山西省呂梁市2023屆高三三模數(shù)學(xué)試題（B卷）（含答案與解析）

山西省呂梁市2023屆高三三模試題

數(shù)學(xué)(B卷)

(試卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘)

注意事項(xiàng):

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知集合A={M<2X},B=Ey=√H,則“吟)

A.(0,l]B.(0,1)C.(1,2)D.(0,2)

2.已知復(fù)數(shù)Z滿足(1—i)(z—2i)=2i,則Z的虛部為()

A.-1B.-iC.3D.3i

3.若雙曲線。的一條漸近線的方程為x+2y=0,則下列選項(xiàng)中不可能為雙曲線C的方程的是()

222

A.2-J=1B.工-L=I

4205

2222

C.匯-工=1D.匕-工=1

82312

4.已知向量α,6滿足α=(l"),b+2α=(l,-3),且^工人則實(shí)數(shù)2=()

1或;B.T或;C.1或—，或」

A.D.-1

2222

5.已知定義在R上的函數(shù)“X)滿足〃x+3)=—/(x),g(x)=∕(x)-2為奇函數(shù),則/098)=()

A.0B.1C.2D.3

/-1A.?CrO3,√2sin8o+cos53o,,、

6.已知sin37。≈一，rιl則------------的近似值為(z)

5√2cos8o-sin53o

?3r4?3√2n4正

4343

7.在一節(jié)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的課堂上，老師要求大家利用超級(jí)畫板研究空間幾何體的體積，步驟如下：第一

步，繪制一個(gè)三角形；第二步，將所繪制的三角形繞著三條邊各自旋轉(zhuǎn)一周得到三個(gè)空間幾何體；第三

步，測(cè)算三個(gè)空間幾何體的體積，若小明同學(xué)繞著CABC的三條邊48,BC,ZC旋轉(zhuǎn)一周所得到的空間

Q

幾何體的體積分別為2,—,4,貝IJCOS∕A4C=()

3

17115

A.一一B.-C.—D.—

481616

8.若α=e°'bj('5:)C=巫，則α,Ac的大小關(guān)系為()

2'2

A.a>c>bB.b>a>c

C.c>b>aD.b>c>a

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知某校高二男生的身高X(單位：cm)服從正態(tài)分布N(175,16),且

P(ju-2σ<X<ju+2σ)-0.9544,則()

A.該校高二男生的平均身高是175cm

B.該校高二男生身高的方差為4

C.該校高二男生中身高超過(guò)183Cm的人數(shù)超過(guò)總數(shù)的3%

D.從該校高二男生中任選一人，身高超過(guò)180Cm的概率與身高不超過(guò)170Cm的概率相等

10.已知函數(shù)/(x)=e2,-2e'T2x,則下列說(shuō)法正確的是()

A.曲線y=∕(χ)在x=()處切線與直線x+12y=0垂直

B./(χ)在(2,+8)上單調(diào)遞增

C.CX)的極小值為3—31n3

D./*)在上的最小值為3—121n3

22_

11.已知點(diǎn)尸(根,〃)是橢圓q+]=1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。(α,0)(α>0且0≠√J),則最小時(shí)，加的值可

能是()

A.-1B.y∕3C.aD.3a

12.已知函數(shù)/'(》)=5拘3%+夕)[3>0,|同<5，滿足/(x)=/卜弓一x[,∕[f)=°,且在

(π2π?

—上單調(diào)，則。的取值可能為()

A.1B.3C.5D.7

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若命題“丸GR,α=∣Λυ∣+l”為真命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.（用區(qū)間表示）

14.已知直線/:2x—y-2=0被圓uV+y一2χ+4y+m=o截得的線段長(zhǎng)為2叵，則m=.

15.2023年9月第19屆亞運(yùn)會(huì)將在杭州舉辦，在杭州亞運(yùn)會(huì)三館（杭州奧體中心的體育館、游泳館和綜合

訓(xùn)練館）對(duì)外免費(fèi)開放預(yù)約期間將含甲、乙在內(nèi)的5位志愿者分配到這三館負(fù)責(zé)接待工作，每個(gè)場(chǎng)館至少分

配1位志愿者，且甲、乙分配到同一個(gè)場(chǎng)館，則甲分配到游泳館的概率為.

16.在平面四邊形ABCr）中，AD=CD=布，ZADC=ZACB=90o,NABC=60°,現(xiàn)將ZXADC沿著

AC折起，得到三棱錐短―A6C,若二面角。一AC-B的平面角為135。，則三棱錐￡＞一ABC的外接球

表面積為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S1,,且25“=3"-2〃-1.

（1）求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

23"

（2）若“=——,求數(shù)列｛2｝的前"項(xiàng)和7；.

18.數(shù)據(jù)顯示中國(guó)車載音樂(lè)已步入快速發(fā)展期，隨著車載音樂(lè)的商業(yè)化模式進(jìn)一步完善，市場(chǎng)將持續(xù)擴(kuò)

大，下表為2018—2022年中國(guó)車載音樂(lè)市場(chǎng)規(guī)模（單位：十億元），其中年份2018—2022對(duì)應(yīng)的代碼分別

為?—5.

年份代碼XI2345

車載音樂(lè)市場(chǎng)規(guī)模V283.97.312.0170

（1）由上表數(shù)據(jù)知，可用指數(shù)函數(shù)模型y=α?"擬合y與X的關(guān)系，請(qǐng)建立y關(guān)于X的回歸方程（a,b

的值精確到0.1）；

（2）綜合考慮2023年及2024年的經(jīng)濟(jì)環(huán)境及疫情等因素，某預(yù)測(cè)公司根據(jù)上述數(shù)據(jù)求得N關(guān)于X的回歸

方程后，通過(guò)修正，把6-1.3作為2023年與2024年這兩年的年平均增長(zhǎng)率，請(qǐng)根據(jù)2022年中國(guó)車載音樂(lè)

市場(chǎng)規(guī)模及修正后的年平均增長(zhǎng)率預(yù)測(cè)2024年的中國(guó)車載音樂(lè)市場(chǎng)規(guī)模.

參考數(shù)據(jù):

5

∑X∕

V?0.524￠0.472

Z=I

1.9433.821.71.6

15

其中匕=Iny?,V=-^v,..

5/=I

參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(%匕),(〃2#2)，.??，(/匕3其回歸直線￡=4+加的斜率和截距的最小二乘

Zuivi-nu?v

法估計(jì)公式分別為B=?--------,a=y-βu.

2U；-YlU

/=I

19.在①3"sinC=44B?Ad;②α(3sin8+4cosB)=4c,這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中,

并加以解答.

已知.ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為〃，b,c,.

(1)求sinA值；

(2)若.ABC的面積為2,α=4,求..ABC的周長(zhǎng).

注：如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分

20.如圖，在多面體ABCE/中，AEL平面ABC,AE//BF,。為AB的中點(diǎn).AC=BC=2λ∕E，

AB=BF=AAE=A.

(1)證明：DEl平面CDE；

(2)求二面角七一C9一。的平面角的余弦值.

21.已知拋物線。：尸=2〃%(0>())的焦點(diǎn)為尸，AB分別為C上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)

為等邊三角形時(shí)，∣AB∣=8G.

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)拋物線。在第一象限的部分是否存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)P滿足P4+/>8=4/7^且點(diǎn)P到直線AB的距

離為2?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及直線AB的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.已知函數(shù)f(x)=xex-a.

(1)討論函數(shù)/(X)在[-2,1]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù);

f(x)ln(x+l)

(2)當(dāng)。=0且段(-1,0)(0,田)時(shí)，記M(X)1探究M(X)與1的大小關(guān)系，并

XX2

說(shuō)明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知集合A={M<2X},B=Hy=E},則m人()

A.(0,l]B,(0,1)C,(1,2)D.(0,2)

【答案】A

【解析】

【分析】先化簡(jiǎn)集合4和3,再根據(jù)交集的定義求解.

詳解】由題得A={x∣χ2一2χ<θ}={χ∣θ<x<2},B=Hy=JI-X}={χ∣χ≤l},

所以Ac8={x∣0<x≤l}=(0,l].

故選：A.

2.已知復(fù)數(shù)Z滿足(1—i)(Z-2i)=2i,則Z的虛部為()

A.-1B.-iC.3D.3i

【答案】C

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)定義及運(yùn)算法則計(jì)算即可.

2i2i(l+i)

【詳解】因?yàn)閦=「+2i=?J+2i=i-l+2i=-l+3i,所以Z的虛部為3,

1-1(l-ι)(l+ι)

故選：C.

3.若雙曲線。的一條漸近線的方程為x+2y=0,則下列選項(xiàng)中不可能為雙曲線C的方程的是()

222

A.^-y=↑B.三上=1

4-205

22

C.ZD.匕1=1

82312

【答案】C

【解析】

【分析】求出每一選項(xiàng)中雙曲線的漸近線方程，即可得答案.

【詳解】解：對(duì)于A,由題意可知，此雙曲線的漸近線方程為：y=±gx,即x±2y=0,符合題意；

對(duì)于B,由題意可知，此雙曲線漸近線方程為：y=±gx,即x±2y=0,符合題意：

22

對(duì)于C,由題易知雙曲線工-L=I的漸近線方程為y=±2x,不符題意；

82

對(duì)于D,由題意可知，此雙曲線的漸近線方程為：y=+-x,即x±2y=0,符合題意.

2

故選：C.

4.已知向量α,6滿足α=(l,4)力+2α=(l,-3),且“工人則實(shí)數(shù)/1=()

AJ或!B.-1或!C.1或-LD.-1或一，

2222

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)向量的線性計(jì)算和垂直的坐標(biāo)表示即可求解.

【詳解】α=(l,X),b+2α=(l,-3)

所以人=。,_3)_2。,/1)=(-

因?yàn)棣痢纀，

所以a?b=-lχ1—(3+2之)2=0,

解得λ=—1或—，

2

故選：D.

5.已知定義在R上的函數(shù)“X)滿足/(x+3)=?√(x),g(x)=∕(x)-2為奇函數(shù),則F(198)=()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】由題意推出函數(shù)/(χ)的周期以及滿足等式/(χ)+∕(-χ)=4,賦值求得"0)=2,利用函數(shù)的

周期性即可求得答案.

【詳解】因?yàn)?x+3)=-?f(x),所以〃x+6)=—/(x+3)="x),所以/(x)的周期為6,

又g(x)=/'(X)-2為奇函數(shù)，所以/(x)-2+∕(-X)-2=。，所以/(x)+∕(-X)=4,

令X=0,得2/(0)=4,所以/(0)=2,

所以/(198)=/(0+6χ33)=/(0)=2,

故選：C.

6.已知Sln37。*一，則------------的近似值為()

5√2cos80-sin530

3√2n4√2

A.—B.—C.

4343

【答案】B

【解析】

sin(53°-45o)+sin45ocos53°

【分析】首先求出COS370,再根據(jù)m80+c°s53°=

夕利用兩角差的正、

√2cos8o-sin53°—cos(53o-4…5o)~-sm45osιn。53o。

余弦公式展開，最后利用誘導(dǎo)公式變形，代入計(jì)算可得.

3,----------4

【詳解】因?yàn)閟in37。am,所以COS37°=Jl—sir?37°^M,

一√Σsin80+CoS53。疝8。+圣。$53。

所以2?=--------------=---------η=-------

√2cos8o-sin53o^∣2.

cos80----sin53°

2

_sin(53°-45°)+sin45°cos530

cos(53o-45o)-sin45osin53o

_sin53ocos450-cos53osin450+sin45ocos53o

一COS53°cos45°+Sin530Sin45°—sin450sin53°

_sin53ocos45o

cos53°cos45o

4

sin(90o-37o)cos37o54

^^cos(900-370)^sin37o~J-3"

5

故選：B

7.在一節(jié)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的課堂上，老師要求大家利用超級(jí)畫板研究空間幾何體的體積，步驟如下：第一

步，繪制一個(gè)三角形；第二步，將所繪制的三角形繞著三條邊各自旋轉(zhuǎn)一周得到三個(gè)空間幾何體；第三

步，測(cè)算三個(gè)空間幾何體的體積，若小明同學(xué)繞著-ABC的三條邊NB,BC,NC旋轉(zhuǎn)一周所得到的空間

O

幾何體的體積分別為2,4,則cos∕B4C=()

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合旋轉(zhuǎn)體的體積求出.ABC三邊的關(guān)系，再利用余弦定理求解作答.

【詳解】令_ABC的三邊43,8。,47分別為44,6,邊A3上的高為4，.ABC的面積為S,

則以直線AB為軸所得旋轉(zhuǎn)體體積！兀照c=2,有修。2=%，于是S2=2E,

3兀2兀

同理可得S?=-,S2=—,則有a=3"c=2b,

兀兀2

故選：C

8.若a=/'9=m(3?5e)C=叵,則α,Ac的大小關(guān)系為()

2'2

A.a>c>bB.b>a>c

C.c>b>aD,b>c>a

【答案】A

【解析】

【分析】令〃X)=竽+1—石，利用其單調(diào)性比較b與C的大?。涣頶(x)=e'-gf—X-],利用其

單調(diào)性比較。與C的大小.

【詳解】解：令/(x)=*+l-JL則/(X)=-J——X=?∑Jk,當(dāng)XW(1,M)時(shí)，r(x)<O,故

22%2。X2x

函數(shù)/(x)在(L+∞)上單調(diào)遞減，故/(3.5)<"l)=O,即啰+]=ln(3?5e~)<后=巫,即

令g(x)=e'-]χ27τ,則g，(X)=e*-χ-i,當(dāng)Xe(0,1)時(shí)，g[χ)>O,故函數(shù)g(x)在(0,1)上

單調(diào)遞增，故g(0?7)>g(0)=0,即e°7>l+0.7+?=1.945>67=半，故α>c,則

a>c>b,

故選：A.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得O分.

9.已知某校高二男生身高X(單位：cm)服從正態(tài)分布N(175,16),且

P{<μ-2σ<X<χ√+2σ)=0.9544,則()

A.該校高二男生的平均身高是175cm

B.該校高二男生身高的方差為4

C.該校高二男生中身高超過(guò)183cm的人數(shù)超過(guò)總數(shù)的3%

D.從該校高二男生中任選一人，身高超過(guò)180Cm的概率與身高不超過(guò)170Cm的概率相等

【答案】AD

【解析】

1_()9544

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的定義和對(duì)稱性知AD正確，B錯(cuò)誤，再計(jì)算概率得到尸=———<0.03,C錯(cuò)

2

誤，得到答案.

【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：在N(4,O?2)中，〃為平均數(shù)，正確；

對(duì)選項(xiàng)B：方差為σ?2=16,錯(cuò)誤；

1-09544

對(duì)選項(xiàng)C：183=〃+2b,則身高超過(guò)183Cm的概率P=---<0.03,錯(cuò)誤；

2

對(duì)選項(xiàng)D：正態(tài)曲線關(guān)于直線X=175對(duì)稱，所以身高超過(guò)180cm的概率與身高不超過(guò)170cm的概率相等，

正確；

故選：AD

10.已知函數(shù)/(x)=e2'-2e'-12x,則下列說(shuō)法正確的是()

A.曲線y=∕(χ)在x=()處的切線與直線x+12y=0垂直

B./(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞增

C.CX)的極小值為3-31n3

D./a)在上的最小值為3-121n3

【答案】BC

【解析】

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求出了'(0),即可判斷A,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可判斷B、C、D.

【詳解】因?yàn)?(x)=e2?v-2e'-12x,所以/'(x)=2e2，-2eA-12=2(e-3)(e，+2),

所以(O)=—12,故A錯(cuò)誤；

令第x)>0,解得χ>ln3,所以/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(ln3,+8),

而(2,4W)=(In3,÷∞),所以/(X)在(2,+8)上單調(diào)遞增，故B正確;

當(dāng)x<In3時(shí)T(X)<o,所以/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8』n3),

所以/(x)的極小值為/(ln3)=3-121n3,故C正確;

/(χ)在［—2,1］上單調(diào)遞減，所以最小值為/(l)=e2-2e-12,故D錯(cuò)誤;

故選：BC

11.已知點(diǎn)尸(根,〃)是橢圓三+5=1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q(α,0)(α>0且α≠JJ),則最小時(shí)，機(jī)的值可

能是()

A.-1B.6C.aD.3a

【答案】BD

【解析】

2

2

【分析】由/二2--mf結(jié)合距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性得出加的可能值.

3

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)尸(列〃)在橢圓c(+/i上，所以Zl1+今=1卜乞〃2<6)72=2一劍2,

所以IPQ?-J(m-a)2+/=^(∕n-a)2+2-?∣m2=m2-2am+β2+2

=(fn-3a)2+2-2a2,若0<αW?^,當(dāng)機(jī)=3〃時(shí)，∣PQ∣最小，

若?！诞?dāng)，當(dāng)加=有時(shí)，∣PQ∣最小.

故選：BD.

12.已知函數(shù)/(力=$皿8+0)(3>0,|同<2],滿足/(X)=

(li'5^J上單調(diào)，則0的取值可能為()

A.1B.3C.5D.7

【答案】AB

【解析】

【分析】由小)=/(4一?,知函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線X=不對(duì)稱，結(jié)合/(If)=O可知需

(兀2兀1

是函數(shù)/(x)的零點(diǎn)，進(jìn)而得到折2〃+1,H∈Z,由/(x)在［?pgj上單調(diào)，可得?！?,進(jìn)而

<y=l,3,5,分類討論驗(yàn)證單調(diào)性即可判斷.

【詳解】由/(x)=∕f—xj,知函數(shù)/(χ)的圖象關(guān)于直線X=-1對(duì)稱,

又/(2)=0,即||是函數(shù)/(X)的零點(diǎn)，

..5ττTr/-.\1_.\12幾

則l---1----=(2n÷l)?—T=(2n+l)--------∕2∈Z,

1212v741)4①

即折2〃+1,〃eZ.

由/(x)在已引上單調(diào)，

12π2πππ

hlIj-≥--------------=—即G≤6,

、2「9186

所以69=1,3,5.

5兀57t

當(dāng)G=I時(shí)，由---?-φ—kτt,keZ,得(P=------Fku,ZeZ,

1212

π2π5π13π7π

又時(shí)＜],所以*=一^|,此時(shí)當(dāng)Xe時(shí)，X--∈

18,^9^^36^,^36

5ππ2π

所以/(x)=SinX---在-----上單調(diào)遞增，故O=I符合題意;

1218,^9^

當(dāng)0=3時(shí)，由型x3+°=E,keZ,得。=一2+左兀，keZ,

124

π2π兀π5π]

又冏＜?∣,所以8=-1,此時(shí)當(dāng)XG時(shí),3x—∈12,l2J,

i8,^9^4

所以〃x)=sin(3x—在后引上單調(diào)遞增，故?=3符合題意；

5兀25兀

當(dāng)69=5時(shí)，由—×5+69=kitj&GZ,得0=-------Fkit,k￡Z,

1212

II兀*I兀,,,r(兀2兀、IU兀(7兀37π

又憫＜5,所以Llr此時(shí)當(dāng)XGiJiWJ時(shí),5x-青島式

所以f(x)=sin--j,—J上不單調(diào)，故①=5不符合題意.

綜上所述，＜υ=l或3.

故選：AB.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若命題”Hxo∈R,α=∣Λ0∣+l”為真命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.(用區(qū)間表示)

【答案】［l,+∞)

【解析】

【分析】求出函數(shù)y=N+l的值域，結(jié)合存在量詞命題為是真命題作答.

【詳解】因?yàn)閃+1≥1,即函數(shù)y=∣1+l的值域?yàn)椋踠,+∞),

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為［1,?F8).

故答案為：［1,+8)

14.已知直線/：2x—y-2=0被圓。：爐+產(chǎn)一2χ+4y+"z=o截得的線段長(zhǎng)為半，則〃?=.

【答案】4

【解析】

【分析】首先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，再求出圓心到直線的距離，最后利用勾股

定理計(jì)算可得.

【詳解】圓C：x2+y2-2x+4y+m=0,即(x—+(y+2p=5—根圓心為C(I2),半徑

r=√5-∕n，

,∣2×l-(-2)-2∣2小

則圓心C到直線/：2x—y—2=O的距離d=「、,

√22+(-l)5

又直線被圓截得的線段長(zhǎng)為竽，所以2JT彳=竽，即2/加=不，

解得m=4.

故答案為：4

15.2023年9月第19屆亞運(yùn)會(huì)將在杭州舉辦，在杭州亞運(yùn)會(huì)三館(杭州奧體中心的體育館、游泳館和綜合

訓(xùn)練館)對(duì)外免費(fèi)開放預(yù)約期間將含甲、乙在內(nèi)的5位志愿者分配到這三館負(fù)責(zé)接待工作，每個(gè)場(chǎng)館至少分

配1位志愿者，且甲、乙分配到同一個(gè)場(chǎng)館，則甲分配到游泳館的概率為.

【答案】-

3

【解析】

【分析】利用計(jì)數(shù)原理和排列組合公式，分別計(jì)算甲、乙分配到同一個(gè)場(chǎng)館的方法數(shù)和甲分配到游泳館的方

法數(shù)，根據(jù)古典概型的計(jì)算公式計(jì)算.

【詳解】甲、乙分配到同一個(gè)場(chǎng)館有以下兩種情況：

(1)場(chǎng)館分組人數(shù)為1,1,3時(shí)，甲、乙必在3人組，則方法數(shù)為C；A；=18種；

(2)場(chǎng)館分組人數(shù)為2,2,1時(shí)，其中甲、乙在一組，則方法數(shù)為C；C；A；=18種,

即甲、乙分配到同一個(gè)場(chǎng)館的方法數(shù)為〃=18+18=36.

若甲分配到游泳館，則乙必然也在游泳館，此時(shí)的方法數(shù)為機(jī)=C；A；+C；A：=12,

m121

故所求的概率為「=一=一=一.

〃363

故答案為：-

3

16.在平面四邊形ABCO中，AD=CD=5ZADC=ZACB=90°,ZABC=Mo,現(xiàn)將AWC沿著

AC折起，得到三棱錐。—ABC,若二面角。―AC—B的平面角為135。，則三棱錐D—AJBC的外接球

表面積為.

【答案】10π

【解析】

【分析】先求出外接球的球心，根據(jù)幾何關(guān)系求出外接球的半徑即可.

如圖，取AC的中點(diǎn)E,AB的中點(diǎn)F，連接￡7、DE，

因?yàn)锳D=CZ),所以O(shè)ElAC,因?yàn)锽C1AC,EFHBC,所以EFIAC,

ZDEF=I35。；

過(guò)點(diǎn)E作。EL平面OAC,過(guò)點(diǎn)/作。E_L平面ABC,OECOF=O,

因?yàn)辄c(diǎn)E,E分別是AZMC和-ABC的外心，所以點(diǎn)。是三棱錐O—ABC的外接球的球心；

由AO=G,得AC="，BC=垃,AB=2y∣i,所以所=(^。=^，NOEF=45°,

OF=EF=也,AF=LA6=√Σ,

22

OA=>]θF2+AF2?J∣,

則三棱錐O—ABC的外接球的半徑R=e，所以外接球的表面積S=4πR2=iθπ；

故答案：10π.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,且2S,=3"-2九一1.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

23〃

⑵若勿=-：一，求數(shù)列也｝的前W項(xiàng)和Z,.

a∏+?a∣ι+2

n

【答案】（1）an=3-'-?;

（2）T"=2-3n+l-f

【解析】

【分析】（1）根據(jù)S“與可的關(guān)系即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）由（1）可得-----/一，結(jié)合裂項(xiàng)相消求和法即可求解.

”3,,-l3,,+l-l

小問(wèn)1詳解】

2S“=3"-2〃一1①，

當(dāng)n=1時(shí)，2S1=2α1=3-2-1=0,解得α∣=0.

當(dāng)時(shí)，2S,ι=3"τ-2〃+l②，

①-②，得24,,=3"-3"T-2=2?3"T一2,所以4=3"-1,

又4=0,符合上式，故/=3"-Jl.

【小問(wèn)2詳解】

由（1）知％=3"-∣T,則/+]=3"T%+2=3"M-l,

_2?3"_2?3"_1______1_

,-a,,,,+1n+1,

所以'n+Λ+2~（3-l）（3-l）^?！詌^3-l

則I,=4+%+.+btt

Illl11

------------卜---------卜+-------------

3'-l32-l32-l33-l3M-13n+'-l

111___1

^3'-l-3,,+l-l^2-3n+'-l'

18.數(shù)據(jù)顯示中國(guó)車載音樂(lè)已步入快速發(fā)展期，隨著車載音樂(lè)的商業(yè)化模式進(jìn)一步完善，市場(chǎng)將持續(xù)擴(kuò)

大，下表為2018—2022年中國(guó)車載音樂(lè)市場(chǎng)規(guī)模（單位：十億元），其中年份2018—2022對(duì)應(yīng)的代碼分別

為1—5.

年份代碼X12345

車載音樂(lè)市場(chǎng)規(guī)模V2.83.97.312.017.0

（1）由上表數(shù)據(jù)知，可用指數(shù)函數(shù)模型y=α?Z∕擬合y與X的關(guān)系，請(qǐng)建立y關(guān)于X的回歸方程（a,b

的值精確到0.1）；

（2）綜合考慮2023年及2024年的經(jīng)濟(jì)環(huán)境及疫情等因素，某預(yù)測(cè)公司根據(jù)上述數(shù)據(jù)求得V關(guān)于X的回歸

方程后，通過(guò)修正，把6-1.3作為2023年與2024年這兩年的年平均增長(zhǎng)率，請(qǐng)根據(jù)2022年中國(guó)車載音樂(lè)

市場(chǎng)規(guī)模及修正后的年平均增長(zhǎng)率預(yù)測(cè)2024年的中國(guó)車載音樂(lè)市場(chǎng)規(guī)模.

參考數(shù)據(jù):

5

Ve°040.472

/=1

1.9433.821.71.6

?5

其中匕=Iny?,"=匕.

?/=1

參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（%,匕）,（4，嗎），???，（〃〃，匕），其回歸直線6=2+加的斜率和截距的最小二乘

Xuivi-nu?v

法估計(jì)公式分別為6=上?-------,a=v-βu.

-YlU

/=I

【答案】（1）3=1.7x16

（2）28.73十億元

【解析】

【分析】（1）由y=α?b*,兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)得到Iny=Ina+xlnb,設(shè)U=Iny,

a=?na,β=?nb,利用最小二乘法求解；

（2）由（1）得到2023年與2024年這兩年的年平均增長(zhǎng)率1.6—1.3=0.3和2022年中國(guó)車載音樂(lè)市場(chǎng)規(guī)

模為17求解.

【小問(wèn)1詳解】

解：因?yàn)閥=α?Z∕,

所以兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)，得Iny=Ina+xlnθ,

設(shè)V=Iny,

所以U=Ina+xlnb,設(shè)α=Ina,尸=In6,

因?yàn)樵?3,訶=1.94,

5

EXM-5x?v

33.82-5x3x1.94

所以，=1=1_________=0.472,

555—5x32

/=I

er=V=1.94-0.472×3=0.524，

所以In4=0.524/n3=().472

所以G=e°?524=1.7,3=e°472=1.6

所以5=1.7x16

【小問(wèn)2詳解】

由⑴知2023年與2024年這兩年的年平均增長(zhǎng)率1.6-1.3=0.3,

2022年中國(guó)車載音樂(lè)市場(chǎng)規(guī)模為17,

故預(yù)測(cè)2024年的中國(guó)車載音樂(lè)市場(chǎng)規(guī)模17(1+0.3)2=28.73(十億元).

19.在①3"sinC=4A8?AC；②α(3sin8+4cosB)=4c,這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中,

并加以解答.

己知JIBC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為“，b，c,.

(1)求SinA的值；

(2)若ABC的面積為2,4=4,求.ABC的周長(zhǎng).

注：如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

4

【答案】(1)SinA=-

⑵4+4√2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)所選條件，利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)，可求SinA的值；

(2)由面積公式求得力c=5,再利用余弦定理求得b+C,可得C的周長(zhǎng).

【小問(wèn)1詳解】

若選①，由已知得SinC=4)CCoSA,所以3asinC=4ccos4,

由正弦定理得3sinAsinC=4sinCcosA,

又C∈((),兀)，所以SinC>(),所以3sinA=4cosA,又sin2A+cos?A=1，

由A∈(0,7t),sinA>O,解得SinA=W?

若選②，由已知及正弦定理得3sinASinB+4SinAcosB=4SinC,

所以3sinAsinB+4sinAcosB=4sin(A+B),

所以3sinAsinB+4sinAcosB=4sinAcosB÷4cosAsinB,

所以3sinAsinB-4cosAsinB，

又6∈(0,7Γ),所以sin8>0,所以3sinA=4cosA,又sin?A+cos2A=I，

由A∈(0,兀)，sinA>O,解得SinA=

【小問(wèn)2詳解】

12

由一ABe的面積為2,得一次?$由4=一力。=2,所以bc=5,

25

由(1)可得COSA=Jl-sin?A=3,

所以。2+C?=22，所以b+c=Jb2+2bc+*=4&，

所以的周長(zhǎng)為Q+/?+C=4+4^2-

20.如圖，在多面體ABCE產(chǎn)中，AEJ_平面A3C,AE//BF.。為AB的中點(diǎn)?AC=3C=2√Σ，

AB=BF=4AE=4.

(1)證明：DE人平面CDF：

(2)求二面角E—b—￡＞的平面角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵幽

5

【解析】

【分析】（1）證明一條直線垂直于一個(gè)平面只要證明該直線垂直于平面內(nèi)兩條相交的直線即可；

（2）建立空間坐標(biāo)系，運(yùn)用數(shù)量積求解.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)锳C=8C,。為AB的中點(diǎn)，所以CD"LA8,

又AEL平面A8C,CZ）U平面A5C,所以AELCO,

又AECAB=A，AE,ABU平面ABEE，所以CD_L平面ABEE,

又DEU平面A班E，所以COLDE,

在RrAED中，AE=1,AD=2,.-.ED=>∕5，在RZBDF中，

BD=2,BF=4,:.FD=√20=2^^，

在直角梯形43￡F中，運(yùn)用勾股定理可得所2=（B∕7一AEy+A82=9+16=25,.?.Eb=5,

所以DE?+DF?=EF?,所以DElDF，

又CDCDF=D,CD,DFU平面CDF,

所以JDEl平面COF；

【小問(wèn)2詳解】

由題知CD=JBC2-BD?=2,過(guò)。作DW//AE交EF于M,

則DWl平面ABC,可得OWl/W,DMlCD,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量08，DC，OM的方向分別為X，V，Z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系，

則C(0,2,0),E(-2,0,l),F(2,0,4).所以CE=(—2,—2,1),CF=(2,-2,4)，

設(shè)平面CEF的一個(gè)法向量為m=(x,j,Z),

[m-CE-Of-2x-2y+z=0

由《得《',

Im-CF=O[2x-2y+4z=Q

取》=—3,則y=5,z=4,所以加=(-3,5,4).

由(1)知平面CD/的一個(gè)法向量為OE=(—2,0,1),

設(shè)二面角E-C尸一。的平面角為。，易知。為銳角，

/、m-DE∣-3×(-2)+5×0+4×l∣√io

則cosθ=cos(m,DE)=-∏----=/∣,——/,=----；

'/〃加E√(-3)2+52+42×√(-2)2+O2+125

綜上，二面角E-Cr-。的平面角的余弦值為強(qiáng).

5

21.已知拋物線。：丁=2內(nèi)(〃>0)的焦點(diǎn)為尸，AB分別為C上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)

QAB為等邊三角形時(shí)，∣A8∣=86.

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)拋物線C在第一象限的部分是否存在點(diǎn)尸，使得點(diǎn)尸滿足PA+PB=4P/，且點(diǎn)尸到直線AB的距

離為2?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及直線AB的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)V=4χ

(2)存在，點(diǎn)直線AB的方程為3x+√7y+l=O.

【解析】

【分析】(1)由對(duì)稱性可知當(dāng).OAB為等邊三角形時(shí)，AB兩點(diǎn)關(guān)于X軸對(duì)稱，可得點(diǎn)(12,4。)在C

上，代入y2=2pχ,解得P,即得C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線AB的方程為x=0+m,與拋物線聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理和條件P4+pg=4"，得

3k2+m=2,由點(diǎn)P到直線AB的距離為2,可得加2一2根=公，聯(lián)立可解得答案.

【小問(wèn)1詳解】

由對(duì)稱性可知當(dāng)。鉆為等邊三角形時(shí)，AB兩點(diǎn)關(guān)于X軸對(duì)稱，

當(dāng)AOA6為等邊三角形時(shí)，OAB的高為等IAM=I2，

由題意知點(diǎn)(12,46)在C上，代入y2=2px,得(46『=24〃，解得〃=2,

所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為V=4x.

【小問(wèn)2詳解】

由(1)知F(LO),根據(jù)題意可知直線AB的斜率不為0,

設(shè)直線AB的方程為x=V+/z,A(xl,>j),B(x2,γ2),P(XO,九)，

x=ky+mC

聯(lián)立《2，Wy^-4ky-4m=0,

y=4x

所以A=16A：2+16m>0，即無(wú)2+m>0，且>|+%=43yly2=-4m,

2

所以x∣+x2=Myl+y2)+2m=4k+2m,

由PA+P8=4PE,得(X—%,y一%)+(w-而，%—%)=4(ι-%,一%)，

%+X-4=-2Xx=2-m-2k2即p(2_〃L2公「2町,

所以V12CC0,所以〈0

X+必=一2%?-2Z?

又點(diǎn)P在C上，所以4公=4(2—加—2女2),即3公+加=2,①

所以公+m=&2+2-3公=2(1一42)〉0,解得一ι<%<］,

又點(diǎn)P在第一象限，所以一2左>0,所以一1<攵<0.

2—ZTZ—2k~÷2,k~-z∕z∣2∣∕77—1|

又點(diǎn)P到直線AB的距離d2,化簡(jiǎn)得加一2加=后2,②

√l+?2l+k2

11

m=——m=——

「,或.3