應(yīng)用回歸分析（R語言版）（第2版） 課件 第9章 非線性回歸

第9章非線性回歸2024/3/519.1可化為線性回歸的曲線回歸9.2多項式回歸9.3非線性模型中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.1可化為線性回歸的曲線回歸2024/3/52中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心(b已知)（9.1）

曲線回歸模型只須令

即可化為y對

是線性的形式

需要指出的是，新引進(jìn)的自變量只能依賴于原始變量，而不能與未知參數(shù)有關(guān)。2024/3/53中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.1可化為線性回歸的曲線回歸令，于是得到y(tǒng)關(guān)于的線性表達(dá)式

(9.2)式本來只有一個自變量x，是一元p次多項式回歸，在線性化后，變?yōu)閜元線性回歸。線性回歸的“線性”是針對未知參數(shù)而言的。對于回歸解釋變量的線性是非本質(zhì)的，因為解釋變量是非線性時，總可以通過變量的替換把它轉(zhuǎn)化成線性的。2024/3/54中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.1可化為線性回歸的曲線回歸對等式兩邊同時取自然對數(shù)，得：令于是得到關(guān)于x的一元線性回歸模型2024/3/55中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心不可線性化的曲線回歸模型,如不能通過對等式兩邊同時取自然對數(shù)的方法將回歸模型線性化，只能用非線性最小二乘方法求解。(9.3)式的誤差項稱為乘性誤差項。

(9.4)式的誤差項稱為加性誤差項。一個非線性回歸模型是否可以線性化，不僅與回歸函數(shù)的形式有關(guān)，而且與誤差項的形式有關(guān)。

9.1可化為線性回歸的曲線回歸2024/3/56中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.1可化為線性回歸的曲線回歸

在對非線性回歸模型線性化時，總是假定誤差項的形式就是能夠使回歸模型線性化的形式，為了方便，常常省去誤差項，僅寫出回歸函數(shù)的形式。例如把回歸模型（9.3）式簡寫為。(9.3)式與(9.4)式的回歸參數(shù)的估計值是有差異的。對誤差項的形式，首先應(yīng)該由數(shù)據(jù)的經(jīng)濟(jì)意義來確定，然后由回歸擬合效果做檢驗。過去，由于沒有非線性回歸軟件，人們總是希望非線性回歸模型可以線性化，因而誤差項的形式就假定為可以把模型線性化的形式?，F(xiàn)在利用計算機(jī)軟件可以容易的解決非線性回歸問題，因而對誤差項形式應(yīng)該做正確的選擇。2024/3/5710種常見的可線性化的曲線回歸方程中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.1可化為線性回歸的曲線回歸2024/3/58除了上述10種常用的曲線外，還有幾種常用的曲線如下。1.雙曲函數(shù)

或等價地表示為

中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.1可化為線性回歸的曲線回歸2024/3/59(a>0,b>0)中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.1可化為線性回歸的曲線回歸2024/3/5102.S型曲線II

此S型曲線II當(dāng)a>0，b>0時，是x的增函數(shù)。當(dāng)x→+∞時，y→1/a

；x→-∞時，y→0。

y=0與y=1/a是這條曲線的兩條漸進(jìn)線。

S型曲線有多種，其共同特點是曲線首先是緩慢增長，在達(dá)到某點后迅速增長，在超過某點后又變?yōu)榫徛鲩L，并且趨于一個穩(wěn)定值。

S型曲線在社會經(jīng)濟(jì)等很多領(lǐng)域都有應(yīng)用，例如某種產(chǎn)品的銷售量與時間的關(guān)系，樹木、農(nóng)作物的生長與時間的關(guān)系等。中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.1可化為線性回歸的曲線回歸2024/3/511中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.1可化為線性回歸的曲線回歸例9-1

對國內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)的擬合。我們選取GDP指標(biāo)為因變量，單位為億元，擬合GDP關(guān)于時間t的趨勢曲線。以1991年為基準(zhǔn)年，取值為t=1，2013年t=23，1991—2013年的數(shù)據(jù)如表9-2所示:2024/3/512中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.1可化為線性回歸的曲線回歸9.1可化為線性回歸的曲線回歸2024/3/513中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心2024/3/514中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.1可化為線性回歸的曲線回歸從散點圖中看到，GDP隨時間t

的變化趨勢大致為指數(shù)函數(shù)形式，從經(jīng)濟(jì)學(xué)角度看，當(dāng)GDP的年增長速度大致相同時，其趨勢線就是指數(shù)函數(shù)形式。易看出復(fù)合函數(shù)，增長曲線指數(shù)函數(shù)這三個曲線方程實際上是等價的。在本例中，復(fù)合函數(shù)的形式與經(jīng)濟(jì)意義更吻合。2024/3/515中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.1可化為線性回歸的曲線回歸以時間t為自變量，對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，我們考慮建立簡單線性回歸模型和復(fù)合函數(shù)回歸模型，其中復(fù)合函數(shù)是可線性化的，只需要對式子兩邊同時取對數(shù)即可將其化為

關(guān)于t的線性函數(shù)。因此，在建立復(fù)合函數(shù)回歸模型前需要計算的值，見表9-2。建立簡單線性回歸模型和復(fù)合函數(shù)回歸模型的計算代碼如下，其運(yùn)行結(jié)果如輸出結(jié)果9.1和圖9-3所示。2024/3/516中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.1可化為線性回歸的曲線回歸9.1可化為線性回歸的曲線回歸2024/3/517中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.1可化為線性回歸的曲線回歸2024/3/518中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.1可化為線性回歸的曲線回歸2024/3/519中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心2024/3/520中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.1可化為線性回歸的曲線回歸由輸出結(jié)果9.1可知，線性回歸的決定系數(shù)

，殘差平方和SSE=8.4361e+10，復(fù)合函數(shù)回歸的決定系數(shù)，殘差平方和SSE=0.3064是按線性化后的回歸模型計算的，兩者的殘差不能直接相比。為了與線性回歸的擬合效果直接相比，可以先存儲復(fù)合函數(shù)y的預(yù)測值

，計算殘差序列e(見表9-2)，然后計算出復(fù)合函數(shù)回歸的SSE=3.005e+9，可知復(fù)合函數(shù)擬合效果明顯優(yōu)于線性回歸。另外，從模型擬合圖中，也可直觀得到這一結(jié)論，故在解決此類問題時應(yīng)采用復(fù)合函數(shù)回歸。9.1可化為線性回歸的曲線回歸根據(jù)輸出結(jié)果9.1中線性化后復(fù)合函數(shù)的回歸系數(shù)，可以計算得到復(fù)合函數(shù)回歸系數(shù)分別為，等比系數(shù)，因此回歸方程為式中，表示GDP的平均發(fā)展速度，平均增長速度為14.8%。這里GDP用的是當(dāng)年現(xiàn)價，包含物價上漲因素在內(nèi)。本例只是作為計算非線性回歸的示例。在實際工作中，如果需要對GDP做趨勢擬合或預(yù)測，應(yīng)對此模型做一些改進(jìn)，例如用不變價格代替現(xiàn)價，對誤差項的自相關(guān)做相應(yīng)的處理；考慮到GDP的年增長速度會有減緩趨勢，可以給回歸函數(shù)增加適當(dāng)?shù)淖枘嵋蜃?，或采用S形曲線擬合等改進(jìn)方法。2024/3/521中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.2多項式回歸

2024/3/522中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.2.1

幾種常見的多項式回歸模型

一元二次多項式模型

的回歸函數(shù)

是一條拋物線方程，通常稱為二項式回歸函數(shù)?；貧w系數(shù)為線性效應(yīng)系數(shù)，為二次效應(yīng)系數(shù)。相應(yīng)地，回歸模型稱為一元三次多項式模型。2024/3/523中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.2多項式回歸

稱回歸模型為二元二階多項式回歸模型。它的回歸系數(shù)中分別含有兩個自變量的線性項系數(shù)，二次項系數(shù)

，并含有交叉乘積項系數(shù)

。交叉乘積項表示的交互作用，系數(shù)

通常稱為交互影響系數(shù)。2024/3/5249.2.2

應(yīng)用實例

例9-2表9-3列出的數(shù)據(jù)是關(guān)于18個35歲～44歲經(jīng)理的:

前兩年平均年收入x1（千美元）風(fēng)險反感(意識)度x2

人壽保險額y（千美元）風(fēng)險反感度是根據(jù)發(fā)給每個經(jīng)理的標(biāo)準(zhǔn)調(diào)查表估算得到的，它的數(shù)值越大，風(fēng)險反感就越厲害。中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.2多項式回歸

2024/3/525中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.2多項式回歸

研究人員想研究給定年齡組內(nèi)的經(jīng)理年平均收入，風(fēng)險反感度和人壽保險額的關(guān)系。研究者預(yù)計，在經(jīng)理的收入和人壽保險額之間成立著二次關(guān)系，并有把握認(rèn)為風(fēng)險反感度對人壽保險額只有線性效應(yīng)，而沒有二次效應(yīng)。但是，研究者對兩個自變量是否對人壽保險額有交互效應(yīng)，心中沒底。因此，研究者擬合了一個二階多項式回歸模型并打算先檢驗是否有交互效應(yīng)，然后檢驗風(fēng)險反感的二次效應(yīng)。2024/3/526中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.2多項式回歸

2024/3/527中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.2多項式回歸

回歸采用逐個引入自變量的方式，這樣可以清楚地看到各項對回歸的貢獻(xiàn)，使顯著性檢驗更加明確。依次引入自變量以查看各變量對回歸的貢獻(xiàn)，計算代碼如下：2024/3/528中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.2多項式回歸

上述計算程序，首先是建立依次引入各變量后的回歸模型，然后依次輸出各模型的方差分析表，根據(jù)方差分析表中的結(jié)果，我們將運(yùn)行結(jié)果所得的依次引入各變量后的偏平方和以及殘差平方和進(jìn)行整理并計算偏F值，得到方差分析表見表9-4，其中取顯著性水平為0.05。2024/3/529中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.2多項式回歸

全模型的SST=108041，SSE=36，SSE的自由度

。采用式(3.42)的偏F檢驗，對交互影響系數(shù)

的顯著性檢驗的偏F值=2.00，臨界值

，交互影響系數(shù)不能通過顯著性檢驗，認(rèn)為，回歸模型中不應(yīng)該包含交互作用項。這個結(jié)果與人們的經(jīng)驗相符，有了此結(jié)果，兩個自變量的效應(yīng)也就容易解釋了。此時，研究者暫時決定使用無交互效應(yīng)的模型2024/3/530中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.2多項式回歸

但仍想檢驗風(fēng)險反感度的二次效應(yīng)是否存在。這相當(dāng)于檢驗二次效應(yīng)系數(shù)

的顯著性，這個檢驗的偏F值等于0.93，臨界值，二次效應(yīng)系數(shù)

不能通過顯著性檢驗，認(rèn)為

，回歸模型中不應(yīng)該包含二次效應(yīng)項

。此時，研究者決定使用簡化的回歸模型2024/3/531中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.2多項式回歸

進(jìn)一步檢驗?zāi)昶骄杖氲亩涡?yīng)是否存在，這相當(dāng)于檢驗二次效應(yīng)系數(shù)

的顯著性，這個檢驗的偏F值等于385，臨界值，二次效應(yīng)系數(shù)

通過了顯著性檢驗，認(rèn)為

，回歸模型中應(yīng)該包含二次效應(yīng)項。得最終的回歸方程為其中，括號中的數(shù)值是標(biāo)準(zhǔn)化回歸系數(shù)。這樣，研究者可用這個回歸方程來進(jìn)一步研究經(jīng)理的年平均收入和風(fēng)險反感度對人壽保險額的效應(yīng)。從標(biāo)準(zhǔn)化回歸系數(shù)看到，年平均收入的二次效應(yīng)對人壽保險額的影響程度最大。9.3非線性模型

2024/3/532中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.3.1

非線性最小二乘非線性回歸模型一般可記為：其中，

是因變量，

非隨機(jī)向量是自變量，是未知參數(shù)向量，是隨機(jī)誤差項并且滿足獨(dú)立同分布假定，即2024/3/533中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.3非線性模型

如果，那么式(9.8)就是前面討論的線性模型，而且必然有k=p；對于一般情況的非線性模型，參數(shù)的數(shù)目與自變量的數(shù)目并沒有一定的對應(yīng)關(guān)系，不要求k=p。對非線性回歸模型式(9.8)，仍使用最小二乘法估計參數(shù)

，即求使達(dá)到最小的

，稱

為非線性最小二乘估計。2024/3/534中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.3非線性模型

稱為非線性最小二乘估計的正規(guī)方程組，也可以直接極小化殘差平方和

，求出未知參數(shù)的非線性最小二乘估計值。

在假定f函數(shù)對參數(shù)

連續(xù)可微時，可以利用微分法建立正規(guī)方程組，求使

達(dá)到最小的

。將Q函數(shù)對參數(shù)

求偏導(dǎo)，并令其為0，得p+1個方程2024/3/535中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.3非線性模型

在非線性回歸中，平方和分解式SST=SSR+SSE不再成立。類似于線性回歸中的復(fù)判定系數(shù)，定義非線性回歸的相關(guān)比（也稱為相關(guān)指數(shù)）為：

對于非線性最小二乘估計，我們?nèi)匀恍枰鰠?shù)的區(qū)間估計、顯著性檢驗、回歸方程的顯著性檢驗等回歸診斷，這需要知道有關(guān)統(tǒng)計量的分布。在非線性最小二乘中，一些精確分布是很難得到的，在大樣本時，可以得到近似的分布。計算機(jī)軟件在求出參數(shù)的非線性最小二乘估計值的同時，還給出近似的回歸診斷結(jié)果。2024/3/5369.3.2

非線性回歸模型的應(yīng)用

例9-3一位藥物學(xué)家使用下面的非線性模型對藥物反應(yīng)擬合回歸模型：

自變量x是藥劑量，用級別表示；因變量y是藥物反應(yīng)程度，用百分?jǐn)?shù)表示。

3個參數(shù)c0、c1、c2都是非負(fù)的，根據(jù)專業(yè)知識，c0的上限是100%，3個參數(shù)的初始值取為c0=100，c1=5，c2=4.8。測得9個反應(yīng)數(shù)據(jù)如表9-5：中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.3非線性模型

2024/3/537中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.3非線性模型

2024/3/538中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.3非線性模型

通過圖9-4可以看出，y與x之間確實呈非線性關(guān)系，因此需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性回歸分析。R軟件中做非線性回歸的函數(shù)為nls(formula,data,start,…)，formula部分為非線性模型的函數(shù)表達(dá)式，start為模型中未知參數(shù)的初始值，對例9.3中的數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性回歸分析的計算代碼如下，運(yùn)行結(jié)果見輸出結(jié)果9.2。2024/3/539中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.3非線性模型

2024/3/540中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.3非線性模型

2024/3/541中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.3非線性模型

由以上輸出結(jié)果可知，對參數(shù)的估計經(jīng)過6步迭代后收斂，而且相關(guān)指數(shù)，說明非線性回歸擬合效果很好。同時，上述輸出結(jié)果中對參數(shù)的顯著性檢驗顯示參數(shù)均通過顯著性檢驗。但是，在樣本量較小的情況下，不可線性化的非線性回歸的殘差通常不滿足正態(tài)性，進(jìn)而使用t分布進(jìn)行檢驗也是無效的，因此顯著性檢驗的結(jié)果并不具有重要意義。另外，由上述代碼可以計算出y的預(yù)測值、殘差、殘差平方和、回歸平方和、總離差平方和等，將這些計算結(jié)果列于表中，具體可見表9-6。2024/3/542中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.3非線性模型

2024/3/543

本例回歸離差平方和SSR=15156.55，而總離差平方和SST=14917.89<SSR，可見對非線性回歸不再滿足平方和分解式，即SST≠SSR+SSE另外，非線性回歸的殘差和不等于零，本例殘差均值為0.285556≠0。當(dāng)然，如果回歸擬合的效果好，殘差的均值會接近于零的。通過以上分析可以認(rèn)為藥物反應(yīng)程度y與藥劑量x符合以下非線性回歸方程：中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.3非線性模型

2024/3/544例9-4

龔珀茲（Gompertz）模型是計量經(jīng)濟(jì)中的一個常用模型，用來擬合社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象發(fā)展趨勢，龔珀茲曲線形式為：其中k為變量的增長上限，和是未知參數(shù)。當(dāng)k未知時，龔珀茲模型不能線性化，可以用非線性最小二乘法求解。表9-7的數(shù)據(jù)是我國民航國內(nèi)航線里程數(shù)據(jù)，以下用龔珀茲模型擬合這個數(shù)據(jù)。中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.3非線性模型

2024/3/545中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.3非線性模型

2024/3/546中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.3非線性模型

使用R軟件對表9-7中的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，建立非線性模型，其中需要確定未知參數(shù)的初始值。由于初始值要求不是很準(zhǔn)確，所以很多時候可以憑經(jīng)驗給定，對于本例題，龔珀茲中的參數(shù)k

是變量的發(fā)展上限，應(yīng)該取其初始值略大于最大觀測值。本題最大觀測值是115.52，不妨取k

的初始值為120。a和b都是0～1之間的數(shù)，可以取其初始值為0.5，非線性回歸的計算代碼如下。2024/3/547中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.3非線性模型

按上述代碼進(jìn)行運(yùn)算會出現(xiàn)產(chǎn)生無限值不收斂的情況，這是由于回歸迭代過程中的參數(shù)取值超出了范圍，可以通過對參數(shù)的取值增加一些限制來解決。因此，將參數(shù)k的初始值調(diào)整為130，另外對其上下限也做出限制，最小值取為116即大于樣本的最大觀測值115.52，此時nls

函數(shù)中的算法algorithm不能使用默認(rèn)的高斯-牛頓迭代算法，需改為port，重新運(yùn)行以下代碼，得到輸出結(jié)果9.3，并畫出國內(nèi)航線里程趨勢預(yù)測圖，如圖9-5所示。2024/3/548中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.3非線性模型

2024/3/549中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.3非線性模型

2024/3/550

用非線性最小二乘法求得的三個參數(shù)估計值為k=150.0，a=0.012，b=0.893其中k=150.0為回歸模型估計的國內(nèi)航線里程增長上限。中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心如圖9-5中，圓圈代表觀測值，光滑曲線為擬合曲線，從圖中可以直觀地看到，龔珀茲曲線能夠較好刻畫數(shù)據(jù)的變化趨勢。9.3非線性模型

2024/3/551例9-5

下表9-8是我國從1950——2013年歷年大陸總?cè)丝跀?shù)，試用威布爾（Weibull）曲線擬合數(shù)據(jù)并做預(yù)測。威布爾曲線如下：其中參數(shù)k是變量發(fā)展的上限，參數(shù)a>0，0<b<1，c>0。中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.3非線性模型

2024/3/552中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.3非線性模型

2024/3/553中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.3非線性模型

根據(jù)人口學(xué)的專業(yè)預(yù)測，我國人口上限為16億人，因此取k的初值=16，取b的初值=0.5，取c的初值=1。對以上初值把t=1時（即1950年）代入，得。用21作為a的初值，做非線性最小二乘，相應(yīng)的計算代碼如下，其運(yùn)行結(jié)果見輸出結(jié)果9.4。2024/3/554中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.3非線性模型

2024/3/555中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.3非線性模型

從輸出結(jié)果中看到，人口上限k=14.91億人，這與人口學(xué)預(yù)測的人口上限有一些差異，這是因為人口數(shù)會受到國家政策等許多因素的影響。如圖9-6所示是繪制的人口趨勢預(yù)測圖，其中圓圈代表觀測值，曲線代表預(yù)測值，其中預(yù)測2020年的人口數(shù)約為14億。2024/3/556中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.3非線性模型

例9-6

柯布—道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)研究。在計量經(jīng)濟(jì)學(xué)中有一種熟知的C-D（Cobb—Douglas）生產(chǎn)函數(shù)

其中，y為產(chǎn)出，K(資本)、L(勞力)為兩個投入要素，A>0為效率系數(shù)、為K和L的產(chǎn)出彈性，A，

均為待估參數(shù)。2024/3/557中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.3非線性模型

是產(chǎn)出對資本投入的彈性系數(shù)，度量在勞動投入保持不變時資本投入增加1%時產(chǎn)出平均增加的百分比。

是產(chǎn)出對勞動投入的彈性系數(shù)，度量在資本投入保持不變時勞動投入增加1%時產(chǎn)出平均增加的百分比。兩個彈性系數(shù)之和表示規(guī)模報酬（returnstoscale）。表示規(guī)模報酬不變，即1倍的投入帶來1倍的產(chǎn)出；表示規(guī)模報酬遞減，即1倍的投入帶來少于1倍的產(chǎn)出；

表示規(guī)模報酬遞增，即1倍的投入帶來大于1倍的產(chǎn)出。2024/3/558中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9.3非線性模型

我們假定誤差項

滿足基本假設(shè)式(3.7)的高斯-馬爾柯夫條件，對模型式(9.15)可以按兩種形式設(shè)定隨機(jī)誤差項：(1)乘性誤差項，模型形式為。(2)加性誤差項，模型形式為。對乘性誤差項，模型可通過兩邊取對數(shù)轉(zhuǎn)化成線性模型令，則轉(zhuǎn)化為線性回歸方程2024/3/559中國