專題07 難點(diǎn)探究專題：新定義型二次函數(shù)的綜合探究問題-2023-2024學(xué)年蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊常考?jí)狠S題

-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊常考?jí)狠S題專題07難點(diǎn)探究專題：新定義型二次函數(shù)的綜合探究問題姓名：_________班級(jí)：_________學(xué)號(hào)：_________【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一新定義型二次函數(shù)——關(guān)聯(lián)拋物線】 1【考點(diǎn)二新定義型二次函數(shù)——友好同軸二次函數(shù)】 6【考點(diǎn)三新定義型二次函數(shù)——衍生拋物線】 10【考點(diǎn)四新定義型二次函數(shù)——旋轉(zhuǎn)函數(shù)】 14【考點(diǎn)五新定義型二次函數(shù)——同軸對(duì)稱拋物線】 15【考點(diǎn)六新定義型二次函數(shù)——孔像拋物線】 18【考點(diǎn)七新定義型二次函數(shù)——反碟長拋物線】 21【考點(diǎn)八新定義型二次函數(shù)——月牙線拋物線】 23【考點(diǎn)九新定義型二次函數(shù)——系列平移拋物線】 28【典型例題】【考點(diǎn)一新定義型二次函數(shù)——關(guān)聯(lián)拋物線】例題：（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）新定義：我們把拋物線（其中與拋物線稱為“關(guān)聯(lián)拋物線”，例如，拋物線的“關(guān)聯(lián)拋物線”為已知拋物線：的“關(guān)聯(lián)拋物線”為，與y軸交于點(diǎn)E．(1)若點(diǎn)E的坐標(biāo)為，求的解析式；(2)設(shè)的頂點(diǎn)為F，若△OEF是以O(shè)F為底的等腰三角形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)過x軸上一點(diǎn)P，作x軸的垂線分別交拋物線，，于點(diǎn)M，N．①當(dāng)MN=6時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)時(shí)，的最大值與最小值的差為2a，求a的值．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·福建福州·九年級(jí)福建省福州格致中學(xué)?？计谥校┬露x：我們把拋物線（其中）與拋物線稱為“關(guān)聯(lián)拋物線”．例如：拋物線的“關(guān)聯(lián)拋物線”為：．已知拋物線的“關(guān)聯(lián)拋物線”為．(1)寫出的解析式（用含的式子表示）及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若，過軸上一點(diǎn)，作軸的垂線分別交拋物線，于點(diǎn)，．①當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②當(dāng)時(shí)，的最大值與最小值的差為，求的值．【考點(diǎn)二新定義型二次函數(shù)——友好同軸二次函數(shù)】例題：（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）定義：二次項(xiàng)系數(shù)之和為1，對(duì)稱軸相同，且圖象與y軸交點(diǎn)也相同的兩個(gè)二次函數(shù)互為友好同軸二次函數(shù)．例如：的友好同軸二次函數(shù)為．(1)函數(shù)的對(duì)稱軸為__________．其友好同軸二次函數(shù)為__________．(2)已知二次函數(shù)（其中且且），其友好同軸二次函數(shù)記為．①若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A的橫坐標(biāo)小于點(diǎn)B的橫坐標(biāo)），求線段的長；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值的差為8，求a的值．【變式訓(xùn)練】1．【信息提取】新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，如果兩條拋物線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則一條拋物線叫另一條拋物線的“友好拋物線”．新知識(shí)：對(duì)于直線和．若，則直線與互相垂直；若直線與互相垂直，則．【感知理解】（1）若拋物線的“友好拋物線”為．則h，k的值分別是；（2）若拋物線與互為“友好拋物線”．則b與n的數(shù)量關(guān)系為，c與q的數(shù)量關(guān)系為．【綜合應(yīng)用】（3）如圖，拋物線的頂點(diǎn)為E，的“友好拋物線”的頂點(diǎn)為F，過點(diǎn)O的直線與拋物線交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在B的左側(cè)），與拋物線交于點(diǎn)C，D（點(diǎn)C在D的左側(cè)）．若四邊形AFDE為菱形，求AB的長；【考點(diǎn)三新定義型二次函數(shù)——衍生拋物線】例題：（2023秋·江西南昌·九年級(jí)南昌市第十七中學(xué)?？计谀┬≠t與小杰在探究某類二次函數(shù)問題時(shí)，經(jīng)歷了如下過程：求解體驗(yàn)：(1)已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則b＝_______，頂點(diǎn)坐標(biāo)為_______，該拋物線關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的拋物線表達(dá)式是_______．抽象感悟：我們定義：對(duì)于拋物線，以y軸上的點(diǎn)為中心，作該拋物線關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的拋物線，則我們又稱拋物線為拋物線y的“衍生拋物線”，點(diǎn)M為“衍生中心”．(2)已知拋物線關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為，若這兩條拋物線有交點(diǎn)，求m的取值范圍．問題解決：(3)已知拋物線．①若拋物線y的衍生拋物線為，兩拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，且恰好是它們的頂點(diǎn)，求a，b的值及衍生中心的坐標(biāo)；②若拋物線y關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為，其頂點(diǎn)為；關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為，其頂點(diǎn)為；…；關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為，其頂點(diǎn)為，…（為正整數(shù)）．求的長（用含n的式子表示）．【考點(diǎn)四新定義型二次函數(shù)——旋轉(zhuǎn)函數(shù)】例題：（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）定義：如果二次函數(shù)，（，、、是常數(shù)）與，、、是常數(shù)）滿足，，，則這兩個(gè)函致互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．例如：求函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，由函數(shù)可知，，，．根據(jù)，，求出、、就能確定這個(gè)函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．請思考并解決下面問題：(1)寫出函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”；(2)若函數(shù)與互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求的值；(3)已知函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A、B、C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是、、，試求證：經(jīng)過點(diǎn)、、的二次函數(shù)與互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．【考點(diǎn)五新定義型二次函數(shù)——同軸對(duì)稱拋物線】例題：定義：關(guān)于x軸對(duì)稱且對(duì)稱軸相同的兩條拋物線叫作“同軸對(duì)稱拋物線”．例如：的“同軸對(duì)稱拋物線”為．(1)請寫出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)_______；及其“同軸對(duì)稱拋物線”的頂點(diǎn)坐標(biāo)_______；寫出拋物線的“同軸對(duì)稱拋物線”為_______．(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B是拋物線L：上一點(diǎn)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，過點(diǎn)B作x軸的垂線，交拋物線L的“同軸對(duì)稱拋物線”于點(diǎn)C，分別作點(diǎn)B、C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)、，連接、、、，設(shè)四邊形的面積為．①當(dāng)四邊形為正方形時(shí)，求a的值．②當(dāng)拋物線L與其“同軸對(duì)稱拋物線”圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（不包括邊界）共有11個(gè)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)時(shí)，請求出a的取值范圍．【考點(diǎn)六新定義型二次函數(shù)——孔像拋物線】例題：二次函數(shù)的圖象交軸于原點(diǎn)及點(diǎn)．感知特例（1）當(dāng)時(shí)，如圖1，拋物線上的點(diǎn)，，，，分別關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱的點(diǎn)為，，，，，如下表：…（___，___）………①補(bǔ)全表格；②在圖1中描出表中對(duì)稱后的點(diǎn)，再用平滑的曲線依次連接各點(diǎn)，得到的圖象記為．形成概念我們發(fā)現(xiàn)形如（1）中的圖象上的點(diǎn)和拋物線上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則稱是的“孔像拋物線”．例如，當(dāng)時(shí)，圖2中的拋物線是拋物線的“孔像拋物線”．探究問題（2）①當(dāng)時(shí)，若拋物線與它的“孔像拋物線”的函數(shù)值都隨著的增大而減小，則的取值范圍為_______；②在同一平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)取不同值時(shí)，通過畫圖發(fā)現(xiàn)存在一條拋物線與二次函數(shù)的所有“孔像拋物線”，都有唯一交點(diǎn)，這條拋物線的解析式可能是______．（填“”或“”或“”或“”，其中）；③若二次函數(shù)及它的“孔像拋物線”與直線有且只有三個(gè)交點(diǎn)，求的值．【考點(diǎn)七新定義型二次函數(shù)——反碟長拋物線】例題：定義：若直線與開口向下的拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，則這兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離叫做這條拋物線的“反碟長”．如圖，已知拋物線：與直線相交于P，Q兩點(diǎn)．

(1)拋物線的“反碟長”______．(2)拋物線隨其頂點(diǎn)沿直線向上平移，得到拋物線．①當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)平移到點(diǎn)時(shí)，拋物線的解析式是______，拋物線的“反碟長”是______；②若拋物線的“反碟長”是一個(gè)偶數(shù)，則其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)可能是______（填寫所有正確的選項(xiàng)）；A．15；B．16；C．24；D．25③當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)A和拋物線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)B，C構(gòu)成一個(gè)等邊三角形時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．【考點(diǎn)八新定義型二次函數(shù)——月牙線拋物線】例題：定義：由兩條與x軸有著相同的交點(diǎn)，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”．如圖①，拋物線與拋物線組成一個(gè)開口向下的“月牙線”，拋物線與拋物線與x軸有相同的交點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N左側(cè)），與y軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)，．

(1)求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)和拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P是x軸上方拋物線上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，交拋物線于點(diǎn)Q，試證明：的值為定值，并求出該定值；(3)如圖②，點(diǎn)D是點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使得是以為腰的等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式訓(xùn)練】1．定義：由兩條與軸有著相同的交點(diǎn)，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”．

(1)【概念理解】拋物線與拋物線________（填“能”或“不能”）圍成“月牙線”．(2)【嘗試應(yīng)用】如圖，拋物線與拋物線組成一個(gè)開口向上的“月牙線”，拋物線與拋物線與軸有相同的交點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸的交點(diǎn)分別為，，拋物線的解析式為，拋物線的解析式為．①求的長和的值；②將拋物線與拋物線所圍成的“月牙線”向左或向右平移，平移后的“月牙線”與軸的交點(diǎn)記為，，與軸的交點(diǎn)記為，，當(dāng)時(shí)，求平移的方向及相應(yīng)的距離．【考點(diǎn)九新定義型二次函數(shù)——系列平移拋物線】例題：【特例感知】（1）如圖1，對(duì)于拋物線，，，下列結(jié)論正確的序號(hào)是_______；①拋物線都經(jīng)過點(diǎn)；②拋物線的對(duì)稱軸由拋物線的對(duì)稱軸依次向左平移個(gè)單位得到；③拋物線與直線的交點(diǎn)中，相鄰兩點(diǎn)之間的距離相等．【形成概念】（2）把滿足（為正整數(shù)）的拋物線稱為“系列平移拋物線”．【知識(shí)應(yīng)用】在（2）中，如圖2．①“系列平移拋物線”的頂點(diǎn)依次為，用含的代數(shù)式表示頂點(diǎn)的坐標(biāo)，并寫出該頂點(diǎn)縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)之間的關(guān)系式；②“系列平移拋物線”存在“系列整數(shù)點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）”：，其橫坐標(biāo)分別為（為正整數(shù)），判斷相鄰兩點(diǎn)之間的距離是否都相等，若相等，直接寫出相鄰兩點(diǎn)之間的距離；若不相等，說明理由．③在②中，直線分別交“系列平移拋物線”于點(diǎn)連接，判斷是否平行？并說明理由．參考答案【典型例題】【考點(diǎn)一新定義型二次函數(shù)——關(guān)聯(lián)拋物線】例題：（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）新定義：我們把拋物線（其中與拋物線稱為“關(guān)聯(lián)拋物線”，例如，拋物線的“關(guān)聯(lián)拋物線”為已知拋物線：的“關(guān)聯(lián)拋物線”為，與y軸交于點(diǎn)E．(1)若點(diǎn)E的坐標(biāo)為，求的解析式；(2)設(shè)的頂點(diǎn)為F，若△OEF是以O(shè)F為底的等腰三角形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)過x軸上一點(diǎn)P，作x軸的垂線分別交拋物線，，于點(diǎn)M，N．①當(dāng)MN=6時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)時(shí)，的最大值與最小值的差為2a，求a的值．【答案】(1)(2)(3)①或，②或【分析】（1）根據(jù)“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義可直接得出的解析式，再將該解析式化成頂點(diǎn)式，可得出的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義可得的解析式，之后得到函數(shù)的頂點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，進(jìn)而得到，，，于是根據(jù)即可得到結(jié)論；（3）①設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則可表達(dá)點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可表達(dá)的長，列出方程，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；②當(dāng)時(shí)得出的最大值和最小值，進(jìn)而列出方程，可求出的值．【詳解】（1）解：∵C1與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為E（0，-1），∴，解得．∴C1的解析式為；（2）解：根據(jù)“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義可得的解析式為，∵，∴的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為易得點(diǎn)E，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接．

∴，，，∵，∴，即．解得，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為；（3）解：①設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，∵過點(diǎn)P作x軸的垂線分別交拋物線，于點(diǎn)，∴，，∴，∵，∴，解得或，∴或；②∵的解析式為，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．根據(jù)題意可知，需要分三種情況討論：Ⅰ．當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為；函數(shù)的最小值為-3．∴，解得或（舍）或（舍）；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，函數(shù)的最小值為-3．∴，解得或（舍）或（舍）；Ⅱ．當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的最大值為；函數(shù)的最小值為，∴，解得（舍）或（舍）；Ⅲ．當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去．綜上，a的值為或【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)背景下新定義類問題，涉及等腰三角形以及兩點(diǎn)間距離公式，二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，由“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義得出的解析式，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·福建福州·九年級(jí)福建省福州格致中學(xué)?？计谥校┬露x：我們把拋物線（其中）與拋物線稱為“關(guān)聯(lián)拋物線”．例如：拋物線的“關(guān)聯(lián)拋物線”為：．已知拋物線的“關(guān)聯(lián)拋物線”為．(1)寫出的解析式（用含的式子表示）及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若，過軸上一點(diǎn)，作軸的垂線分別交拋物線，于點(diǎn)，．①當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②當(dāng)時(shí)，的最大值與最小值的差為，求的值．【答案】(1)，頂點(diǎn)為(2)①或；②或．【分析】（1）根據(jù)定義將一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)互換即可求得解析式，化為頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）①設(shè)，則，，根據(jù)題意建立方程解方程即可求解；②根據(jù)題意，分三種情形討論，根據(jù)點(diǎn)距離對(duì)稱軸的遠(yuǎn)近確定最值，然后建立方程，解方程求解即可．【詳解】（1）解：拋物線的“關(guān)聯(lián)拋物線”為，根據(jù)題意可得，的解析式頂點(diǎn)為（2）解：①設(shè)，則，∴當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，方程無解或②的解析式頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)的最大值為，最小值為的最大值與最小值的差為解得（，舍去）當(dāng)時(shí)，且即時(shí)，函數(shù)的最大值為，最小值為的最大值與最小值的差為解得（，舍去）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，拋物線開向上，對(duì)稱軸右側(cè)隨的增大而增大，函數(shù)的最大值為，最小值為的最大值與最小值的差為即即解得（舍去）綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，求頂點(diǎn)式，二次函數(shù)的最值問題，分類討論是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二新定義型二次函數(shù)——友好同軸二次函數(shù)】例題：（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）定義：二次項(xiàng)系數(shù)之和為1，對(duì)稱軸相同，且圖象與y軸交點(diǎn)也相同的兩個(gè)二次函數(shù)互為友好同軸二次函數(shù)．例如：的友好同軸二次函數(shù)為．(1)函數(shù)的對(duì)稱軸為__________．其友好同軸二次函數(shù)為__________．(2)已知二次函數(shù)（其中且且），其友好同軸二次函數(shù)記為．①若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A的橫坐標(biāo)小于點(diǎn)B的橫坐標(biāo)），求線段的長；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值的差為8，求a的值．【答案】(1)直線，(2)①4；②或3【分析】（1）將函數(shù)畫出頂點(diǎn)式即可得函數(shù)的對(duì)稱軸，再根據(jù)友好同軸二次函數(shù)的定義求解即可得；（2）①根據(jù)友好同軸二次函數(shù)的定義求出函數(shù)，聯(lián)立函數(shù)，，解方程可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由此即可得；②分且且、兩種情況，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得．【詳解】（1）解：函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，因?yàn)?，所以設(shè)函數(shù)的友好同軸二次函數(shù)為，所以，解得，所以函數(shù)的友好同軸二次函數(shù)為，故答案為：直線，．（2）解：①二次函數(shù)，則設(shè)，所以，解得，所以，聯(lián)立得：，解得或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，所以；②函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，（Ⅰ）當(dāng)且且時(shí)，拋物線的開口向上，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減??；當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為4，所以，解得，符合題設(shè)；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，則當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為4，所以，解得，符合題設(shè)；綜上，的值為或3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握理解友好同軸二次函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．【信息提取】新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，如果兩條拋物線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則一條拋物線叫另一條拋物線的“友好拋物線”．新知識(shí)：對(duì)于直線和．若，則直線與互相垂直；若直線與互相垂直，則．【感知理解】（1）若拋物線的“友好拋物線”為．則h，k的值分別是；（2）若拋物線與互為“友好拋物線”．則b與n的數(shù)量關(guān)系為，c與q的數(shù)量關(guān)系為．【綜合應(yīng)用】（3）如圖，拋物線的頂點(diǎn)為E，的“友好拋物線”的頂點(diǎn)為F，過點(diǎn)O的直線與拋物線交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在B的左側(cè)），與拋物線交于點(diǎn)C，D（點(diǎn)C在D的左側(cè)）．若四邊形AFDE為菱形，求AB的長；【答案】（1）3，；（2），；（3）【分析】（1）根據(jù)題目中的新定義可知“友好拋物線”關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，根據(jù)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的拋物線的特征即可得出答案；（2）根據(jù)互為友好拋物線”的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱即可得出答案；（3）由（2）的規(guī)律易得的解析式，由、的解析式先求出E、F點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線EF的解析式，當(dāng)四邊形AFDE為菱形時(shí)，EF⊥AD，直線AD經(jīng)過原點(diǎn)O，則可求得AD解析式，設(shè)點(diǎn)A（x1,2x1），點(diǎn)B（x2,2x2），進(jìn)而根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系以及兩點(diǎn)間距離公式即可求解．【詳解】解：（1）由題意可知“友好拋物線”的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，∴和的頂點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又∵的頂點(diǎn)為（-3,1），∴的頂點(diǎn)為（3,-1），∴h=3，k=-1；（2）∵和圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，拋物線的對(duì)稱軸為：，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可得拋物線的對(duì)稱軸為：，又∵，∴，∵a=-m，∴，∵拋物線經(jīng)過定點(diǎn)（0，c），（0，c）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為（0，-c），拋物線經(jīng)過定點(diǎn)（0，q），∴-c=q，即；（3）由（2）結(jié)論可得：，∴點(diǎn)，點(diǎn)，設(shè)直線EF的解析式為，將點(diǎn)E代入可得直線EF的解析式為.∵四邊形AFDE為菱形時(shí)，，所以直線AD的解析式為，由題意可設(shè)點(diǎn)A（x1,2x1），點(diǎn)B（x2,2x2），時(shí)，x1+x2=6，x1x2=3，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及兩點(diǎn)間距離公式是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三新定義型二次函數(shù)——衍生拋物線】例題：（2023秋·江西南昌·九年級(jí)南昌市第十七中學(xué)?？计谀┬≠t與小杰在探究某類二次函數(shù)問題時(shí)，經(jīng)歷了如下過程：求解體驗(yàn)：(1)已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則b＝，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，該拋物線關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的拋物線表達(dá)式是．抽象感悟：我們定義：對(duì)于拋物線，以y軸上的點(diǎn)為中心，作該拋物線關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的拋物線，則我們又稱拋物線為拋物線y的“衍生拋物線”，點(diǎn)M為“衍生中心”．(2)已知拋物線關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為，若這兩條拋物線有交點(diǎn)，求m的取值范圍．問題解決：(3)已知拋物線．①若拋物線y的衍生拋物線為，兩拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，且恰好是它們的頂點(diǎn)，求a，b的值及衍生中心的坐標(biāo)；②若拋物線y關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為，其頂點(diǎn)為；關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為，其頂點(diǎn)為；…；關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為，其頂點(diǎn)為，…（為正整數(shù)）．求的長（用含n的式子表示）．【答案】(1)；；；(2)(3)①；衍生中心的坐標(biāo)為；②【分析】（1）把代入即可求出，然后把拋物線解析式變?yōu)轫旤c(diǎn)式即可求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，繼而可得頂點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，從而可寫出原拋物線關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的拋物線的表達(dá)式；（2）先求出拋物線的頂點(diǎn)是，從而求出關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)是，得，根據(jù)兩拋物線有交點(diǎn)，可以確定方程有解，繼而求得的取值范圍即可；（3）①先求出拋物線以及拋物線的衍生拋物線為，的頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，且恰好是它們的頂點(diǎn)，求的值及再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出衍生中心的坐標(biāo)；②根據(jù)中心對(duì)稱，由題意得出，…

分別是，…的中位線，繼而可得，，…，再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)即可求得的長，即可求解．【詳解】（1）解：把代入，得，∴，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是，∵關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，∴成中心對(duì)稱的拋物線表達(dá)式是：，即，故答案為：，，；（2）∵，∴頂點(diǎn)是∵關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)是，∴，∵兩拋物線有交點(diǎn)，∴有解，∴有解，∴，∴；（3）①∵，∴頂點(diǎn)，代入得：①∵，∴頂點(diǎn)，代入得：②由①②得，∵，，∴，∴兩頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得“衍生中心”的坐標(biāo)是；②如圖，設(shè)，…，與軸分別相于，…

，，則，，…，分別關(guān)于，…，中心對(duì)稱，∴，…

分別是，…的中位線，∴，，…，∵，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，理解題意，畫出符合題意的圖形借助數(shù)形結(jié)合思想解決問題是關(guān)鍵．【考點(diǎn)四新定義型二次函數(shù)——旋轉(zhuǎn)函數(shù)】例題：（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）定義：如果二次函數(shù)，（，、、是常數(shù)）與，、、是常數(shù)）滿足，，，則這兩個(gè)函致互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．例如：求函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，由函數(shù)可知，，，．根據(jù)，，求出、、就能確定這個(gè)函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．請思考并解決下面問題：(1)寫出函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”；(2)若函數(shù)與互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求的值；(3)已知函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A、B、C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是、、，試求證：經(jīng)過點(diǎn)、、的二次函數(shù)與互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．【答案】(1)；(2)1；(3)見解析．【分析】（1）根據(jù)“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”的定義求出另一個(gè)函數(shù)的、、的值，從而得出函數(shù)解析式；（2）根據(jù)定義得出和的二元一次方程組，從而得出答案；（3）首先求出、、三點(diǎn)的坐標(biāo)，然后得出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出函數(shù)解析式，然后根據(jù)新定義進(jìn)行判定．【詳解】（1）根據(jù)題意得，解得故解析式為：．（2）根據(jù)題意得∴∴．（3）根據(jù)題意得，，∴，，又且經(jīng)過點(diǎn)，，的二次函數(shù)為∵∴兩個(gè)函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)，新定義型；涉及了待定系數(shù)法，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)等知識(shí)，正確理解題意，熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)五新定義型二次函數(shù)——同軸對(duì)稱拋物線】例題：定義：關(guān)于x軸對(duì)稱且對(duì)稱軸相同的兩條拋物線叫作“同軸對(duì)稱拋物線”．例如：的“同軸對(duì)稱拋物線”為．(1)請寫出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；及其“同軸對(duì)稱拋物線”的頂點(diǎn)坐標(biāo)；寫出拋物線的“同軸對(duì)稱拋物線”為．(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B是拋物線L：上一點(diǎn)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，過點(diǎn)B作x軸的垂線，交拋物線L的“同軸對(duì)稱拋物線”于點(diǎn)C，分別作點(diǎn)B、C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)、，連接、、、，設(shè)四邊形的面積為．①當(dāng)四邊形為正方形時(shí)，求a的值．②當(dāng)拋物線L與其“同軸對(duì)稱拋物線”圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（不包括邊界）共有11個(gè)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)時(shí)，請求出a的取值范圍．【答案】(1)，，(2)①a；②或【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)式的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；先化成頂點(diǎn)式，再求“同軸對(duì)稱拋物線”的解析式；（2）①寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再由對(duì)稱軸求出點(diǎn)，然后結(jié)合正方形的性質(zhì)列出方程求a；②先由對(duì)稱性分析得到封閉區(qū)域內(nèi)在x軸上整點(diǎn)的個(gè)數(shù)，然后針對(duì)拋物線L開口的不同進(jìn)行分類討論．【詳解】（1）解：由知頂點(diǎn)坐標(biāo)為，由知頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴拋物線的“同軸對(duì)稱拋物線”為；故答案為：，，．（2）①當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴，∵拋物線L的對(duì)稱軸為直線，∴點(diǎn)，∴，∵四邊形是正方形，∴，即，解得：（舍）或．②拋物線L的對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∵L與“同軸對(duì)稱拋物線”關(guān)于x軸對(duì)稱，∴整點(diǎn)數(shù)也是關(guān)于x軸對(duì)稱出現(xiàn)的，∴封閉區(qū)域內(nèi)在x軸上的整點(diǎn)可以是3個(gè)或5個(gè)，L與x軸圍成的區(qū)域內(nèi)整點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè)或3個(gè)，（i）當(dāng)時(shí)，∵L開口向上，與y軸交于點(diǎn)，∴封閉區(qū)域內(nèi)在x軸上只可能有3個(gè)整點(diǎn)，兩個(gè)區(qū)域內(nèi)各有4個(gè)整點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得：；（ii）當(dāng)時(shí)，∵L開口向下，與y軸交于點(diǎn)，∴封閉區(qū)域內(nèi)在x軸上只可能有5個(gè)整點(diǎn)，兩個(gè)區(qū)域內(nèi)各有3個(gè)整點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得：，綜上所述：或．【點(diǎn)睛】此題借助二次函數(shù)考查正方形的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)式找頂點(diǎn)坐標(biāo)，及新定義“同軸對(duì)稱拋物線”．【考點(diǎn)六新定義型二次函數(shù)——孔像拋物線】例題：二次函數(shù)的圖象交軸于原點(diǎn)及點(diǎn)．感知特例（1）當(dāng)時(shí)，如圖1，拋物線上的點(diǎn)，，，，分別關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱的點(diǎn)為，，，，，如下表：…（___，___）………①補(bǔ)全表格；②在圖1中描出表中對(duì)稱后的點(diǎn)，再用平滑的曲線依次連接各點(diǎn)，得到的圖象記為．形成概念我們發(fā)現(xiàn)形如（1）中的圖象上的點(diǎn)和拋物線上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則稱是的“孔像拋物線”．例如，當(dāng)時(shí)，圖2中的拋物線是拋物線的“孔像拋物線”．探究問題（2）①當(dāng)時(shí)，若拋物線與它的“孔像拋物線”的函數(shù)值都隨著的增大而減小，則的取值范圍為_______；②在同一平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)取不同值時(shí)，通過畫圖發(fā)現(xiàn)存在一條拋物線與二次函數(shù)的所有“孔像拋物線”，都有唯一交點(diǎn)，這條拋物線的解析式可能是______．（填“”或“”或“”或“”，其中）；③若二次函數(shù)及它的“孔像拋物線”與直線有且只有三個(gè)交點(diǎn)，求的值．【答案】（1）①2，0；②見解析；（2）①；②；③m=1．【分析】（1）①根據(jù)中心對(duì)稱的定義求解即可；②根據(jù)表格，描點(diǎn)，連線即可；（2）①畫出草圖，利用數(shù)形結(jié)合思想即可求解；②結(jié)合（1）②的圖象以及（2）①的圖象即可回答；③根據(jù)“孔像拋物線”的性質(zhì)求得圖象L的頂點(diǎn)為，則圖象L′的頂點(diǎn)為(3m，)，再根據(jù)題意即可求解．【詳解】（1）∵點(diǎn)B(-1，3)與點(diǎn)B′(5，-3)關(guān)于點(diǎn)A中心對(duì)稱，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，)，即A(2，0)，故答案為：2，0；②描點(diǎn)，連線，得到的圖象如圖所示：（2）①當(dāng)m=?1時(shí)，拋物線L為，對(duì)稱軸為，它的“孔像拋物線”L′的解析式為，對(duì)稱軸為，畫出草圖如圖所示：∴拋物線L與它的“孔像拋物線”L′的函數(shù)值都隨著x的增大而減小，則x的取值范圍為：；②畫出草圖，由圖象知，這條拋物線的解析式只能是；故答案為：；③L：，設(shè)頂點(diǎn)為，過點(diǎn)P作PM⊥軸于點(diǎn)M，“孔像拋物線”的頂點(diǎn)為，過點(diǎn)作⊥x軸于點(diǎn)，由題意可知△PMA≌△A，得(3m，0)，所以(3m，)，∵拋物線L及“孔像拋物線”與直線y=m有且只有三個(gè)交點(diǎn)，∴=m或=m，解得m=1或0，當(dāng)m=0時(shí)，與只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，舍去，∴m=1．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)七新定義型二次函數(shù)——反碟長拋物線】例題：定義：若直線與開口向下的拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，則這兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離叫做這條拋物線的“反碟長”．如圖，已知拋物線：與直線相交于P，Q兩點(diǎn)．

(1)拋物線的“反碟長”______．(2)拋物線隨其頂點(diǎn)沿直線向上平移，得到拋物線．①當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)平移到點(diǎn)時(shí)，拋物線的解析式是______，拋物線的“反碟長”是______；②若拋物線的“反碟長”是一個(gè)偶數(shù)，則其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)可能是______（填寫所有正確的選項(xiàng)）；A．15；B．16；C．24；D．25③當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)A和拋物線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)B，C構(gòu)成一個(gè)等邊三角形時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．【答案】(1)2(2)①，；②AC；③【分析】（1）由，得，即得；（2）①由拋物線的頂點(diǎn)平移到點(diǎn)，得拋物線的解析式是，由，得或，，故拋物線的“反碟長”是；②設(shè)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，再求出“反碟長”，再根據(jù)“反碟長”是一個(gè)偶數(shù)判斷即可；③過A作于H，設(shè)，由,得，根據(jù)是等邊三角形，可得，即可解得或，從而．【詳解】（1）解：在中，令得，解得或，∴，∴．故答案為：2．（2）解：①∵拋物線的頂點(diǎn)平移到點(diǎn)，∴拋物線的解析式是，在中，令得，解得：或，∴拋物線與直線的交點(diǎn)為和，∴拋物線的“反碟長”是；故答案為：，；②設(shè)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則拋物線．令，解得或，∴拋物線的“反碟長”為．∵拋物線的“反碟長”是一個(gè)偶數(shù)，∴是整數(shù)，結(jié)合選項(xiàng)可知，當(dāng)或24時(shí)符合題意，故A，C正確．③如圖：過A作于H，

設(shè)，則拋物線的解析式為,在中，令得,解得或，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∴，解得或（B，C重合，舍去）．∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用、涉及新定義、平移變換、等邊三角形等知識(shí)點(diǎn)，讀懂題意，用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)線段的長度是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)八新定義型二次函數(shù)——月牙線拋物線】例題：定義：由兩條與x軸有著相同的交點(diǎn)，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”．如圖①，拋物線與拋物線組成一個(gè)開口向下的“月牙線”，拋物線與拋物線與x軸有相同的交點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N左側(cè)），與y軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)，．

(1)求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)和拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P是x軸上方拋物線上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，交拋物線于點(diǎn)Q，試證明：的值為定值，并求出該定值；(3)如圖②，點(diǎn)D是點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使得是以為腰的等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，；(2)證明見解析，該定值為2(3)在x軸上存在點(diǎn)F，使得是以為腰的等腰三角形，點(diǎn)F的坐標(biāo)為或【分析】（1）先由求得，，可得點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，將點(diǎn)，代入拋物線，利用待定系數(shù)法即可求拋物線的解析式；（2）設(shè)，則，可得，，進(jìn)而可得，即可證得結(jié)論；（3）由拋物線：可得點(diǎn)，兩條拋物線的對(duì)稱軸均為直線，進(jìn)而求得，連接，由于等腰直角三角形可知，分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，分別進(jìn)行討論即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于點(diǎn)M、N，且當(dāng)時(shí)，解得，，∴，；將點(diǎn)，代入拋物線，得，解得∴拋物線的解析式為；

3分（2）證明：設(shè)，則，∴，，∴，∴的值為定值，該定值為2；（3）存在．由拋物線：可得點(diǎn)，兩條拋物線的對(duì)稱軸均為直線，∵點(diǎn)D是點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，，∴，如解圖，連接，∵，∴為等腰直角三角形，∴，假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)，分兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)，，如解圖①，過點(diǎn)D作軸于點(diǎn)C，連接，，則，，由勾股定理可知，∴，解得：，，∴，；

②當(dāng)時(shí)，，如解圖②，由勾股定理可得，∴，此方程無解，∴此種情況不存在．綜上所述，在x軸上存在點(diǎn)F，使得是以為腰的等腰三角形，點(diǎn)F的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，對(duì)稱變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是用含字母的式子表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)線段的長度．【變式訓(xùn)練】1．定義：由兩條與軸有著相同的交點(diǎn)，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”．

(1)【概念理解】拋物線與拋物線________（填“能”或“不能”）圍成“月牙線”．(2)【嘗試應(yīng)用】如圖，拋物線與拋物線組成一個(gè)開口向上的“月牙線”，拋物線與拋物線與軸有相同的交點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸的交點(diǎn)分別為，，拋物線的解析式為，拋物線的解析式為．①求的長和的值；②將拋物線與拋物線所圍成的“月牙線”向左或向右平移，平移后的“月牙線”與軸的交點(diǎn)記為，，與軸的交點(diǎn)記為，，當(dāng)時(shí)，求平移的方向及相應(yīng)的距離．【答案】(1)能，(2)①，，②拋物線與拋物線所圍成的“月牙線”向右平移，或拋物線與拋物線所圍成的“月牙線”向右平移個(gè)單位長度．【分析】（1）分別求解兩條拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)與開口方向進(jìn)行判斷即可；（2）①根據(jù)先求解M，N的坐標(biāo)，再求