2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)習(xí)題：第三章第1節(jié)　變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計算

第三章DISANZHANG

?導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第1節(jié)變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計算

考綱要求1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景；2.通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；3.能根

據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)y=c(c為常數(shù))，y-χ,y=；，y—A2>y=χ?y=g'的導(dǎo)數(shù)；4.能利用

基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

知識分類落實(shí)回扣知識?夯實(shí)基礎(chǔ)

知識梳理

L函數(shù)y=y(x)在X=尤O處的導(dǎo)數(shù)

⑴定義：稱函數(shù)y=7(χ)在X=Xo處的瞬時變化率Iim/°。十~~)=Iim笠為函數(shù)

Δr→02Δ,V→OA?

y=於)在X=XO處的導(dǎo)數(shù)，記作/(Λ0)或y'?x=Xo，即f(xo)=Iim2=

ΔΛ-→O3

f(Λ?+ΔX)—f(xo)

Iim_-------------7---------=

4r→0??

(2)幾何意義：函數(shù)Mr)在點(diǎn)M處的導(dǎo)數(shù)/(xo)的幾何意義是在曲線y=∕U)上點(diǎn)(xo,人河))處的

切線的斜率.相應(yīng)地,切線方程為y一光=J(Xo)(X-Xo).

2.函數(shù)y=Ax)的導(dǎo)函數(shù)

如果函數(shù)y=Ax)在開區(qū)間3,份內(nèi)的每一點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，當(dāng)X=XO時，了(Xo)是一個確定的數(shù),

當(dāng)X變化時，/(x)便是X的一個函數(shù)，稱它為段)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù))，)，=穴尤)的導(dǎo)函數(shù)有時

f(x+?x)—f(X)

也記作即/(x)=y'=Iim

y',?X

3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

y(x)=c(c為常數(shù))/(x)=Q

Λv)=d(αGQ*)f(x)=ax,i"l

Xx)=sinXf(x)=COSX

fix)=COSXf(x)=~sinX

於)=e"/(x)=重

yU)=/3>0,a≠l)f(x)=ax?na

F(X)=2

βx)=lnx

於)=Iogd

F(X)=盒

3>0,a≠l)

4.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

若/(x),g，(x)存在，則有:

(l)[∕(x)±g(x)]'=∕ω?3;

(2)f∕U)火(X)1'=/X)0X)+∕U)R'(X)；

P(X)].f(x)R(X)—f(X)女'(X)

⑶,8(X)J(g(x)WO).

收(X)P

常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒

1/(出)代表函數(shù)7U)在X=沏處的導(dǎo)數(shù)值；(/Uo))'是函數(shù)值yuo)的導(dǎo)數(shù)，且(/Uo)y=o.

r1∏f(?)

3.曲線的切線與曲線的公共點(diǎn)的個數(shù)不一定只有一個，而直線與二次曲線相切只有一個公共

點(diǎn).

4.函數(shù)y=y(x)的導(dǎo)數(shù)/(x)反映了函數(shù)T(X)的瞬時變化趨勢，其正負(fù)號反映了變化的方向，其

大小/(X)I反映了變化的快慢，IT(X)I越大，曲線在這點(diǎn)處的切線越“陡”.

診斷自測

??思考辨析

1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“J”或“X”)

(1?(XO)是函數(shù)y=AX)在X=Xo附近的平均變化率.()

(2)函數(shù)y(x)=sin(-X)的導(dǎo)數(shù)/(x)=COSX.()

(3)求/Qo)時，可先求yUo),再求了(Xo).()

(4)曲線y=Ax)在某點(diǎn)處的切線與曲線y=∕(x)過某點(diǎn)的切線意義是相同的.()

答案(I)X(2)×(3)×(4)×

解析(1?(XO)表示y=∕(x)在X=XO處的瞬時變化率，⑴錯.

(2)/(X)=Sin(—x)=-sinX,則了(X)=—cosx,(2)錯.

(3)求/(xo)時，應(yīng)先求/(x),再代入求值，(3)錯.

(4)“在某點(diǎn)”的切線是指以該點(diǎn)為切點(diǎn)的切線，因此此點(diǎn)橫坐標(biāo)處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率；

而對于“過某點(diǎn)”的切線，則該點(diǎn)不一定是切點(diǎn)，要利用解方程組的思想求切線的方程，在

曲線上某點(diǎn)處的切線只有一條，但過某點(diǎn)的切線可以不止一條，(4)錯.

??教材衍化

2.已知函數(shù)TU)=我，則函數(shù)在X=-I處的切線方程是()

A.2χ-y+l=0B.x—2y+2=0

C.2r-y-l=0D,x+2y~2=0

答案A

X2

解析由yu)=m，得/(X)=(t+0)2,

又D=-1，/(-1)=2.

因此函數(shù)在X=-I處的切線方程為y+l=2(x+l),即2x—y+l=0.

3.若曲線y=(ox+l)e，在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率為-2,則α=.

答案一3

解析y'=aeκ+(ax+?)e`,則y∣*=o=α+l=—2,所以a=-3.

??考題體驗(yàn)

f+〃，χW0,

4.(2020?唐山模擬)已知函數(shù)/W='為奇函數(shù)，則曲線火X)在x=2處的切線斜

-χ^+ax,x>0

率等于()

A.6B.-2C.-6D.-8

答案B

解析丸X)為奇函數(shù),則式一X)=—fix).

取x>0,得x2—2x=—(―x2+ar),則a=2.

當(dāng)QO時，/(x)=-2x+2.

?V(2)=-2.

5.(2020?全國I卷)函數(shù)√(x)=χ4-2√的圖象在點(diǎn)(1,式1))處的切線方程為()

A.γ=-2χ-1B.y=-2x÷1

C.y=2x~3D.y=2x+?

答案B

解析χi)=l-2=-l,切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),

又/(x)=4x3—6x2,

所以切線的斜率?=∕(l)≈4×l3-6×l2=-2,

切線方程為y+l=-2(x—1),即y=—2x+l.故選B.

6.(2021?日照質(zhì)檢)己知函數(shù)yU)=e%ιx,/(x)為/U)的導(dǎo)函數(shù)，則/(1)的值為.

答案e

解析由題意得/(x)=e'lnx+e?W,則了(l)=e.

考點(diǎn)分層突破考點(diǎn)聚焦?題型剖析

考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算自主演練

1.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()

A(十)'=XB.(Λ?γ=2x+e]

C.(xcosXy=—sinxD.Q-5}=1+5

答案D

解析對于A,~i?(,nχY=~χh？xt對于B,(x2et),=(x2+2x)ev,對于C,(xcosx)t

=cosχ-χsinX,對于D,(χ-τΓ=?÷T∑.

%3÷2χ-Λ21Πχ-

2?若危)=則Ia)=

21

解析由已知?r)=x—Inx+,-

.VW=ι-∣-j+5.

3.(2020?全國III卷)設(shè)函數(shù)兀￥)=.+〃.若/(I)=W則a=

答案

Fsex(X+α)-e*一,,口eaeaIy

解析由1/(x)=-(D2，可付八D=(i+α)2=不即(l+α)2=不解付

4.已知函數(shù)./(%)的導(dǎo)函數(shù)為/(x),且滿足關(guān)系式/(x)=x2+3M7(2)+lnx,則7(1)=，

解析因?yàn)?尤)=Λ2+34(2)+In%,

.?f(x)=2x+3f(2)+^.

1Q

令x=2,得/(2)=4+3∕(2)+g,則八2)=一1

.?,ΛD=l+3×l×(-∣)+0=-y.

感悟升華1.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用

運(yùn)算法則求導(dǎo).

2.抽象函數(shù)求導(dǎo)，恰當(dāng)賦值是關(guān)鍵，然后活用方程思想求解.

3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時要進(jìn)行換元.

考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的幾何意義多維探究

角度1求切線的方程

【例1】(1)曲線y=3(x2+x)er在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為.

(2)(2020.全國I卷)曲線y=lnx+x+l的一條切線的斜率為2,則該切線的方程為.

答案(l)3χ-y=0(2)2r-y=0

解析(1)/=3(2x+1)ev+3(x2+x)ev=3ev(√+3x+1),

所以曲線在點(diǎn)(0,0)處的切線的斜率k=e°X3=3,所以所求切線方程為3χ-y=0.

(2)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(M),yo)t

因?yàn)閥=lnx+%+l,所以y=1+l,

所以切線的斜率為;+1=2,解得XO=L

所以yo=ln1+1+1=2,即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),

所以切線方程為y-2=2(x—1),即2Λ->=0.

角度2求曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)

【例2】(2019?江蘇卷改編)在平面直角坐標(biāo)系Xo)，中，點(diǎn)A在曲線y=lnX上，且該曲線在

點(diǎn)A處的切線經(jīng)過點(diǎn)(一e,一l)(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是,此時切

線方程為.

答案(e,1)x—ey—O

解析設(shè)A(S,〃)，則曲線y=lnx在點(diǎn)A處的切線方程為y—"=?(χ-附.

又切線過點(diǎn)(一e,—1),所以有n+l--^(m+e).

再由"=Inm，解得，w=e,H-1.

故點(diǎn)A的坐標(biāo)為(e,1),

切線方程為x—ey=O.

角度3導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象問題

【例3】己知y=∕(x)是可導(dǎo)函數(shù)，如圖，直線尸履+2是曲線y=∕U)在x=3處的切線，令

g(x)=M(X),g<x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g<3)=________.

y=kx+2

答案0

解析由題圖可知曲線y=∕(x)在x=3處切線的斜率等于一;，.?."3)=-/

g(x)=項x),.?.g'(x)=βx)+xf(x),

Λgf(3)=Λ3)+3∕(3),

又由題意可知/3)=1,

"(3)=1+3x]-9=0.

感悟升華1.求曲線在點(diǎn)P(Xo,")處的切線，則表明尸點(diǎn)是切點(diǎn)，只需求出函數(shù)在P處的

導(dǎo)數(shù)，然后利用點(diǎn)斜式寫出切線方程，若在該點(diǎn)P處的導(dǎo)數(shù)不存在，則切線垂直于X軸，

切線方程為X=Xo.

2.求曲線的切線方程要分清“在點(diǎn)處”與“過點(diǎn)處”的切線方程的不同.切點(diǎn)坐標(biāo)不知道，要

設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)斜率相等建立方程(組)求解，求出切點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

【訓(xùn)練1】(1)設(shè)函數(shù)y(x)=x3+("-1)小+以.若大X)為奇函數(shù)，則曲線y=∕(x)在點(diǎn)(0,0)處的

切線方程為()

A.y=~2xB.y=-%

C.y=2xD.y=x

(2)(2021?長沙檢測)如圖所示，y=∕(x)是可導(dǎo)函數(shù)，直線/：y=fcc+3是曲線y=∕(x)在x=1

f(X)

處的切線，令∕7(x)=U?,Y(X)是/Z(X)的導(dǎo)函數(shù)，則的值是()

答案(I)D(2)D

3

解析(1)因?yàn)楹瘮?shù)TU)=x+(α-l)∕+αT為奇函數(shù)，所以。一ι=o,則。=晨所以兀r)=χ3

+x.

.?.∕(x)=3x2+l,則/(O)=L

所以曲線y=?∕(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=x.

(2)由圖象知，直線/經(jīng)過點(diǎn)(1,2).

則1+3=2,k=-?,

從而/(D=-1，且八1)=2,

,,,,f(X),xf(X)—f(X)

由人(X)=~->付zbh'(x)-^2,

所以I(I)=/(1)-/(1)=一1-2=-3.

考點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用師生共研

【例4】(1)已知曲線y=αe*+xlnx在點(diǎn)(1,αe)處的切線方程為y=2x+i>,則()

A.α=e,h=-?B.α=e,b=?

C.α=e',b=1D.a=e^*,b=~?

(2)(2020-合肥質(zhì)檢)已知函數(shù)段)="e*(α>O)與g(x)=2『一〃?(機(jī)>0)的圖象在第一象限有公共

點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同，當(dāng)實(shí)數(shù)機(jī)變化時，實(shí)數(shù)”的取值范圍為()

C(O,S)D(O,勻

答案(I)D(2)D

,

解析(l)?.y=ae'+ln%+1,.?k=y?x-?=ae+1,

，切線方程為y—4e=(ge+l)(χ-1),

即y=(αe+l)χ-1.又已知切線方程為y=2x+b,

(2)設(shè)在第一象限的切點(diǎn)為A(Xo,yo),

4XO=2Λ?-//?,

d)

Oe=ZTQ一M,整理得卜o>O,

所以

QeA°=4‰

m>0,

由m=2xi-4xo>O和xo>O,解得沏>2.

由上可知4=,，令〃(x)=3，x>2,

.4(1-x)

貝"h'(x)=-G-.

4(1—χ)

因?yàn)閤>2,所以h,(x)=---G-----<0,

4γ

力(X)=G在(2，+8)上單調(diào)遞減，

所以O(shè)<Λ(x)</,即a∈(θ,菅)

感悟升華1.處理與切線有關(guān)的參數(shù)問題，通常根據(jù)曲線、切線、切點(diǎn)的三個關(guān)系列出參數(shù)

的方程(組)并解出參數(shù)：(1)切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；(2)切點(diǎn)在切線上；(3)切點(diǎn)在曲線

上.

2.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)范圍時，注意化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.

【訓(xùn)練2】(I)QO21?洛陽檢測)函數(shù)段)=lnx—ax在x=2處的切線與直線OX-5-1=0平行，

則實(shí)數(shù)α=()

A.—1BAWD.I

(2)若函數(shù)y=2x3+l與y=3f-〃的圖象在一個公共點(diǎn)處的切線相同，則實(shí)數(shù)b=.

答案(I)B(2)0或一1

解析(l)?.?y(x)=lnχ-?αx,

?,?∕ω=^-?.

.?.曲線y=Ax)在x=2處切線的斜率k=f(2),

因此￡—4=4,.,.a=∣?

(2)設(shè)公共切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xo,函數(shù)y=2x3+l的導(dǎo)函數(shù)為y=6x2,y=3∕-人的導(dǎo)函數(shù)為y

=6x,由圖象在-■個公共點(diǎn)處的切線相同，可得6Λ?=6XO且1+2X8=3J?-h,解得Xo=O,h

=-1或Xo-1.b—0.

故實(shí)數(shù)b=0或一1.

課后鞏固作業(yè)分層訓(xùn)練?提升能力

A級基礎(chǔ)鞏固

一、選擇題

1.下列求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算中錯誤的是()

A.(37=3?vln3B.(x2lnx),=2χ]nx+x

COSX

D.(sinx?cosx);=cos2x

答案C

G力“—/cosx?-xsinχ-cosx

解析因?yàn)?V/=--------7---------，C項錯誤.

2.(2021?北師大附中月考泄線y==在點(diǎn)(3,2)處的切線的斜率是()

A.2B.-2C，2D.一；

答案D

&力打，(x+l),(χ-1)—(X+1)(%—1)'

解析片--------------；~~rv?---------------------------------

?(?-1)/

一2

(%—1)2，

故曲線在點(diǎn)(3,2)處的切線的斜率

f〃21

k=y"3=~(3-∣)2=-2?

3.若函數(shù)人尤)在R上可導(dǎo)，且兀V)=X2+4I(1)X+3,則()

A.Λ0)<A4)B.χθ)=Λ4)

C<0)44)D.以上都不對

答案B

解析函數(shù)7U)的導(dǎo)數(shù)/(X)=2Λ+4(1),

令x=l,得/(1)=2+4(1),即/(l)=-2,

故T(x)=x2-4x+3=(χ-2)2—1,

所以大O)=A4)=3.

4.(2021?豫北十校聯(lián)考)已知危)=x2,則過點(diǎn)P(—1,0),曲線y=∕U)的切線方程為()

A.y=OB.4x+y+4=0

C.4χ-γ+4=0DJ=O或4x+y+4=0

答案D

解析易知點(diǎn)尸(一i,0)不在yu)=χ2上，

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(X0,焉)，由凡T)=X2可得/(x)=2x,

二切線的斜率左=∕(xo)=2xo.

：切線過點(diǎn)P(—1,0),

k=??=?2Λ??解得XO=O或XO=-2,

/.Jt=O或一4,

故所求切線方程為y=0或4x+y+4=0.

5.(2021?昆明診斷)若直線y=αr與曲線y=lnχ-l相切，貝!Jα=()

A.eB.le?D?

Ce

答案D

解析由y=lnχ-1,得y=1，設(shè)切點(diǎn)為(迎，1∏ΛO-1),

PzXO=InXO_1,

f(4)—f(2)

6.已知函數(shù)y(x)在R上可導(dǎo)，其部分圖象如圖所示，設(shè)Z曰——=小則下列不等式正

確的是()

1<牛丁(

A.β<√(2)<T(4)B/⑵4)

C〃4)勺Q)<αD,⑵<f(4)<“

答案B

解析由函數(shù)y(x)的圖象可知，在［o,+∞)±,函數(shù)值的增長越來越快，故該函數(shù)圖象在［0,

+8)上的切線斜率也越來越大.

f

因?yàn)閆一(4)1—?f一(2)=。，所以7(2)<。q(4).

7.(2020?九江十校模擬)若曲線y=χ4-V+αx(x>0)存在斜率小于1的切線，則a的取值范圍為

-OO

答案C

解析由題意，y,=4xi-3x2+a<?,當(dāng)?shù)?gt;0時有解.(*)

設(shè)7U)=4x3—3x2+q(x>0),

則/(x)=lit2—6x=6x(2χ-1).

令/(x)<0,得Oa<3；

令/(x)>0,得x>g.

15

-

4yQ7

8.給出/￡義：設(shè)/(%)是函數(shù)y="r)的導(dǎo)函數(shù)，廣。)是函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù).右方程廣(幻=0有頭

數(shù)解M)，則稱點(diǎn)(即，於o))為函數(shù)y=,")的“拐點(diǎn)”.已知函數(shù)/(x)=5工+4SinX—cosX的“拐

點(diǎn)”是Ma0,兀咐)，則點(diǎn)M()

A.在直線y=-5x上B.在直線y=5x上

C.在直線y=-4X上D.在直線y=4x_h

答案B

解析由題意，知了(X)=5+4COSX+sinX,

,

f(x)=—4sinx÷cosx9

,z

由f(xo)=09知4sinxo—cosXO=0,

所以/Uo)=5xo,

故點(diǎn)M(X0,./Uo))在直線y=5x上.

二、填空題

9.(2019?天津卷)曲線y=cosX一5在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為.

答案x+2y-2=0

解析V=-SinX—將X=O代入，

可得切線斜率為一g.

所以切線方程為y—1=-今，即x+2y—2=0.

10.(2020?江南十校聯(lián)考)函數(shù)Xx)=(2r-l)e?的圖象在點(diǎn)(0,#)))處的切線的傾斜角為

答案I

解析由.益)=(2%-1戶，得/(x)=(2x+l)e*,

.V(O)-I1則切線的斜率Z=I,

又切線傾斜角6W[O,π),

因此切線的傾斜角6=今

11.(2021?濟(jì)南檢測)曲線y=√(x)在點(diǎn)P(-l,1—1))處的切線/如圖所示,則/(-1)+八一1)

答案-2

解析：直線/過點(diǎn)(-2,0)和(0,-2),

0+2

二直線/的斜率,∕7(-l)==7T5=-1，直線/的方程為y=-χ-2.

則-1)=1-2=-1.

故/(T)+D=TT=-2.

12.已知直線y=A是曲線y=xe'的一條切線，則實(shí)數(shù)m的值為.

答案一e

解析設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(〃，

由y=xex,得y,=(xex)r=ex+xex.

若直線y=A是曲線y=χe*的一條切線,

y'|x=〃=e"+〃e"=0,解得〃=—1,

因此藐=〃,〃=—展，故加=—e.

B級能力提升

13.若曲線y=e'在X=O處的切線也是曲線y=lnx+Z?的切線，則6=()

A.-1