5.3.5隨機事件的獨立性（原卷版）

5.3.5隨機事件的獨立性TOC\o"13"\h\z\u題型1相互獨立事件的判斷 2題型2相互獨立事件的概率 4題型3相互獨立事件的綜合應(yīng)用 5知識點一相互獨立的含義1.定義：一般地，當(dāng)P（AB）=P（A）P（B）時，就稱事件A與B相互獨立（簡稱獨立）.事件A與B相互獨立的直觀理解是，事件A是否發(fā)生不會影響事件B發(fā)生的概率，事件B是否發(fā)生也不會影響事件A發(fā)生的概率.注意：因為“A與B相互獨立”是“P（AB）=P（A）P（B）”的充要條件，所以如果已知兩個事件是相互獨立的，則由它們各自發(fā)生的概率可以迅速得到它們同時發(fā)生的概率.在實際問題中，我們常常依據(jù)實際背景去判斷事件之間是否存在相互影響，若認(rèn)為事件之間沒有影響，則認(rèn)為它們相互獨立.知識點二相互獨立事件性質(zhì)及計算公式當(dāng)事件A，B相互獨立時，A與B，A與B，A與B也相互獨立.若事件A，B相互獨立，則P（AB）=P（A）×P（B）；若事件A1，A2，…，An相互獨立，則P（A1A2…An）=P（A1）×P（A2）×…×P（An）.相互獨立事件與互斥事件的區(qū)別:①相互獨立事件指一個事件是否發(fā)生對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響，互斥事件是指不可能同時發(fā)生的兩個事件。②若兩個事件相互獨立，則一定不能互斥；反之，若兩個事件互斥，則一定不能相互獨立。③兩個事件相互獨立等價于P（AB）=P（A）P（B），而當(dāng)兩個事件互斥時，有P（A+B）=P（A）+P（B），但由P(A+B）=P（A）+P（B）卻不能得到兩事件A與B互斥。題型1相互獨立事件的判斷【方法總結(jié)】兩個事件是否相互獨立的判斷（1）直接法∶由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個事件發(fā)生是否相互影響.（2）定義法∶如果事件A，B同時發(fā)生的概率等于事件A發(fā)生的概率與事件B發(fā)生的概率的積，則事件A，B為相互獨立事件.注意：互斥事件與相互獨立事件的區(qū)別"互斥事件"和"相互獨立事件"是兩個不同的概念，前者表示不可能同時發(fā)生的兩個事件，后者是指一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響.相互獨立的事件可以同時發(fā)生，且同時發(fā)生的概率P（AB）=P（A）P（B），而互斥的兩個事件A，B滿足P（A+B）=P（A）+P（B）.兩事件A，B相互獨立是指事件A發(fā)生的概率與事件B是否發(fā)生沒有關(guān)系，并不是說A，B間沒有關(guān)系．相反，若A，B獨立，則常有AB≠?，即A與B不互斥；A，B互斥是指A的出現(xiàn)必導(dǎo)致B的不出現(xiàn)，并沒有說A出現(xiàn)的概率與B是否出現(xiàn)有關(guān)系．事實上，當(dāng)P（A）>0，P（B）>0時，若A，B互斥，則AB≠?，從而P（AB）=0，但P（A）P（B）>0，因而等式P（AB）=P（A）P（B）不成立，即互斥未必獨立.若A，B獨立，則P（AB）=P（A）P（B）>0，從而A，B不互斥（否則，P（AB）=0，導(dǎo)致矛盾）.【例題1】（2023上·遼寧錦州·高一統(tǒng)考期末）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件A=“第一枚硬幣正面朝上”，事件B=“第二枚硬幣反面朝上”，則下列對事件A,B的表述正確的是（

）A．A與B互為對立事件 B．A與B互斥C．A與B相互獨立 D．P【變式11】1．（2022下·廣東梅州·高一統(tǒng)考期末）同時拋擲一紅一綠兩枚質(zhì)地均勻的骰子，用x表示紅色骰子的點數(shù)，y表示綠色骰子的點數(shù)，設(shè)事件A=“x+y=7”，事件B=“xy為奇數(shù)”，事件C=“x>3”，則下列結(jié)論正確的是（

）A．A與B對立 B．PC．A與C相互獨立 D．B與C相互獨立【變式11】2．（多選）（2024上·遼寧大連·高一大連二十四中?？计谀┯?個標(biāo)記數(shù)字1，2，3，4，5的小球，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是6”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是5”，則（

）A．甲與乙互斥 B．丙與丁互斥C．甲與丙相互獨立 D．乙與丁相互獨立【變式11】3．（多選）（2024上·遼寧撫順·高一校聯(lián)考期末）拋擲一紅一綠兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記下骰子朝上一面的點數(shù)，用x表示紅色骰子的點數(shù)，y表示綠色骰子的點數(shù)，定義事件：A=“x+y=7”，B=“xy為奇數(shù)”，C=“x>3”，則下列結(jié)論正確的是（

）A．事件A與B互斥B．事件A與B是對立事件C．事件B與C相互獨立D．事件A與C相互獨立【變式11】4．（2023下·福建·高一福建師大附中?？计谀┩瑫r擲紅、藍(lán)兩枚質(zhì)地均勻的骰子，事件A表示“兩枚骰子的點數(shù)之和為5”，事件B表示“紅色骰子的點數(shù)是偶數(shù)”，事件C表示“兩枚骰子的點數(shù)相同”，事件D表示“至少一枚骰子的點數(shù)是奇數(shù)”.①A與C互斥

②B與D對立

③A與D相互獨立

④B與C相互獨立則上述說法中正確的為.題型2相互獨立事件的概率【方法總結(jié)】求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的步驟①首先確定各事件是相互獨立的；②先求每個事件發(fā)生的概率，再求其積.注意：公式P（AB）=P（A）P（B）可推廣到一般情形，即如果事件A1，A2，…，An相互獨立，那么這n個事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率的積，即P（A1A2…An）=P（A1）×P（A2）×…×P（An）.【例題2】（2023下·全國·高一隨堂練習(xí)）某一電子集成塊有三個元件a，b，c并聯(lián)構(gòu)成，三個元件是否有故障相互獨立.已知至少1個元件正常工作，該集成塊就能正常運行.若每個元件能正常工作的概率均為45A．124125 B．48125 C．16【變式21】1．（2022·上海市曹楊中學(xué)高一期末）已知A、B兩人同時射擊目標(biāo)C（A、B是否射中之間相互獨立），已知A射中C的概率為0.9，B射中C的概率為0.8，則至少有一人擊中目標(biāo)C的概率是______．【變式21】2．（2023上·遼寧錦州·高一統(tǒng)考期末）已知甲?乙?丙三人投籃的命中率分別為0.7，0.5，0.4，若甲?乙?丙各投籃一次（三人投籃互不影響），則至少有一人命中的概率為.【變式21】3．（2023上·江西宜春·高一江西省宜春中學(xué)?？计谀┘?、乙兩人打靶，已知甲的命中率為45，乙的命中率為2【變式21】4.（2023上·遼寧大連·高一大連市第十二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）我市男子乒乓球隊為備戰(zhàn)下屆市運會，在某訓(xùn)練基地進(jìn)行封閉時訓(xùn)練，甲、乙兩隊隊員進(jìn)行對抗賽，每局依次輪流發(fā)球，連續(xù)贏兩個球者獲勝．通過分析甲、乙過去對抗賽的數(shù)據(jù)知，甲發(fā)球甲贏的概率為23，乙發(fā)球甲贏的概率為1題型3相互獨立事件的綜合應(yīng)用【方法總結(jié)】概率問題中的數(shù)學(xué)思想(1)正難則反．靈活應(yīng)用對立事件的概率關(guān)系(P(A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1)簡化問題，是求解概率問題最常用的方法．(2)化繁為簡．將復(fù)雜事件的概率轉(zhuǎn)化為簡單事件的概率，即尋找所求事件與已知事件之間的關(guān)系．“所求事件”分幾類(考慮加法公式轉(zhuǎn)化為互斥事件)還是分幾步組成(考慮乘法公式轉(zhuǎn)化為相互獨立事件)．(3)方程思想．利用有關(guān)的概率公式和問題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程(組)，通過解方程(組)使問題獲解．【例題3】（2024上·遼寧沈陽·高一統(tǒng)考期末）已知甲箱中有4個大小、形狀完全相同的小球，上面分別標(biāo)有大寫英文字母A、B和小寫英文字母a、b；乙箱中有m個與甲箱大小、形狀完全相同的小球，上面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，…，m(1)現(xiàn)從甲箱中任意抽取2個小球，求恰好一個小球上面標(biāo)有大寫英文字母、另一個小球上面標(biāo)有小寫英文字母的概率；(2)現(xiàn)從乙箱中任意抽取1個小球，設(shè)n=“所抽小球上面標(biāo)注的數(shù)字”，記事件D=“n-2≤1”，事件E=“n-4n-2≤0”，若事件D與事件E(3)在（2）的條件下，現(xiàn)將甲、乙兩箱的小球都放入丙箱，充分搖勻，然后有放回地抽取3次，每次取1個小球，求這3個小球中至少有2個小球上面標(biāo)有英文字母的概率．【變式31】1．（2024上·江西上饒·高一?？茧A段練習(xí)）某場比賽甲、乙、丙三個家庭同時回答一道有關(guān)學(xué)生安全知識的問題.已知甲家庭回答正確這道題的概率是23，甲、丙兩個家庭都回答錯誤的概率是115.乙、丙兩個家庭都回答正確的概率是(1)求乙、丙兩個家庭各自回答正確這道題的概率；(2)求甲、乙、丙三個家庭中不少于2個家庭回答正確這道題的概率.【變式31】2．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）在某項1500m體能測試中，甲、乙兩人各自通過體能測試的概率分別是25和3(1)兩人都通過體能測試的概率；(2)恰有一人通過體能測試的概率；(3)至少有一人通過體能測試的概率．【變式31】3．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）甲、乙兩人各進(jìn)行一次射擊，如果兩人命中目標(biāo)的概率都是0.6，計算：(1)兩人都命中