA=sinC(cosB+有CoSC),

即sinCcosB+>∕3sinC∞sC=sin(B+C)=sinBcosC÷cosBsinC,

即Λ^sinCcosC=sinBcosC，又C∈(0,萬)且CW],則cosC≠0,

?*?sinB=?/?sinC,?*?b=邪C;

.._a-y∕3cosA.?.G(αcosC+c8s4)=0c,則6——+C-ac,即

CcosC{2b2bJ

81

T

.?.c=3時?l，-Smax=—

故選：B.

二、多選題

9.下列說法正確是()

A.三棱錐是四面體，正三棱錐是正四面體

B.平行六面體中相對的兩個面是全等的平行四邊形

C.平行的線段在直觀圖中仍然平行

D.圓心和圓上兩點可確定一個平面

【答案】BC

【分析】根據(jù)棱錐分類、平行六面體的定義、直觀圖的特征和平面的確定方法依次判斷各個選項即

可.

【詳解】對于A,正四面體是各棱長均相等的三棱錐，是正三棱錐的一種，A錯誤；

對于B,平行六面體兩個相對的面為全等的平行四邊形，B正確；

對于C,平行的線段在直觀圖中的位置關(guān)系不變，仍然平行，C正確；

對于D,若圓心和圓上兩點共線，此時過三點的平面有無數(shù)個，D錯誤.

故選：BC.

10.已知兩個單位向量q、6的夾角為若c=xq+y4,則把有序數(shù)對(x,y)叫做向量C的

斜坐標(biāo)，若α=(χ,χ),b=(x2,y2),則()

A.a-b=(xl-x2,yl-y2)B.M=Jx：+y：

C.λa=(λxl,λyl')D.a?b-xix2+yiy2

【答案】AC

【分析】根據(jù)向量線性運算、向量模的定義、數(shù)量積的定義判斷.

【詳解】由已知“=為4+凹/，b=x2et+y2e2,

因此。一Z?=(XI-X2)e∣+(χ-%與，所以α-b的斜坐標(biāo)為(XI-X，々一為)，A正確;

λa=λxxex+Λy,e2,因此;U的斜坐標(biāo)是(口外,2χ),C正確；

W=J(XIel+Xe?尸=Jxj2+y；+2再me∣?e?,

a-b=xlx2+yly2+(xly2+x2yl)el-e2,在e∣與e2不垂直時，BD錯；

故選：AC.

11.某班級到一工廠參加社會實踐勞動，加工出如圖所示的圓臺。。2，在軸截面ABC。中,

AB=AD=BC=2cm,且Cr>=2AB,下列說法正確的有()

A.該圓臺軸截面ABa>面積為3√3cm2

B.該圓臺的體積為與Cm3

C.該圓臺的側(cè)面積為6πcr∏2

D.沿著該圓臺表面，從點C到AO中點的最短距離為5cm

【答案】ACD

【分析】求出圓臺的高，由梯形的面積公式可判斷選項A；由臺體的體積公式可判斷選項B；由臺

體的側(cè)面積公式可判斷選項C；將圓臺補成圓錐，側(cè)面展開，取A。的中點為P,連接CP,可判斷

選項D.

【詳解】對于A,由Ag=Ao=8C=2,且CD=2AB,

可得CD=4,高QQ=｝芋)=1'

則圓臺軸截面ABC。的面積為:x(2+4)x√5=3JGCm2,故A正確；

對于B,圓臺的體積為V=g7t(l+2+4)x6=子兀cn√,故B錯誤；

對于C,圓臺的體積為S(M=π(l+2)x2=6π,故C正確；

對于D,由圓臺補成圓錐，可得大圓錐的母線長為4cm,底面半徑為2cm,側(cè)面展開圖的圓心角

設(shè)AD的中點為「，連接CP,可得∕COP=90,OC=4,OP=2+1=3,

則CP=J42+32=5.

所以沿著該圓臺表面，從點C到A。中點的最短距離為5cm,故D正確.

2

12.在一ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,一ABC的面積為S,若S=±,則下列結(jié)論

2

一定正確的有()

.,..Ia1

A.bc=aBκ.tanA=—：-----∑-----

b2+c2-a72

C.J+的最大值為D.與有最小值

bca

【答案】BCD

【分析】由己知條件結(jié)合三角形面積公式，余弦定理輔助角公式，以及基本不等式，然后對各選項

進行判斷即可.

1〃2

【詳解】???JWC的面積為S,若S=LhCSinA=幺，

22

可得OeSinA=a2y?*?be=——,故A錯誤；

sinA

222

由余弦定理可得，a=b+c-2hccosAf

.?2+c2-aλ2?ccosA1u/、［A2a2,,--,

------------?——=------------=-------,所以tanA=f~?~,故Bn正τ確rz；

2a~2hcsinAtanAh~+c-a7

由余弦定理可得，er=b2+c2-2?ccosA,

所以尸+<?=〃2+2ftccosA=fte(sinA+2cosΛ),

sinA÷2cosA=+c=—+-=逐Sin(A+6)≤近，(其中tan6=2),故C正確；

bebc

又：?sinA+2cosA=?7+C=—÷-≥2,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號；

hehc

.?.sinA+2cosA≥2,

所以2cosA≥2—SinA,即4cos2A≥4-4sinA÷sin2A,BP5sin2A-4sinA≤0

44

所以O(shè)≤sinA≤g,又SinA>0,所以O(shè)vsinAWg,

hehe1、5rEf小5UCFTA

-=~~~:~~-=-~~-≥-,C即I最小值;，故D正確.

a~hcsιnASinA44

故選：BCD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題對選項D的判斷，容易產(chǎn)生誤解，在解答過程中應(yīng)該使用基本不等式得

A2_1_z>2r>A4

到sinA+2cosA=3±=E+g≥2,進而求出0<sin4≤-,是判斷選項D是否正確的關(guān)鍵.

hebe5

三、填空題

13.已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為2,弧長為2π的扇形，則該圓錐的體積為

［答案］—/—Λ-

33

【分析】根據(jù)側(cè)面展開圖扇形弧長可求得底面半徑，并利用勾股定理求得圓錐的高，代入圓錐體積

公式即可求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為"，則2口=2兀，解得：r=l,

，圓錐的高〃=廬下=6，二圓錐的體積V=gπrM=g7Cχl2χ聲=率.

故答案為：叵.

3

12

14.在一ABC中，點F為線段BC上任一點(不含端點)，^AF=xAB+2yAC(x>O,y>0),則一+二

χy

的最小值為.

【答案】9

【分析】根據(jù)向量共線定理得推論得到x+2y=l,再利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.

【詳解】因為點尸為線段BC上任一點(不含端點)，

所以x+2y=l,又x>0,y>0,

,,12(12)/-、,2y2x“、=?∣2y2xC

故—I—=—I—Hx+2y)=1H-----1------F4≥5+21—―,—=9,

XylXyJXyV?y

當(dāng)且僅當(dāng)馬■=生，即X=y時等號成立.

Xy3

故答案為:9.

15.已知集合Mu｛dx=i"+「",〃wNj（其中i為虛數(shù)單位），則滿足條件的集合”的個數(shù)為

【答案】8

【分析】因為i"具有周期性，分別計算〃取123,4時X的值，根據(jù)集合元素的個數(shù)，寫出子集個數(shù).

【詳解】i"周期為4,當(dāng)〃=1時，x=i+i^'=0;當(dāng)"=2時，x=i2+i^2=-2；

當(dāng)〃=3時，x=F+L=θ;當(dāng)"=4時，x=i4+Γ4=2,所以集合｛-2,0,2｝的子集個數(shù)為2'=8個.

故答案為：8個.

16.海洋藍洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)“，我國

擁有世界上最深的海洋藍洞，若要測量如圖所示的藍洞的口徑A,8兩點間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上

取兩點C,D,測得CD=35m,ZADB=135,ZBDC=ZDCA=15,ZACB=UO,則A、B兩點

的距離為m.

【答案】35√5

【分析】根據(jù)已知的邊和角，在ABCO中，由正弦定理解得在中，由余弦定理得AB.

【詳解】因為NADB=I35,NBoC=NDCA=I5,所以NAE>C=150,ADAC=ZDCA=?5,所以

AD=CD=35,

又因為NACB=I20,所以∕BCf>=135，ZCBD=30,

BD35

BDCD

在ABCD中,由正弦定理得即變-J,解得BD=35√2，

SinZBCD-sinZCBD

~22

在AABD中，由余弦定理得AB?=AD-+BD2-2AD-BDcosZADB,

所以AB?=352+(35√∑y-2*35X35屈解得AB=35√5m.

故答案為：35√5

四、解答題

17.如圖，在棱長為1的正方體中，截去三棱錐求:

（1）截去的三棱錐A-AB。的體積;

（2）剩余的幾何體的表面積.

【答案】⑴:

O

（2）2

2

【分析】（1）利用棱錐的體積公式計算可得答案；（2）計算各個面的面積相加可得答案.

【詳解】（1）；正方體ABCD-A因GP的棱長為1,

111

三棱錐A-ABO的體積匕一=gSM=XX×X

3-2-6-

(2).AB力是邊長為近的等邊三角形，SWo=gχ√∑χ√∑sin2=#,

,?SCBD=Sail)l∣)=SAMB=5，

SBCB?G=CDD1C1=SAB￡D[=?，

所以剩余幾何體表面積為3+3xL3x1="叵.

222

18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量"?=與,-與,"=(sinr,cosx),??fθ,?

⑴若"_1_〃，求tanX的值；

⑵若機與〃的夾角為q，求X的值.

【答案】（1）1

【分析】（1）依題意可得加?"=0,根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運算得到方程，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)

系計算可得;

IMllrl冗m?n1

(2)首先求出同“，依題意可得cos?=麻［F=5,再利用兩角差的正弦公式計算可得;

【詳解】(1)解：因為小=乎，-冷

n=(sinx,cosx)且機_!_〃，

所以m?∕z=^^sinX-^^COSX=0,即SinX=Cosx,所以tan%=l；

22

(2)解:n=(sinx,cosx),

因為加與〃的夾角為】，所以CoSf=件α=不，即也SinX-也COSX=',

33∣nz∣?∣∕7∣2222

所以Sin(X-[]=:，因為XJO,孔所以χ-[eJκ],所以X-E=所以X=等

I4J2<2J4I44J4612

19.已知.ABC中，角4,B,。所對的邊分別為mb,c,a=l,2ccosB=(3tz-2Z?)cosC.

⑴求COSC；

(2)若8=2C,M為一45C的內(nèi)心，求.AMC的面積.

【答案】⑴!

(2)6√5

【分析】(1)已知等式利用正弦定理邊化角，再利用兩角和的正弦公式化簡，可得8SC;

(2)由B=2C和(1)中結(jié)論，解得SinC,sin8,SinA,由4=7結(jié)合正弦定理，求出％,c,面積法求

出內(nèi)切圓半徑，可求二AMC的面積.

【詳解】(1)2c8sB=(3α-2A)cosC,由正弦定理得2sinCcos3=3sinAcosC-2sinBcosC,

.*.2sinCcosB÷2sinBcosC=3sinAcosC,得2sin(5+C)=3sinAcosC,.

.?.2sinA=3sinAcosC,

:A為三角形內(nèi)角,sinA≠O,

?

??cosCQ=—.

3

(2)由(1)可得SinC=或?

3

B-2C,/.sinB=sin2C=2sinCcosC=,COSB=l-2sin2e?-?

99

7?v∕^^

?,?sinΛ=sin(β+C)=SinBcosC+CosBsinC,

a=7,由正弦定理號bc

s?nAsinBsinC,

解得。=12,C=9,

=—absinC昌14技

則有LBC=1x7x12x

22

設(shè)一ABC內(nèi)切圓半徑為r,則SAZ(C=*(α+Hc)=14r=14岔，r=√5,

Samc=gX12XΛ∕5=6>/5.

20.如圖，一座山其高AD為IOOm,一輛汽車在一條水平的公路上沿直線從B往C勻速行駛，在8處

測得山頂A的仰角為30,經(jīng)過20s后汽車到達C處，這時測得山頂A的仰角為45,且N84C=90.

(1)求這輛汽車的速度;

(2)若汽車從B往C行駛5秒時到達E處，求此時山頂A與汽車的距離AE.

【答案】(1)5√6m∕5;(2)ΛE=25√38w

【分析】(1)根據(jù)題意得A8=200m,AC=100√2m.進而由勾股定理得BC=IOO",進而得答案;

(2)由題知BE=256m,COSNABC=",進而在ABE中利用余弦定理求解即可得答案.

3

【詳解】解：(1)根據(jù)題意得A。=IOOm,乙43。=30,ZACo=45,ACYAB,ADL平面BCO,

所以在用A3。中，A3=2AP=200m,在向ACD中，AC=√2AD=100√2m，

所以在Rt_45C中，BC=2+2(X)2=100#,

所以這輛汽車的速度為今=5√6w∕S.

(2)汽車從8往C行駛5秒時到達E處，此時BE=25"m,

“C.cc,AB200√6

在Rt.ABCr中+，cosZSA3C=----=-------F=—,

BC100√63

所以在二ABE中，由余弦定理得AE2=AB2+BE2-2AB?BEcosZABC,

*2

即AE2=2002+(25√6)-2×200×25√6×=23750,故AE=25√38∕n.

C

21.記二ΛBC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為α,b,c,已知/二=HLZ

1+sιnΛ1+cosB

⑴求角C;

⑵求半X的取值范圍.

【答案】（I）C=I

(l+2√2^

⑵1，

2

A.Λ,BA

cos----sin—sin—11—tan-R

22_2

【分析】（1）利用倍角公式化簡為,再弦化切得■一r???tan-,再逆用和角

si"+c"B2

cos—tan-+l

2222

A+B

正切公式可得tan=1,進而可求解;

2

Ar1…

(2)利用正弦定理邊化角得SinACOSA+cosA+sinA,令，=SinA+cosA,則SinACOSA=-------，轉(zhuǎn)

22

化為求/（f）=]+f-取值范圍，從而利用二次函數(shù)在區(qū)間的最值求法可得.

cosAsinB

【詳解】（1）因為=,

1+sinΛ1+cosB

cos2--sin2-2W

所以2222

.2AzAc?AAIC2B1

sin"—Fcos~—F2sin—cos—l+2cos~----1

22222

cos^-sin^cos??c.3B

+sin2sιn-cos-

222222

.AAC?B

sm—+cos—2cos^-

222

因為AB∈(0,7Γ),

ciABf?π?

所以萬手。5,

2

所以sin4+cosO≠0,cosO≠0,

222

A.A.BA

cos----sin—sin—1—tun—R

上式整理得22_2，即-

,AAB

sm—+cos—cos-tan—K1-

2222

所以tan4+tanθ=l-tan4tanθ,

2222

tan^+tan^

A+B

所以tan

2

因為A+8=兀—C,

π

因為

2

≡H=Γ吟小解得C吟

ab-^-bc+casinAsinB+sinβsinC+sinCsinA

(2)因為

sin2C

=sinAsinB+sin8+sinA

=sinAsin?-A1+sin-Aj+sinA

=sinAcosA+cosA+sinA,

所以令f=sinA+cosA=J∑sinIA+-^|,

因為Ae(Oeπ

，所以A+］

所以Sin(A+(Je爭,則fe(l,忘］.

∣(sinΛ+cosΛ)^-?t2?

則mιsinΛcosA=?-----------------j-=—

222

Z2?

所以SinΛcosA+cosA+sinA=--?-t——，

22

“1

令/⑺=5+”5,

因為/(r)的對稱軸為f=-