江西省高三模擬考試數(shù)學(xué)（理科）試卷附答案解析

江西省高三模擬考試數(shù)學(xué)（理科）試卷附答案解析

班級:姓名：考號：

一、單選題

1.若z?5=10,則Z可能為（）

A.8-6iB.10+iC.8+2iD.3+i

2.設(shè)全集U={xeZ∣W≤2},A={-2,-l}和B={l,2},則弧A）UB=（）

Λ.{1,2}B.{0,-l,-2}C.{0,l,2}D.{-1,1,2}

x+y≤2,

3.設(shè)實(shí)數(shù)蒼了滿足約束條件2x-3y≤9,則2x+y的最大值為（）

x≥0,

A.0B.2C.-3D.5

4.若命題”Hr∈[0,3],χ2-2x-4<0”為真命題，則實(shí)數(shù)。可取的最小整數(shù)值是（）

A.-1B.0C.1D.3

22

5.雙曲線C：、哈=IgO力>0）的一條漸近線的傾斜角為130。，則雙曲線C的離心率為（)

A.2sin4()0B.2cos40oC.——-——D.——-——

sin50ocos50°

6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果S=I+:+:++?,則判斷框中填入的條件可以為（

)

開始

Z=1,5=0

結(jié)束

A.z≤2023B.z≤1013C.z≤1011D.z≤1012

2

7

7?^≡lg4+2lg5÷log28+8=()

A.8B.9C.10D.1

8.如圖，在正三棱柱ABe-AGG中AS=2和A41=2相，D,產(chǎn)分別是棱人笈，AA的中點(diǎn)，E為棱AC上

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的動點(diǎn)，則ΔZ)EF的周長的最小值為

B.2石+2

C.√6+2D.√7+2

9.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為尸，其準(zhǔn)線為直線/.過點(diǎn)M(4,4)作直線/的垂線，垂足為“，則/FMH的角平

分線所在的直線的斜率是

10.已知函數(shù)/(x)=Zsinoxcosox-Z^/Jsin?0x(<υ>O)圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離為,則/

()

Λ.I-小B.-↑-y∕3C.0D.-2√3

11.已知點(diǎn)M點(diǎn)3,0),N(3,0),3(L0),動圓己與直線MV相切于點(diǎn)6,過M,M與圓。相切的兩直線相交于點(diǎn)

R則點(diǎn)尸的軌跡方程為()

A.X2--=l(x>1)=l(x<-l)

8

2

C.x2+?-=l(x>0)=I(X>1)

8

12.設(shè)α=0.1cos(H,力=Sino.1和c=0.5sin0.2,貝IJ()

A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b

二、填空題

13.(2-x)(l-3x)4的展開式中『的系數(shù)等于.(用數(shù)字作答)

14.已知1以=2卜|且α?(α-5)=0,則α,8的夾角是.

15.已知定義在R上的函數(shù)“X)滿足"X)=：+；'"1°；?\且/3=〃"2),函數(shù)g(x)的表達(dá)式為

I—X,X∈I—l,U)

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g(x)=M，則方程g(x)=∕(x)在區(qū)間［-5,1］上的所有實(shí)數(shù)根之和為

16.《九章算術(shù)》是我國古代著名數(shù)學(xué)經(jīng)典，其中對勾股定理的論述，比西方早一千多年，其中有這樣一個

問題：“今有圓材埋在壁中不知大小；以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”其意為：今有一圓柱

形木材，埋在墻壁中不知其大小，用鋸去鋸該材料，鋸口深1寸，鋸道長1尺，問這塊圓柱形木料的直徑

是多少？長為0.5丈的圓柱形木材部分鑲嵌在墻體中截面圖如圖所示(陰影部分為鑲嵌在墻體內(nèi)的部分).

己知弦AB=I尺，弓形高8=1寸，估算該木材鑲嵌墻內(nèi)部分的體積約為_____立方寸.(注：一丈=10尺

=IOO寸，≈3.14,sin22.5≈?,答案四舍五入，只取整數(shù))

三、解答題

Ss1

17.記S“為數(shù)列｛%｝的前〃項和，已知4=L-Z-j=一寧

(1)求｛4｝的通項公式；

⑵令勿=2%,記數(shù)列他,｝的前n項和為T11,試求弓I除以3的余數(shù).

18.如圖,四棱錐P-43C0中BC/平面R4B,ADHBC.PA=AB=BC=I.AD=I.E為4B的中點(diǎn).

且Pm7.

(1)求證：平面PBO_L平面PEC；

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(2)求二面角Z)-PC-E的余弦值.

19.2022年2月4日至2月20日，第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動會在北京和張家口隆重舉行.北京市各校大學(xué)

生爭相出征服務(wù)冬奧會，經(jīng)統(tǒng)計某校在校大學(xué)生有9000人，男生與女生的人數(shù)之比是2:1,按性別用分層

抽樣的方法從該校大學(xué)生中抽取9名參加冬奧會比賽場館服務(wù)培訓(xùn)，培訓(xùn)分4天完成，每天獎勵若干名“優(yōu)

秀學(xué)員”，累計獲2次或2次以上者可獲2022冬奧會吉祥物“冰墩墩”或“雪容融”一個.

(D若從這抽取的9名大學(xué)生中隨機(jī)選出3人服務(wù)“國家體育館”，求選出的3人中至少有一位是女生的概

率.

(2)設(shè)參加服務(wù)培訓(xùn)的大學(xué)生甲每天獲“優(yōu)秀學(xué)員”獎勵的概率均為I,記同學(xué)甲獲得“優(yōu)秀學(xué)員”的次數(shù)

為用試求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望E(X),并以獲得“優(yōu)秀學(xué)員”的次數(shù)期望為參考，試預(yù)測該同學(xué)甲能

否獲得冬奧會吉祥物？

20.在平面直角坐標(biāo)系中已知A(T,O)和8(2,0),動點(diǎn)M(x,y)滿足瑞=；,設(shè)動點(diǎn)用的軌跡為曲線C.

(1)求動點(diǎn)M的軌跡方程，并說明曲線C是什么圖形；

(2)過點(diǎn)(1,2)的直線/與曲線C交于E,F兩點(diǎn)，若IEFI=笠，求直線/的方程；

(3)設(shè)戶是直線x+y+8=。上的點(diǎn)，過P點(diǎn)作曲線C的切線PG,77/,切點(diǎn)為G,H,設(shè)C'(-2,0),求證：

過G,P,C'三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo).

21.已知函數(shù)/(x)=xlnx+”(αwR).

⑴若曲線y=∕(χ)與直線y=χ相切，求a的值；

(2)若存在Xw(l,+8),使得不等式/(力+Inx＜奴成立，求a的取值范圍.

22.已知函數(shù)/(χ)=GTi(XNO)，其反函數(shù)為y=尸(X)，直線y=T+缶分別與函數(shù)y=/(?),y=Γ,ω

的圖象交于A,,,紇兩點(diǎn)(其中〃eN?),設(shè)α,,=∣AS,∣,S“為數(shù)列｛4,,｝的前”項和.

2S,1

求證：(1)當(dāng)“≥2時5；-S；T=--r

nn

(2)當(dāng)"22時＞2(叢+邑++&).

23n

23.已知函數(shù)F(X)=Iχ+m∣+∣χ-iI.

(1)當(dāng)機(jī)=2時求不等式/(x)25的解集；

(2)若不等式/(χ)≥α"Ξ∕對XeR和ae(-2,2)恒成立，求實(shí)數(shù)力的取值范圍.

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參考答案與解析

1.D

【分析】設(shè)z=α+Ai,根據(jù)條件求出aS關(guān)系，然后逐一驗(yàn)證選項即可.

【詳解】設(shè)z=α+Ai

則z?z-^a+b'?)^a-b?)=cr+b2=1()

觀察得僅3+i滿足

故選：D.

2.C

【分析】用列舉法表示出全集U,根據(jù)補(bǔ)集和并集的定義可求得結(jié)果.

【詳解】.t∕={x∈Z∣∣x∣≤2}={x∈Z∣-2<Λ≤2}={-2-l,0,l,2}

.RA={0,1,2}&4)B={0,1,2}.

故選：C.

3.D

【分析】畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平移得到答案.

【詳解】如圖所示：畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)

根據(jù)平移知當(dāng)X=3,y=-1時z=2x+y有最大值為5.

4.B

【分析】轉(zhuǎn)化為最值問題求解

【詳解】由題意得”>*2-2x在xw[0,3]上有解，當(dāng)x=l時/一2X取最小值

2

則a>U-2x)min=-l,故?？扇〉淖钚≌麛?shù)值為O

故選：B

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5.C

【分析】依題意利用誘導(dǎo)公式可得tan50。=/,再根據(jù)離心率公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計算可得;

b

【詳解】解：雙曲線G/■—/=l(o>O∕>O)的漸近線為y=

依題意tan130°=-0,BRtan(180o-50o)=--,即tan50°=@

bbb

'a2+b2

所以雙曲線的離心率e=￡

a

'?+Cos250°

+sin250°

sir?50°+cos?50°

sin250o

Vsin250osin50o

故選：C

6.D

【分析】根據(jù)給定的程序框圖，逐次循環(huán)計算，結(jié)合輸出結(jié)果進(jìn)行判定，即可求解.

【詳解】框圖首先給累加變量S賦值0,給循環(huán)變量i賦值1

判斷框'l∣的條件滿足,執(zhí)行s=0+l.Z=l+1=2;

判斷框中的條件滿足.執(zhí)行s=0+l+；.i=2+l=3;

判斷框中的條件滿足.執(zhí)行s=O+l+；+g.i=3+l=4;

依次類推，令2023=21,知i=1012

判斷框中的條件滿足，執(zhí)行1+；+：+K+-?-,i?lθl?

此時不滿足條件，退出循環(huán)，則判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是''i≤1012?”

故選:D.

7.B

【分析】根據(jù)對數(shù)運(yùn)算公式和指數(shù)運(yùn)算公式計算即可.

【詳解】因?yàn)镮g4+21g5=lg4+lg52=lg4+lg25=lglθθ=2

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352

Iog28=Iog22'=3g3=(2)=2=4

2

所以lg4+21g5+log?8+83=2+3+4=9

故選:B.

8.D

【分析】根據(jù)正三棱柱的特征可知ΔAβC為等邊三角形且??,?平面ABe,根據(jù)AA，AD可利用勾股定理求

得。尸=2;把底面A8C與側(cè)面ACGA在同一平面展開，可知當(dāng)RE,尸三點(diǎn)共線時E尸取得最小值；

在ΔAQF中利用余弦定理可求得最小值，加和得到結(jié)果.

【詳解】三棱柱ABC-A8C為正三棱柱???ΔΛ5C為等邊三角形且AAlJ?平面ABC

ADU平面ABC,?.AAxVADDF=?J?+3=2

把底面ABC與側(cè)面ACGa在同一平面展開，如下圖所示：

當(dāng)D,E,尸三點(diǎn)共線時DE+EF取得最小值

又NEAD=I50,AiF=G和AD=I

22

.?.(DE+EF)n,n=>JAF+AD-2AF-ADcosZFAD=^4^2y∕^-號)二√7

.?.ΔDE/周長的最小值為：√7+2

本題正確選項：D

【點(diǎn)睛】本題考查立體兒何中三角形周長最值的求解問題，關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為側(cè)面上兩點(diǎn)間最短距

離的求解問題，利用側(cè)面展開圖可知三點(diǎn)共線時距離最短.

9.B

【詳解】由拋物線V=4x的焦點(diǎn)為F(LO),準(zhǔn)線方程為/:x=T

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點(diǎn)M(4,4),由拋物線的定義可知IMFl=IMM

所以/RWH的平分線所在的直線就是線段HF的垂直平分線

因?yàn)檫^點(diǎn)M(4,4)作直線/：X=T的垂線，垂足為H

所以點(diǎn)”的坐標(biāo)為(T,4),所以FH的斜率*=WU=-2

所以NRw"的平分線的方程為a=故選B.

點(diǎn)睛：本題考查了直線的斜率公式，拋物線的定義的轉(zhuǎn)化等知識點(diǎn)的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，

主要拋物線的簡單的幾何性質(zhì)，斜率公式等知識點(diǎn)的合理運(yùn)用.其中拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎(chǔ),

它能將兩種距離(拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離、拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化，如果問題中涉

及拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，又能與距離聯(lián)系起來，那么用拋物線定義就能解決問題，就可以使問題簡單化.

10.D

再求了圖.

【解析】先將函數(shù)化簡整理，根據(jù)相鄰對稱軸之間距離求出周期，確定。=1

［詳解］因?yàn)?(x)=2Sinωxcosωx-2?j3sin2ωx=sin2ωx-2?^×-~2ftλr

=sin2ωx+?∕3cos2ωx-?∣3=2Sin(25+1)-道

由題意知/(x)的最小正周期為2xW=τ,所以?=乃，即。=1

22G

所以〃x)=2sin(2x+5)-√J

/^y^=2sin^+^-√3=-2√3.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵點(diǎn)是根據(jù)已知條件先化簡正弦函數(shù)的解析式，還要熟練掌握三

角函數(shù)的性質(zhì)才能正確的解題，屬于中檔題.

11.A

【分析】由給定條件分析探求出點(diǎn)戶所滿足的關(guān)系，再結(jié)合圓錐曲線的定義即可作答.

【詳解】設(shè)直線/W,AV與圓C相切的切點(diǎn)分別為點(diǎn)QT,如圖

由切線長定理知，歷=.媳，PQ-PT,NB=NT,于是有IPMHPN曰MQ~NTi=IMBH陽k2<6=IMNl

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則點(diǎn)P的軌跡是以M,/V為左右焦點(diǎn)，實(shí)軸長2小2的雙曲線右支，虛半軸長6有〃=3?—/=8

所以點(diǎn)P的軌跡方程為d=1(χ>1).

8

故選：A

12.B

【分析】根據(jù)給定的數(shù)據(jù)信息構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小作答.

Tt

,

【詳解】令/(X)=SinX-Arcosx9X∈(0,—),求導(dǎo)得f(x)=COSX-(COSX-XSinX)=XSinX>。

TrTr

則函數(shù)/(X)在(0,5)上單調(diào)遞增，于是/(x)>∕(0)=0,即x∈(0,]),sinx>xcosx

TT,

令g(x)=x-sinX,XG(0,—),求導(dǎo)得g'(x)=I-COSx>O

TTJT

則函數(shù)g(x)在(0,5)上單調(diào)遞增，于是g(x)>g(O)=O,即x>sinx,當(dāng)xe(O,])時COSX>0

ITtI

因此XCOSX>SinXCOSX=-sin2龍,貝IJ當(dāng)Xe(0,—)時SinX>xcosx>—sin2x

222

取X=Ol,則有SinO.1>(Hcos(H>0.5sin0.2

所以CVaC江

故選：B

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：某些數(shù)或式大小關(guān)系問題，看似與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，細(xì)心挖掘問題的內(nèi)在聯(lián)系，抓

住其本質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)，分析并運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，它能起到化難為易、化繁為簡的作用.

13.120

【分析】利用二項式展開式分兩種情況求出即可.

【詳解】由題意分兩種情況：

①2xC；x『χ(_3x)2=108√

②(T)XC：xFX(-3X)=12X2

故犬的系數(shù)為：108+12=12()

故答案為：120.

π

14.§##60

【分析】由題意易得α?6=∣d,結(jié)合夾角余弦公式可得結(jié)果.

【詳解】:附1=2K|且α?m-5)=0

Λp∕∣2-ab=0,即4?Z?=同2

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.?.cos(叫=卓i=￡=：,此時夾角為銳角

同a∣2?a?2

π

：?a,b的夾角是

故答案為：?

15.-7

【分析】法一：根據(jù)解析式和遞推關(guān)系，分區(qū)間直接求解得到所有根，然后求和；

法二：繪出兩個函數(shù)的整體圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合對稱性得到所有根的和.

【詳解】法一：由題意，當(dāng)x=l時〃1)=/(T)=0?g(l)=-當(dāng)OWl時一+1=9.即

3x+2

(x+l)(x2+x-l)=0,解得X=T域:WLISX<0時/(x)<Lg(x)>L無解；>'∣-2<r<-ll?∕(x)<2.

2

g(x)>2.無解;當(dāng)-34x<-2時/(x)>0,g(x)<O,無解:當(dāng)-44x<-3時〃x)=〃x+4)=(x+4)，l>l.

g(x)<l.無解；當(dāng)一54x<-4時/(x)=f(x+4)=l-(x+4)2<l,g(x)<l,則I-(X+47=震.解得

X=T*;則上四+二1及=_4；"ix=-3時g(x)=∕(x)=0,可得所有根之和為-7.

222

法二：函數(shù)〃X)滿足〃X)=H=Xm,則/(X)關(guān)干點(diǎn)(0.1)對稱,又因?yàn)?(χ)=∕(χ+2),故/(χ)關(guān)

11—?,x∈LLU)

于點(diǎn)(-2,1)對稱，g(x)=三!也關(guān)于點(diǎn)(一2，1)對稱，如圖

g(x)=%過點(diǎn)(TO)和(-1,2)

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兩函數(shù)的圖象有如圖所示的三個交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為對應(yīng)方程的三個實(shí)數(shù)根.

X+毛=2x(-2)=YX2=-3

由于點(diǎn)(-1,2)不在/(x)上，所有根之和為-7.

【點(diǎn)睛】利用數(shù)形結(jié)合思想，注意函數(shù)的圖象的對稱性的應(yīng)用，是快捷高效的方法.

16.317

【解析】根據(jù)弓形的鋸口深1寸，鋸道長1尺，求出圓的半徑，從而求出弓形(陰影部分)面積后，由柱

體體積公式得木材體積

【詳解】如圖，設(shè)圓半徑為尸寸(下面長度單位都是寸)，連接QAOD,已知Ao=；A8=5,

OD=OC-CD=T-I

在W一ADO中+㈤2=物2,即52+(r-I)2=/,解得r=13

AΓ)5

由SinNAOD=—二—得ZA00=22.5。，所以ZAoB=45。

AO13

圖中陰影部分面積為S=S『上"]32jχlθx*6?3325(平方寸)

Z?Λ(√∏2Cπ2C

鑲嵌在墻體中木材是以陰影部分為底面，以鋸刀長為高的柱體

所以其體積為V=S∕7B6.3325X50N317(立方寸)

故答案為：317.

【點(diǎn)睛】本題考查柱體的體積，關(guān)鍵是求底面面積，方法是由扇形面積減去相應(yīng)三角形面積得弓形面積,

屬基礎(chǔ)題.

17.(1)an=n

(2)2

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SnLn+↑FS1,(n=1)

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的定義及通項公式求出」=一廠，再根據(jù)∕=｛°c/、、、求出?！?〃；

an2b-S,,τ,5≥2)

(2)利用等比數(shù)列前〃項和公式求出Lz,然后應(yīng)用二項式展開式求余數(shù)

［詳解］(1)由且_&=_；有S_即&L-2=;

a

4+ιn2all+tall2a,,+lan2

S

又q=1,故-L=I

%

所以數(shù)列是以1為首項，g為公差的等差數(shù)列

S〃+1〃+1

所以j11=-Γ^,即S,,==i∕

a?22

,,r,n+2-∏--liχr,.rfzn"+2n+lππnn+1

故S“+i=-y-an+t,兩式相減得α,,+l=-y-??+|-——an,即-an+l=-an

所以41L=4L==幺=1

H+1nI

因此｛可｝的通項公式為4,="?

(2)由(1)及4=2""，有d=2",所以弓I=22"-2=4"-2

又4"=(3+1)"=Cθ3,'+Cj,3n^'++C7'3'+1

因?yàn)镃7,C),,C：T均為正整數(shù)，所以存在正整數(shù)k使得4"=3左+1

故J=2?"-2=4"-2=31

所以Aa除以3的余數(shù)為2.

18.(1)見解析

【分析】(1)先在面ABC。內(nèi)證明5E)J_CE,再證明尸E_L面EBC,PElBD證得8。工面PEC,由面面

垂直的判定定理得到平面平面尸EC.

(2)建系，利用法向量求二面角的平面角的余弦值.

【詳解】(1)證明：BC_L平面R4B,ADHBC,ADL平面PAB

E為AB的中點(diǎn)，R4=AB=BC=2AD=I

.?.AD=BE,AB=BC,ZDAB=NEBClDABdEBC,

第12頁共18頁

.?.ΛABD=NECB,NEBD+ZDBC=NECB+NDBC=90o

:.BDLCE

又.8Cl.平面PA8,PEU平面R4BΛBCLPE

又PELEC,BCEC=C8C,ECu平面EBC

.?.依,平面破。，又配>u平面￡8C

.-.PELBD,又BD工CE,PECEC=E,PE,ECu平面PEC

..8。，平面PEC

QBQU平面PBD

3。_1平面皿，，82,8”,8(7兩兩相互垂直

以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BP,BM,BC所在直線分別為X，KZ軸建立如圖空間坐標(biāo)系

由(1)知，PE_LAB,E為48中點(diǎn)，則PB=PA=AB=2

則P(2,0,0),C(0,0,2),A(L√3,0),E(∣,y,0),0(1,瓜1)

PC=(-2,0,2),PD=(-1,√3,1),BD=(1,√3,1)

BZ〃面PEC,：.面PEC的一個法向量是BD=(1,√3,1)

設(shè)面OPC的法向量"=(x,y,z)

n-PC=O-2x÷2z=0X=Z

則

n-DP=Or+Gy+z=0y=0

所以面。尸C的一個法向量為“=(1,0,1)

______2√io

:.cos(",3f>>=nBD

∣n∣?∣BD∣^√2?√5^5

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所以二面角。-PC-E的余弦值為叵

5

19?ωΞ

Q

⑵分布列見解析，E(X)=∣,能獲得吉祥物

【分析】(1)依據(jù)古典概型即可求得選出的3人中至少有一位是女生的概率；

(2)依據(jù)二項分布即可得到才的分布列及其數(shù)學(xué)期望E(X),再與獲得2022冬奧會吉祥物的條件進(jìn)行比較

即可預(yù)測甲能否獲得冬奧會吉祥物.

(1)

由題可知，抽取的9名大學(xué)生中6名男生，3名女生；

則選出的3名學(xué)生中至少有一名女生的概率尸=1-冬=或

21

(2)

由題可知X~8(4,|j.?.p(χ=o)=C,(gj=t

P(X=I)=C弱Y和p(χ=2)=喏j?*

所以才的分布列

才01234

18243216

P

81818?8181

9Q

所以E(X)=叩=4χ(=A2即能獲得吉祥物.

20.(1)動點(diǎn)M的軌跡方程為(x+2)2+V=4,曲線C是以(-2,0)為圓心，2為半徑的圓(2)/的方程為

2x-y=0或2x—29y+56=0.(3)證明見解析，所有定點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,0)和(-5,-3)

?MA?1

【分析】(I)利用兩點(diǎn)間的距離公式并結(jié)合條件扇=5,化簡得出曲線C的方程，根據(jù)曲線C方程的表

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示形式確定曲線C的形狀;

(2)根據(jù)幾何法計算出圓心到直線的距離d=撞，對直線/分兩種情況討論，一是斜率不存在，一是斜

5

率存在，結(jié)合圓心到直線的距離d=撞求出直線的斜率，于此得出直線/的方程；

5

(3)設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為根據(jù)切線的性質(zhì)得出PGLGC',從而可得出過G、P、C'三點(diǎn)的圓的方

程，整理得出x2+y2+2x+8y+w(-x-2+y)=0,然后利用

『+v-+2Λ?+8y^解出方程組可得出所過定點(diǎn)的坐標(biāo)

-x+y-2=0

【詳解】(1)由題意得聿Ei?=[,化簡可得：(x+2)2+y2=4

J(X-2/+y22

所以動點(diǎn)M的軌跡方程為(X+2)2+∕=4.

曲線C是以(-2,0)為圓心，2為半徑的圓；

(2)①當(dāng)直線/斜率不存在時x=l,不成立；

②當(dāng)直線/的斜率存在時設(shè)/：y-2=Z(X-I),叩履-y+2-2=0

圓心。(一2,0)至∣J/的距離為d=———V∣EF∣=2y∣4-d2=C?/?)

Λd2=-=a~3k)2,即29公-604+4=0,解得&=2或4=/

5?+k229

Λ/的方程為2x-y=0或2x-29y+56=0；

(3)證明：?.?P在直線x+y+8=0上，則設(shè)P(a,τ"-8)

：C'為曲線C的圓心，由圓的切線的性質(zhì)可得PGLGC

經(jīng)過G,RC的三點(diǎn)的圓是以PC為直徑的圓

則方程為(X+2)(x-㈤+My+m+8)=0

整理可得χ2+y2+2x+8y+%(-x-2+y)=0

4?x2+y2+2x+8>,=0,且一x-2+y=0

則有經(jīng)過G,P,C三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)，所有定點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,0)和(-5,-3).

【點(diǎn)睛】本題考查動點(diǎn)軌跡方程的求法，考查直線截圓所得弦長的計算以及動圓所過定點(diǎn)的問題，解決圓

第15頁共18頁

所過定點(diǎn)問題，關(guān)鍵是要將圓的方程求出來，對帶參數(shù)的部分提公因式，轉(zhuǎn)化為方程組求公共解問題.

21.(1)a=l

⑵(2,+8)

【分析】(1)求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，令/(x)=l求得切點(diǎn)即可得出方程，比較可得出答案；

(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)=xlnx+lnx-0x+”,利用導(dǎo)數(shù)討論g(x)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)值變化可得.

【詳解】(1)/5)的定義域?yàn)?0,+∞)和/'(X)=InX+1.

令f(x)=l,得x=l,又/⑴=。

所以曲線y=f(χ)的斜率為1的切線為y=χ-l+α

由題意知這條切線即y=χ,故a=l.

(2)存在Xc(l,+8),使得/(x)+lnx<G成立，即存在x∈(l,÷w),使得XInX+Inx—辦+ovθ成立.

設(shè)g(x)=xlnx+lnx-0^+α,貝Ug'(x)=lnx+l+!-”.

X

設(shè)〃(X)=InX+1+工一〃,則h?x)=---=j?.

XXX'X

當(dāng)X∈(0,1)時h,(x)<O,當(dāng)X∈(1,+∞)時hf(x)>O

所以Mx)min=A(l)=2-α.

若α≤2,則>(x)≥0,即g'3≥0,所以g(x)單調(diào)遞增

故當(dāng)χ∈(l,+∞)時g3>g⑴=0,不符合題意.

若a>2,//⑴=2-α<0和Me")=l+J>O

所以存在XOe(I,e"),使得//(%)=()

當(dāng)xe(l,x°)時MX)<0,即g")<0,g(x)在(l,x0)上單調(diào)遞減

所以當(dāng)xe(l,%)時g(x)<g(I)=0,符合題意.

綜上可知，。的取值范圍是(2,+8).

22.(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【分析】(1)由題意解得4,乩兩點(diǎn)的坐標(biāo)，表示α,,利用S“與S,-的關(guān)系證明結(jié)論；

2S?