2021新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案7-2空間幾何體的表面積與體積

第二節(jié)空間幾何體的表面積與體積課標(biāo)要求考情分析了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式．1.本節(jié)內(nèi)容是高考中的重點(diǎn)內(nèi)容，涉及空間幾何體的表面積與體積的計(jì)算等內(nèi)容．2．命題形式主要以選擇題、填空題為主，主要考查空間幾何體表面積與體積的計(jì)算，同時(shí)著重考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征等內(nèi)容，解題要求有較強(qiáng)的空間想象能力和計(jì)算能力，廣泛應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想.知識(shí)點(diǎn)一空間幾何體的表面積1．多面體的表面積多面體的各個(gè)側(cè)面都是平面，則多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和，表面積是側(cè)面積與底面面積之和．2．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式圓臺(tái)、圓柱、圓錐的轉(zhuǎn)化當(dāng)圓臺(tái)的上底面半徑與下底面半徑相等時(shí)，得到圓柱；當(dāng)圓臺(tái)的上底面半徑為零時(shí)，得到圓錐，由此可得：S圓柱側(cè)＝知識(shí)點(diǎn)二空間幾何體的表面積與體積公式1．思考辨析判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)錐體的體積等于底面面積與高之積．(×)(2)兩個(gè)球的體積之比等于它們的半徑比的平方．(×)(3)臺(tái)體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)錐體的體積之差．(√)(4)已知球O的半徑為R，其內(nèi)接正方體的邊長(zhǎng)為a，則R＝eq\f(\r(3),2)A．(√)解析：(1)錐體的體積等于底面面積與高之積的三分之一，故不正確．(2)球的體積之比等于半徑比的立方，故不正確．2．小題熱身(1)一個(gè)球的表面積是16π，那么這個(gè)球的體積為(B)A．eq\f(16,3)πB．eq\f(32,3)πC．16πD．24π(2)正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(3)，D為BC中點(diǎn)，則三棱錐A-B1DC1的體積為(C)A．3B．eq\f(3,2)C．1D．eq\f(\r(3),2)(3)已知A，B，C，D是球O上不共面的四點(diǎn)，且AB＝BC＝AD＝1，BD＝AC＝eq\r(2)，BC⊥AD，則球O的體積為(A)A．eq\f(\r(3),2)π B．eq\r(3)πC．2eq\r(3)π D．4eq\r(3)π(4)一直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為6cm,8cm,10cm，繞斜邊旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積為eq\f(336,5)πcm2.(5)已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB互相垂直，SA與圓錐底面所成的角為30°，若△SAB的面積為8，則該圓錐外接球的表面積是64π.解析：(1)設(shè)球的半徑為R，則由4πR2＝16π，解得R＝2，所以這個(gè)球的體積為eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π.(2)由題意可知AD⊥BC，由面面垂直的性質(zhì)定理可得AD⊥平面DB1C1，又AD＝2·sin60°＝eq\r(3)，所以VA-B1DC1＝eq\f(1,3)AD·S△B1DC1＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝1，故選C．(3)由題，AB＝BC＝1，AC＝eq\r(2)，所以AB2＋BC2＝AC2，所以∠CBA＝eq\f(π,2)，即BC⊥AB，又BC⊥AD，所以BC⊥平面ABD，因?yàn)锳B＝AD＝1，BD＝eq\r(2)，所以AB2＋AD2＝BD2，所以AB⊥AD，此時(shí)可將點(diǎn)A，B，C，D看成棱長(zhǎng)為1的正方體上的四個(gè)頂點(diǎn)，球O為正方體的外接球，設(shè)球O的半徑為R，故2R＝eq\r(12＋12＋12)，所以R＝eq\f(\r(3),2)，則球O的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(\r(3),2)π，故選A．(4)旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為以eq\f(24,5)cm為半徑的兩個(gè)同底面的圓錐，其表面積為S＝π×eq\f(24,5)×6＋π×eq\f(24,5)×8＝eq\f(336,5)π(cm2)．(5)由△SAB的面積為8，可得eq\f(1,2)SA2＝8，解得SA＝4.取圓錐底面圓的圓心為O′，連接SO′，AO′，由SA與圓錐底面所成的角為30°，可得圓錐的底面半徑AO′＝2eq\r(3)，圓錐的高SO′＝2.設(shè)圓錐的外接球的半徑為R，球心為O，則O在SO′的延長(zhǎng)線上，連接AO，則AO2＝AO′2＋OO′2，即R2＝(2eq\r(3))2＋(R－2)2，解得R＝4，所以該圓錐的外接球的表面積是4πR2＝64π.考點(diǎn)一空間幾何體的表面積【例1】(1)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過(guò)直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()A．12eq\r(2)πB．12πC．8eq\r(2)πD．10π(2)如圖，在直角梯形ABCD中，AD＝AB＝4，BC＝2，沿中位線EF折起，使得∠AEB為直角，連接AB，CD，求所得的幾何體的表面積和體積．【解析】(1)因?yàn)檫^(guò)直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，所以圓柱的高為2eq\r(2)，底面圓的直徑為2eq\r(2)，所以該圓柱的表面積為2×π×(eq\r(2))2＋2eq\r(2)π×2eq\r(2)＝12π.(2)如圖，過(guò)點(diǎn)C作CM平行于AB，交AD于點(diǎn)M，作CN平行于BE，交EF于點(diǎn)N，連接MN.由題意可知ABCM，BENC都是矩形，AM＝DM＝2，CN＝2，F(xiàn)N＝1，AB＝CM＝2eq\r(2)，所以S△AEB＝eq\f(1,2)×2×2＝2，S梯形ABCD＝eq\f(1,2)×(2＋4)×2eq\r(2)＝6eq\r(2)，S梯形BEFC＝eq\f(1,2)×(2＋3)×2＝5，S梯形AEFD＝eq\f(1,2)×(3＋4)×2＝7，在直角三角形CMD中，CM＝2eq\r(2)，MD＝2，所以CD＝2eq\r(3).又因?yàn)镈F＝FC＝eq\r(5)，所以S△DFC＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×eq\r(2)＝eq\r(6)，所以這個(gè)幾何體的表面積為2＋6eq\r(2)＋5＋7＋eq\r(6)＝14＋6eq\r(2)＋eq\r(6).V1＝VABE-MCN＝S△ABE·AM＝eq\f(1,2)×2×2×2＝4，V2＝VC-MNFD＝eq\f(1,3)SMNFD·BE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)(1＋2)×2×2＝2，所以所求幾何體體積為V1＋V2＝4＋2＝6.【答案】(1)B(2)見(jiàn)解析方法技巧1多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.2旋轉(zhuǎn)體的表面積問(wèn)題注意其側(cè)面展開(kāi)圖的應(yīng)用.1．已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB＝90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為(C)A．36π B．64πC．144π D．256π解析：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐O-ABC的體積最大，設(shè)球O的半徑為R，此時(shí)VO-ABC＝VC-AOB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)R2×R＝eq\f(1,6)R3＝36，故R＝6，則球O的表面積為S＝4πR2＝144π.2．已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為eq\f(7,8).SA與圓錐底面所成角為45°.若△SAB的面積為5eq\r(15)，則該圓錐的側(cè)面積為40eq\r(2)π.解析：如圖所示，設(shè)S在底面的射影為S′，連接AS′，SS′.△SAB的面積為eq\f(1,2)·SA·SB·sin∠ASB＝eq\f(1,2)·SA2·eq\r(1－cos2∠ASB)＝eq\f(\r(15),16)·SA2＝5eq\r(15)，∴SA2＝80，SA＝4eq\r(5).∵SA與底面所成的角為45°，∴∠SAS′＝45°，AS′＝SA·cos45°＝4eq\r(5)×eq\f(\r(2),2)＝2eq\r(10).∴底面周長(zhǎng)l＝2π·AS′＝4eq\r(10)π，∴圓錐的側(cè)面積為eq\f(1,2)×4eq\r(5)×4eq\r(10)π＝40eq\r(2)π.考點(diǎn)二空間幾何體的體積命題方向1直接利用公式求體積【例2】(2019·全國(guó)卷Ⅲ)學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體，其中O為長(zhǎng)方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm【解析】由題易得長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積為6×6×4＝144(cm3)，四邊形EFGH為平行四邊形，如圖所示，連接GE，HF，易知四邊形EFGH的面積為矩形BCC1B1面積的一半，即eq\f(1,2)×6×4＝12(cm2)，所以V四棱錐O-EFGH＝eq\f(1,3)×3×12＝12(cm3)，所以該模型的體積為144－12＝132(cm3)，所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為132×0.9＝118.8(g)．【答案】118.8命題方向2等體積法求體積【例3】如圖所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1-ABC1A．eq\f(\r(3),12) B．eq\f(\r(3),4)C．eq\f(\r(6),12) D．eq\f(\r(6),4)【解析】易知三棱錐B1-ABC1的體積等于三棱錐A-B1BC1的體積，又三棱錐A-B1BC1的高為eq\f(\r(3),2)，底面積為eq\f(1,2)，故其體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),12).【答案】A命題方向3割補(bǔ)法求體積【例4】已知E，F(xiàn)分別是棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中點(diǎn)，則四棱錐C1-B1【解析】連接EF，B1D．設(shè)B1到平面C1EF的距離為h1，D到平面C1EF的距離為h2，則h1＋h2＝B1D1＝eq\r(2)A．由題意得，V四棱錐C1-B1EDF＝V三棱錐B1-C1EF＋V三棱錐D-C1EF＝eq\f(1,3)·S△C1EF·(h1＋h2)＝eq\f(1,6)a3.【答案】eq\f(1,6)a3方法技巧空間幾何體體積問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略1若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式進(jìn)行求解.2若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解.1．(方向1)如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(3)，D為BC的中點(diǎn)，則三棱錐A-B1DC1的體積為(C)A．3 B．eq\f(3,2)C．1 D．eq\f(\r(3),2)解析：如題圖，因?yàn)椤鰽BC是正三角形，且D為BC中點(diǎn)，則AD⊥BC．又因?yàn)锽B1⊥平面ABC，AD?平面ABC，故BB1⊥AD，且BB1∩BC＝B，BB1，BC?平面BCC1B1，所以AD⊥平面BCC1B1，所以AD是三棱錐A-B1DC1的高．所以V三棱錐A-B1DC1＝eq\f(1,3)S△B1DC1·AD＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\r(3)＝1.2．(方向2)如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長(zhǎng)均為2，D為棱B1C1上任意一點(diǎn)，則三棱錐D-A1BC的體積是eq\f(2\r(3),3).解析：VD-A1BC＝VB1-A1BC＝VA1-B1BC＝eq\f(1,3)×S△B1BC×eq\r(3)＝eq\f(2\r(3),3).3．(方向3)如圖，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，F(xiàn)C＝4，AE＝5.求此幾何體的體積．解：方法1：如圖，取CM＝AN＝BD，連接DM，MN，DN，用“分割法”把原幾何體分割成一個(gè)直三棱柱和一個(gè)四棱錐．則V幾何體＝V三棱柱＋V四棱錐．由題知三棱柱ABC-NDM的體積為V1＝eq\f(1,2)×8×6×3＝72.四棱錐D-MNEF的體積為V2＝eq\f(1,3)×S梯形MNEF×DN＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(1＋2)×6×8＝24，則幾何體的體積為V＝V1＋V2＝72＋24＝96.方法2：用“補(bǔ)形法”把原幾何體補(bǔ)成一個(gè)直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，所以V幾何體＝eq\f(1,2)V三棱柱＝eq\f(1,2)×S△ABC×AA′＝eq\f(1,2)×24×8＝96.考點(diǎn)三球的接、切問(wèn)題【例5】(2019·全國(guó)卷Ⅰ)已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF＝90°，則球O的體積為()A．8eq\r(6)π B．4eq\r(6)πC．2eq\r(6)π D．eq\r(6)π【解析】因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別為PA，AB的中點(diǎn)，所以EF∥PB，因?yàn)椤螩EF＝90°，所以EF⊥CE，所以PB⊥CE.取AC的中點(diǎn)D，連接BD，PD，易證AC⊥平面BDP，所以PB⊥AC，又AC∩CE＝C，AC，CE?平面PAC，所以PB⊥平面PAC，所以PB⊥PA，PB⊥PC，因?yàn)镻A＝PB＝PC，△ABC為正三角形，所以PA⊥PC，即PA，PB，PC兩兩垂直，將三棱錐P-ABC放在正方體中如圖所示．因?yàn)锳B＝2，所以該正方體的棱長(zhǎng)為eq\r(2)，所以該正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為eq\r(6)，所以三棱錐P-ABC的外接球的半徑R＝eq\f(\r(6),2)，所以球O的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))3＝eq\r(6)π，故選D．【答案】D方法技巧一個(gè)多面體的頂點(diǎn)都在球面上即為球的外