2022-2023學(xué)年廣西南寧市高三年級下冊學(xué)期一模（文科）數(shù)學(xué)試題【含答案】

絕密★啟用前

南寧市2023屆高中畢業(yè)班第一次適應(yīng)性測試

數(shù)學(xué)(文科)

注意事項：

L本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分,考試時間120分鐘.

2.考生作答時請將答案答在答題卡上，選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題

目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0?5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作

答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一.選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1.已知集合A={x∈M-掇!k3},3={2,4},則ADB=()

A.{l,2,3}B.{1,2,3,4}C.{0,l,2,3,4}D.{-1,0,1,2,3,4}

2.已知復(fù)數(shù)Z滿足彳(l+i)=3-i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)Z=()

A.l+2iB.l-2iC.l+iD.l-i

3.已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余為合格品.現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件，恰有一件次品的概率為()

A.0.4B.0.6C.0.8D.1

4.已知sin%=COStz-I，貝!∣sin(α+2^)=()

B.-B.-lC.2?,-?

2

5.下列函數(shù)中，既是定義域內(nèi)單調(diào)遞增函數(shù)，又是奇函數(shù)的為()

AJ(X)=tanxB.∕(x)?-?

C./(X)=X-CoMDJ(X)=

6,2023年賀歲檔共有七部電影，根據(jù)貓眼專業(yè)版數(shù)據(jù)顯示，截止到2023年1月29日13時，2023年度大盤

票房(含預(yù)售)突破了90億元大關(guān).其中歷史題材的輕喜劇《滿江紅》位列第一，總票房已經(jīng)達(dá)到了30億+,

科幻題材的《流浪地球2》也擁有近25億元的票房，現(xiàn)有編號為1,2,3,4的4張電影票，要分給甲、乙兩

個人，每人至少分得一張，那么不同分法種數(shù)為()

A.10B.14C.16D.12

7.如圖，已知圓錐的底面半徑為1,母線長S4=3,一只螞蟻從A點出發(fā)繞著圓錐的側(cè)面爬行一圈回到點A，

則螞蟻爬行的最短距離為()

A

A.2√3B.3√3C.6D.27

8.2022年10月16日中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會在北京人民大會堂召開,某校全體黨員在報告廳集中觀

看大會盛況.該報告廳共有20排座位，從第2排起后一排都比前一排多2個座位.若第10排有41個座位，則該

報告廳座位的總數(shù)是()

A.800B.820C.840D.880

9.已知sin]α一看4πC

則COS-----2Qf()

3

17249

A.------B.-------------C.—D.—

25252525

10.己知函數(shù)/(x)=χ2的圖象在X=I處的切線與函數(shù)g(χ)=?的圖象相切，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則

實數(shù)α=()

B五

A.λ∕e

2

11.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為尸，拋物線上兩點A、8在第一象限，且滿足

IA同=3,忸q=7,冏=5,則直線AB的斜率為()

33√5

A.-B.-C.l?,?

452

3(2Tn3)1ln3

12.已知α=則()

A.a<b<cB.c<a<b

C.a<c<bΓ>.b<a<c

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

尤+y+Z,0

13.若工，)‘滿足約束條件<2x-y+2..0則z=3x+y的最大值為.

X,2

14.己知函數(shù)/(x)=gcos(3x+°)的圖象關(guān)于點(子,0)對稱，那么網(wǎng)的最小值為.

15.已知耳，工是雙曲線C的兩個焦點，尸為。上一點，F(xiàn)iPF2=60,且sin/PKK=2sin∕Pf;鳥，則C

的離心率為.

16.如圖所示，正方體ABCO-44GA的棱長為2,反尸分別為AA∣,AB的中點，點P是正方體表面上的

動點，若Cf〃平面CAE/，則點P在正方體表面上運動所形成的軌跡長度為.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試

題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.(本小題滿分12分)

隨著新課程新高考改革的推進(jìn)，越來越多的普通高中認(rèn)識到了生涯規(guī)劃教育對學(xué)生發(fā)展的重要性，生涯規(guī)劃知

識大賽可以鼓勵學(xué)生樹立正確的學(xué)習(xí)觀、生活觀.某校高一年級1200名學(xué)生參加生涯規(guī)劃知識大賽初賽，學(xué)校

將初賽成績分成6組：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分

布直方圖，成績大于等于80分評為“優(yōu)秀”等級.

(1)求”的值，并估計該年級生涯規(guī)劃大賽初賽被評為“優(yōu)秀”等級的學(xué)生人數(shù)；

(2)在評為“優(yōu)秀”等級的學(xué)生中采用分層抽樣抽取6人，再從6人中隨機抽取3人進(jìn)行下一步的能力測試,

求這3人中恰有I人成績在[90/(X)]的概率.

18.(本小題滿分12分)

在eASC中，角A、8、C的對邊分別為a、》、c,已知(力一C)(SinB+sinC)=α(sinA-SinC),

(1)求B；

(2)若,ABC為銳角三角形，?=√3,求/+￠2的取值范圍.

19.(本小題滿分12分)

如圖1,平面圖形ABC。是一個直角梯形，其中A6〃CRNABC=90,BC=OC=2,AB=6,E是AB

上一點，且AE=2EB?將AED沿著ED折起使得平面AEDJ_平面。EBC,連接A&AC,過點E作

EF1AB，垂足為尸，如圖2.

(1)證明ACJ_■；

(2)若G是AC上一點，且CG=gAC,求直線BG與平面A。C所成角的正弦值.

20.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=f-αlnx(α∈R),

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性;

(2)若函數(shù)y=∕(x)在區(qū)間(l,e］上存在兩個不同零點，求實數(shù)。的取值范圍.

21.(本小題滿分12分)

已知橢圓E:與+/=l(α>方>0)的左焦點為F1(-√3,θ),點在E上.

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知橢圓E的上頂點為A，圓M:(x—l)2+y2=∕(r>0),橢圓E上是否存在兩點B,C使得圓M內(nèi)

切于ABC?若存在，求出直線BC的方程；若不存在，請說明理由.

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做則按所做的第一題記分.

22.(本小題滿分10分)

在直角坐標(biāo)系XOy中，以坐標(biāo)原點。為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為

3ττ

夕+4Sine=O,6∈π、工.

(I)求C的參數(shù)方程；

(2)已知點。在C上，若C在。處的切線與直線/:>=瓜-3平行，求點。的極坐標(biāo).

23.(本小題滿分10分)

已知函數(shù)F(X)=2∣x-l∣-∣x+l∣,g(x)=∣x-l∣

(1)在給出的坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=∕(χ)的圖象；

(2)若關(guān)于X的不等式/(x),,αg(x)恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

南寧市2023屆高中畢業(yè)班第一次適應(yīng)性測試

數(shù)學(xué)(文科)答案

一、選擇題：

L【答案】C

【解析】A={x∈N∣-M3}={0,l,2,3},.?.A0B={0,l,2,3,4},故選C.

2.【答案】A

,、3-i(3-i)(l-i)2-4i

【解析】由題意N(l+i)=3-i,可變形為日=■；■—=〉，＜=--=l—2i,

'7l+i(l+ι)(l-ι)27

則復(fù)數(shù)z=l+2i,故選A?

3.【答案】B

【解析】5件產(chǎn)品中的2件次品記為a,b,3件合格品記為AB,C,“從這5件產(chǎn)品中任取2件”,

則該試驗的樣本空間

Q={(α⑼,(α,A),(α,5),(o,C),(0,A),(b,5),0,C),(A8),(AC),(5,C)},

即〃(O)=IO.設(shè)事件A="恰有一件次品“，則〃(A)=6,故尸(A)嚅=A=。，

4.【答案】B

【解析】sin2a=I-COS2Cr

.?.l-cos2a=COSa-I,cos%+cosa-2=O

(COSa-I)(COSa+2)=O,.-.COSa=1或COSa=-2(舍)

.f3λ∣.

.?.χπ?.?s?nIa+—?I=-cosa=-ι.

5.【答案】D

【解析】對于A∕(x)=tanx為奇函數(shù)，在定義域內(nèi)不單調(diào)，不符合題意，A錯誤.

對于B,∕(x)=-}定義域為(T,0)u(°，+8)，/(r)=—/(x)，所以〃x)為奇函數(shù)，在定義域內(nèi)不單

調(diào)，B錯誤.

對于C,f(Λ)=x-cosx,f(-x)=-X-COS(-χ)=-X-∞sx≠-f(X),

故函數(shù)/(x)=X-COSΛ不是奇函數(shù)，不符合題意C,錯誤.故選D.

6.【答案】B

【解析】符合題目要求的分類方法共：“甲3張乙1張”，“甲2張乙2張”，“甲1張乙3張“，三類

①”甲3張乙1張”的基本事件為：甲123乙4；甲124乙3,甲134乙2,甲234乙1,共4類；

②“甲2張乙2張”的基本事件為：甲12乙34；甲13乙24,甲14乙23,甲23乙14,甲24乙13,甲33乙

12,共6類；

③“甲1張乙3張''的基本事件為：乙123甲4；乙124甲3,乙134甲2,乙234甲1,共4類；故選B.

7.【答案】B

【解析】已知圓錐的側(cè)面展開圖為半徑是3的扇形，如圖，一只螞蟻從A點出發(fā)繞著圓錐的側(cè)面爬行一圈回

到點A的最短距離為A4'，設(shè)ASA,=a,

277

圓錐底面周長為2"，所以AA=ax3=27所以&=3-，在.S4A'中，由S4=S4'=3,得

AA^Λ∣SA1+SA2-2SA-SA'-cosa

8.【答案】C

【解析】設(shè)報告廳的座位從第1排到第20排，各排的座位數(shù)依次排成一列，構(gòu)成數(shù)列｛4｝,其前〃項和為S,,.

根據(jù)題意，數(shù)列｛%｝是一個公差為d=2的等差數(shù)列，且4O=41,

故q=α∣o-9d=41—18=23.

2Ox(20Tχ2=840,因此，則該報告廳總有座位數(shù)為840個座位.故選C

由S=20α∣+

202

9.【答案】B

【解析】已知SinIa一7_4

一5

cos工—2a=Cos2g-工=COS2fz-?Ul-2sin2a--?=l-2×-=7

13JI3)I6(62525

故選B.

10.【答案】D

【解析】由/(x)=χ2,得r(x)=2x,則/'⑴=2,又/(1)=1,所以函數(shù)/(x)=x2的圖象

在X=I處的切線方程為y—l=2(x-l),即y=2x-l.

設(shè)y=2x-l與函數(shù)g(χ)=J的圖象相切于點小,%)，

g'0?)=>2,

x權(quán)工亭，故選D.

由/(X)=e可得<e：解得飛=看

8(XO)==2X(；=-1,

IL【答案】A

【解析】設(shè)4(玉,乂),8(孫力)則由于45的斜率存在，設(shè)AB的斜率為h

A,B,都在X軸上方，由題意知A>0,由拋物線定義AE=Xl+',Bb=Z+2

2-2

xl+--2

2

則<=>∣X,-Λ2∣=4,由弦長公式A6=Jl+4k一引,

X2+^=4

L2

22

所以IAB?—Jl+Z∣x1—x2∣=5=>Jl+%=InZ=j故選A.

12.【答案】C

【解析】設(shè)"X)=3，則r(χ)=W竺，

當(dāng)0<x<e時，/'(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)龍>e時，∕,(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減,

故當(dāng)x=e時，函數(shù)取得最大值/(e)=L,

e

3(2-ln3)?f∩ln31、

因為α=------J-----=f—e(3),/?=-=./(e),

e~13J3e

]nx

故b>a,b>c,設(shè)函數(shù)y=機-----的零點為甚,々，且0<玉</，

X

則/町=Irw1,mx2-Iar2,

所以Inx2-Inv1=m(x2-Λ1),1ΠX2+Inx1=lar1x2=m(^x2÷x1)φ,

令g(**弋?e"則""舒r°'

故g(x)在(1，+8)單調(diào)遞增，g(x)>g(l)=O,所以，當(dāng)X>l時，InA->2(X1),

%+1

(\

2%-1

x/X12

從而ln生?>kI),即------->-------②,

X-XX+X

玉強+12121

?i

,e2

①代入②得，XiX2>e^,令Xl=§,貝Ij々>3,

故/(N)=/(工2)</(3)，故α<c,綜上α<c<>故選：C.

二、填空題：

13.【答案】2

【解析】由約束條件作出可行域如圖所示，由目標(biāo)函數(shù)z=3x+y可知

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點C(2,T)時，Z取得最大值，最大值3x2—4=2.

π

14.【答案】-

2

I(44、

【解析】函數(shù)/(x)=]C0s(3x+e)的圖象關(guān)于點[?-,0J對稱，

4yrTT77r

則有3?y+/=Z乃+萬,左∈Z,于是得夕二k7一——,k∈Z,

7yr

顯然°=人萬—；?對于z∈z是單調(diào)遞增的，

而攵=3或4時，|同=(所以|。|的最小值為3

15.【答案】e-Λ∕3

?PF?SinZPFF_?

【解析】由正弦定理得I明'所以國t2

sin/PEKsin/PGEsin^PFiF2~

即IPKl=2∣尸鳥I，由雙曲線的定義可得IPKITP周=IpEl=2α,

所以IPKI=2a,∣P耳∣=4α;

因為/4PK=60,由余弦定理可得4<?=16〃+4/一2χ4α?2α?cos60，

2

整理可得4,2=12/,所以C?=:=3,即e=百.

a

16.【答案】√2+2√5

【解析】取的中點G，A4的中點H，連結(jié)G"CGCH,4B,EG,"凡正方體

ABCD一AqGA的棱長為2.E,F,G,"為中點，所以E尸〃A民GH〃4B,

所以EF〃GH且EF=GH=6.

因為F,”為分別為AB,A4的中點，

所以77/〃CG,且尸"=CG，所以四邊形尸"GC為平行四邊形，

所以"G〃。尸.

因為“GZ面CD[EF,CFU面CD[EF,

所以"G〃面CDIE尸.

同理可證：HG〃面CD∣EF.

又GHCHCl=H,HQu面CxGH,G"u面GG",

所以面GHG〃面CAEf

所以P點在正方體表面上運動所形成的軌跡為三角形G"G.

因為正方體ABC。一4旦GA的棱長為2,所以HG=GJ=√22+l2=√5，

所以三角形G"G的周長為G〃++GG=√2+√5+√5=√2+2√5.

三、解答題：

17.【答案】（1）α=0.025,360人（2）-

2

【解析】

（1）依題意，成績在［40,50］的概率為pl=0.1,成績在［50,60）的概率為P2=0.15,

成績在［60,70）的概率為p3=θ?15,成績在［70,80）的概率為=0.3,

成績在［80,90）的概率為小=。X10，成績在［90,l∞］的概率為P6=0.05,

故心=0×10=l-（0.1+0.15+0.15+0.3+0.05）=0.25,

.?.iz=0.025

該年級生涯規(guī)劃大賽初賽成績“優(yōu)秀”等級的概率為P=Ps+Pb=03

該年級生涯規(guī)劃大賽初賽成績優(yōu)秀”等級的學(xué)生人數(shù)為0.3χ1200=360人；

（2）在評為“優(yōu)秀”等級的學(xué)生中采用分層抽樣抽取6人，

其中成績在［80,90）應(yīng)抽5人,成績在［90,100］應(yīng)抽1人,分別設(shè)為A，4,4,4,4,和8,

從6人中隨機抽取3人的基本事件為：

（4,4,8）,（A，A，8）,（A，4，B）,（A，A，5）,（4,4,3）,

（&,A，3）,（4,A，3）,（A，At,3）,（A5,A，3）,（A，43）,

（A'4'A）'（A'4,A）'（A'4,A）'（A'A'4）'（A'A'A）,

（A'A,A）'（&'A,4）'（&‘A,A）'（4'4,A）'（A'A,A）,

共20種，

其中恰有1人成績在［90,100］的基本事件為：

（A，&3）,（A，A，8）,（A，4,3）,（A，A，5）,（4,4,3）,

（&,4,5）,（4,&5）,（4,4,3）,（A，A，5）,（A，&5）,

共10種，故所求概率為P=W=

202

TT

18.【答案】(1)B=-

3

【解析】(1)由(。一C)(SinB+sinC)=(sinA-SinC)Q

根據(jù)正弦定理可得(b-c)("+c)=(α-c)m

所以，a2+c2-h2=ac?

由余弦定理可得CosB="+廠一]一=1,

Ifac2

B∈(0,τr),

TT

因此3=—.

3

(2)由余弦定理，得〃=。2+。2-2。CCOSB,.?.3=Q2+。2-QC,

即/+T=3+QC

a_c_b@-2

由正弦定理，得SinAsinCsinB隹，

T

2TT

即a-2sinA,c-2sinC,又C=------/4,所以

3

ac=4sinAsinC=4sinAsin?-A1二=2V3sinAcosA+2sin2A

I3J

=V3sin2∕4-cos2A+1=2sin(2A-2

0<A<-

由,2,解得g<A<f

.2π.π62

0f<------A<—

32

所以一<2A----<—,所以Sin(2A-

666I

所以Qc∈(2,3],所以a?+c?=3+αc∈(5,6].

R

19.【答案】（1）見解析（2）包9■

5

【解析】（1）證明：在圖1中，■.AB=6,AE=2EB,.AE=4,BE=2,

-：AB//DC,ZABC=90,BC=DC=I,四邊形DEBC是正方形，；.DElAB.

在圖2中，平面A￡￡）_!_平面OEBC,平面血Jc平面。EBC=Eo,AE_LE￡）,

.?.AE，面DEBC.：.AElBC,

又?.BC上BE,BECAE=EBCL平面AEB

.?.BC±EF,

又EF工AB，且ABCBC=B.?.EFJ_平面AEB,

.?.AClEF.

（2）解法1：

由（1）可知直線E4、E8、EQ兩兩垂直，以E為原點，分別以EB、ED、E4所在直線為X軸、y軸、Z軸，建立

空間直角坐標(biāo)系E-孫z,則

β(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),A(0,0,4)...DA=(0,-2,4),C4=(-2,-2,4),DC=(2,0,0),

1(224、

..CG=-CA=——,——BG=BC+CG=2"

3I333J3,3,3)

設(shè)“=（x,y,z）是平面4。。的一個法向量

nLDC“OC=Of2x=0

由V得即4

nVDAn-DA=0-2y+4z=0

x=0

取Z=I得〃=(0,2,1)

j=2z

設(shè)直線BG與平面A。C所成角為θ，則sinθ==----------------------

㈣.4+16+16^5

\999

(2)解法2：由(1)可知BC_L平面AEB」.BCLAB

'在Rf.AEB中AB=JAE?+8后2=2也.：.在RtABC中，AC=AB1+BC2=2√6

COSNACB==,又CG=LAC=Za.

AC633

二在6CG中，BG=JBC2+CG?—23CCG?cosNBCG=2

由CD±DE,CD±AE,DECAE=E,得CD±平面AED,.*.CD±AD.

在RzAED中，AD^y∣AE2+ED2=2√5-

連接8。，設(shè)B到平面AoC的距離為〃，由匕一BO=%"。。得gspc°?AE=;SAD

1CC)

.,JBCD-AE2,4√5

SAoC1×2×2√55

2

4R

設(shè)直線BG與平面ADC所成角為，，則?Ah5“2√5.

sin，==-----=------

BG25

20.【答案】(1)見解析(2)

【解析】

(1)f'(χ]=2x--=————(x>0)

XX

①當(dāng)α≤0時，r(x)>O,此時函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞增;

②當(dāng)α>0時，令/(X)="二￡=o,得χ=±J∣

當(dāng)Xeoql時，/(力<0,此時函數(shù)/(x)在O,Jl上單調(diào)遞減;

2

^?,+∞上單調(diào)遞增.

,+8時，∕,(x)>0,此時函數(shù)/(x)在

/

2

(2)由題意知：α=E在區(qū)間(Le］上有兩個不同實數(shù)解,

Inx

2

即直線y=α與函數(shù)g(x)=~的圖象在區(qū)間(l,e］上有兩個不同的交點，

Inx

、x(21nx-l),,、L

因為g(x)=--~一,令g(x)=。，得X=&，

(Inx)

所以當(dāng)χ∈僅,&)時，g'(x)<O,函數(shù)在(1,五)上單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(",e］時，g'(x)>O,函數(shù)在(G,e］上單調(diào)遞增；

2

Λ??92

9

則g(x),nin=g(五)=2e,而ge=工f=9e9>9,且g(e)=∕<9.

IJIne9

γ2

所以要使直線y="與函數(shù)g(x)=工的圖象在區(qū)間(Le］上有兩個不同的交點，則2e<Q<e?

Iax

所以4的取值范圍為(2e,e2］.

r2

21.【答案】(1)—+/=I

4

(2)直線BC存在，且直線BC的方程為一2無+隨二^y+竺t”=O?

39

【解析】

解：(1)由題意可知橢圓的右焦點為外(6,())，因為點在橢圓。上，所以

IPKl+∣Pg∣=242α=J(2Gf+(;)+∣=4,α=2

c=√3,所以b=l,

橢圓E的方程為二+V=1.

4-

(2)由(1)可知橢圓的上頂點為A(O,1)

假設(shè)這樣的8,C存在，且設(shè)8(與，3),。(々,必)，則直線AB的斜率為Z

x?

直線AB的方程為(y—1)X-Xly+尤1=O.

IxI+3,∣-?l_

因為直線AB與