2022-2023學(xué)年湖北省荊門市高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年湖北省荊門市高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.計算3A；+4C：=().

3!

Λ7()C100C130r

A.—B.C.D.

333

【答案】C

【分析】根據(jù)排列數(shù)、組合數(shù)公式展開計算，即可得出答案.

6x5x4

【詳解】3A；+4C：3x5x4x3+4χ裝西j30.

3!"3×2×1―3

故選：C.

2.“％+%=2%”是“數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列”的().

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分又不必要條件

【答案】C

【分析】舉特例結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，即可得出答案.

【詳解】設(shè)q=(-l)"?”,則為=-3,%=-5,%=-7，所以為+%=-10=2外,但數(shù)列｛q｝不是等

差數(shù)列;

若數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，4+%=2%成立.

所以，"%+%=2%”是“數(shù)列｛%｝為等差數(shù)歹『’的必要不充分條件.

故選：C.

3.設(shè)函數(shù)在x=l處的導(dǎo)數(shù)為2,則Iim-JA')一:⑴=().

MT。3ΔΛ-

A.——B.：C.—2D.2

【答案】A

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義結(jié)合己知可推得㈣'八C=2,然后變形即可得出答案.

AD(I-Ax)-I

w?1=Hm以匕竺匕他

【詳解】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可得,Iin=Γ(1)=2,

AAr

TO(l-?x)-l位t。-Ax

所以，犯」m組匈皿二.

-3ΔΛ3-Ar3

故選：A.

4.記5“為數(shù)列｛q｝的前〃項和，給出以下條件，其中一定可以推出數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列的條件是

().

A.S,,=2"+2B.an+l=2anC.S11=2a,,~]D.電｝是等比數(shù)列

【答案】C

【分析】用S“與””的關(guān)系，求出｛%｝通項公式，根據(jù)等比數(shù)列的定義，即可判斷正誤.

【詳解】對于A,已知S,,=2"+2,所以Sw=2"∣+2,αl=S,=2'+2=4

n

所以Se-SZl=2÷'-2"=2",an+1=2"嗎=2"",

?i=4,不符合上式，A選項錯誤；

對于B,已知《川=2%，當(dāng)首項為零時，不符合題意，B選項錯誤；

對于C已知S“=2a”-I,所以C=2%+∣-1,al=S1=2α1-l=>01=1

則Sn+l-Sn=2an+i-2an,an+l=2an+l-2an,an+l=2an,

所以區(qū)a=2,

a?

所以｛4｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列，C選項正確；

對于D,已知母｝是等比數(shù)列，則設(shè)｛S,,｝的通項公式為S,,=S*"T=qW'T

"+「n2

則SS”=at-q"-4?q"-',an+i=a^q-?)-q"-',an=ax^q-?)-q^,

不符合等比數(shù)列的通項公式，D選項錯誤：

故選：C.

5.武漢市第二十三中學(xué)“藝術(shù)節(jié)”舉辦一場文藝匯演，有6個不同的節(jié)目要分配給高一年級的7班、

8班、9班、12班4個班級做準備，其中兩個班級各分配2個節(jié)目，另兩個班級各分配I個節(jié)目，

共有多少種不同的分配方式().

A.144B.180C.960D.1080

【答案】D

【分析】按照分組分配的方法，計算求值.

2211

【詳解】首先將6個不同的節(jié)目按照2,2,1,1的分組，有C簾CX號CC=45,

A：A；

再分配到4個班級，有A：=24種方法，所以共有45x24=1080種方法.

故選：D

6.如圖展示的是一個樹形圖的從上至下的前6行生長過程，依據(jù)圖中所示的生長規(guī)律，第10行的

圓點個數(shù)是().

A.55B.34C.21D.13

【答案】C

【分析】設(shè)第〃行圓點的個數(shù)為M，由已知觀察即可得出4=4τ+α,τ,("≥3,"∈N*),然后逐項

求解，即可得出答案.

【詳解】設(shè)第〃行圓點的個數(shù)為％,

則由已知可得，4=1,a2=0,α,=l=α1+α2,α4=l=α2+α3,a5=2=a3+a4,ab=3=a4+a5,

α8

所以%=%+4=5,?=?+7=-4)=%+4=13,?,<)=?+o9=21.

故選：C.

7.已知α=CI詈n2，〃3點，C=4詼(其中e為自然常數(shù))，則。、b、C的大小關(guān)系為().

A.a<c<bB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

【答案】B

【分析】構(gòu)造函數(shù)“X)=金，得”=?∕?(ln4),6=y(∣)c=利用導(dǎo)數(shù)判斷出/(x)的單

調(diào)性可得答案.

3

【詳解】構(gòu)造函數(shù)/3='易得α=e野=e『=叭ln4),人二=/斗c==

可得f(χ)=宗，當(dāng)χ>ι時r(χ)<o,

所以“X)在(1,e)遞減,

因為I=In√7>ln√ΞF=lnJ19.683>ln4=ln標>1,所以∕g)</(In4),

即b<a,

因為Ivg=IniV?<In，2.84=In?/e1.4656<In4=In>/64,所以/(g)>/(1∏4),

即c>",所以b<α<c.

故選：B.

8.若直線x+y+α=O是曲線F(X)=d+?rT4與曲線g(x)=/一31nx的公切線,則T=().

A.26B.23C.15D.11

【答案】D

【分析】先由g(x)=x2-31nx,利用切線斜率為-1求得切點，再將切點代入切線方程求得m然后

設(shè)切線與f(x)的切點為?,『+初-14),利用切線斜率為-1和切點在切線上求解.

【詳解】解:因為g(x)=x2-31nx,

3a3

所以g'(x)=2x-一，由2x；=-1,解得X=I或X=F(舍去)，

X?2.

所以切點為(1,1),

因為切點在切線x+y+q=O上，解得a=—2,

所以切線方程為χ+y-2=0,

2

尸(X)=3X+6設(shè)切點為(//+bt-14),

3r+/?=-1?=-13

由題意得<解得

t+t3+9-14-2=0t=-2

所以a—。=11,

故選：D

二、多選題

9.一箱產(chǎn)品共有16件，其中有14件合格品，2件次品，從這16件產(chǎn)品中任意抽取3件，則抽出

的3件產(chǎn)品中至少有1件次品的抽法表述正確的是().

A.Ce4+cqB.C**

C.c?∕D.Cc5YC

【答案】ABD

【分析】有3種抽法，第一種方法分為兩類，3件中有1件次品或2件次品；第二種方法，考慮間

接抽法，用16件產(chǎn)品任抽3件的總情況數(shù)減去不含次品的情況數(shù)；第三種方法，先任抽一件次品，

再從剩下的15件產(chǎn)品中隨機抽2件，但有2件次品的情況算了兩次，故需減去多余的抽法數(shù).據(jù)此

可得答案.

【詳解】由題，當(dāng)3件產(chǎn)品中有1件次品時，情況數(shù)為C>C1,當(dāng)3件產(chǎn)品中有兩件次品時，情況

數(shù)為C，C；4,則抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件次品的抽法數(shù)為c>c；+c，C4；

16件產(chǎn)品任抽3件的總情況數(shù)為C今，3件產(chǎn)品中不含次品的抽法數(shù)為C：4,則抽出的3件產(chǎn)品中至

少有1件次品的抽法數(shù)為c：6-Cj4；

從產(chǎn)品中任取1件次品的情況數(shù)為c；,在從剩下產(chǎn)品中任抽2件的情況數(shù)為C%,則兩步的總情況

數(shù)為C；.C；5,又有2件次品的情況算了兩次，則抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件次品的抽法數(shù)為

CCYα.

故選：ABD

10.記S“為等比數(shù)列｛叫的前“項和，則()

A.I是等比數(shù)列B.｛44,*J是等比數(shù)列

.anJ

C.5,,,S2,,,S30成等比數(shù)列D.成等比數(shù)列

【答案】AB

［分析］根據(jù)等比數(shù)列的定義即可判斷求解.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為9(q≠0),財有%L=4,

an

1

所以"L=%=_L,所以是以L為公比的等比數(shù)列，A正確；

an

鬻τ=d,所以｛α∕,,+J是以d為公比的等比數(shù)列，B正確；

anan+?

若公比q=T,則與“=0,所以北,與"3?不能構(gòu)成等比數(shù)列,C錯誤;

若公比9=一1,且〃為偶數(shù)，則S,,S?”-S“,SM-S”,都等于0,

此時不能構(gòu)成等比數(shù)列，D錯誤.

故選:AB.

?!

11.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，且$=28,記7；為數(shù)列不的前”項和，若

3IA,

恒成立，則4的值可以是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】BCD

【分析】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,根據(jù)已知條件可得出關(guān)于卬、d,求出這兩個量的值，可求

得S,,利用裂項相消法可求得，，再結(jié)合看<彳可求得實數(shù);I的取值范圍，即可得合適的選項.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛叫的公差為d,由,S4=3S5可得＜4q+6d=g(5q+10d)

4=28∣74+21d=28

A,,Cn(n-??dn(n-↑)n(∕2+l)

解ZJ得ZHq=d=l,所以，S=na+-------—=n+--------=—-------,

nl222

1222

所以，M而刑TUr

因為(<彳恒成立，9Aλ≥2,BCD選項滿足條件.

故選：BCD.

X

-----,X<1

12.已知函數(shù)/("=，：一：，下列選項正確的是().

Inx、1

------,x>1

.X

A.函數(shù)"x)的單調(diào)減區(qū)間為(9,I)(e,+∞)

B.函數(shù)”x)的值域為(-∞,1]

C.若關(guān)于X的方程r(x)-4(x)=0有3個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)。的取值范圍是(0,1)

D.若關(guān)于X的方程尸(x)-α∣f(x)∣=O有6個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)。的取值范圍是(0,1)

【答案】BD

【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系可判斷A選項；求出函數(shù)/(x)的值域，可判斷B選

項；數(shù)形結(jié)合可判斷CD選項.

【詳解】對于A選項，當(dāng)χ<ι時，/(力=六，則r(χ)=-G?y<°,

當(dāng)X21時，/(%)=—,則r(χ)=e(l"Λ?),由/，(尤)<0可得χ>e,

XX

所以,函數(shù)/(X)的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,1),(e,+oo),A錯;

對于B選項，當(dāng)％<1時，?(?)=?H------<I>

%—1

當(dāng)x21時，由A分析可知/(x)在(Le)上單調(diào)遞增，在(e,+∞)上單調(diào)遞減，所以

0≤∕(x)=T≤∕(e)=?∣=∣,

因此，函數(shù)〃力的值域為(-8,1],B對：

由圖可知，方程f(x)=0有2個不等的實根，

若關(guān)于X的方程r(x)-4(x)=0有3個不相等的實數(shù)根，

則方程/(x)=a有1個實根，此時α<0,C錯;

對于D,若α≤0,由/⑺―巾(刈=0,即/⑺『一巾(X)I=0,可得f(x)=O,則方程/(x)=0只

有兩個不等的實根，故舍去；

若α>0,由尸(X)-Hf⑸=0,Bp∣∕(x)∣2-α∣∕(x)∣=0,可得/(x)=0或/(x)=α或〃x)=—α,

由圖可知，方程/(x)=0有2個不等的實根，方程/(x)=-α只有一個實根，

若關(guān)于X的方程∕2(x)-4∕?(x)∣=0有6個不相等的實數(shù)根，

則方程/(x)=α有3個不等的實根，此時O<α<l,D對.

故選：BD.

三、填空題

13.有5個編了號的抽屜，要放進8個相同的小球，每個抽屜不空的放法共有種.

【答案】35

【分析】利用隔板法計算可得.

【詳解】依題意利用隔板法，在8個相同的小球所形成的7個空中插入4個板即可,

故有C；=C；=35種放法.

故答案為：35.

/7—2

14.已知數(shù)列｛q｝的通項公式為4=7；~~前〃項和為S,,,當(dāng)S,,取得最小值時，〃的值為

2π-15

【答案】7

【分析】首先求出數(shù)列的正負項，再判斷5“取得最小值時〃的值.

【詳解】當(dāng)％≤0o("-2)(2"-15)≤0,"wN*,

解得："=2,3,4,5,6,7,

當(dāng)”=1和“28時，??>0,

所以3取得最小值時，?=7.

故答案為：7

15.已知函數(shù)/(x)滿足/(x)=∕'(?Sinx-Cosx,則/(x)在Xg處的導(dǎo)數(shù)為

【答案】∣(∣+^+√3)

【分析】先求導(dǎo)，再通過了'(：)得到尸(x),然后將χ=5代入求解.

【詳解】解：因為函數(shù)=SinX-COSX,

所以?Γ(x)=∕'C｝。sx+sinx,

所以雷卜廣(｛H+S吟，解得尸仔卜+應(yīng)，

所以/"(x)=(l+V∑卜OSX+sinX,

所以陪)=(1+處嗚+s嗚=如應(yīng)+⑹,

故答案為：5(1+&+石)，

16.已知數(shù)列｛4｝滿足α,1+∣+(-l)"4=2"-1,則｛%｝的前40項的和為.

【答案】820

【分析】分〃為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的特點，再分組求和.

【詳解】當(dāng)〃為奇數(shù)時，an+l-aπ=2n-l,aπ+2+aπ+l=2n+l,

兩式相減得4+2+4=2：

當(dāng)”為偶數(shù)時,an+l+an=2n-i,an+2-an+l=2n+l,

兩式相加得“2+a”=4".

所以S40=(4+%+<?++69)+(42+44++。40)

=2×10+4(2+6++38)=20+4χ^^^χl0=820.

故答案為：820.

【點睛】方法點睛：分"為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，觀察推導(dǎo)，即可得出通項之間的關(guān)系.

四、解答題

17.數(shù)列｛叫的前〃項和為S“4=；,且α,,+2Sι?S,,=0(“≥2).

(1)證明：數(shù)列!為等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛α,,｝的通項公式.

【答案】(1)證明見解析

⑵〃〃T1

------7-----7,〃之2

2∕z(n-l)

【分析】(I)將4=S,,-S.GN2)代入等式，即可化簡出|—一—=2,(〃*2),即可得出結(jié)論;

，〃?n-l

1[51,∏=1,?

(2)由(1)可求出S”=1-,再由:c、.，即可求出數(shù)列4｝的通項公式.

2〃[S,,-S,ι,“≥2

【詳解】(1)由4+2S,τ?S,,=0("≥2),

得SLSl=—2S.τS,5≥2),

-=2,(“≥2),且J=2,

“dΛ-i??

痂粕萬JII為以,什黃幣,出八筆的箋妾粉司

故數(shù)列T不；為以2位首項，2為公差的等差數(shù)列.

(2)由(1)知數(shù)列《的首項為'=2,公差d=2,則數(shù)列!=2+2("-l)=2”,

I5JqS,,

即S"=A""=S"T"T=?Γ?∏y=-?∏J'"22'

18.有7名學(xué)生站在一排，其中女生3名、男生4名，請按要求完成下列問題.

(1)如果所有男生站在一起并且所有女生站在一起，那么有多少種排法？

(2)如果男生、女生相間站一排，那么有多少種排法？

(3)如果男生中的甲和女生中的乙從左到右順序一定，那么有多少種排法？

【答案】⑴288

(2)144

(3)2520

【分析】(1)捆綁法：男女生分別排列，考慮男女生位置順序，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，即可得出

答案：

(2)插空法：先排好女生，男生插空，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，即可得出答案；

(3)定序問題：先求出7名學(xué)生的排列數(shù)，然后除以甲乙兩人的順序數(shù)，即可得出答案.

【詳解】ɑ)第一步，所有男生站在一起的排法有A：=24種；

第二步，所有女生站在一起的排法有A；=6利1

第三步，考慮男女生的位置，有A；=2利，.

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，總的排法有24x6x2=288種.

(2)因為男生4名，女生3名，采用插空法：

第一步，先排女生，有A：=6種；

第二步，3名女生站好后，有4個空格，4名男生排入4個空格中的排法有A：=24種.

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，總的排法有6x24=144種.

(3)定序問題:

7名學(xué)生，所有的排法有A；=5040.

男生中的甲和女生中的乙的順序有A；=2種.

所以，如果男生中的甲和女生中的乙從左到右順序一定，那么排法有亍=2520種.

19.已知數(shù)列｛α,,｝的首項4=4，且滿足“向=之

（1）求證：數(shù)列V—1>為等比數(shù)列；

UJ

⑵若'+，+,++,<82,求滿足條件的最大整數(shù)〃.

a?aι%4

【答案】（1）證明見解析

⑵81

2%兩邊取倒數(shù)得」-一1I

【分析】（1）將“向-1,即可得證:

1+44出2(4

(2)由(1)可得L-I=LX仕],即可得到-L=I+?,設(shè)數(shù)列4-14的前”項之和為S”，利用

勺2⑶a,,2

分組求和法及等邊數(shù)列求和公式求出S,,,再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.

2a11+

【詳解】（1）由。向Ln，兩邊取倒數(shù)得一=L，

1+?！?%

、

1111111

即一=彳+丁，???——?一1,

4+122aflan+]2??2214,√

---1≠o,.?.---1≠0,

42勾2

所以數(shù)列，-1-15是首項為T，公比為T的等比數(shù)列.

(2)由⑴可得'-I=；X

9唱二

設(shè)數(shù)列，的前〃項之和為S”,

γJ+LL+1

Piι∩H1"?)]?ι

23

∣k222T)J_12〃

2

若S,,<82,即n+i-∕<82,

函數(shù)〃x)=x+1-?在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又“80)=81-4<82,"81)=82—擊<82,"82)=83-圭>82,

,滿足條件的最大整數(shù)〃的值為81.

20.給定函數(shù)/(x)=(x+l)e'.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間，并求出了(x)的極值點；

(2)若關(guān)于X的方程/(x)=α有兩個不同的解，求實數(shù)。的范圍.

【答案】(1)答案見解析；

(2)α∈(-e^2,0)

【分析】(1)由題可得r(x)=(x+2)e*,解不等式/'(x)>0"'(x)<0可得單調(diào)區(qū)間，即可得極值

點；

(2)方程/(x)="有兩個不同的解相當(dāng)于f(x)圖象與Y="有兩個不同交點，由(1)做出"x)圖

象，即可得答案.

【詳解】(1)∕,(x)=(x+2)e'.

f'(x)>0=>X>-2n∕(x)在(-2,+∞)上單調(diào)遞增；

(卜)<0nX<—2="工)在(^,—2)上單調(diào)遞減；

則/(x)在X=-2處取極小值，則/(x)的極小值點為-2；

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(-2,xo),單調(diào)減區(qū)間為(-∞,-2)；/(x)的極小值點為-2；

⑵由⑴可知/(x)單調(diào)性，/(X)極小值為/(-2)=γ-2

注意到當(dāng)x→?-00時，/(x)<0,/(x)→0;x→+8時，/(χ)→+∞,據(jù)此可做/(x)圖象如圖，

則方程/(X)=。有兩個不同的解相當(dāng)于/(x)圖象與丁=。有兩個不同交點，則由圖可得

a∈-e^2,0.

21.在數(shù)列｛4｝中，已知4=；,〃向1]π〃+l1

?+-

n3〃

⑴設(shè)d=》,求數(shù)列也｝的通項公式;

⑵求數(shù)列｛α,,｝的前"項和S,,.

i

【答案】(l)d=l-,HEN,；

2×3π^'

∕ι(n+l)92/?+3

(2)S

n288×3n^''

凡+察化為%=”即%a=4，從而利用迭代法即可求

【分析】(1)把前\+-

njn+1n33

1

得〃,=1-∈N*

2?3n^'

n

(2)由(1)可得4=〃"=〃—從而利用分組求和、錯位相減求和，即可求解.

2?3"∣，

【詳解】(1)由已知有

如=%+_L

，：也+1也=—,；?b〃-b“7=F^'"N2,

H+1〃3”

么=3“一dτ)+(4τ-)2)++(?2-?∣)+?∣,

?Y嚴

,,?II3

(rt≥2),

?也一仿=Fr+尹++要=一n

1422×3^'

1

又bι=%=g,.,也=",(π≥2),

2X3〃T

1

又當(dāng)〃=1時也適合上式，所以2=1-,π∈N*.

2x3〃T

n

(2)由(1)可知血=〃一

2?3"∣

n1"L

S,=Σ%-k=∑zc-2∑3?ri^,

A1

?=1\2×3^A=IN?=1?

"LJ</n(n+V)(k

其中2?=~τ-,記I=ZW

Λ=l乙A=I?

則北/+,+*++#①

II23H-In

/=可+?十/+尹+聲②

①一②得:^jq=J+卜地++擊寧=IaV)W，

,_92〃+3

一,1-4^^4×3,,-J,

.c_〃(〃+1)92〃+3

一〃-~^28+8×3π^,,

22.已知函數(shù)/(x)=f+αln(x+l).

(1)若函數(shù)y=∕(χ)在區(qū)間；,+8)內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)α的取值范圍；

2

(2)若函數(shù)y=f(x)有兩個極值點x∣,x2,且芯<々，求證：XJn

(注：e為自然對數(shù)的底數(shù))

【答案】⑴-?∣,+8);

(2)證明見解析.

【分析】(1)求導(dǎo)得r(X)=2》+二，把問題轉(zhuǎn)化為f'(x)NO,x∈］,+∞］恒成立，分離參數(shù)后,

X+1L2J

結(jié)合二次函數(shù)求得最大值，進而求得實數(shù)α的取值范圍；

(2)由題意可知/(X)=O在區(qū)間(-1,+8)上有兩個不相等的實數(shù)根，結(jié)合二次函數(shù)零點分布求得

1+12a

0<6Z<∣,進而得至IJXl+赴=_1,2%2+2々+4=0,X2=~^-e(-?,θ),je,e(-l,-?),從而得至IJ

2222

xlln-^=</(x2)<0<=>0<幺^<-LIn2,則以義=」+"皿,+1)=\一(2,+2x?)In(X?+D,令

√e%2χ1x1-l-?

∕z(x)=-T2f+2x)ln(x+l),χLO),通過二次求導(dǎo)判斷函數(shù)∕z(χ)在(,O］上單調(diào)遞減,從而得