2 高二數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)期中模擬試卷（新高考題型提高卷1）解析版

高二數(shù)學(xué)期中模擬試卷（新高考版提高卷1）考試范圍：人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)（全冊(cè)）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．（2023秋·重慶九龍坡·高二重慶市楊家坪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，空間四邊形OABC中，，點(diǎn)M在上，且，點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，所以，所以.故選：B.2．（2023秋·陜西榆林·高二?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線與線段相交，則的斜率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：如圖所示：

，由圖象知：當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，直線與線段相交，故的斜率的取值范圍為.故選：D.3．（2023春·四川遂寧·高二射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）由倫敦著名建筑事務(wù)所SteynStudio設(shè)計(jì)的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品.若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線??下支的一部分，且此雙曲線的下焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，離心率為2，則該雙曲線的方程為（

）A．? B．?C．? D．?【答案】B【詳解】設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，一條漸近線方程為，則焦點(diǎn)到漸近線的距離，所以，即雙曲線方程為：.故選：B4．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線AB，BC，不共面，若四邊形的對(duì)角線互相平分，且，則的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【詳解】由題意，知，，不共面，四邊形為平行四邊形，，為空間的一組基底.，又，，，，，.故選：D.5．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)事休．”事實(shí)上，有很多代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離，則的最小值為（

）．A．3 B． C． D．【答案】D【詳解】,可以看作點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，顯然當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取到最小值，最小值為間的距離.故選：D.6．（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【詳解】在橢圓中，，，，則，，設(shè)點(diǎn)，則，且，則，所以，，，所以，，所以當(dāng)時(shí)，取最小值，故選：D7．（2023秋·江西宜春·高三校考開學(xué)考試）在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，且AB＝3，AD＝4，PA＝，則銳二面角的大小為（

）A．30° B．45°C．60° D．75°【答案】A【詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，，又是矩形，所以兩兩垂直，故以為坐?biāo)原點(diǎn)，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

又，，，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面的一個(gè)法向量為，而,設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，所以30°，所以銳二面角的大小為30°，故選：A.8．（2023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，一條漸近線與圓在第一象限交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且，則的離心率為（

）A． B．2C． D．【答案】C【詳解】如圖所示，連接，由雙曲線的漸近線方程為，根據(jù)題意，點(diǎn)在第一象限，將代入，可得，可得由求根公式，可得，因?yàn)?，且，所以，所以點(diǎn)由，可得，即，因?yàn)椋?，即，化?jiǎn)得，兩邊同除以，得，解得或（舍去）．故選：C.

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9．（2023秋·山西晉城·高二晉城市第一中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知直線，其中，則（

）A．當(dāng)時(shí)，直線與直線垂直B．若直線與直線平行，則C．直線過(guò)定點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等【答案】AC【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，其斜率為1，而直線的斜率為－1，所以當(dāng)時(shí)，直線與直線垂直，所以A正確；對(duì)于B，若直線與直線平行，則，解得或，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，與無(wú)關(guān)，故直線過(guò)定點(diǎn)，所以C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，在兩坐標(biāo)軸上的截距分別是－1，1，不相等，所以D錯(cuò)誤，故選：AC．10．（2023秋·重慶·高二校聯(lián)考期末）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，、、分別為、、的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．若點(diǎn)在平面內(nèi)，則必存在實(shí)數(shù)，使得B．直線與所成角的余弦值為C．點(diǎn)到直線的距離為D．存在實(shí)數(shù)、使得【答案】BCD【詳解】對(duì)A：若三點(diǎn)共線，則不存在實(shí)數(shù)，使得，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：取的中點(diǎn)為，連接，如下所示：在三角形中，分別為的中點(diǎn)，故可得//，在三角形中，分別為的中點(diǎn)，故可得//，則//，故直線所成的角即為或其補(bǔ)角；在三角形中，，，由余弦定理可得：，即直線與所成角的余弦值為，故B正確；對(duì)C：連接如下圖所示：在三角形中，，，，故點(diǎn)到直線的距離即為三角形中邊上的高，設(shè)其為，則.故C正確；對(duì)D：記的中點(diǎn)為，連接，如下所示：由B選項(xiàng)所證，//，又面面，故//面；易知//，又面面，故//面，又面，故平面//面，又面，故可得//面，故存在實(shí)數(shù)、使得，D正確.故選：BCD.11．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知實(shí)數(shù)滿足曲線的方程，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．點(diǎn)到曲線C上任意點(diǎn)距離最大為7 B．的最大值是3C．的最小值是 D．的取值范圍是【答案】ACD【詳解】易知曲線的方程，如圖所示，

設(shè)，圓心，半徑，連接AC延長(zhǎng)交圓C于B點(diǎn)，此時(shí)長(zhǎng)為點(diǎn)到曲線C上任意點(diǎn)距離最大值，易得，故A正確；，即為圓上一點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，延長(zhǎng)OC交圓C于D點(diǎn)，則，故B錯(cuò)誤；令，則的值為過(guò)圓上一點(diǎn)的直線在縱軸上的的截距，顯然該直線與圓在相切時(shí)取得最值，即到直線的距離為半徑時(shí)，，故C正確；，即為圓C上一點(diǎn)與點(diǎn)的斜率，易知與圓C相切時(shí)斜率取得端點(diǎn)值，可設(shè)該切線方程為，則有或，由圖象可知，故D正確.故選：ACD.12．（2023秋·河北秦皇島·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為（F是的焦點(diǎn)），則（

）A．的最小值為 B．最小值為C．最小值為 D．最小值為【答案】BCD【詳解】拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為，動(dòng)點(diǎn)到距離為

設(shè)點(diǎn)為，則整理得，，即，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，設(shè)點(diǎn)為，則點(diǎn)到距離時(shí)，最小為，最小值為，故A錯(cuò)誤.點(diǎn)為，最小為最小值為1，最小為，故B正確.等于點(diǎn)到直線的距離，最小值為到直線的距離減去，即，故C正確.到的距離為最小值為到的距離與和的最小值，即到的距離最小值，設(shè)為則到距離為當(dāng)時(shí)，最小值為2，最小值為2，得最小值為，故D正確.故選：BCD三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.）13．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知向量，，，若，則實(shí)數(shù).【答案】【詳解】因?yàn)?，，所以，又，所以，解?故答案為：14．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）不論a為何實(shí)數(shù)，直線恒過(guò)一定點(diǎn)，則此定點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【詳解】將直線整理為；直線過(guò)定點(diǎn)與無(wú)關(guān)，所以，且；聯(lián)立解方程組可得；可得定點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：15．（2023秋·江西撫州·高三黎川縣第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知拋物線C：的焦點(diǎn)F到其準(zhǔn)線的距離為2，圓M；，過(guò)F的直線l與拋物線C和圓M從上到下依次交于A，P，Q，B四點(diǎn)，則的最小值為．【答案】12【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以，所以拋物線方程為，如下圖，，

因?yàn)椋O(shè)，所以，所以，因?yàn)橹本€水平時(shí)顯然不合題意，故可設(shè)，因?yàn)橹本€所過(guò)定點(diǎn)在拋物線內(nèi)部，則直線必然與拋物線有兩交點(diǎn)，同樣與圓也有兩交點(diǎn)，聯(lián)立，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為12.故答案為：12.16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在等腰梯形中，，，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，，現(xiàn)將沿折起，使平面平面，連接、，則直線與平面所成角的正弦值為；當(dāng)時(shí)，則二面角的余弦值為．【答案】．【詳解】解：在等腰梯形中，，由平面平面，平面平面，平面，所以平面，又由在等腰梯形中，，所以以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，；所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以為平面的法向量，則，所以與平面所成角的正弦值為．因?yàn)?，，所以，設(shè)平面的法向量為，則所以取，平面的法向量，因?yàn)槎娼堑挠嘞抑禐?，所以二面角的余弦值為．故答案為?四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.）17．（2023秋·四川遂寧·高二射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）求兩條平行直線與間的距離；（2）若直線與直線垂直，求的值.【答案】（1）1;（2）【詳解】（1）根據(jù)平行線間的距離公式,得.（2）由題意可知，因?yàn)閮芍本€垂直，所以，解得或（舍去），經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，兩直線垂直，滿足題意.18．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，正方體的棱長(zhǎng)為1，在上，在上，且．

(1)求向量，的坐標(biāo)；(2)求與所成角的余弦值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可得，，故．（2）由（1）可知，所以．．所以．故與所成角的余弦值為．19．（2023春·云南大理·高二云南省下關(guān)第一中學(xué)校考期中）從拋物線上各點(diǎn)向x軸作垂線段.(1)求垂線段的中點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明它是什么曲線；(2)直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，求證：原點(diǎn)O在以AB為直徑的圓上.【答案】(1)軌跡方程是，它是頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，開口向右的拋物線(2)證明見解析【詳解】（1）解：設(shè)拋物線上的點(diǎn)，過(guò)M作軸于Q，設(shè)線段MQ中點(diǎn)，于是有，而，即，從而得，

當(dāng)M為拋物線頂點(diǎn)時(shí)，可視為過(guò)M作x軸垂線的垂足Q與點(diǎn)M重合，其中點(diǎn)P與M重合，坐標(biāo)也滿足上述方程，所以垂線段的中點(diǎn)的軌跡方程是，它是頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，開口向右的拋物線.（2）證明：由得，設(shè)，，則有，，，即，所以，

所以原點(diǎn)O在以AB為直徑的圓上.20．（2023秋·江西宜春·高一江西省豐城中學(xué)?？计谀┮阎獔A.(1)若直線過(guò)點(diǎn)且被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程；(2)若直線過(guò)點(diǎn)與圓相交于，兩點(diǎn)，求的面積的最大值，并求此時(shí)直線的方程；【答案】(1)或(2)最大值為1，或【詳解】（1）圓，圓心，半徑當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，的方程為：，此時(shí)圓心到直線的距離，則相交弦長(zhǎng)為，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為：，即此時(shí)圓心到直線的距離，則相交弦長(zhǎng)為，解得：所以此時(shí)直線的方程為：，即.綜上，直線的方程為或（2）在圓外，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，則圓心到直線的距離，所以弦長(zhǎng)，所以，當(dāng)時(shí)最大，即，即，解得或，的最大值為1，所以直線的方程為：或21．（2023春·福建龍巖·高二統(tǒng)考期末）如圖，在直三棱柱中，，E為的中點(diǎn)，平面平面．

(1)求證：；(2)若的面積為，試判斷在線段上是否存在點(diǎn)D，使得二面角的大小為．若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，【詳解】（1）,E是的中點(diǎn)，又平面平面，平面平面，且平面．平面．又平面，．（2）在直三棱柱中，平面．又平面，．又，平面且，平面．又平面平面．平面，、從而可得兩兩垂直．所以如圖以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．

的面積為，且矩形中可得解得．則，．設(shè)，．又，設(shè)平面的法向量，則，不妨取，則，∴，由（1）平面，∴平面的一個(gè)法向量，．解得,又可知又由圖可知