數(shù)學(xué)-第20講 圖形的相似

第二十講——圖形的相似考向一比例線段及其性質(zhì)1．（2020·甘肅金昌市·中考真題）生活中到處可見黃金分割的美，如圖，在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像的腰部以下與全身的高度比值接近0．618，可以增加視覺美感，若圖中為2米，則約為（）A．1．24米 B．1．38米 C．1．42米 D．1．62米2．（2020·四川瀘州市·中考真題）古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時(shí)，提出了分線段的“中末比”問題：點(diǎn)G將一線段分為兩線段，，使得其中較長(zhǎng)的一段是全長(zhǎng)與較短的段的比例中項(xiàng)，即滿足，后人把這個(gè)數(shù)稱為“黃金分割”數(shù)，把點(diǎn)G稱為線段的“黃金分割”點(diǎn)．如圖，在中，已知，，若D，E是邊的兩個(gè)“黃金分割”點(diǎn)，則的面積為（）A． B． C． D．

1．（2020·湖南婁底市·中考真題）若，則________．2．（2020·湖南湘潭市·中考真題）若，則________．考向二平行線分線段成比例1．（2020·遼寧營(yíng)口市·中考真題）如圖，在△ABC中，DE∥AB，且＝，則的值為（）A． B． C． D．2．（2020·四川成都市·中考真題）如圖，直線，直線和被，，所截，，，，則的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．4 D．

1．（2020·山東臨沂市·中考真題）如圖，在中，D，E為邊的三等分點(diǎn)，，H為與的交點(diǎn)．若，則___________．2．（2020·吉林中考真題）如圖，．若，，則______．考向三相似多邊形1．（2020·山西中考模擬）寬與長(zhǎng)的比是（約0.618）的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值，給我們以協(xié)調(diào)和勻稱的美感．我們可以用這樣的方法畫出黃金矩形：作正方形ABCD，分別取AD、BC的中點(diǎn)E、F，連接EF：以點(diǎn)F為圓心，以FD為半徑畫弧，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G；作GH⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則圖中下列矩形是黃金矩形的是（）A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH

2．（2020·海南中考模擬）如圖所示，在長(zhǎng)為8cm，寬為6cm的矩形中，截去一個(gè)矩形（圖中陰影部分），如果剩下的矩形與原矩形相似，那么剩下矩形的面積是（）A．28cm2 B．27cm2 C．21cm2 D．20cm21．（2020·福建莆田市·中考模擬）下列四組圖形中，一定相似的是()A．正方形與矩形B．正方形與菱形C．菱形與菱形D．正五邊形與正五邊形2．（2020·貴州六盤水市·中考模擬）矩形的兩邊長(zhǎng)分別為a,b,下列數(shù)據(jù)能構(gòu)成黃金矩形的是（）A．a(chǎn)=4,b=+2 B．a(chǎn)=4,b=-2 C．a(chǎn)=2,b=+1 D．a(chǎn)=2,b=-1考向四相似三角形性質(zhì)與判定1．（2020·浙江紹興市·中考模擬）如圖，已知，那么添加下列一個(gè)條件后，仍然無法判定的是（）

A． B． C． D．2．（2020·四川遂寧市·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若AF＝2FD，則的值為（）A． B． C． D．3．（2020·湖南長(zhǎng)沙市·中考真題）在矩形ABCD中，E為上的一點(diǎn)，把沿AE翻折，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F．（1）求證：（2）若，求EC的長(zhǎng)；（3）若，記，求的值．1．（2020·廣西貴港市·中考真題）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，若，，且，則線段的長(zhǎng)為（）

A．2 B． C．3 D．2．（2020·四川眉山市·中考真題）如圖，正方形中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接，以為對(duì)角線作正方形，邊與正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，連接．以下四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)3．（2020·上海中考真題）已知：如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AD上，BE=DF，CE的延長(zhǎng)線交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，CF的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．（1）求證：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2=AB?AE，求證：AG=DF．考向五相似比相關(guān)問題

1．（2020·云南中考真題）如圖，平行四邊形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則與的面積的比等于（）A． B． C． D．2.（2020·廣西中考真題）如圖，在中，，高，正方形一邊在上，點(diǎn)分別在上，交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．1．（2020·吉林中考真題）如圖，在中，，分別是邊，的中點(diǎn)．若的面積為．則四邊形的面積為_______．2．（2020·遼寧錦州市·中考真題）如圖，在中，D是中點(diǎn)，，若的周長(zhǎng)為6，則的周長(zhǎng)為______．

考向六相似三角形的實(shí)際應(yīng)用1．（2020·四川涼山彝族自治州·中考真題）如圖，△ABC是一塊銳角三角形的材料，邊BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上，這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是多少mm．2．（2020·甘肅天水市·中考真題）如圖所示，某校數(shù)學(xué)興趣小組利用標(biāo)桿測(cè)量建筑物的高度，已知標(biāo)桿高，測(cè)得，，則建筑物的高是()A． B． C． D．1．（2020·廣西玉林市·中考真題）一個(gè)三角形支架三條邊長(zhǎng)分別是75cm，100cm，120cm

，現(xiàn)要再做一個(gè)與其相似的三角形木架，而只有長(zhǎng)為60cm，120cm的兩根木條，要求以其中一根為一邊，從另一根上截下兩段作為另兩邊（允許有余料），則不同的截法有（）A．一種 B．兩種 C．三種 D．四種2．（2020·湖北省直轄縣級(jí)行政單位·中考真題）在平行四邊形中，E為的中點(diǎn)，請(qǐng)僅用無刻度的直尺完成下列畫圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡．（1）如圖1，在上找出一點(diǎn)M，使點(diǎn)M是的中點(diǎn)；（2）如圖2，在上找出一點(diǎn)N，使點(diǎn)N是的一個(gè)三等分點(diǎn)．考向七位似1．（2020·河北中考真題）在如圖所示的網(wǎng)格中，以點(diǎn)為位似中心，四邊形的位似圖形是（）

A．四邊形B．四邊形C．四邊形D．四邊形2．（2020·遼寧丹東市·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，網(wǎng)格的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形，點(diǎn)，，的坐標(biāo)分別為，，，先以原點(diǎn)為位似中心在第三象限內(nèi)畫一個(gè)，使它與位似，且相似比為2：1，然后再把繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到．（1）畫出，并直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）畫出，直接寫出在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)．1．（2020·浙江嘉興市·中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△OAB的頂點(diǎn)為O（0，0），A（4，3），B

（3，0）．以點(diǎn)O為位似中心，在第三象限內(nèi)作與△OAB的位似比為的位似圖形△OCD，則點(diǎn)C坐標(biāo)（）A．（﹣1，﹣1） B．（﹣，﹣1） C．（﹣1，﹣） D．（﹣2，﹣1）2．（2020·重慶）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，以原點(diǎn)為位似中心，在原點(diǎn)的同側(cè)畫，使與成位似圖形，且相似比為2：1，則線段DF的長(zhǎng)度為（）A． B．2 C．4 D．

1．（2020·山西中考真題）泰勒斯是古希臘時(shí)期的思想家，科學(xué)家，哲學(xué)家，他最早提出了命題的證明．泰勒斯曾通過測(cè)量同一時(shí)刻標(biāo)桿的影長(zhǎng)，標(biāo)桿的高度。金字塔的影長(zhǎng)，推算出金字塔的高度。這種測(cè)量原理，就是我們所學(xué)的（）A．圖形的平移 B．圖形的旋轉(zhuǎn) C．圖形的軸對(duì)稱 D．圖形的相似2．（2020·貴州銅仁市·中考真題）已知△FHB∽△EAD，它們的周長(zhǎng)分別為30和15，且FH＝6，則EA的長(zhǎng)為（）A．3 B．2 C．4 D．53．（2020·河北邢臺(tái)市·九年級(jí)期末）如圖，是的邊上的一點(diǎn)，下列條件不可能是的是（）A．B．C．D．4．（2020·重慶中考真題）如圖，△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O為位似中心．已知OA∶OD=1∶2，則△ABC與△DEF的面積比為（）A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5

5．（2020·浙江紹興市·中考真題）如圖，三角板在燈光照射下形成投影，三角板與其投影的相似比為2：5，且三角板的一邊長(zhǎng)為8cm．則投影三角板的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)為（）A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm6．（2020·新疆中考真題）如圖，在△ABC中，∠A=90°，D是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作BC的平行線，交AC于點(diǎn)E，作BC的垂線交BC于點(diǎn)F，若AB=CE，且△DFE的面積為1，則BC的長(zhǎng)為（）A． B．5 C． D．107．（2020·廣東廣州市·中考真題）如圖，矩形的對(duì)角線，交于點(diǎn)，，，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，則的值為（）A． B． C． D．

8．（2019·廣西賀州市·中考真題）如圖，在中，分別是邊上的點(diǎn)，，若，則等于（）A．5 B．6 C．7 D．89．（2019·四川涼山彝族自治州·中考真題）如圖，在中，D在AC邊上，，O是BD的中點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交BC于E，則（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：310．（2020·新疆中考真題）如圖，在△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=2，若D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則2AD+DC的最小值為_____．

11．（2020·四川宜賓市·中考真題）在直角三角形ABC中，是AB的中點(diǎn)，BE平分交AC于點(diǎn)E連接CD交BE于點(diǎn)O，若，則OE的長(zhǎng)是________．12．（2020·廣東深圳市·中考真題）如圖，已知四邊形ABCD，AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ABC=∠DAC=90°，，則=___．13．（2020·四川眉山市·中考真題）如圖，等腰中，，邊的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若的周長(zhǎng)為，則的長(zhǎng)為________．14．（2020·山東東營(yíng)市）如圖，為平行四邊形邊上一點(diǎn)，分別為上的點(diǎn)，且的面積分別記為．若則____．

15．（2020·江蘇蘇州市·中考真題）如圖，在矩形中，是的中點(diǎn)，，垂足為．（1）求證：；（2）若，，求的長(zhǎng)．

16．（2020·浙江杭州市·中考真題）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在AB，BC，AC邊上，DE∥AC，EF∥AB．（1）求證：△BDE∽△EFC．（2）設(shè)，①若BC＝12，求線段BE的長(zhǎng)；②若△EFC的面積是20，求△ABC的面積．

17．（2020·遼寧朝陽市·中考真題）如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，請(qǐng)按如下要求畫圖：（1）以坐標(biāo)原點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到，請(qǐng)畫出；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心，在x軸下方，畫出的位似圖形，使它與的位似比為．18．（2020·江蘇南京市·）如圖，在和中，D、分別是AB、上一點(diǎn)，．（1）當(dāng)時(shí)，求證：證明的途徑可以用如框圖表示，請(qǐng)?zhí)顚懫渲械目崭瘢?）當(dāng)時(shí)，判斷與是否相似，并說明理由

19．（2020·湖南湘潭市·中考真題）閱讀材料：三角形的三條中線必交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)稱為三角形的重心．（1）特例感知：如圖（一），已知邊長(zhǎng)為2的等邊的重心為點(diǎn)，求與的面積．（2）性質(zhì)探究：如圖（二），已知的重心為點(diǎn)，請(qǐng)判斷、是否都為定值？如果是，分別求出這兩個(gè)定值：如果不是，請(qǐng)說明理由．（3）性質(zhì)應(yīng)用：如圖（三），在正方形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接交對(duì)角線于點(diǎn)．①若正方形的邊長(zhǎng)為4，求的長(zhǎng)度；②若，求正方形的面積．

20．（2020·江蘇宿遷市·中考真題）（感知）（1）如圖①，在四邊形ABCD中，∠C=∠D=90°，點(diǎn)E在邊CD上，∠AEB=90°，求證：=．（探究）（2）如圖②，在四邊形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，點(diǎn)E在邊CD上，點(diǎn)F在邊AD的延長(zhǎng)線上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，連接BG交CD于點(diǎn)H．求證：BH=GH．（拓展）（3）如圖③，點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)，∠AEB+∠DEC=180°，且=，過E作EF交AD于點(diǎn)F，若∠EFA=∠AEB，延長(zhǎng)FE交BC于點(diǎn)G．求證：BG=CG．

1．（2020·貴州畢節(jié)市·中考真題）已知，則的值為（）A． B． C． D．2．（2020·湖南永州市·中考真題）如圖，在中，，四邊形的面積為21，則的面積是（）A． B．25 C．35 D．633．（2020·山東德州市·九年級(jí)月考）如圖，點(diǎn)D、E分別在△ABC的AB、AC邊上，下列條件中：①∠ADE＝∠C；②；③．使△ADE與△ACB一定相似的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③4．（2020·黑龍江哈爾濱市·中考真題）如圖，在中，點(diǎn)D在BC上，連接AD，點(diǎn)E在AC上，過點(diǎn)E作，交AD于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作，交BC于點(diǎn)G，則下列式子一定正確的是（）A． B． C． D．5．（2019·甘肅慶陽市·中考真題）如圖，將圖形用放大鏡放大，應(yīng)該屬于()．

A．平移變換 B．相似變換 C．旋轉(zhuǎn)變換 D．對(duì)稱變換6．（2020·海南中考真題）如圖，在矩形中，點(diǎn)在邊上，和交于點(diǎn)若，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．7．（2020·海南中考真題）如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)于點(diǎn)，若，則的周長(zhǎng)為（）A． B． C． D．8．（2020·云南昆明市·中考真題）

在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫做格點(diǎn)三角形．如圖，△ABC是格點(diǎn)三角形，在圖中的6×6正方形網(wǎng)格中作出格點(diǎn)三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格點(diǎn)三角形△ADE只算一個(gè)），這樣的格點(diǎn)三角形一共有（）A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)9．（2020·浙江溫州市·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三邊為邊向外作正方形，過點(diǎn)C作CR⊥FG于點(diǎn)R，再過點(diǎn)C作PQ⊥CR分別交邊DE，BH于點(diǎn)P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，則CR的長(zhǎng)為（）A．14B．15C．D．10．（2020·湖北孝感市·中考真題）如圖，點(diǎn)在正方形的邊上，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，連接，過點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，與交于點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為（）A． B． C．4 D．

11．（2020·黑龍江大慶市·中考真題）已知兩個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，4，和6，8，，且這兩個(gè)直角三角形不相似，則的值為（）A．或 B．15 C． D．12．（2020·江蘇南通市·中考真題）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上．設(shè)△ABC的周長(zhǎng)為C1，△DEF的周長(zhǎng)為C2，則的值等于_____．13．（2020·山東菏澤市·中考真題）如圖，矩形中，，，點(diǎn)在對(duì)角線上，且，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)為_______．14．（2020·遼寧盤錦市·中考真題）如圖，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，以點(diǎn)為位似中心，相似比為，將縮小，則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是____________．

15．（2020·遼寧鞍山市·中考真題）如圖，在中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．若的面積為1，則四邊形的面積為________．16．（2020·山西中考真題）如圖，在中，，，，，垂足為，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為_______．17．（2020·四川樂山市·中考真題）把兩個(gè)含角的直角三角板按如圖所示拼接在一起，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)．則=_________．18．（2020·遼寧大連市·中考真題）如圖，矩形中，，點(diǎn)E在邊上，與相交于點(diǎn)F．設(shè)，，當(dāng)時(shí)，y關(guān)于x的函數(shù)解析式為_____．

19．（2020·四川