福建省2022年6月普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022年6月福建省普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試

數(shù)學(xué)試題

（考試時(shí)間：90分鐘；滿分：100分）

第I卷（選擇題57分）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共15小題，每小題3分，滿分45分.每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題

意）

1.設(shè)集合4={-l,0,l},B={-l,2},則A-B=()

A.{-1}B.{-lJ}C.{-l,O,∣,2}D.0

2.下列函數(shù)中，在其定義域上是增函數(shù)的是（）

A.),=-XB.y=-X2C.y=D.y=lgχ

3.函數(shù)y=ln（l-x）的定義域?yàn)?/p>

A.(-∞,0)B.(-∞,1)C.(0,+∞)D.(l,+∞)

4.拋擲一枚骰子，則向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)的概率是（）

A.?B.-C.?d?I

632

4-X2,X≤0/,、、

5.已知函數(shù)/（x）=?Z貝∣J/(/(O))=()

l1og,x,x>0

A.-2B.1C.2D.4

6.一組數(shù)據(jù)2,3,3,4,4,4,5,5,6,6的中位數(shù)是()

A.6B.5C.4D.3

7.已知圓柱的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2,則該圓柱的側(cè)面積為（)

A.2πB.4πC.6πD.4

f∕ξ1A

8.在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸學(xué)a,貝卜）

√31

A.Sina=一B.sina=—C.CoSa=一D.tana—y/3

222

9.若a>b,則一定有（)

22C.l?rl

A.ac>bcB.a>babD.a+c>h+c

10./BC的內(nèi)角AB,C,所對(duì)的邊分別為α,Ac,且a=4i,b=瓜B=g則的值為（）

πCilCaC3兀

A.—B.—C.—D.—

6434

l?.某人連續(xù)射擊兩次，事件“兩次都沒有命中目標(biāo)”的對(duì)立事件是（）

A.至少有一次命中目標(biāo)B.至多有一次命中目標(biāo)

C.恰好兩次都命中目標(biāo)D.恰好有一次命中目標(biāo)

12.如圖，四面體。-ABC中，￡RG分別為AB,8C,CD的中點(diǎn).則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.BDLACB.BCLEG

C.AD//平面EFGD.AC//平面EPG

13.為了得到函數(shù)/（x）=2CoS（X+2的圖像，只需把曲線/（x）=CoSX上所有的點(diǎn)（）

A.向左平移;個(gè)單位，再把縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍

B.向右平移;個(gè)單位，再把縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍

c.向左平移;個(gè)單位，再把縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的!

D.向右平移;個(gè)單位，再把縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的;

32

14.設(shè)a=2^,/,=22>c=】gg，則α,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.c>b>a

C.a>c>bD.h>a>c

15.某池塘里浮萍的面積y（單位：mD為時(shí)間（單位：月）的指數(shù)函數(shù)，即y=α',且有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示.若

經(jīng)過(guò)2年，浮萍恰好充滿整個(gè)池塘，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.浮萍面積的月增長(zhǎng)率均為1

B.浮萍面積的月增加量都相等

C.第5個(gè)月，浮萍面積為IOm2

D.第12個(gè)月，浮萍面積占池塘面積的一半

二、多項(xiàng)選擇題(每小題3分，共12分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)得3分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得。分)

16.下列函數(shù)中，最小值為2的函數(shù)為()

A.y=2'+2-'B.y=x+%>0)

X

4

C.y=√x+2D.y=sinx+------2(0<x<π)

SinX

17.函數(shù)y=Asin(3+e)(A>O)的一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，下列結(jié)論正確的有()

A.函數(shù)/(x)的解析式是/(x)=2sin(2x-1)

B.函數(shù)/(x)的最大值是2

C.函數(shù)/(x)的最小正周期是

D.函數(shù)/(x)的一個(gè)對(duì)稱中心是(已,0)

18.下列各組向量中，可以用來(lái)表示向量a=(1,2)的是()

A.ex=(0,0),<?2=(3,5)B.q=(l,l),β2=(1,2)

C.el=(1,1),β2=(1,3)D.el=(1,2),e2=(-2,-4)

19.某校為調(diào)查學(xué)生身高情況，按男女生比例進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，抽取一個(gè)容量為50的樣本G.已知G中

男生數(shù)據(jù)為23個(gè)，平均數(shù)為170.6cm,方差為12.59；女生數(shù)據(jù)為27,平均數(shù)為160.6cm,方差為38.62.下

列說(shuō)法正確的是（）

A.該校男生的身高都比女生高

B.該校女生身高分布比男生集中

C.樣本G的平均數(shù)為165.2Cm

D.樣本G的方差為51.4862

第∏卷（非選擇題43分）

（請(qǐng)考生在答題卡上作答）

三、填空題（每小題4分，共16分）

20.計(jì)算i?=（i為虛數(shù)單位）

21.α=（√3,l）,fe=（-l,√3）,則向量α,b的夾角為

22.某校共有學(xué)生2000名，男生1200名，女生800名，現(xiàn)按比例分配樣本進(jìn)行分層抽樣，從中抽取50名

學(xué)生，則應(yīng)抽取的女生人數(shù)是人

23.如圖，在長(zhǎng)為8電，寬為6m的矩形地面的四周種植花卉，中間種植草坪，如果要求草坪外側(cè)四周的花卉

帶的寬度都相同，且草坪的面積不超過(guò)總面積的一半，則花卉帶的寬度至少應(yīng)為.

四、解答題（本大題共3小題，共27分.要求寫出必要的證明過(guò)程或演算步驟）

3

24.已知為第二象限角，且Sine=S.

⑴求tana；

（2）求cos（5-2a）的值.

25.如圖，在三棱錐P-ABe中，側(cè)面PABI底面ABC,KPA±AB,PA=5√3,ABC的面積為6.

P

C

⑴求三棱錐P-MC的體積；

(2)若AB=5,AC=4,且/B4C為銳角，求證：BCI平面「AC?

26.已知函數(shù)f(x)=θr+L

⑴判斷/(x)的奇偶性；

⑵若α>0,判斷了(χ)在(0,%)的單調(diào)性，并用定義法證明；

(3)若α=l,g(x)=∕(e')-18,判斷函數(shù)g(χ)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.

答案

1.A

因?yàn)锳={T,0,l},B={-l,2},

所以AnB={-l}.

故選：A

2.D

對(duì)于A,由一次函數(shù)性質(zhì)知：y=T在上單調(diào)遞減，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由二次函數(shù)性質(zhì)知：y=-Y在(-%0)上單調(diào)遞增，在(0,+a)上單調(diào)遞減，B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知：y=在上單調(diào)遞減，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)知：y=Igx在(()，+8)上單調(diào)遞增，D正確.

故選：D.

3.B

由l-x>0，得X<1選B

4.C

解：依題意可知，基本事件總數(shù)為6,其中滿足條件的有3個(gè)，故概率P=」=,

62

故選：C

5.C

2

/(0)=4-0=4,../(/(O))=/(4)=Iog24=2.

故選：C.

6.C

4+4

由中位數(shù)是從小到大排序后，中間兩位數(shù)的平均值—=4.

2

故選：C

7.B

圓柱的側(cè)面積S=2兀χlx2=4小

故選：B.

8.A

故選：A

9.D

A：ac-bc=c(a-b),僅當(dāng)c>0時(shí)αc—6c>0,BPac>be,錯(cuò)；

B：a2-b2=(a+h)(a-b),僅當(dāng)Q+b>O時(shí)/一〃>。，即/>從，錯(cuò);

C：，一?=空，僅當(dāng)而>0時(shí)，—?<0,即!<+，錯(cuò)；

abababa°

D：(a+c)-(h+c)=a-b>O,故α+c>b+c一定正確，對(duì).

故選：D

10.B

由正弦定理知：—=IjIiJ.._osinB_T_T2,A∈(0,π),

sinAsinBSlnA=---==—

3τr

所以A=子或A=—，又A+8＜兀，故A=G

444

故選：B

11.A

由對(duì)立事件定義知：事件“兩次都沒有命中目標(biāo)”的對(duì)立事件為“至少有一次命中目標(biāo)

故選：A.

12.D

由題設(shè)GF//8。,AC〃即，若或JlAC,即Gbl即，

由于四面體O-ABC各側(cè)面形狀不定，GFlEE不一定成立，故A錯(cuò)；

若/是8D中點(diǎn)，連接/G,則/G//BC,若BCIEG,即/G1EG,

同上，各側(cè)面形狀不定，/GlEG不一定成立，故B錯(cuò)；

D

若〃是AC中點(diǎn)，連接GH，則GH//A。，而GHi面G"F,ADe面GHF,

所以AD〃面GUF，顯然面G/7R與面EFG不是同一平面，且面GAb湎EFG=GF,

所以AD〃平面EFG不成立，C錯(cuò)；

由題意瓦〃AC,EFU面EFG,AC(Z面EFG,

所以AC//平面EFG,D對(duì).

故選：D

13.A

πJT

將/(x)=CoSX向左平移;個(gè)單位得/(X)=CoS(X+；),

TT

再把縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，得/(x)=2COSa+]).

故選：A

14.D

1J.1

lg?<lgl=0<22<20<22,.?b>a>C.

故選：D.

15.A

y=d過(guò)點(diǎn)(ι,2),.?.&=2,則y=2、

?/+)<^?t

對(duì)于A,每個(gè)月的月增長(zhǎng)率為=±=1,A正確；

2'

對(duì)于B,浮萍面積第1個(gè)月的增加量為？-2°=1；第2個(gè)月的增加量為級(jí)-雪=2,B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,當(dāng)f=5時(shí)，y=2=32,即浮萍面積為32π√,C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,池塘總面積為2”，第12個(gè)月浮萍面積為2口，

第12個(gè)月，浮萍面積不足池塘面積的一半，D錯(cuò)誤.

故選：A.

16.ABC

對(duì)于A,2'>0,.?.2"+2-，=2，+吳2收.；2(當(dāng)且僅當(dāng)2、=/，即χ=0時(shí)取等號(hào)),

.??y=2?t+2-*的最小值為2,A正確;

對(duì)于B,.χ>O,-.x+-≥2.IT^=2(當(dāng)且僅當(dāng)X=L,即X=I時(shí)取等號(hào))，

X\XX

.?.y=x+1(x>O)的最小值為2，B正確；

對(duì)于C,√∑WO,.?.√I+222,.7=6+2的最小值為2，C正確；

對(duì)于D,當(dāng)O<χ<π時(shí)，sinx∈(0,1],

令f=sinx,.y=r+^在(0,2)上單調(diào)遞減，當(dāng)，e(oj]時(shí)，｝+口=5,

tI，∕min

;.y=sinx+---2≥5-2=3(當(dāng)且僅當(dāng)SinX=1,即χ=g時(shí)取等號(hào))，

Sinx2

4

/.y=sinx+------2(0<x<π)的最小值為3,D錯(cuò)誤.

Sinx

故選：ABC.

17.BCD

對(duì)于B,由圖象可知：/(x)mj∕(-總=2,B正確；

對(duì)于C,由圖象可知：/(x)最小正周期T=2x冷卜目］=π,C正確;

對(duì)于A,由BC得：,4=2,囪=苧=2,即。=±2；

.,.?(?)=2sin(2x+0)或∕*(x)=2sin(-2x÷^?)

當(dāng)?(?)=2sin(2x÷^>)時(shí),

TrTr2τr

Λ-→^=→2?(?∈Z),解得：^=y+2Λπ(jl∈Z),

/(x)=2sinf2x+-^?+2ZcπC?(C2π?

=2sιnl2x+-I

當(dāng)〃X)=2sin(-2x+o)時(shí),

.?.-+^=-+2?(?∈Z),解得：φ=-+2kπ(keZ),

623

.?./(?)=2sin^-2x+y+2^πj=2sin^y-2xJ；

,/(x)=2sin(2x+與)或/(x)=2Sin(I?-2x),A錯(cuò)誤;

π5π

------1----

對(duì)于D,當(dāng)1212兀時(shí)，/(X)=。，

X---------=一

26

?/(X)的一個(gè)對(duì)稱中心為(刊，D正確.

故選：BCD.

18.BC

A：q=(0,0)為零向量，基底不能含零向量，故不能表示α=(L2),錯(cuò);

B:a=O×ei+l×e2,故可以表示。=(L2),對(duì)；

C：4=-xq?ι—x%,故可以表示α=(1,2),對(duì)；

22~

D：ei=-e2,基底不能共線，故不能表示。=(1,2),錯(cuò)；

故選：BC

19.CD

A：樣本平均數(shù)男生大于女生，但不能說(shuō)明該校男生的身高都比女生高，錯(cuò);

B：樣本方差男生小于女生，樣本可估計(jì)該校女生身高分布比男生分散，錯(cuò);

23×170.6+27×160.6

C：樣本G的平均數(shù)為=165.2cm,對(duì);

50

123127

D：男生方差-170.6)2,女生方差s；=:FX(X廠160.6)2,而樣本G的方差為

23/=INJ=I

150

s2=G∑(x*-165.2)2,

DU〃=|

12327

所以S?=G1∑(X,-170.6+5.4)2+χ(XJ-160.6-4.6)2]

5。/=1j=ι

I27

=T-170.6)2+10.8(%-170.6)+5.42]+ZKXJ-160.6)2-9.2(XJ-160.6)+4.62]}

510>1

T2727

=2(占-22

50I+10.8^2170.6)+23X5.4?+￡(XJ-160.6)-9.2^(.ry-l60.6)+27×4.6]

妥(23s：+27$+1242)=51,4862,對(duì).

故選：CD

20.

i2=-l-

故答案為：-i.

21.-##90°

2

由題設(shè)cos(4,b)=?&方,=父+也=。,而(α∕)c(0,π),

?'?a??b?2x2'/

所以?㈤=

故答案為：a

22.20

由題意，應(yīng)抽取的女生人數(shù)是50x幽=20人.

2000

故答案為：20

23.1

C,48

(8—2x)(6—2x)≤

設(shè)花卉帶的寬度為米，則<8-2x>0,即

6-2Λ>0

“X2-7X+6=(X-1)(Λ-6)≤0,,

所以《'八'，故l≤x<3,

x<3

所以花卉帶的寬度至少應(yīng)為1米.

故答案為：1

24.(1)由題設(shè)CoSa=-JI-Sin%=-±,則tana=Sina=_J.

5cosa4

、，兀c、cc.

(2)cos—2a=s?in2a=2sinacosa=--2-4-.

U)25

25.(1)面∕?B1面ABC,PALAB'面A4Bc面ABC=Μ，∕?u面B4B，

所以241面ABC，又一ABC的面積為6,