2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納與達(dá)標(biāo)檢測(cè)第37講數(shù)列的綜合應(yīng)用（講）（原卷版）

第37講數(shù)列的綜合應(yīng)用（講）思維導(dǎo)圖題型歸納題型1數(shù)列在數(shù)學(xué)文化與實(shí)際問題中的應(yīng)用【例11】（2020?北辰區(qū)二模）我國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百一十五里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”其大意為：“有一個(gè)人走315里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地”則該人第一天走的路程為A．180里 B．170里 C．160里 D．150里【例12】（2020春?河池期末）《九章算術(shù)》一書中有如下問題：今有女子善織，日增等尺，七日織28尺，第二日，第五日，第八日所織之和為15尺，則第二十日所織尺數(shù)為A．18 B．19 C．20 D．21【跟蹤訓(xùn)練11】（2020春?河南期末）公元1202年意大利數(shù)學(xué)家列昂納多斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即，．此數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用．若記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則A． B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練12】（2020春?永州期末）中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一格問題：“一百二十六里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見每日行數(shù)里，請(qǐng)公仔細(xì)算相還”，其意思為：“有一個(gè)人要去126里外的地方，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地”，請(qǐng)問第一天走了A．64里 B．32里 C．16里 D．8里【跟蹤訓(xùn)練13】（2020春?安徽期末）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有如下問題：“今有浦生一日，長三尺．莞生一日，長一尺．浦生日自半．莞生日自倍．問幾何日而長等？”意思是：“今有浦生長1日，長為3尺．莞生長1日，長為1尺．浦的生長逐日減半．莞的生長逐日增加1倍．問幾日浦、莞長度相等？”根據(jù)上面的已知條件，若浦、莞長度相等時(shí)，問浦的長度是A．4尺 B．5尺 C．3尺 D．6尺【名師指導(dǎo)】1．解決數(shù)列與數(shù)學(xué)文化相交匯問題的關(guān)鍵2．解答數(shù)列應(yīng)用題需過好“四關(guān)”題型2數(shù)列中的新定義問題【例21】（2020春?宿州期末）對(duì)于數(shù)列，定義為的“最優(yōu)值”，現(xiàn)已知數(shù)列的“最優(yōu)值”，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【例22】（2020春?武邑縣校級(jí)期末）定義：若，為非零常數(shù)），則稱為“差等比數(shù)列”．已知在“差等比數(shù)列”中，，，，則的值是A． B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練21】（2020?重慶模擬）斐波那契數(shù)列，指的是這樣一個(gè)數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，，在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列定義如下：，．隨著的增大，越來越逼近黃金分割，故此數(shù)列也稱黃金分割數(shù)列，而以、為長和寬的長方形稱為“最美長方形”，已知某“最美長方形”的面積約為336平方分米，則該長方形的長應(yīng)該是A．144厘米 B．233厘米 C．250厘米 D．377厘米【跟蹤訓(xùn)練22】（2020?香坊區(qū)校級(jí)二模）有限數(shù)列，，，，為其前項(xiàng)和，定義為的“凱森和”，如有504項(xiàng)的數(shù)列，，，的“凱森和”為2020，則有505項(xiàng)的數(shù)列2，，，，的“凱森和”為A．2014 B．2016 C．2018 D．2020【名師指導(dǎo)】1．新定義數(shù)列問題的特點(diǎn)通過給出一個(gè)新的數(shù)列的概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的．2．新定義問題的解題思路遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使問題得以解決．題型3數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題【例31】（2020春?資陽期末）記數(shù)列前項(xiàng)和為，若1，，成等差數(shù)列，且數(shù)列的前項(xiàng)和對(duì)任意的都有恒成立，則的取值范圍為A．， B．， C．， D．，【例32】（2020春?河南期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，當(dāng)時(shí)，滿足，，成等比數(shù)列．（Ⅰ）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求證：．【跟蹤訓(xùn)練31】（2020春?宣城期末）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則滿足的最小的的值為A．1009 B．1010 C．1011 D．1012【跟蹤訓(xùn)練32】（2020春?膠州市期末）在①，②，③三個(gè)條件中任選兩個(gè)，補(bǔ)充到下面問題中，并解答．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足：，．（1）求的最小值；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：．【跟蹤訓(xùn)練33】（2020春?內(nèi)江期末）已知數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)，若，求證：．【名師指導(dǎo)】1．?dāng)?shù)列與函數(shù)綜合問題的主要類型及求解策略(1)已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題．(2)已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要利用數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、求和方法等對(duì)式子化簡(jiǎn)變形．注意數(shù)列與函數(shù)的不同，數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，在解決問題時(shí)要注意這