數(shù)學(xué)-第14講 等腰三角形與直角三角形

第十四講——等腰三角形與直角三角形考向一等腰三角形的性質(zhì)1．（2020·青海中考真題）等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為70°，則另外兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是（）A．55°，55° B．70°，40°或70°，55° C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°2．（2020·四川瀘州市·中考真題）古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時(shí)，提出了分線段的“中末比”問題：點(diǎn)G將一線段分為兩線段，，使得其中較長(zhǎng)的一段是全長(zhǎng)與較短的段的比例中項(xiàng)，即滿足，后人把這個(gè)數(shù)稱為“黃金分割”數(shù)，把點(diǎn)G稱為線段的“黃金分割”點(diǎn)．如圖，在中，已知，，若D，E是邊的兩個(gè)“黃金分割”點(diǎn)，則的面積為（）A． B． C． D．

1．（2020·山東濱州市·中考真題）在等腰ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，則∠A的大小為________．2．（2020·黑龍江齊齊哈爾市·中考真題）等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為3和4，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是_____．考向二等腰三角形的判定1．（2020·浙江臺(tái)州市·中考真題）如圖，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于點(diǎn)O．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）判斷△BOC的形狀，并說明理由．2．（2020·四川南充市·中考真題）如圖，在等腰三角形ABC中，BD為∠ABC的平分線，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，則CD=（）

A． B． C．a(chǎn)-b D．b-a1．（2020·廣東中考真題）如圖，在中，點(diǎn)，分別是、邊上的點(diǎn)，，，與相交于點(diǎn)，求證：是等腰三角形．考向三等邊三角形的性質(zhì)1．（2020·浙江紹興市·中考真題）如圖，已知邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC中，分別以點(diǎn)A，C為圓心，m為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D，連結(jié)BD．若BD的長(zhǎng)為2，則m的值為_____．2．（2020·吉林中考真題）如圖，是等邊三角形，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作，交折線于點(diǎn)，以為邊作等邊三角形

，使點(diǎn)，在異側(cè)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，與重疊部分圖形的面積為．（1）的長(zhǎng)為______（用含的代數(shù)式表示）．（2）當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，求的值．（3）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍．

1．（2020·福建中考真題）如圖，面積為1的等邊三角形中，分別是，，的中點(diǎn)，則的面積是（）A．1 B． C． D．2．（2020·浙江嘉興市·中考真題）如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，將△ABC繞它的外心O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'B'C'，則它們重疊部分的面積是（）A．2 B．343 C． D．考向四等邊三角形的判定

1．（2020·湖北宜昌市·中考真題）如圖，在一個(gè)池塘兩旁有一條筆直小路（B，C為小路端點(diǎn)）和一棵小樹（A為小樹位置）測(cè)得的相關(guān)數(shù)據(jù)為：米，則________米．2．（2020·四川宜賓市·中考真題）如圖，都是等邊三角形，且B，C，D在一條直線上，連結(jié)，點(diǎn)M，N分別是線段BE，AD上的兩點(diǎn)，且，則的形狀是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等邊三角形D．不等邊三角形1．（2020·浙江臺(tái)州市·中考真題）如圖，等邊三角形紙片ABC的邊長(zhǎng)為6，E，F(xiàn)是邊BC上的三等分點(diǎn)．分別過點(diǎn)E，F(xiàn)沿著平行于BA，CA方向各剪一刀，則剪下的△DEF的周長(zhǎng)是_____．

2．（2020·四川中考真題）如圖，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝90°．將Rt△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到．此時(shí)恰好點(diǎn)C在上，交AC于點(diǎn)E，則△ABE與△ABC的面積之比為（）A． B． C． D．考向五“三線合一”1．（2020·貴州銅仁市·中考真題）已知等邊三角形一邊上的高為2，則它的邊長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．4 D．42．（2020·內(nèi)蒙古赤峰市·中考真題）如圖，中，AB=AC，AD是∠BAC的平分線，EF是AC的垂直平分線，交AD于點(diǎn)O.若OA=3，則外接圓的面積為（）A． B． C． D．

1．（2020·湖北荊門市·中考真題）中，，D為的中點(diǎn)，，則的面積為（）A． B． C． D．考向六直角三角形1．（2020·海南中考真題）如圖，在中，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)落在邊上，連接，則的長(zhǎng)度是（）A． B． C． D．2．（2020·廣東中考真題）有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時(shí)撲捉．把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點(diǎn)，模型如圖，，點(diǎn)，分別在射線，上，長(zhǎng)度始終保持不變，，為

的中點(diǎn)，點(diǎn)到，的距離分別為4和2．在此滑動(dòng)過程中，貓與老鼠的距離的最小值為_________．1．（2020·貴州黔西南布依族苗族自治州·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在線段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝，則BD的長(zhǎng)度為________．2．（2020·山東濟(jì)寧市·中考真題）如圖，在△ABC中點(diǎn)D為△ABC的內(nèi)心,∠A=60°,CD=2,BD=4．則△DBC的面積是（）A．4 B．2 C．2 D．4考向七勾股定理

1．（2020·浙江紹興市·中考真題）如圖1，直角三角形紙片的一條直角邊長(zhǎng)為2，剪四塊這樣的直角三角形紙片，把它們按圖2放入一個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形中（紙片在結(jié)合部分不重疊無縫隙），則圖2中陰影部分面積為_____．2．（2020·山東煙臺(tái)市·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在DC上，將矩形沿AE折疊，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處．若AB＝3，BC＝5，則tan∠DAE的值為（）A． B． C． D．1．（2020·山東煙臺(tái)市·中考真題）如圖，為等腰直角三角形，OA1＝1，以斜邊OA2為直角邊作等腰直角三角形OA2A3，再以O(shè)A3為直角邊作等腰直角三角形OA3A4，…，按此規(guī)律作下去，則OAn的長(zhǎng)度為（）

A．（）n B．（）n﹣1 C．（）n D．（）n﹣12．（2020·陜西中考真題）如圖，在3×3的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，若BD是△ABC的高，則BD的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．

1．（2020·貴州銅仁市·中考真題）已知m、n、4分別是等腰三角形(非等邊三角形)三邊的長(zhǎng)，且m、n是關(guān)于x的一元二次方程﹣6+k+2=0的兩個(gè)根，則k的值等于()A．7 B．7或6 C．6或﹣7 D．62．（2020·廣西中考真題）如圖，在中，，觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．3．（2020·四川中考真題）已知：等腰直角三角形ABC的腰長(zhǎng)為4，點(diǎn)M在斜邊AB上，點(diǎn)P為該平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足PC＝2，則PM的最小值為（）A．2 B．2﹣2 C．2+2 D．24．（2020·山東濟(jì)寧市·中考真題）一條船從海島A出發(fā)，以15海里/時(shí)的速度向正北航行，2小時(shí)后到達(dá)海島B處．燈塔C在海島在海島A的北偏西42°方向上，在海島B的北偏西84°方向上．則海島B到燈塔C的距離是（）A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里5．（2020·湖南張家界市·中考真題）已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是一元二次方程的兩根，則該等腰三角形的底邊長(zhǎng)為（）A．2 B．4 C．8 D．2或4

6．（2020·重慶中考真題）如圖，三角形紙片ABC，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD，把沿著AD翻折，得到，DE與AC交于點(diǎn)G，連接BE交AD于點(diǎn)F.若，，，的面積為2，則點(diǎn)F到BC的距離為()A． B． C． D．7．（2020·黑龍江綏化市·中考真題）在中，，若，則的長(zhǎng)是________．8．（2020·貴州黔南布依族苗族自治州·中考真題）如圖所示，在四邊形中，，，．連接，，若，則長(zhǎng)度是_________．9．（2020·江蘇宿遷市·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，E為AB的中點(diǎn)，若BC=12，AD=8，則DE的長(zhǎng)為_____．

10．（2020·四川雅安市·中考真題）對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形，對(duì)角線交于點(diǎn)．若，則__________．11．（2020·江蘇常州市·中考真題）如圖，在中，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)E、F．若是等邊三角形，則_________°．12．（2020·天津中考真題）如圖，的頂點(diǎn)C在等邊的邊上，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，G為的中點(diǎn)，連接．若，，則的長(zhǎng)為_______．13．（2020·湖北襄陽市·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，則∠C=_______．

14．（2020·湖北武漢市·中考真題）如圖，折疊矩形紙片，使點(diǎn)落在邊的點(diǎn)處，為折痕，，．設(shè)的長(zhǎng)為，用含有的式子表示四邊形的面積是________．15．（2020·遼寧阜新市·中考真題）如圖，在中，，．將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到，則邊的中點(diǎn)D與其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離是____________．16．（2020·貴州貴陽市·中考真題）如圖，中，點(diǎn)在邊上，，，垂直于的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，則邊的長(zhǎng)為_____．

17．（2020·湖北中考真題）如圖，D是等邊三角形外一點(diǎn)．若，連接，則的最大值與最小值的差為_____．18．（2020·江西中考真題）如圖，平分，，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為__________．19．（2020·遼寧大連市·中考真題）如圖，中，，點(diǎn)在邊上，．求證．

20．（2020·山東煙臺(tái)市·中考真題）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E是邊AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)D是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，以DE為一邊作等邊三角形DEF，連接CF．（問題解決）（1）如圖1，若點(diǎn)D在邊BC上，求證：CE+CF＝CD；（類比探究）（2）如圖2，若點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)?zhí)骄烤€段CE，CF與CD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．

21．（2020·黑龍江牡丹江市·朝鮮族學(xué)校中考真題）等腰三角形ABC中，AB=AC=4，∠BAC=45o，以AC為腰作等腰直角三角形ACD，∠CAD為90o，請(qǐng)畫出圖形，并直接寫出點(diǎn)B到CD的距離．

22．（2020·湖北荊門市·中考真題）如圖，中，，的平分線交于D，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，求的長(zhǎng)．

23．（2020·浙江紹興市·中考真題）問題：如圖，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，C，作△AEC，使EA＝EC，若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度數(shù)．答案：∠DAC＝45°思考：（1）如果把以上“問題”中的條件“∠B＝45°”去掉，其余條件不變，那么∠DAC的度數(shù)會(huì)改變嗎？說明理由；（2）如果把以上“問題”中的條件“∠B＝45°”去掉，再將“∠BAE＝90°”改為“∠BAE＝n°”，其余條件不變，求∠DAC的度數(shù)．

1．（2020·河北中考真題）如圖是用三塊正方形紙片以頂點(diǎn)相連的方式設(shè)計(jì)的“畢達(dá)哥拉斯”圖案．現(xiàn)有五種正方形紙片，面積分別是1，2，3，4，5，選取其中三塊（可重復(fù)選?。┌磮D的方式組成圖案，使所圍成的三角形是面積最大的直角三角形，則選取的三塊紙片的面積分別是（）A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，42．（2020·貴州黔南布依族苗族自治州·中考真題）已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)等于4，一邊長(zhǎng)等于9，則它的周長(zhǎng)為（）A．9 B．17或22 C．17 D．223．（2020·浙江寧波市·中考真題）△BDE和△FGH是兩個(gè)全等的等邊三角形，將它們按如圖的方式放置在等邊三角形ABC內(nèi)．若求五邊形DECHF的周長(zhǎng)，則只需知道（）A．△ABC的周長(zhǎng)B．△AFH的周長(zhǎng)C．四邊形FBGH的周長(zhǎng)D．四邊形ADEC的周長(zhǎng)

4．（2020·福建中考真題）如圖，是等腰三角形的頂角平分線，，則等于（）A．10 B．5 C．4 D．35．（2020·內(nèi)蒙古呼倫貝爾市·中考真題）如圖，的垂直平分線交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)是（）A．25° B．20° C．30° D．15°6．（2020·浙江紹興市·中考真題）如圖，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，將BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°），得到BP，連結(jié)CP，過點(diǎn)A作AH⊥CP交CP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連結(jié)AP，則∠PAH的度數(shù)（）A．隨著θ的增大而增大B．隨著θ的增大而減小C．不變D．隨著θ的增大，先增大后減小

7．（2020·遼寧盤錦市·中考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》記載了一道有趣的問題．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問水深、葭長(zhǎng)各幾何．譯為：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，水的深度與這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別是多少？設(shè)蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度是尺．根據(jù)題意，可列方程為（）A．B．C． D．8．（2020·內(nèi)蒙古呼和浩特市·中考真題）如圖，把某矩形紙片沿，折疊（點(diǎn)E、H在邊上，點(diǎn)F，G在邊上），使點(diǎn)B和點(diǎn)C落在邊上同一點(diǎn)P處，A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為、D點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，若，為8，的面積為2，則矩形的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．9．（2020·山東青島市·中考真題）如圖，將矩形折疊，使點(diǎn)和點(diǎn)重合，折痕為，與交于點(diǎn)若，，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．

10．（2020·江蘇無錫市·中考真題）如圖，等邊的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)在邊上，，線段在邊上運(yùn)動(dòng)，，有下列結(jié)論：①與可能相等；②與可能相似；③四邊形面積的最大值為；④四邊形周長(zhǎng)的最小值為．其中，正確結(jié)論的序號(hào)為（）A．①④ B．②④ C．①③ D．②③

11．（2020·湖北黃岡市·中考真題）已知：如圖，在中，點(diǎn)在邊上，，則_______度．12．（2020·湖南岳陽市·中考真題）如圖：在中，是斜邊上的中線，若，則_________．13．（2020·遼寧阜新市·中考真題）如圖，在中，，．將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到，則邊的中點(diǎn)D與其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離是____________．14．（2020·湖南邵陽市·中考真題）如圖，在中，，斜邊，過點(diǎn)C作，以為邊作菱形，若，則的面積為________．

15．（2020·遼寧丹東市·中考真題）如圖，在四邊形中，，，，，點(diǎn)和點(diǎn)分別是和的中點(diǎn)，連接，，，若，則的面積是_________．16．（2020·黑龍江牡丹江市·中考真題）如圖，在中，，M是的中點(diǎn)，點(diǎn)D在上，，，垂足分別為E，F(xiàn)，連接．則下列結(jié)論中：①；②；③；④；⑤若平分，則；⑥，正確的有___________．（只填序號(hào)）17．（2020·四川廣元市·中考真題）如圖所示，均為等邊三角形，邊長(zhǎng)分別為，B、C、D三點(diǎn)在同一條直線上，則下列結(jié)論正確的________________．（填序號(hào)）①②③為等邊三角形④⑤CM平分

18．（2020·江蘇常州市·中考真題）如圖，在中，，D、E分別是、的中點(diǎn)，連接，在直線和直線上分別取點(diǎn)F、G，連接、．若，且直線與直線互相垂直，則的長(zhǎng)為_______