浙教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)講練 專題2.10 公式法解一元二次方程及根的判別式（基礎(chǔ)篇）（專項(xiàng)練習(xí)）（附參考答案）

專題2.10公式法解一元二次方程及根的判別式（基礎(chǔ)篇）（專項(xiàng)練習(xí)）一、單選題1．用公式法解方程時(shí)，求根公式中a，b，c的值分別是（

）．A．，， B．，，C．，， D．，，2．在公式法解方程時(shí)，的值是（

）A．16 B．4 C．32 D．643．x＝是用公式法解一元二次方程得到的一個(gè)根，則滿足要求的方程是（

）A．2x2﹣2x﹣1＝0B．2x2﹣2x＋1＝0 C．2x2＋2x＋1＝0 D．2x2＋2x﹣1＝04．已知，且，則的值為（

）A． B． C． D．5．關(guān)于x的方程的根的情況是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．無(wú)實(shí)數(shù)根 D．不能確定6．下列一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根的是（

）A． B． C． D．7．若關(guān)于x的一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．8．已知a是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的較小的根，則下面對(duì)a的估計(jì)正確的是（

）A．﹣2＜a＜﹣1 B．2＜a＜3 C．﹣4＜a＜﹣3 D．4＜a＜59．常數(shù)a，ｂ，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程根的情況是（

）A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．無(wú)實(shí)數(shù)相 D．無(wú)法確定10．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則一元二次方程的根的存在情況是（

）A．有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．不能確定二、填空題11．一元二次方程根的判別式的值為_(kāi)______．12．已知代數(shù)式x2-3與代數(shù)式的值互為相反數(shù)，那么x的值為_(kāi)_____．13．已知若分式的值為，則的值為_(kāi)_____．14．已知，求________．15．已知方程如果設(shè)那么原方程可以變形為關(guān)于y的整式方程是____．16．關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是______．17．有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)，其流程如圖所示：若輸入，則輸出的的值為_(kāi)_____.18．若直線不經(jīng)過(guò)第一象限，則關(guān)于x的一元二次方程方程根的存在情況是______．三、解答題19．不解方程，判斷下列方程的根的情況（1）； （2）20．用公式法解下列方程：（1）；

（2）；（3）．

（4）．21．求證：不論為何實(shí)數(shù)，關(guān)于的式子都可以分解成兩個(gè)一次因式的積.22．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0．(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．(2)若方程有一個(gè)根是負(fù)整數(shù)，求正整數(shù)m的值．23．小明同學(xué)說(shuō)自己發(fā)現(xiàn)了判斷一類方程有無(wú)實(shí)數(shù)根的一種簡(jiǎn)易方法：若一元二次方程a的系數(shù)a、c異號(hào)（即兩數(shù)為一正一負(fù)），那么這個(gè)方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．他的發(fā)現(xiàn)正確嗎？請(qǐng)你先舉實(shí)例驗(yàn)證一下是否正確，若你認(rèn)為他的發(fā)現(xiàn)是一般規(guī)律，請(qǐng)加以證明．24．已知關(guān)于的方程．(1)試判斷方程根的情況；(2)若=2是方程的一個(gè)根，求的值；(3)是否存在實(shí)數(shù)，使方程與方程有一個(gè)相同的根？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案1．C【分析】將一元二次方程化為一般形式，即可求得的值解：化為一般形式為：，，故選C【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解題的關(guān)鍵．2．D【分析】首先把方程化簡(jiǎn)為一般形式，再得出、、的值，最后求出判別式的值即可．解：，，，，，；故選：D．【點(diǎn)撥】此題考查了公式法解一元二次方程，解此題時(shí)首先要化簡(jiǎn)．還要注意熟練應(yīng)用公式．3．D【分析】根據(jù)一元二次方程求根公式，對(duì)照x＝得出一元二次方程的字母系數(shù)即可得出答案．解：∵一元二次方程的根為，∵x＝是用公式法解一元二次方程得到的一個(gè)根，∴，∴滿足要求的方程為：，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了公式法解一元二次方程，熟記求根公式是解本題的關(guān)鍵．4．D【分析】將等式變形為，利用將原式降次最后化簡(jiǎn)為2x，利用求根公式求的根，由，舍去負(fù)根，講x代入即可．解：將方程變形，，，，，，，由△=1+4=5，，由，則，，原式=．故選擇：D．【點(diǎn)撥】本題考查代數(shù)式的求值問(wèn)題，關(guān)鍵是會(huì)將方程變形，利用得到的等式進(jìn)行降次化簡(jiǎn)是解題關(guān)鍵．5．A【分析】先求一元二次方程的判別式，由與0的大小關(guān)系來(lái)判斷方程根的情況．解：，，，，關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根．故選：A．【點(diǎn)撥】此題考查一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．6．C【分析】對(duì)每個(gè)選項(xiàng)中方程根判別式進(jìn)行計(jì)算，判斷與零的關(guān)系，然后找出符合題意的選項(xiàng)．解：選項(xiàng)A、，存在一個(gè)實(shí)數(shù)根，不符合題意；選項(xiàng)B、，存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不符合題意；選項(xiàng)C、，不存在實(shí)數(shù)根，符合題意；選項(xiàng)D、，存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不符合題意；故選C．【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程根的判別式，會(huì)利用根的判別式來(lái)判斷一元二次方程根的存在情況是解題關(guān)鍵．7．A【分析】先根據(jù)一元二次方程的定義可得，再利用一元二次方程根的判別式可得一個(gè)關(guān)于的一元一次不等式，解不等式即可得．解：方程是關(guān)于的一元二次方程，，解得，又關(guān)于的一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，此方程根的判別式，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的定義、以及根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題關(guān)鍵．8．A【分析】利用公式法表示出方程的根，再進(jìn)行估算即可．解：一元二次方程，，，，則較小的根，即，故選：A．【點(diǎn)撥】此題考查了解一元二次方程-公式法，以及估算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．9．B【分析】觀察數(shù)軸可得，從而得到，再根據(jù)一元二次方程根的判別式，即可求解．解：觀察數(shù)軸得：，∴，∴，，∴，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：B【點(diǎn)撥】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根據(jù)數(shù)軸得到是解題的關(guān)鍵．10．A【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象可得出，再根據(jù)一元二次方程根的判別式即可判斷．解：由圖可得：，∵，∴，∵，∴，∴一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了一次函數(shù)的圖象和一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．11．1【分析】首先找出一元二次方程中，，，然后根據(jù)根的判別式計(jì)算即可．解：一元二次方程中，，，，故答案是：1．【點(diǎn)撥】本題主要考查了根的判別式的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是掌握根的判別式．12．【分析】根據(jù)相反數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)于x的方程，再利用公式法求解可得．解：根據(jù)題意知x2-3+(-x)=0，整理，得：x2-x-3=0，∵，，，∴，∴x=，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了解一元二次方程的能力和相反數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．13．，．【分析】首先根據(jù)分式值為零的條件，可得，然后根據(jù)公式法解一元二次方程的步驟，求出的值即可．解：分式的值為，，△=4+8=12＞0，解得，∴，，∵，∴，都滿足條件，故答案為，．【點(diǎn)撥】本題考查分式值為0的條件，一元二次方程的解法，掌握分式值為0的條件是分子為0，分母不等于0，一元二次方程的公式解法是關(guān)鍵．14．無(wú)解【分析】已知方程兩邊除以y2變形后，將看做一個(gè)整體，即可求出值．解：已知等式變形得：（）2++1=0，∵a=1，b=1，c=1，∴b2-4ac=1-4=-3＜0，即此方程無(wú)解．∴無(wú)解．故答案為無(wú)解．【點(diǎn)撥】此題考查了解一元二次方程-公式法，熟練掌握求根公式是解本題的關(guān)鍵．15．【分析】先求出，再代入原方程，去分母即可得．解：由題意得：，則原方程可以變形為，方程兩邊同乘以得：，即，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了解分式方程、解一元二次方程，熟練掌握換元法是解題關(guān)鍵．16．且【分析】根據(jù)一元二次方程的定義以及根的判別式的意義可得Δ=且k≠0，求出k的取值范圍即可．解：∵一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，∴且，故答案為：且．【點(diǎn)撥】本題主要考查了一元二次方程的定義，一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握一元二次方程的定義和一元二次方程根的判別式．17．無(wú)解【分析】將a＝?6代入方程x2?3x?a＝0中，利用公式法解方程即可．解：輸入的數(shù)a＝?6＜0，代入x2?3x?a＝0得：x2?3x＋6＝0，∴a＝1，b＝?3，c＝6，∴△＝b2?4ac＝9?24＝?15＜0，∴此方程無(wú)解．故答案為無(wú)解【點(diǎn)撥】此題考查了解一元二次方程?公式法，利用此方法解方程時(shí)，找出a，b及c的值，代入求根公式即可求出解．18．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求得a的取值范圍，再利用一元二次方程的判別式判斷根的情況即可．解：∵直線不經(jīng)過(guò)第一象限，∴a≤0，對(duì)于關(guān)于x的一元二次方程方程，有a≠0，且判別式△=16﹣4a=4（4﹣a），∴當(dāng)a＜0時(shí)，判別式△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故答案為：有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．【點(diǎn)撥】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程根的判別式，解答的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的根與判別式△=的關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．19．（1）見(jiàn)分析；（2）見(jiàn)分析；【分析】（1）（2）先計(jì)算出判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義進(jìn)行判斷．解：（1）∵一次函數(shù)中，，，；∴，∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根（2）∵一次函數(shù)中，，，；∴，∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根【點(diǎn)撥】本題考查了根的判別式：用一元二次方程根的判別式判斷方程的根的情況．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．20．（1），；（2）；（3）；（4）沒(méi)有實(shí)數(shù)根．【分析】求出判別式判斷有無(wú)實(shí)數(shù)根，再根據(jù)公式法逐一代入求解即可．解：（1）故原方程有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根；或（2）故原方程有兩個(gè)相等的實(shí)根；（3）故原方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根；（4）故原方程無(wú)實(shí)數(shù)根．【點(diǎn)撥】本題考查一元二次方程解法的公式法，掌握判別式的使用和公式是本題關(guān)鍵．21．證明見(jiàn)分析.【分析】求出方程=0的?值，根據(jù)?取值范圍解答即可．解：關(guān)于的方程，整理得，∵，∴不論為何實(shí)數(shù)，關(guān)于的方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.∴不論為何實(shí)數(shù)，關(guān)于的式子都可以分解成兩個(gè)一次因式的積.【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程根的判別式，以及因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為x1，x2，那么一元二次方程可整理為a(x－x1)(x－x2)＝0.22．(1)見(jiàn)分析 (2)1或2或3【分析】（1）先計(jì)算根的判別式的值得到Δ=（m-6）2≥0，然后根據(jù)根的判別式的意義得到結(jié)論；（2）利用求根公式得到x1=m-4，x2=2，則m-4＜0，從而得到正整數(shù)m的值．（1）解：證明：∵Δ=（m-2）2-4（2m-8）=m2-12m+36=（m-6）2≥0，∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）x=，∴x1=m-4，x2=2，∵方程有一個(gè)根是負(fù)整數(shù)，∴m-4＜0，∴正整數(shù)m的值為1或2或3．【點(diǎn)撥】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與Δ=b2-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．23．小明的發(fā)現(xiàn)正確，見(jiàn)分析.【分析】根據(jù)判別式的值、根與系數(shù)的關(guān)系即可證明．解：小明的發(fā)現(xiàn)正確，如x2+x﹣2＝0，a＝1，c＝﹣2，解方程得：x1＝2，x2＝﹣1，若a，c異號(hào)，則△＝b2﹣4ac＞0，故這個(gè)方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．【點(diǎn)撥】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式等知識(shí)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．24．（1）方程有