2023-2024自主招生與競(jìng)賽集合的概念與運(yùn)算

競(jìng)賽與自主招生第一講集合的概念與運(yùn)算一、基礎(chǔ)知識(shí)1．集合的概念2．集合的分類3．集合的表示法4．集合與元素的符號(hào)表示5．子集、真子集及兩個(gè)集合之間的關(guān)系如果對(duì)于任意的，都有，則稱集合為集合的子集，當(dāng)是．．的子集且時(shí)，則稱集合是集合的真子集，事實(shí)上，有（1）或；（2）且；（3）且．6．集合的運(yùn)算（1）交集：且；（2）并集：或；（3）補(bǔ)集：，其中集合表示全集．7．交集、并集與補(bǔ)集的主要運(yùn)算律（1）交換律：，；（2）結(jié)合律：，；（3）分配律：，；（4）同一律：，，，；（5）等冪律：，；吸收律：，；（7）求補(bǔ)律：，；（8）反演律（摩根律）：，；（9）對(duì)合律：．8．有限集合所含元素個(gè)數(shù)的幾個(gè)簡(jiǎn)單性質(zhì)（1）一個(gè)階集合（即由個(gè)元素組成的集合）有個(gè)不同的子集，其中有個(gè)非空子集，也有個(gè)真子集．（2）設(shè)表示集合所含元素的個(gè)數(shù)，則①，當(dāng)時(shí)，；②．二、例題精析例1設(shè)，，，求證：．例2．設(shè)，求證：，．例3．已知二次函數(shù)，若方程無實(shí)根，求證：方程也無實(shí)根．例4．對(duì)于函數(shù)，若，則稱為的“不動(dòng)點(diǎn)”，若，則稱為的“穩(wěn)定點(diǎn)"．函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的集合分別記為和．若，且集合，求實(shí)數(shù)的取值范圍．鞏固練習(xí)一、單選題1．已知集合，，則的非空真子集有（） A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)2．為全集，，是集合，則“存在集合使得，"是“”的（） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．設(shè)，是的兩個(gè)非空子集，如果存在一個(gè)從到的函數(shù)滿足①；②對(duì)任意，，當(dāng)時(shí)，恒有，那么稱這兩個(gè)集合“保序同構(gòu)”．以下集合對(duì)不是“保序同構(gòu)”的是（） A．， B．，或 C．， D．，4．集合中的元素均為正整數(shù)，且具有性質(zhì)：若，則，這樣的集合共有____個(gè)．5．正整數(shù)集合的最小元素為，最大元素為，并且各元素可以從小到大排成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，則并集中的元素個(gè)數(shù)為（） A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)6．設(shè)集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．或 C．或 D．7．設(shè)，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（） A． B． C． D． 二、多選題8.，集合，若，分別為集合，的元素個(gè)數(shù)，則下列結(jié)論可能的是（

）A．且 B．且C．且 D．且9.對(duì)于正整數(shù)集合，如果去掉其中任意一個(gè)元素之后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個(gè)交集為空集的集合，且這兩個(gè)集合的所有元素之和相等，就稱集合為“可分集”，則下列說法正確的是（

）A．不是“可分集”B．集合中元素個(gè)數(shù)最少為7個(gè)C．若集合是“可分集”，則集合中元素全為奇數(shù)D．若集合是“可分集”，則集合中元素個(gè)數(shù)為奇數(shù)10.設(shè)集合，則對(duì)任意的整數(shù)，形如的數(shù)中，是集合中的元素的有（）A． B． C． D．三、填空題11．已知兩個(gè)集合，，若，則整數(shù)___________．12．如果①，，，都屬于；②，，，；③是，，，中的最小數(shù)．那么