高一物理人教版必修1學(xué)案2-3勻變速直線運(yùn)動的位移與時間的關(guān)系

3勻變速直線運(yùn)動的位移與時間的關(guān)系知識點一勻速直線運(yùn)動的位移(1)做勻速直線運(yùn)動的物體在時間t內(nèi)的位移x＝vt.(2)做勻速直線運(yùn)動的物體，如圖所示，其v－t圖象是一條平行于時間軸的直線，其位移在數(shù)值上等于v－t圖線與對應(yīng)的時間軸所包圍的矩形的面積．知識點二勻變速直線運(yùn)動的位移位移在v－t圖象中的表示：做勻變速直線運(yùn)動的物體的位移對應(yīng)著v－t圖象中的圖線和時間軸包圍的面積．如圖所示，在0～t時間內(nèi)的位移大小等于梯形的面積．知識點三eq\o(\s\up17(勻變速直線運(yùn)動的位移公式),\s\do5(x＝v0t＋\f(1,2))at2)(1)公式中的x、v0、a均是矢量，應(yīng)用公式時，應(yīng)先確定正方向．(2)當(dāng)v0＝0時，x＝eq\f(1,2)at2，表示初速度為零的勻加速直線運(yùn)動的位移與時間的關(guān)系．(3)當(dāng)a＝0時，x＝v0t，表示勻速直線運(yùn)動的位移與時間的關(guān)系．某質(zhì)點的位移隨時間變化的數(shù)量關(guān)系式為x＝4t＋2t2m，x與t答案：4m/s4m/s2考點一對v－t圖象的理解1．勻速直線運(yùn)動的v－t圖象(1)圖象特征勻速直線運(yùn)動的v－t圖象是與橫軸平行的直線，如圖所示．(2)圖象的作用①能直觀地反映勻速直線運(yùn)動速度不變的特點．②從圖象中可以看出速度的大小和方向，如圖，圖象在t軸下方，表示速度為負(fù)，即速度方向與規(guī)定的正方向相反．③可以求出位移x.在v－t圖象中，運(yùn)動物體在時間t內(nèi)的位移x＝vt，就對應(yīng)著“邊長”分別為v和t的一塊矩形的“面積”，如圖中畫斜線的部分．2．勻變速直線運(yùn)動的v－t圖象(1)圖象的特征勻變速直線運(yùn)動的v－t圖象是一條傾斜的直線．如圖甲和乙所示為不同類型的勻變速運(yùn)動的速度圖象．初速度為零的勻加速直線運(yùn)動的v－t圖象是過原點的傾斜直線，如圖丙所示．(2)圖象的利用①直觀地反映速度v隨時間t均勻變化的規(guī)律．圖甲為勻加速運(yùn)動，圖乙為勻減速運(yùn)動．②可以直接得出任意時刻的速度，包括初速度v0.③可求出速度的變化率．圖甲表示速度每秒增加0.5m/s，圖乙表示速度每秒減小1m/s.④圖線與時間軸所圍“面積”表示物體在時間t內(nèi)的位移．如下圖所示，畫斜線部分表示時間t內(nèi)的位移．3．v－t圖象的深入分析(1)v－t圖象與時間軸的交點表示速度方向的改變，折點表示加速度方向的改變．(如圖所示)(2)v－t圖象中兩圖象相交，只是說明兩物體在此時刻的速度相同，不能說明兩物體相遇．(3)v－t圖象只能反映直線運(yùn)動的規(guī)律因為速度是矢量，既有大小又有方向．物體做直線運(yùn)動時，只可能有兩個速度方向，規(guī)定了一個為正方向時，另一個便為負(fù)值，所以可用正、負(fù)號描述全部運(yùn)動方向．當(dāng)物體做一般曲線運(yùn)動時，速度方向各不相同，不可能僅用正、負(fù)號表示所有的方向，所以不能畫出v－t圖象．所以，只有直線運(yùn)動的規(guī)律才能用v－t圖象描述，任何v－t圖象反映的也一定是直線運(yùn)動規(guī)律．【例1】(多選)某物體運(yùn)動的v－t圖象如圖所示，下列說法正確的是()A．物體在第1s末運(yùn)動方向發(fā)生變化B．物體在第2s內(nèi)和第3s內(nèi)的加速度是相同的C．物體在4s末返回出發(fā)點D．物體在6s末離出發(fā)點最遠(yuǎn)，且最大位移為1m用v－t圖象分析問題時要注意：(1)v－t圖象中直線的斜率表示物體運(yùn)動的加速度；(2)圖線和t軸所圍的面積的數(shù)值等于物體的位移大小，圖線和t軸所圍成的面積的數(shù)值的絕對值的和等于物體的路程．【解析】由圖象可知，物體在前2s內(nèi)速度先增大后減小，但運(yùn)動方向沒有變化，選項A錯誤；第2s內(nèi)和第3s內(nèi)圖線的斜率沒變，所以加速度相同，選項B正確；在v－t圖象中，圖線與坐標(biāo)軸所圍的“面積”表示物體的位移，從圖象可以看出，前4s內(nèi)物體的位移為零，所以物體在4s末返回出發(fā)點，選項C正確；物體在第6s末離出發(fā)點最遠(yuǎn)，6s內(nèi)的位移為1m，選項D正確．【答案】BCD甲、乙兩汽車在一平直公路上同向行駛．在t＝0到t＝t1的時間內(nèi)，它們的v－t圖象如圖所示．在這段時間內(nèi)(A)A．汽車甲的平均速度比乙的大B．汽車乙的平均速度等于eq\f(v1＋v2,2)C．甲、乙兩汽車的位移相同D．汽車甲的加速度大小逐漸減小，汽車乙的加速度大小逐漸增大解析：v－t圖象中圖線下的面積表示位移，在0～t1時間內(nèi)，甲的位移大于乙的位移，所以汽車甲的平均速度比乙的大，選項A正確，選項C錯誤；汽車乙做的不是勻減速直線運(yùn)動，平均速度小于eq\f(v1＋v2,2)，選項B錯誤；v－t圖象中圖線的斜率表示加速度，汽車甲、乙的加速度都是逐漸減小的，選項D錯誤．考點二勻變速直線運(yùn)動的位移(1)勻變速直線運(yùn)動的位移公式x＝v0t＋eq\f(1,2)at2.(2)對位移公式x＝v0t＋eq\f(1,2)at2的理解①位移公式說明勻變速直線運(yùn)動的位移與時間是二次函數(shù)關(guān)系，式中v0是初速度，時間t是物體實際運(yùn)動的時間．②此公式既適用于勻加速直線運(yùn)動，也適用于勻減速直線運(yùn)動．在取初速度v0方向為正方向的前提下，勻加速直線運(yùn)動a取正值，勻減速直線運(yùn)動a取負(fù)值；計算結(jié)果x>0，說明位移的方向與初速度v0方向相同；x<0，說明位移方向與初速度v0方向相反．③對于初速度為零的勻加速直線運(yùn)動，位移公式為x＝eq\f(1,2)at2，即位移x與時間t的二次方成正比．④此公式中共有四個物理量，知道其中任意三個物理量，便可確定第四個物理量．【例2】一輛卡車初速度為v0＝10m/s，以a＝2m/s2的加速度行駛，求：(1)卡車在3s末的速度v3；(2)卡車在6s內(nèi)的位移x6與平均速度v；(3)卡車在第6s內(nèi)的位移x.卡車做勻加速直線運(yùn)動，根據(jù)速度公式可求得3s末的速度，根據(jù)位移公式可求得6s內(nèi)的位移．第6s內(nèi)的位移等于前6s內(nèi)的位移減去前5s內(nèi)的位移．【解析】(1)3s末的速度v3＝v0＋at3＝10m/s＋2×3m/s＝16m/s(2)6s內(nèi)的位移x6＝v0t6＋eq\f(1,2)ateq\o\al(2,6)＝10×6m＋eq\f(1,2)×2×36m＝96m6s內(nèi)的平均速度v＝eq\f(x6,t6)＝eq\f(96,6)m/s＝16m/s(3)5s內(nèi)的位移x5＝v0t5＋eq\f(1,2)ateq\o\al(2,5)＝10×5m＋eq\f(1,2)×2×25m＝75m所以第6s內(nèi)的位移x＝x6－x5＝21m.【答案】(1)16m/s(2)96m16m/s(3)21m總結(jié)提能(1)對x＝v0t＋eq\f(1,2)at2中a的理解：物體做勻減速直線運(yùn)動時，若以初速度方向為正方向，并使a僅表示加速度的大小，這時勻減速直線運(yùn)動的位移時間關(guān)系式可變形為x＝v0t－eq\f(1,2)at2，這時v0、a、t均取正值，更適合于我們的習(xí)慣．(2)汽(火)車剎車等問題，物體做勻減速直線運(yùn)動，停止后不再運(yùn)動．這類問題的處理思路是：先求出它們從剎車到靜止的剎車時間，再比較所給時間與剎車時間的關(guān)系確定運(yùn)動時間，最后再利用運(yùn)動公式求解．2011年太平洋冰壺錦標(biāo)賽在南京奧體中心完美收官，主場作戰(zhàn)的中國隊表現(xiàn)出色，包攬了男、女兩個項目的金牌．如圖所示，冰壺以速度v垂直進(jìn)入四個矩形區(qū)域沿虛線做勻減速直線運(yùn)動，且剛要離開第四個矩形區(qū)域邊緣的E點時，速度恰好為零．冰壺通過前三個矩形區(qū)域的時間為t，試通過所學(xué)知識計算冰壺通過四個矩形區(qū)域所需的時間．解析：根據(jù)勻變速直線運(yùn)動的位移公式和速度公式，設(shè)每個矩形區(qū)域的長為l.由A到E，有4l＝vt1－eq\f(1,2)ateq\o\al(2,1)，0＝v－at1，由A到D有3l＝vt－eq\f(1,2)at2，聯(lián)立解得t1＝2t或t1＝eq\f(2,3)t，顯然eq\f(2,3)t不符合題意，應(yīng)舍去．答案：2t【例3】汽車在高速公路上行駛的速度為108km/h，若駕駛員發(fā)現(xiàn)前方80m處發(fā)生了交通事故，馬上緊急剎車，汽車以恒定的加速度經(jīng)過4s才停下來．(1)問該汽車是否會有安全問題？(2)如果駕駛員看到交通事故時的反應(yīng)時間是0.5s，該汽車是否會有安全問題？(1)駕駛員采取剎車措施后，汽車做勻減速直線運(yùn)動．在此過程中，初速度為汽車的行駛速度108km/h，即30m/s，汽車經(jīng)過4s停下來，末速度為0.運(yùn)動過程如圖所示．(2)該汽車的實際運(yùn)動可分為兩部分：當(dāng)駕駛員看到交通事故時，在反應(yīng)時間內(nèi)，汽車做勻速直線運(yùn)動；當(dāng)駕駛員剎車后，汽車以原行駛速度為初速度做勻減速直線運(yùn)動．其運(yùn)動情況如圖所示．選取汽車行駛的初速度方向為正方向．【解析】(1)108km/h＝30m/s，由公式v＝v0＋at可得汽車剎車過程中的加速度為a＝eq\f(v－v0,t)＝eq\f(0－30,4)m/s2＝－7.5m/s2汽車從剎車到停止所經(jīng)過的位移為x＝v0t＋eq\f(1,2)at2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(30×4＋\f(1,2)×－7.5×42))m＝60m由于前方距離有80m，汽車經(jīng)過60m就已停下來，所以不會有安全問題．(2)汽車做勻速直線運(yùn)動的位移x1＝v0t＝30×0.5m＝15m，汽車做勻減速直線運(yùn)動的位移x2＝v0t＋eq\f(1,2)at2＝30×4＋eq\f(1,2)×(－7.5)×42m＝60m，汽車停下來的實際位移為x＝x1＋x2＝(15＋60)m＝75m，由于前方距離有80m，所以不會有安全問題．【答案】(1)不會有安全問題(2)不會有安全問題總結(jié)提能公式x＝v0t＋eq\f(1,2)at2為矢量式，其中的x、v0、a都是矢量，應(yīng)用時必須選取統(tǒng)一的正方向，一般選初速度v0的方向為正方向．若物體做勻加速直線運(yùn)動，a與v0同向，a取正值．若物體做勻減速直線運(yùn)動，a與v0反向，a取負(fù)值．若位移的計算結(jié)果為正值，說明這段時間內(nèi)位移的方向與規(guī)定的正方向相同；若位移的計算結(jié)果為負(fù)值，說明這段時間內(nèi)位移的方向與規(guī)定的正方向相反．ETC是電子不停車收費系統(tǒng)的簡稱．汽車分別通過ETC通道和人工收費通道的流程如圖所示．假設(shè)汽車以正常行駛速度v1＝16m/s朝收費站沿直線行駛，如果過ETC通道，需要在距收費站中心線前d＝8m處正好勻減速至v2＝4m/s，勻速通過中心線后，再勻加速至v1正常行駛；如果過人工收費通道，需要恰好在中心線處勻減速至零，經(jīng)過t0＝25s繳費成功后，再啟動汽車勻加速至v1正常行駛．設(shè)汽車在減速和加速過程中的加速度大小分別為a1＝2m/s2和a2＝1m/s2.求：(1)汽車過ETC通道時，從開始減速到恢復(fù)正常行駛過程中的位移大小；(2)汽車走ETC通道比走人工收費通道節(jié)約的時間Δt是多少？解析：(1)汽車通過ETC通道時，勻減速過程的位移x1＝eq\f(v\o\al(2,1)－v\o\al(2,2),2a1)＝60m，勻加速過程的位移x2＝eq\f(v\o\al(2,1)－v\o\al(2,2),2a2)＝120m，則汽車的總位移x＝x1＋d＋x2＝188m.(2)汽車走ETC通道時，勻減速過程的時間t1＝eq\f(v1－v2,a1)＝6s，勻速過程的時間t2＝eq\f(d,v2)＝2s，勻加速過程的時間t3＝eq\f(v1－v2,a2)＝12s.汽車走人工收費通道時，勻減速過程的時間t′1＝eq\f(v1,a1)＝8s，勻減速過程的位移x′1＝eq\f(v1＋0,2)t′1＝64m；勻加速過程的時間t′2＝eq\f(v1,a2)＝16s，勻加速過程的位移x′2＝eq\f(v1,2)t′2＝128m.則汽車走ETC通道比走人工收費通道節(jié)約的時間Δt＝(t′1＋t0＋t′2)－(t1＋t2＋t3)－eq\f(x′1＋x′2－x1＋x2＋d,v1)＝28.75s.答案：(1)188m(2)28.75s1．一物體做勻變速直線運(yùn)動，下列說法中正確的是(C)A．物體的末速度一定與時間成正比B．物體的位移一定與時間的平方成正比C．物體的速度在一定時間內(nèi)發(fā)生的變化與這段時間成正比D．若為勻加速運(yùn)動，速度和位移都隨時間增加；若為勻減速運(yùn)動，速度和位移都隨時間減小解析：根據(jù)v＝v0＋at和x＝v0t＋eq\f(1,2)at2可知，選項A、B錯誤；由a＝eq\f(Δv,Δt)可知，選項C正確．當(dāng)物體做勻減速運(yùn)動時，速度減小，但位移可能增大，選項D錯誤．2．做勻變速直線運(yùn)動的物體，加速度為a，在時間t內(nèi)位移為x，末速度為v，則下列關(guān)系中正確的是(D)A．x＝vt＋eq\f(1,2)at2B．x＝－vt＋eq\f(1,2)at2C．x＝－vt－eq\f(1,2)at2D．x＝vt－eq\f(1,2)at2解析：根據(jù)x＝v0t＋eq\f(1,2)at2和v＝v0＋at，可得D選項正確．3．如圖所示是汽車與自行車在同一直線上、從同一地點同向運(yùn)動、同時計時而作出的v－t圖象，由圖象可知(A)A．在2s末二者速度相同B．在4s末二者速度相同C．在2s末二者相遇D．在4s末二者不相遇解析：由圖象可知，自行車做勻速直線運(yùn)動，速度為v1＝6m/s，汽車做初速度等于零的勻加速直線運(yùn)動，a＝3m/s2，交點表示t＝2s時，二者速度都是6m/s，A正確，B錯誤；位移可由圖線與橫軸所圍的面積求得，t＝2s末面積不相同．t＝4s末面積相同，C、D錯誤．4．(多選)一個物體做勻變速直線運(yùn)動，它的位移與時間的關(guān)系式為x＝t＋0.5t2(m)，從t＝0時開始計時，t1時刻它的速度大小為3m/s，則(AC)A．物體的加速度a＝1m/s2B．物體的加速度a＝0.5m/s2C．t1＝2sD．t1＝4s解析：將x＝v0t＋eq\f(1,2)at2與x＝t＋0.5t2(m)，對比知v0＝1m/s，a＝1m/s2.當(dāng)v＝3m/s時，t1＝eq\f(v－v0,