吉大15春學期《線性代數(shù)(理專)》在線作業(yè)二答案

吉大15春學期《線性代數(shù)(理專)》在線作業(yè)二答案問題一(a)題目解答題目要求證明方程組$Ax=b$有解當且僅當向量$b$是$A$的列向量的線性組合。證明：設$A$是一個$m\timesn$的矩陣，$x$是一個$n\times1$的向量，$b$是一個$m\times1$的向量。方程$Ax=b$表示矩陣$A$的列向量的線性組合能夠得到向量$b$。如果$Ax=b$有解，則表示存在一個向量$x$，使得矩陣$A$的列向量的線性組合能夠得到向量$b$。反之，如果向量$b$是矩陣$A$的列向量的線性組合，即存在一個向量$x$，使得$Ax=b$成立。因此，$Ax=b$有解。綜上所述，方程組$Ax=b$有解當且僅當向量$b$是$A$的列向量的線性組合。(b)例子解答考慮矩陣$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}$和向量$b=\begin{bmatrix}7\\8\\9\end{bmatrix}$。我們需要判斷方程組$Ax=b$是否有解。首先計算矩陣$A$的列向量的線性組合：$\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=x_1\begin{bmatrix}1\\3\\5\end{bmatrix}+x_2\begin{bmatrix}2\\4\\6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_1+2x_2\\3x_1+4x_2\\5x_1+6x_2\end{bmatrix}$然后，我們可以看到向量$b=\begin{bmatrix}7\\8\\9\end{bmatrix}$可以通過矩陣$A$的列向量的線性組合得到，例如取$x_1=1$和$x_2=2$，有：$\begin{bmatrix}1\\3\\5\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}2\\4\\6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1+2(2)\\3+2(4)\\5+2(6)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\11\\17\end{bmatrix}=b$因此，方程組$Ax=b$有解。問題二(a)題目解答題目要求求解線性方程組$Ax=b$，其中$A=\begin{bmatrix}2&-1\\-3&4\end{bmatrix}$，$b=\begin{bmatrix}1\\7\end{bmatrix}$。解答：要求解方程組$Ax=b$，可以使用矩陣的逆或高斯消元法。(1)使用矩陣的逆：首先，計算矩陣$A$的逆矩陣$A^{-1}$：$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}$其中，$a=2$，$b=-1$，$c=-3$，$d=4$。計算得到：$A^{-1}=\frac{1}{(2)(4)-(-1)(-3)}\begin{bmatrix}4&1\\3&2\end{bmatrix}=\frac{1}{11}\begin{bmatrix}4&1\\3&2\end{bmatrix}$然后，可以通過方程$x=A^{-1}b$求解向量$x$：$\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{4}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{4}{11}+\frac{1}{11}(7)\\\frac{3}{11}+\frac{2}{11}(7)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{11}{11}\\\frac{17}{11}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\\frac{17}{11}\end{bmatrix}$因此，線性方程組$Ax=b$的解為$x=\begin{bmatrix}1\\\frac{17}{11}\end{bmatrix}$。(2)使用高斯消元法：將增廣矩陣$[A|b]$進行高斯消元：$\begin{bmatrix}2&-1&1\\-3&4&7\end{bmatrix}\xrightarrow[]{(1/2)R_1}\begin{bmatrix}1&-1/2&1/2\\-3&4&7\end{bmatrix}\xrightarrow[]{3R_1+R_2}\begin{bmatrix}1&-1/2&1/2\\0&5/2&25/2\end{bmatrix}\xrightarrow[]{(2/5)R_2}\begin{bmatrix}1&-1/2&1/2\\0&1&5\end{bmatrix}\xrightarrow[]{(1/2)R_2+R_1}\begin{bmatrix}1&0&3\\0&1&5\end{bmatrix}$可以得到$x_1=3$和$x_2=5$，因此線性方程組$Ax=b$的解為$x=\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}$。(b)結(jié)果驗證將解$x=\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}$代入方程組$Ax=b$進行結(jié)果驗證：$\begin{bmatrix}2&-1\\-3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}=\b