2023-2024屆新高考一輪復(fù)習(xí)人教A版 第七章 第四講　空間直線、平面的垂直 學(xué)案

第四講空間直線、平面的垂直

■雙基自測

知識梳理

知識點一直線與平面垂直

(1)直線與平面垂直

①定義：若直線/與平面ɑ內(nèi)的任意一條直線都垂直,則直線/與平面α

垂直.

②判定與性質(zhì)

判定定理性質(zhì)定理

如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩

文字條相交直線垂直，那么該直線與

垂直于同一平面的兩直線平行

I口口此平面垂直

(線線垂直與線面垂直)

圖形Iab

y￡

】口口

aCa,

bUa,

符號ala,]

Ila,=/?a=>a//b

b.La\

】口口Itb,

q∏b=P

過一點垂直于已知平面的直線.有且只有一條一.

過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該

平面的垂線段，一垂線段的長度叫做這個點到該平面的距離.

一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離一，

叫做這條直線到這個平面的距離.

如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的任意一點到另一個平面的距離都

相等，我們把它叫做這兩個平行平面間的距離.

(2)直線與平面所成的角

①定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的垓人，叫做這條斜

線和這個平面所成的角.

若直線與平面平行或直線在平面內(nèi)，直線與平面所成角為O,若直線與平

面垂直，直線與平面所成角為3.

Z——

②線面角。的范圍：e∈[o,2?

知識點二平面與平面垂直

（1）二面角的有關(guān)概念

①二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面一所組成的圖形叫做二面角.

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別

作與棱垂直的射線,則兩射線所成的角叫做二面角的平面角.

③二面角。的范圍：e∈[0,π].

（2）平面與平面垂直

①定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩

個平面互相垂直.

②判定與性質(zhì)

判定定理性質(zhì)定理

兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)

如果一個平面經(jīng)過另一個平面的

文字有一直線垂直于這兩個平面的交

垂線，那么這兩個平面垂直.（線

語言線，那么這條直線與另一個平面

面垂直=>面面垂直）

垂直.（面面垂直=>線面垂直）

圖形

語言

aljβ.,一3

符號aC.a,)=OtJ_6a(∑a,

語言a±βa∏β=b

aLb

歸納拓展

1.若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.

2.若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線（證

明線線垂直的一個重要方法）.

3.垂直于同一條直線的兩個平面平行.

4.一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這條直線與另一個平面也垂直.

雙基自測

題組一走出誤區(qū)

1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1)直線/與平面ɑ內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則/,α.(X)

(2)垂直于同一個平面的兩平面平行.(X)

(3)若直線a_La,bJLa,則?！╞.(√)

(4)若aA-β,則a〃a.(×)

(5)若直線a_L平面α,直線力〃α,則直線a與Z?垂直.(J)

(6)若平面ɑ內(nèi)的一條直線垂直于平面用內(nèi)的無數(shù)條直線，則a邛.(×)

題組二走進(jìn)教材

2.(必修2Pι64T15)(2022?廣州中學(xué)教學(xué)研究會調(diào)研)如圖1,正方形SGIG2G3

中，E、b分別是GIG2、G2G3的中點，。是所的中點，如圖2,沿SE、SF.

EE將正方形折成一個四面體，使Gi、G2、G3重合，重合后的點記為G,則在四

面體S-EGE中(A)

A.SGL平面EFGB.SoJ_平面EFG

C.GnL平面SE/D.GOl.平面SE尸

［解析］由題意知SG_LGF,SG±GE,

Gf∩GE=G..?.SGJ_平面GER故選A.

3.(必修2P152例4)(2022.河南許昌質(zhì)檢)在棱長為1的正方體ABCD-

AIICDI中，點M,N分別為AB,BC的中點，則直線MN與平面。CAl所成角

的大小為(A)

ππ

?-eB.4

ππ

C.D.

32

［解析］連AC、ADi,設(shè)AoI∩4O=H,連”C,易知AHL平面4OC,

MN//AC,

：.ZHCA即為MN與平面DCAi所成的角,

且sinHCA=<~<—?.

/?f?N

IT

,MN與平面OCAl所成角為8故選A.

題組三走向高考

4.（2019?北京）已知/,〃?是平面ɑ外的兩條不同直線.給出下列三個論斷:

①/_1_m；?m//ot；（3）Z±α.

以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命

題：.若/J_a,/_!_/“，貝，/〃〃ɑ.（或若/J_a,mJ/a、則.

［解析］由I,m是平面ɑ外的兩條不同直線，及線面平行的判定定理得：

若/_La,Z±7∏,則機(jī)〃α,若/J_a,m//a,則由線面垂直的性質(zhì)和線面平行的性

質(zhì)得/_!_〃?，.?.若/_La,〃z〃a,貝!］/_!_"?,故答案為：若/_La,/_!_〃?，則或

若/?ɑ,m//a,則I-Lm）.

5.（2021.全國高考節(jié)選）已知直三棱柱ABC-A↑B↑C↑中，側(cè)面AAilB為正

方形，AB=BC=2,E,尸分別為AC和CG的中點，BF±A∣Bι,D為棱AlBl上

的點，

證明：BFlDE.

［證明］證法一：取BC的中點“，連EH、BiH,

為AC的中點，

.?EH∕∕AB,^AB∕∕AiB↑,

.?EH∕∕A↑B↑,即E、H、Bi、。共面，

又

；.EHLBF.又AB=BC,

由題意易知四邊形BCGB為正方形，又產(chǎn)為CG的中點，

；.BFtHBi,

又HBlCEH=H,...B/7,平面EHB?D,

又EDU平面EHBiD,：.BFLED.

證法二：由題意知

XBF±Alβ↑,AB//A1B1,

.?AB±BF,

二.AB，平面BCC∣B∣.

ΛABlBC.

又AB=BC=2,E、F分別為AC、CG的中點，

.?BE=y∣2,EF=√3,BF=√5,AιE=√6,AiF=3,ΛιB=2√2,

：.AiF2=AiE2+EF2,A↑B2=AiE1+EB2,

J.A?ELEF,AiElEB,

...AE_L平面BEF,從而AIE_LBR又AiE∩A山ι=Aι,

二，平面AIEBi,又EDU平面AIE5，

：.BFLDE.

證法三：同證法二可知A3、BC、BBl兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

?'AB=BC=2,ΛF(1,1,O),B(0,0,0),F(0,2,l),D(α,0,2)(0≤α≤2),

二麗=(0,2,1),ED=(a~?,—1,2),

：.BFED=O,.?BF±DE.

?互動探究

考點一空間垂直關(guān)系的基本問題——自主練透

例1（1）（多選題）（2022?湖南名校聯(lián)考）對于不同直線〃?，〃和不同平面α,β,

有如下四個命題，其中正確的是（BC）

A.若加_La,n//β,m.Ln9貝IJa〃4

B.若加_La,m//n9∏uβ,貝∣J。_1_夕

C.若〃-La,幾工°,m-La,則〃z_L4

D.若〃z_La,m?n,則〃〃α

（2）（2022?廣東珠海模擬）已知α,夕是兩個不同的平面，/,加，〃是三條不同

的直線，下列條件中，可以得到/,α的是（D）

A./?m,l.Ln,mUa,nUa

B.I.Lm,m//a

C.a邛,

D.l//m,mVa

［解析］(1)選項A,若加_La,〃〃夕，mLn,則α與夕可能相交可能平行，

故A不正確；選項B,若m//n,則〃_La,又〃U夕，所以a_L/?,故B正

確；選項C,若〃_La,nA.β,則α〃夕，又加J_a,所以〃2_1_4，故C正確；選項

D,若〃?_La,m.Ln,貝!］〃〃a或〃Uα,故D不正確.故選BC.

(2)由α,4是兩個不同的平面，I,m,〃是三條不同的直線，知：

對于A,/_!_〃，機(jī)Ua,〃Ua,則/與α相交、平行或/Uα,故A錯誤；

對于B,ILm,m//a,則/與α相交、平行或/Uα,故B錯誤；

對于C,a±β,l∕∕β,則/與α相交、平行或/Uα,故C錯誤；

對于D,l∕∕m,m±a,則由線面垂直的判定定理得/La,故D正確.故選

D.

名帥A撥MINGSHIDIANBO

解決這類線、面位置關(guān)系判定的問題一般是利用正方體模型或畫圖分析解決,

其實最好的辦法是筆當(dāng)線，紙、手掌當(dāng)面動態(tài)演示.如知?！╝,可將筆看成a,

桌面看成a,讓筆平移、旋轉(zhuǎn)，如知將筆看成a,讓筆平移，很容易做出

正確判定，事半功倍.

〔變式訓(xùn)練1〕

(1)(多選題)(2022.江蘇泰州調(diào)研)已知直線/與平面a相交于點P,則(ABD)

A.a內(nèi)不存在直線與/平行

B.a內(nèi)有無數(shù)條直線與/垂直

C.a內(nèi)所有直線與/是異面直線

D.至少存在一個過/且與a垂直的平面

(2)(2022.安徽馬鞍山質(zhì)檢)設(shè)a,β,7是互不重合的平面，血，〃是互不重合

的直線，給出下面四個命題：①若aJ_y,βlγ,則a〃?、谌魴C(jī)_La,〃?，夕，則

a//B；③若M〃a,n.La,則機(jī)〃〃；④若a_L尸，a∏β=m,nYm,則〃_1_民

其中所有正確命題的序號是(B)

A.①②B.②

C.④D.②③

［解析］(l)a內(nèi)的直線與/相交或異面，A對，C錯；直線/與它在平面a

內(nèi)的射影所確定的平面夕與平面a垂直，D對；平面a內(nèi)與射影機(jī)垂直的直

線也與/垂直，顯然這樣的直線有無數(shù)條，B對.故選ABD.

(2)對①，若a_Ly,β-Lγ,則α〃α或α與尸相交，故①錯；

對②，若〃z_La,機(jī)_1_夕，則α〃尸，②對；

對③，若m//a,n?ɑ,則"?_L〃，③錯；

對④，若a_L/?,a∏β=m,〃_!_機(jī)，則〃不一定垂直夕，④錯，故選B.

考點二直線與平面垂直的判定與性質(zhì)——多維探究

角度1線、面垂直的判定

例2(2020?新課標(biāo)I卷(節(jié)選))如圖，。為圓錐的頂點，。是圓錐底面的圓心，

AE為底面直徑，AE=ADAABC是底面的內(nèi)接正三角形，P為。。上一點，PO

??∣6

=QDO.

O

證明：M，平面PBe

√3

［證明］證法一：由題設(shè)，知4D4E為等邊三角形，設(shè)AE=I,則DO=黑,

CO=BO=TAE=g,

所以Po=*DO=*,

O4

PC=y∣PO2+OC2=^-=PB=

又AABC為等邊三角形，則而而=2。4,

所以BA=坐,R?2+PB2-^=AB2,

則乙4P3=90°,所以孫，尸3,

同理如，PC,又PCCPB=P,

所以叫上平面PBC.

證法二：因為AABC是底面圓。的內(nèi)接正三角形，且AE為底面直徑，所以

AElBC.

因為。。(即P。)垂直于底面，BC在底面內(nèi)，

所以POLBC.

又因為POU平面朋區(qū)AEU平面出區(qū)POHAE=O,

所以BuL平面PAE.

又因為必U平面∕?E,所以

設(shè)AE∩3C=E則尸為BC的中點，連接PE

PF=^a.

因此以2+尸產(chǎn)=A/，從而PA±PF.

又因為PFCBC=F,

所以7?1.平面PBC.

證法三：空間直角坐標(biāo)系法

?β

不妨設(shè)AB=2?fi,則AE=AZ)=Sin60。=%

由OoJ_平面A8C,所以Do=MAZ)2—AO2=2√5,

所以PO=*OO=√Σ因為。是aABC的外心，

因此AE_L3C在底面過。作BC的平行線與AB的交點為W,以。為原點，

5W方向為X軸正方向，OX方向為y軸正方向，沆)方向為Z軸正方向，建立空

間直角坐標(biāo)系。一孫z,

則A(0,-2,0),B(√3,1,0),C(-√3,1,0),￡(0,2,0),P(0,0,√2),

所以辦=(0,2,√2),

B>=(-√3,-1,√2),

CP=(√3,-1,√2).

故力加=0—2+2=0,

AP?OJ=0-2+2=0.

所以APj_BP,APLCP.

又BPCCP=P,故APL平面PBC

角度2線、面垂直的性質(zhì)

例3(2022?山東荷澤一模(節(jié)選))如圖，圓柱的軸截面ABCO是正方形，點E

在底面圓周上，AFLDE,F為垂足.

求證：AFLDB.

［證明］由題意可知D4，底面ABE,BEU底面A8E,故BE_LD4,

由AB為直徑知BEJ_AE,又AE∩D4=A,OAU平面AEo,AEU平面AE。,

故8七_(dá)1_平面AED,

由AEU平面AEO得AF_LBE,

‰AFVDE,BECDE=E,BE,DEU平面BED,

故AFL平面BED,

又DBU平面BED,J.AFLDB.

角度3直線與平面所成的角

例4（2022?江蘇無錫高三期末）正方體ABCo-AIBlC∣Dι中,M是正方形ABeQ

的中心，則直線B?M與平面AxCxB所成角的正弦值為（D）

1√3

?,?B.?

「亞D

J3D?3

［解析］解法一：連BIDl交AICl于"，連BD,DBι,DBiCBH=O,BHCBIM

=N,

易證BIfLL平面AiCiB.

，/BiNO即為BlM與平面AlClB所成的角，且8。_LoM

設(shè)正方體棱長為1,

1、/3

則BIo=XBID=3~，

1√6

Bi'=]BlM=看，

../dvr.BiO2^2,,

..Sin/BiNO—BN—?.故選D.

解法二：連AC、CDi、DιA,BιD,DMBlD∩DlM=H,易知平面A山Cl

〃平面ACD1,8。_1_平面ACr>∣,二NBiM”為BiM與平面ACDl所成的角，設(shè)

正方體棱長為1,則BlM=坐，BlH=半,

ΛsinNBM"=齡=平，從而M與平面43CI所成角的正弦值為羋.

L>?JV1JJ

故選D.

解法三：向量法，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1,由。辦

1

，平面A?C?B易知平面ACiB的法向量為n=(l,l,l),MBι=[^,-

i2記B?M

與平面AiQB所成角為仇則sin。=近遜L=-%=斗1.故選D.

∣n∣?∣MBl∣小X及

名師支祓MINGSHIDIANBO

1.證明線線垂直的常用方法

(1)利用特殊圖形中的垂直關(guān)系.

如：直徑所對圓周角是直角；菱形對角線互相垂直；等腰三角形底邊上的中

線、頂角平分線垂直底邊.等等.

(2)若知某些線段長度，常利用勾股定理的逆定理.

(3)利用直線與平面垂直的性質(zhì).

(4)向量法：a1b<≠>ab=O.

2.證明線面垂直的常用方法

(1)線面垂直的判定定理：

∕±a,/_Lb,aUa,bUa,α∩?=P=>∕±α.

(2)面面垂直的性質(zhì)定理：

a_L夕，aC?β=l,αUa,a_L/=>a_L夕.

(3)性質(zhì)：@a//b,?±α=>α±α;

②a〃夕，a_LQ=>a_La.

3.求直線與平面所成角的方法

(1)定義法：①作，在直線上選取恰當(dāng)?shù)狞c向平面引垂線，確定垂足的位置

是關(guān)鍵;

②證，證明所作的角為直線與平面所成的角;

③求，通過解三角形，求角.

(2)公式法：sinO=7其中％為斜線上除斜足外的任一點到所給平面的距離,

/為該點到斜足的距離，。為斜線與平面所成的角).

—?

(3)向量法，sinθ=∣cos<AB,〃〉∣="∣(其中AB為平面a的斜線,n為

∣AB∣?∣n∣

平面ɑ的法向量，。為斜線AB與平面α所成的角).

〔變式訓(xùn)練2〕(2022.全國甲卷)在四棱錐P-ABCD中，POJ_底面ABCD,

CD//AB,AD=DC=CB=I,AB=2,DP=事.

(1)證明：BD1PA；

(2)求PO與平面PAB所成的角的正弦值.

［解析］(1)證明：在四邊形ABC。中，作。E_LAB于E,CfAB于E

因為CAD=CD=CB=I,AB=2,

所以四邊形ABCD為等腰梯形,

所以AE=BF=

故DE=坐,

BD=√Z)E2+BE2=√3,

所以4。2+3。2=432,

所以AoJ_8。,

因為POL平面ABCD,8。U平面ABCD,

所以PCB。，又PO∩AO=O,

所以80,平面7?O,又因B4U平面∕?f),

所以BDLPA.

(2)解法一：連PE,

又POL底面ABCD,

：.PDlAB.

.?.A3，平面PDE,

二平面朋8，平面PDE.

："DPE為PD與平面朋B所成的角.

又PDLDE.：.PE=γ∣PD1+DE1=^-.

2√5

二sinNoPE=程=坐X

√B^5?

即PD與平面PAB所成角的正弦值為坐.

解法二：如圖，以點。為原點建立空間直角坐標(biāo)系,

則41,0,0),3(0,√3,0),P(0,0,√3),

則分=(—1,0,√3),BP=(0,-√3,√3),D>=(0,0,√3),

設(shè)平面∕?8的法向量〃=(X,y,z),

n-AP=-χ+y∣3z=0

則有

U?B>=-√3j+√3z=0

可取〃=（小，1』）,

G/一?n?DPyβ

則cos<71,DP）=--------=s,

?n??DP?'

所以PD與平面所成角的正弦值為小.

考點三兩個平面垂直的判定與性質(zhì)——師生共研

例5（2021.廣東茂名市二模）如圖，在等腰梯形ABCO中，AB//CD,AB=ICD

=2ΛD=4√3,將AAOC沿著AC翻折，使得點。到點P,且PB=2#.

求證：平面APCL平面A3C.

［證明］證法一：由等腰梯形AB=2CO=2AO=4√5,

得NABC=60°.

又AB=2BC,所以AC,BC

*PC=BC=2市>,PB=2也

則CR?+CP2=PB2,所以BCJLCP.

又AC∩CP=C,所以BCL平面APC,

又BCU平面ABC,

所以平面APCj_平面ABC.

證法二：取AC的中點0,連P。，B0,

由AP=PC知POYAC,

在等腰梯形ABe。中，由AB〃C。，AB=2CD=2AD=4y∣3,

可求得OP=√5,OB=叵

又PB=2√6,

.?PCP+OB2=PB2,

.?PO±OB,又AC∩03=0,

.?.PO_L平面ABC,

又PoU平面PAC,

，平面∕?C，平面ABC.

考點四點到平面的距離

例6（2022.黑龍江大慶市質(zhì)檢）在四棱錐P-ABCD中,平面出。，平面ABCD,

PA=PD=I,四邊形ABC。是邊長為2的菱形，NZMB=60。，E是A。的中點.

⑴求證：BE，平面鞏。；

⑵求點E到平面PAB的距離.

［解析］⑴證明：連接BD,在△/?。中，PA=PD=2,E是AO的中點,

：.PEYAD,

：平面外￡>J_平面ABCD平面以D∩平面ABCO=

平面ABC。，：.PEA.BE,

又：四邊形45CD是邊長為2的菱形，ND43=60。，

ZVWD為等邊三角形，

.?BE±AD,

又：PEnAD=E,PEU平面RIO,AOU平面必。，

,BE，平面PAD.

(2)在a∕?B中，PA=AB=I,PB=布,則S△以B=誓,

在AABE中，AB=2,AE=I,BE=小,貝∣]SAABE=彳,

由PE，面ABCO,PE=√3,得

VP-ABE=WX/X3X1×√3^2,

由Vp-ABE=VE-∕?B,設(shè)點E到平面7?8的距離為人,

πl(wèi)l√151√3rr1,√15

則WXΔ^-X∕2=]X^^-X小，則∕z=?^~,

即點E到平面RIB的距離為雪.

注：本題也可用向量法求解.

名幃A被MINGSHIDIANBO

(1)判定面面垂直的方法

①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理(小尸，αUα=>αD).(一般在一

個平面內(nèi)找交線的垂線，證此線與另一面垂直.)

(2)在已知面面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.在一個平面內(nèi)作交線

的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.

(4)求點到平面距離的方法

①定義法一一作出點到平面的垂線段(借助過點與已知平面垂直的平面)，求

其長度即可.②體積法.

〔變式訓(xùn)練3〕

(1)(2022.湖南婁底模擬)如圖所示，在四棱錐P—ABCO中，底面ABC。是菱

Tr

形，ZDAB=y側(cè)面以。是等邊三角形，且平面勿。，平面ABCO,E為棱PC

PF1

上一點，若平面EBD_L平面ABC0,則喬=$

(2)(2022?山東濟(jì)寧模擬節(jié)選)如圖，四邊形ABEb是矩形，平面ABCJ_平面

ABEF,。為BC中點，AB=AC.

一

l-----<-tr----1

證明：平面ADF_L平面Bb.

［解析］(1)取AD的中點0,連接OC交BO于/點，連接EF；?。是

等邊三角形，.?P0±AD,

VOD//BC,BC=20D,：.FC=IOF.

又：平面附O_L平面ABCD,POlAD,

：.Po，平面ABC。，

又：平面8。EJ_平面ABCO,,PO〃平面BZ)E

故答案為今

(2)證明：因為AB=AC,。為BC中點，所以AOLBC,因為四邊形ABEb

是矩形，所以MLAB,因為平面ABe，平面ABE尸，平面ABC∩平面ABEV=

AB,AFC平面ABEF,所以AFl.平面ABC,因為BCU平面ABC,所以AFl.BC,

又AEAoU平面ADF,AFHAD=A,所以BCL平面AOF,又BCU平面BCF,

所以平面AOFJ_平面BCF.

A體幾何中的動態(tài)問題

例7(1)(多選題)(2022.四省八校下學(xué)期開學(xué)聯(lián)考改編)已知正方體ABCD-

48GA的棱長為2,M為DDi的中點，N為底面ABCD內(nèi)一動點，則下列命

題正確的個數(shù)是(ABC)

A.若MN=手,則點N的軌跡長度為兀

B.若N到平面83GC與直線A4∣的距離相等，則N的軌跡為拋物線的一

部分

C.若N在線段AC上運動，則A

D.若N在線段Ae上運動，則MN〃/)8∣?

(2)(多選題)(2021.山東日照模擬)已知正方體ABCD—的棱長為4,

M為。。的中點，N為ABCD所在平面上一動點，則下列命題正確的是(ACD)

7T

A.若MN與平面ABC。所成的角為子則點N的軌跡為圓

B.若MN=4,則MN的中點P的軌跡所圍成圖形的面積為2兀

C.若點N到直線與直線OC的距離相等，則點N的軌跡為拋物線

TT

D.若OlN與AB所成的角為十則點N的軌跡為雙曲線

［解析］(I)OMLON且MN=小,。M=I,所以點N的軌跡是以。為圓心，

ON=2為半徑的圓周的點所以長度為兀，A正確；

若N到平面BBlGC與直線AA的距離相等，即N到直線BC與到點A的距

離相等，則N的軌跡為拋物線的一部分，B正確；

OBJ_平面OlAC,則DIALL上Bi,C正確；

若N在線段AC上運動，只有當(dāng)N為AC中點才滿足MN〃。4，D錯誤.故

選ABC.

Tlτι

(2)對于A,因為MN與平面ABCZ)所成的角為彳，即NMND=不

所以DN=OM=2,所以