平面向量章末測試題及平面向量易錯題解析

第1頁共1頁章末綜合測評(二)平面向量(時間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1.已知點A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，則向量＝()A.(－7，－4) B.(7,4)C.(－1,4) D.(1,4)【解析】法一：設(shè)C(x，y)，則＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝－2，))從而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4).故選A.法二：＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4).故選A.【答案】A2.設(shè)a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb.若b⊥c，則實數(shù)k的值等于()【導(dǎo)學(xué)號：82152126】A.－eq\f(3,2) B.－eq\f(5,3)C.eq\f(5,3) D.eq\f(3,2)【解析】c＝a＋kb＝(1＋k,2＋k)，又b⊥c，所以1×(1＋k)＋1×(2＋k)＝0，解得k＝－eq\f(3,2).【答案】A3.已知菱形ABCD的邊長為a，∠ABC＝60°，則·＝()A.－eq\f(3,2)a2 B.－eq\f(3,4)a2C.eq\f(3,4)a2 D.eq\f(3,2)a2【解析】由已知條件得·＝·＝eq\r(3)a·acos30°＝eq\f(3,2)a2，故選D.【答案】D4.對任意向量a，b，下列關(guān)系式中不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a－b|≤||a|－|b||C.(a＋b)2＝|a＋b|2D.(a＋b)·(a－b)＝a2－b2【解析】根據(jù)a·b＝|a||b|cosθ，又cosθ≤1，知|a·b|≤|a||b|，A恒成立.當(dāng)向量a和b方向不相同時，|a－b|>||a|－|b||，B不恒成立.根據(jù)|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝(a＋b)2，C恒成立.根據(jù)向量的運(yùn)算性質(zhì)得(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，D恒成立.【答案】B5.已知非零向量a，b滿足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，則a與b的夾角為()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,2)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)【解析】∵a⊥(2a＋b)，∴a·(2a＋b)＝0，∴2|a|2＋a·b＝0，即2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0.∵|b|＝4|a|，∴2|a|2＋4|a|2cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝－eq\f(1,2)，∴〈a，b〉＝eq\f(2,3)π.【答案】C6.△ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量a，b滿足＝2a，＝2a＋b，則下列結(jié)論正確的是()【導(dǎo)學(xué)號：82152127】A.|b|＝1 B.a⊥bC.a·b＝1 D.(4a＋b)⊥【解析】在△ABC中，由＝－＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2.又|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos120°＝－1，所以(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥，故選D.【答案】D7.已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝eq\r(50)，則|b|＝()A.0 B.2C.5 D.25【解析】因為a＝(2,1)，則有|a|＝eq\r(5)，又a·b＝10，又由|a＋b|＝eq\r(50)，∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝50，即5＋2×10＋|b|2＝50，所以|b|＝5.【答案】C8.已知AD，BE分別為△ABC的邊BC，AC上的中線，設(shè)＝a，＝b，則等于()圖1A.eq\f(4,3)a＋eq\f(2,3)bB.eq\f(2,3)a＋eq\f(4,3)bC.eq\f(2,3)a－eq\f(4,3)bD.－eq\f(2,3)a＋eq\f(4,3)b【解析】＝2＝2＝eq\f(4,3)＋eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)a＋eq\f(4,3)b.【答案】B9.設(shè)非零向量a，b，c滿足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，則向量a，b的夾角為()A.150° B.120°C.60° D.30°【解析】設(shè)向量a，b夾角為θ，|c|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cosθ，則cosθ＝－eq\f(1,2)，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.故選B.【答案】B10.在矩形ABCD中，AB＝eq\r(3)，BC＝1，E是CD上一點，且·＝1，則·的值為()A.3 B.2C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(3),3)【解析】設(shè)與的夾角為θ，則與的夾角為eq\f(π,2)－θ，又∥，故有與夾角為eq\f(π,2)－θ，如圖：∵·＝||·||·cosθ＝eq\r(3)||·cosθ＝1，∴|A|·cosθ＝eq\f(\r(3),3)，∴·＝||coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＝||sinθ＝1，∴·＝·(＋)＝·＋·＝1＋1＝2.【答案】B11.已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x軸上有一點P，使·有最小值，則P點坐標(biāo)為()A.(－3,0) B.(3,0)C.(2,0) D.(4,0)【解析】設(shè)P(x,0)，則有·＝(x－2,0－2)·(x－4,0－1)＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，當(dāng)x＝3時，·取最小值1，此時P點坐標(biāo)為(3,0).【答案】B12.設(shè)0≤θ＜2π，已知兩個向量＝(cosθ，sinθ)，＝(2＋sinθ，2－cosθ)，則向量長度的最大值是()【導(dǎo)學(xué)號：82152128】A.eq\r(2) B.eq\r(3)C.3eq\r(2) D.2eq\r(3)【解析】∵＝－＝(2＋sinθ－cosθ，2－cosθ－sinθ)，∴||＝eq\r((2＋sinθ－cosθ)2＋(2－cosθ－sinθ)2)＝eq\r(10－8cosθ)≤3eq\r(2).【答案】C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.請把正確答案填在題中橫線上)13.已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，則m＝________.【導(dǎo)學(xué)號：82152129】【解析】∵a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，∴a＋b＝(1，m－1).∵(a＋b)∥c，c＝(－1,2)，∴2－(－1)·(m－1)＝0.∴m＝－1.【答案】－114.已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為________.【解析】∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋n＝9，,m－2n＝－8，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝5，))∴m－n＝2－5＝－3.【答案】－315.已知向量O⊥A，|O|＝3，則O·O＝________.【解析】因為⊥，所以·＝·(－)＝·－＝0，所以·＝＝||2＝9，即·＝9.【答案】916.在△ABC中，點M，N滿足＝2，＝.若＝x＋y，則x＝________；y＝________.【解析】∵＝2，∴＝eq\f(2,3).∵＝，∴＝eq\f(1,2)(＋)，∴＝－＝eq\f(1,2)(＋)－eq\f(2,3)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,6).又＝x＋y，∴x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,6).【答案】eq\f(1,2)－eq\f(1,6)三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)不共線向量a，b的夾角為小于120°的角，且|a|＝1，|b|＝2，已知向量c＝a＋2b，求|c|的取值范圍.【導(dǎo)學(xué)號：82152130】【解】|c|2＝|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝17＋8cosθ(其中θ為a與b的夾角).因為0°<θ<120°，所以－eq\f(1,2)<cosθ<1，所以eq\r(13)<|c|<5，所以|c|的取值范圍為(eq\r(13)，5).18.(本小題滿分12分)設(shè)＝(2，－1)，＝(3,0)，＝(m,3).(1)當(dāng)m＝8時，將用和表示；(2)若A，B，C三點能構(gòu)成三角形，求實數(shù)m應(yīng)滿足的條件.【解】(1)當(dāng)m＝8時，＝(8,3)，設(shè)＝λ1＋λ2，∴(8,3)＝λ1(2，－1)＋λ2(3,0)＝(2λ1＋3λ2，－λ1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ1＋3λ2＝8，,－λ1＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＝－3，,λ2＝\f(14,3)，))∴＝－3＋eq\f(14,3).(2)若A，B，C三點能構(gòu)成三角形，則有與不共線，又＝－＝(3,0)－(2，－1)＝(1,1)，＝－＝(m,3)－(2，－1)＝(m－2,4)，則有1×4－(m－2)×1≠0，∴m≠6.19.(本小題滿分12分)設(shè)i，j是平面直角坐標(biāo)系中x軸和y軸正方向上的單位向量，＝4i－2j，＝7i＋4j，＝3i＋6j，求四邊形ABCD的面積.【導(dǎo)學(xué)號：82152131】【解】因為·＝(4i－2j)·(3i＋6j)＝3×4－2×6＝0，所以⊥，又因為＝7i＋4j＝4i－2j＋3i＋6j＝＋，所以四邊形ABCD為平行四邊形，又⊥，所以四邊形ABCD為矩形.所以S四邊形ABCD＝||×||＝eq\r(16＋4)×eq\r(9＋36)＝30.20.(本小題滿分12分)設(shè)e1，e2是正交單位向量，如果＝2e1＋me2，＝ne1－e2，＝5e1－e2，若A，B，C三點在一條直線上，且m＝2n，求m，n的值.【解】以O(shè)為原點，e1，e2的方向分別為x，y軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，則＝(2，m)，＝(n，－1)，＝(5，－1)，所以＝(3，－1－m)，＝(5－n,0)，又因為A，B，C三點在一條直線上，所以∥，所以3×0－(－1－m)·(5－n)＝0，與m＝2n構(gòu)成方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mn－5m＋n－5＝0，,,m＝2n，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝10，,n＝5.))21.(本小題滿分12分)已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0＜β＜α＜π.(1)若|a－b|＝eq\r(2)，求證：a⊥b；(2)設(shè)c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值.【解】(1)證明：由題意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.又因為a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b.(2)因為a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0,1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα＋cosβ＝0，①,sinα＋sinβ＝1，②))由①得，cosα＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sinα＋sinβ＝1，得sinα＝sinβ＝eq\f(1,2)，而α＞β，所以α＝eq\f(5π,6)，β＝eq\f(π,6).22.(本小題滿分12分)已知向量a，b滿足|a|＝|b|＝1，|ka＋b|＝eq\r(3)|a－kb|(k>0，k∈R).(1)求a·b關(guān)于k的解析式f(k)；(2)若a∥b，求實數(shù)k的值；(3)求向量a與b夾角的最大值.【解】(1)由已知|ka＋b|＝eq\r(3)|a－kb|，有|ka＋b|2＝(eq\r(3)|a－kb|)2，k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2.由|a|＝|b|＝1，得8ka·b＝2k2＋2，所以a·b＝eq\f(k2＋1,4k)，即f(k)＝eq\f(k2＋1,4k)(k>0).(2)因為a∥b，k>0，所以a·b＝eq\f(k2＋1,4k)>0，則a與b同向.因為|a|＝|b|＝1，所以a·b＝1，即eq\f(k2＋1,4k)＝1，整理得k2－4k＋1＝0，所以k＝2±eq\r(3)，所以當(dāng)k＝2±eq\r(3)時，a∥b.(3)設(shè)a，b的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝a·b＝eq\f(k2＋1,4k)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋\f(1,k)))＝eq\f(1,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(k)－\f(1,\r(k))))\s\up7(2)＋2)).當(dāng)eq\r(k)＝eq\f(1,\r(k))，即k＝1時，cosθ取最小值eq\f(1,2)，又0≤θ≤π，所以θ＝eq\f(π,3)，即向量a與b夾角的最大值為eq\f(π,3).平面向量易錯題解析1.你熟悉平面向量的運(yùn)算（和、差、實數(shù)與向量的積、數(shù)量積）、運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算的幾何意義嗎？2.你通常是如何處理有關(guān)向量的模（長度）的問題？（利用；）3.你知道解決向量問題有哪兩種途徑？（①向量運(yùn)算；②向量的坐標(biāo)運(yùn)算）4.你弄清“”與“”了嗎？[問題]：兩個向量的數(shù)量積與兩個實數(shù)的乘積有什么區(qū)別？在實數(shù)中：若，且ab=0,則b=0,但在向量的數(shù)量積中，若，且，不能推出.已知實數(shù)，且，則a=c,但在向量的數(shù)量積中沒有.在實數(shù)中有，但是在向量的數(shù)量積中，這是因為左邊是與共線的向量，而右邊是與共線的向量.5.正弦定理、余弦定理及三角形面積公式你掌握了嗎？三角形內(nèi)的求值、化簡和證明恒等式有什么特點？1.向量有關(guān)概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）。如已知A（1,2），B（4,2），則把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））（2）零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意的；（3）單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量(與共線的單位向量是)；（4）相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；（5）平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：∥，規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；②兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線,但兩條直線平行不包含兩條直線重合；③平行向量無傳遞性?。ㄒ驗橛?；④三點共線共線；（6）相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。如下列命題：（1）若，則。（2）兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同。（3）若，則是平行四邊形。（4）若是平行四邊形，則。（5）若，則。（6）若，則。其中正確的是_______（答：（4）（5））2.向量的表示方法：（1）幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點在前，終點在后；（2）符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示，如，，等；（3）坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與軸、軸方向相同的兩個單位向量，為基底，則平面內(nèi)的任一向量可表示為，稱為向量的坐標(biāo)，＝叫做向量的坐標(biāo)表示。如果向量的起點在原點，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點坐標(biāo)相同。3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)、，使e1＋e2。如（1）若，則______（答：）；（2）下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是A.B.C.D.（答：B）；（3）已知分別是的邊上的中線,且,則可用向量表示為_____（答：）；（4）已知中，點在邊上，且，，則的值是___（答：0）4.實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度和方向規(guī)定如下：當(dāng)>0時，的方向與的方向相同，當(dāng)<0時，的方向與的方向相反，當(dāng)＝0時，，注意：≠0。5.平面向量的數(shù)量積：（1）兩個向量的夾角：對于非零向量，，作，稱為向量，的夾角，當(dāng)＝0時，，同向，當(dāng)＝時，，反向，當(dāng)＝時，，垂直。（2）平面向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量，，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積或點積），記作：，即＝。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量。如（1）△ABC中，，，，則_________（答：－9）；（2）已知，與的夾角為，則等于____（答：1）；（3）已知，則等于____（答：）；（4）已知是兩個非零向量，且，則的夾角為____（答：）（3）在上的投影為，它是一個實數(shù)，但不一定大于0。如已知，，且，則向量在向量上的投影為______（答：）（4）的幾何意義：數(shù)量積等于的模與在上的投影的積。（5）向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個非零向量，，其夾角為，則：①；②當(dāng)，同向時，＝，特別地，；當(dāng)與反向時，＝－；當(dāng)為銳角時，＞0，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；當(dāng)為鈍角時，＜0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件；③非零向量，夾角的計算公式：；④。如（1）已知，，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是______（答：或且）；（2）已知的面積為，且，若，則夾角的取值范圍是_________（答：）；（3）已知與之間有關(guān)系式，①用表示；②求的最小值，并求此時與的夾角的大?。ù穑孩?；②最小值為，）6.向量的運(yùn)算：（1）幾何運(yùn)算：①向量加法：利用“平行四邊形法則”進(jìn)行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè)，那么向量叫做與的和，即；②向量的減法：用“三角形法則”：設(shè)，由減向量的終點指向被減向量的終點。注意：此處減向量與被減向量的起點相同。如（1）化簡：①___；②____；③_____（答：①；②；③）；（2）若正方形的邊長為1，，則＝_____（答：）；（3）若O是所在平面內(nèi)一點，且滿足，則的形狀為____（答：直角三角形）；（4）若為的邊的中點，所在平面內(nèi)有一點，滿足，設(shè)，則的值為___（答：2）；（5）若點是的外心，且，則的內(nèi)角為____（答：）；（2）坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則：①向量的加減法運(yùn)算：，。如（1）已知點，，若，則當(dāng)＝____時，點P在第一、三象限的角平分線上（答：）；（2）已知，，則（答：或）；（3）已知作用在點的三個力，則合力的終點坐標(biāo)是（答：（9,1））②實數(shù)與向量的積：。③若，則，即一個向量的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)。如設(shè)，且，，則C、D的坐標(biāo)分別是__________（答：）；④平面向量數(shù)量積：。如已知向量＝（sinx，cosx）,＝（sinx，sinx）,＝（－1，0）。（1）若x＝，求向量、的夾角；（2）若x∈，函數(shù)的最大值為，求的值（答：或）；⑤向量的模：。如已知均為單位向量，它們的夾角為，那么＝_____（答：）；⑥兩點間的距離：若，則。如如圖，在平面斜坐標(biāo)系中，，平面上任一點P關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的：若，其中分別為與x軸、y軸同方向的單位向量，則P點斜坐標(biāo)為。（1）若點P的斜坐標(biāo)為（2，－2），求P到O的距離｜PO｜；（2）求以O(shè)為圓心，1為半徑的圓在斜坐標(biāo)系中的方程。（答：（1）2；（2））；7.向量的運(yùn)算律：（1）交換律：，，；(2)結(jié)合律：，；（3）分配律：，。如下列命題中：①；②；③；④若，則或；⑤若則；⑥；⑦；⑧；⑨。其中正確的是______（答：①⑥⑨）提醒：（1）向量運(yùn)算和實數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量，切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即，為什么？8.向量平行(共線)的充要條件：＝0。如(1)若向量，當(dāng)＝_____時與共線且方向相同（答：2）；（2）已知，，，且，則x＝______（答：4）；（3）設(shè)，則k＝_____時，A,B,C共線（答：－2或11）9.向量垂直的充要條件：.特別地。如(1)已知，若，則（答：）；（2）以原點O和A(4,2)為兩個頂點作等腰直角三角形OAB，，則點B的坐標(biāo)是________（答：(1,3)或（3，－1））；（3）已知向量，且，則的坐標(biāo)是________（答：）10.線段的定比分點：（教材未有內(nèi)容，適度補(bǔ)充）（1）定比分點的概念：設(shè)點P是直線PP上異于P、P的任意一點，若存在一個實數(shù)，使，則叫做點P分有向線段所成的比，P點叫做有向線段的以定比為的定比分點；（2）的符號與分點P的位置之間的關(guān)系：當(dāng)P點在線段PP上時>0；當(dāng)P點在線段PP的延長線上時<－1；當(dāng)P點在線段PP的延長線上時；若點P分有向線段所成的比為，則點P分有向線段所成的比為。如若點分所成的比為，則分所成的比為_______（答：）（3）線段的定比分點公式：設(shè)、，分有向線段所成的比為，則，特別地，當(dāng)＝1時，就得到線段PP的中點公式。在使用定比分點的坐標(biāo)公式時，應(yīng)明確，、的意義，即分別為分點，起點，終點的坐標(biāo)。在具體計算時應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件，靈活地確定起點，分點和終點，并根據(jù)這些點確定對應(yīng)的定比。如（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且，則點P的坐標(biāo)為_______（答：）；（2）已知，直線與線段交于，且，則等于_______（答：２或－４）11.向量中一些常用的結(jié)論：（1）一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用；（2），特別地，當(dāng)同向或有；當(dāng)反向或有；當(dāng)不共線(這些和實數(shù)比較類似).（3）在中，①若，則其重心的坐標(biāo)為。如若⊿ABC的三邊的中點分別為（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），則⊿ABC的重心的坐標(biāo)為_______（答：）；②為的重心，特別地為的重心；③為的垂心；④向量所在直線過的內(nèi)心(是的角平分線所在直線)；⑤的內(nèi)心；（3）若P分有向線段所成的比為，點為平面內(nèi)的任一點，則，特別地為的中點；（4）向量中三終點共線存在實數(shù)使得且.如平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，已知兩點,,若點滿足,其中且,則點的軌跡是_______（答：直線AB）例題1已知向量,且求(1)及;(2)若的最小值是,求實數(shù)的值.錯誤分析:(1)求出=后,而不知進(jìn)一步化為,人為增加難度;(2)化為關(guān)于的二次函數(shù)在的最值問題,不知對對稱軸方程討論.答案:(1)易求,=;(2)===從而:當(dāng)時,與題意矛盾,不合題意;當(dāng)時,;當(dāng)時,解得,不滿足;綜合可得:實數(shù)的值為.例題2在中,已知,且的一個內(nèi)角為直角,求實數(shù)的值.錯誤分析:是自以為是,憑直覺認(rèn)為某個角度是直角,而忽視對諸情況的討論.答案:(1)若即故,從而解得;(2)若即,也就是,而故,解得;(3)若即,也就是而,故,解得綜合上面討論可知,或或例題4已知向量m=(1,1)，向量與向量夾角為，且·=-1，(1)求向量；(2)若向量與向量=(1,0)的夾角為，向量=(cosA,2cos2)，其中A、C為ABC的內(nèi)角，且A、B、C依次成等差數(shù)列，試求+的取值范圍。解：(1)設(shè)=(x,y) 則由<,>=得：cos<,>==① 由·=-1得x+y=-1②聯(lián)立①②兩式得或 ∴=(0,-1)或(-1,0)(2)∵<,>=得·=0若=(1,0)則·=-10故(-1,0)∴=(0,-1) ∵2B=A+C，A+B+C=B=∴C= +=(cosA,2cos2)=(cosA,cosC) ∴+===== ==∵0<A<∴0<2A<∴-1<cos(2A+)<∴+()例題5已知函數(shù)f(x)=mx-1(mR且m0)設(shè)向量)，，，，當(dāng)(0，)時，比較f()與f()的大小。解：=2+cos2，=2sin2+1=2-cos2f()=m1+cos2=2mcos2， f()=m1-cos2=2msin2于是有f()-f()=2m(cos2-sin2)=2mcos2 ∵(0,)∴2(0,)∴cos2>0 ∴當(dāng)m>0時，2mcos2>0，即f()>f() 當(dāng)m<0時，2mcos2<0，即f()<f()例題6已知A、B、C為ABC的內(nèi)角，且f(A、B)=sin22A+cos22B-sin2A-cos2B+2(1)當(dāng)f(A、B)取最小值時，求C(2)當(dāng)A+B=時，將函數(shù)f(A、B)按向量平移后得到函數(shù)f(A)=2cos2A求解：(1)f(A、B)=(sin22A-sin2A+)+(cos22B-cos2B+)+1=(sin2A-)2+(sin2B-)2+1當(dāng)sin2A=,sin2B=時取得最小值， ∴A=30或60，2B=60或120C=180-B-A=120或(2)f(A、B)=sin22A+cos22()-== =例題7已知向量（m為常數(shù)），且,不共線，若向量,的夾角落<,>為銳角，求實數(shù)x的取值范圍. 解：要滿足<>為銳角只須>0且（） === 即 x(mx-1)>0 1°當(dāng)m>0時x<0或 2°m<0時，x(-mx+1)<0， 3°m=0時 只要x<0 綜上所述：x>0時， x=0時， x<0時，例題8已知a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ），a與b之間有關(guān)系|ka+b|=|a－kb|，其中k>0，（1）用k表示a·b;（2）求a·b的最小值，并求此時a·b的夾角的大小。解（1）要求用k表示a·b,而已知|ka+b|=|a－kb|，故采用兩邊平方，得|ka+b|2=(|a－kb|)2k2a2+b2+2ka·b=3(a2+k2b2－2ka·b)∴8k·a·b=(3－k2)a2+(3k2－1)ba·b=∵a=(cosα，sinα),b=(cosβ,sinβ)，∴a2=1,b2=1,∴a·b==（2）∵k2+1≥2k，即≥=，∴a·b的最小值為，又∵a·b=|a|·|b|·cos，|a|=|b|=1∴=1×1×cos?！?60°,此時a與b的夾角為60°。錯誤原因：向量運(yùn)算不夠熟練。實際上與代數(shù)運(yùn)算相同，有時可以在含有向量的式子左右兩邊平方，且有|a+b|2=|(a+b)2|=a2+b2+2a·b或|a|2+|b|2+2a·例題9已知向量，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，且，求的值．解（Ⅰ）,.,,即..（Ⅱ），，.例題10已知O為坐標(biāo)原點，點E、F的坐標(biāo)分別為（-1，0）、（1，0），動點A、M、N滿足（），，，．（Ⅰ）求點M的軌跡W的方程；（Ⅱ）點在軌跡W上，直線PF交軌跡W于點Q，且，若，求實數(shù)的范圍．解：（Ⅰ）∵，，∴MN垂直平分AF．又，∴點M在AE上，∴，，∴，∴點M的軌跡W是以E、F為焦點的橢圓，且半長軸，半焦距，∴．∴點M的軌跡W的方程為（）．（Ⅱ）設(shè)∵，，∴∴由點P、Q均在橢圓W上，∴消去并整理，得，由及，解得．基礎(chǔ)練習(xí)題1.設(shè)平面向量=(－2，1)，=(λ，－1)，若與的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是（）A、B、C、D、答案：A點評：易誤選C，錯因：忽視與反向的情況。2.O是平面上一定點,A,B,C是平面上不共線的三個點,動點P滿足,則P的軌跡一定通過△ABC的()(A)外心(B)內(nèi)心(C)重心(D)垂心正確答案：B。錯誤原因：對理解不夠。不清楚與∠BAC的角平分線有關(guān)。3.若向量=(cos,sin)，=，與不共線，則與一定滿足（） A．與的夾角等于- B．∥C．(+)(-) D．⊥正確答案：C錯因：學(xué)生不能把、的終點看成是上單位圓上的點，用四邊形法則來處理問題。4.已知O、A、B三點的坐標(biāo)分別為O(0,0)，A(3，0)，B(0，3)，是P線段AB上且=t(0≤t≤1)則·的最大值為 （ ） A．3 B．6 C．9 D．12正確答案：C錯因：學(xué)生不能借助數(shù)形結(jié)合直觀得到當(dāng)OPcos最大時，·即為最大。5.在中,,則的值為()A20BCD錯誤分析:錯誤認(rèn)為,從而出錯.答案:B略解:由題意可知,故=.6.已知向量=(2cos，2sin)，()，=（0,-1)，則與的夾角為() A．- B．+ C．- D．正確答案：A錯因：學(xué)生忽略考慮與夾角的取值范圍在[0，]。7.如果，那么（） A．B．C．D．在方向上的投影相等正確答案：D。錯誤原因：對向量數(shù)量積的性質(zhì)理解不夠。8.已知向量則向量的夾角范圍是（）A、[π/12，5π/12]B、[0，π/4]C、[π/4，5π/12]D、[5π/12，π/2]正確答案：A錯因：不注意數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用。9.設(shè)=(x1，y1)，=(x2，y2)，則下列與共線的充要條件的有（）A、1個B、2個C、3個D、4個答案：C點評：①②④正確，易錯選D。10.以原點O及點A（5，2）為頂點作等腰直角三角形OAB，使，則的坐標(biāo)為（）。A、（2，-5）B、（-2，5）或（2，-5）C、（-2，5）D、（7，-3）或（3，7）正解：B設(shè)，則由①而又由得②由①②聯(lián)立得。誤解：公式記憶不清，或未考慮到聯(lián)立方程組解。11.設(shè)向量，則是的（）條件。A、充要B、必要不充分C、充分不必要D、既不充分也不必要正解：C若則，若，有可能或為0，故選C。誤解：，此式是否成立，未考慮，選A。12.在OAB中，，若，則=（）A、B、C