2023年高考數學一輪復習習題：第三章第1節(jié)　變化率與導數、導數的計算

第三章DISANZHANG

?導數及其應用

第1節(jié)變化率與導數、導數的計算

考綱要求1.了解導數概念的實際背景；2.通過函數圖象直觀理解導數的幾何意義；3.能根

據導數的定義求函數y=c(c為常數)，y-χ,y=；，y—A2>y=χ?y=g'的導數；4.能利用

基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數.

知識分類落實回扣知識?夯實基礎

知識梳理

L函數y=y(x)在X=尤O處的導數

⑴定義：稱函數y=7(χ)在X=Xo處的瞬時變化率Iim/°。十~~)=Iim笠為函數

Δr→02Δ,V→OA?

y=於)在X=XO處的導數，記作/(Λ0)或y'?x=Xo，即f(xo)=Iim2=

ΔΛ-→O3

f(Λ?+ΔX)—f(xo)

Iim_-------------7---------=

4r→0??

(2)幾何意義：函數Mr)在點M處的導數/(xo)的幾何意義是在曲線y=∕U)上點(xo,人河))處的

切線的斜率.相應地,切線方程為y一光=J(Xo)(X-Xo).

2.函數y=Ax)的導函數

如果函數y=Ax)在開區(qū)間3,份內的每一點處都有導數，當X=XO時，了(Xo)是一個確定的數,

當X變化時，/(x)便是X的一個函數，稱它為段)的導函數(簡稱導數)，)，=穴尤)的導函數有時

f(x+?x)—f(X)

也記作即/(x)=y'=Iim

y',?X

3.基本初等函數的導數公式

基本初等函數導函數

y(x)=c(c為常數)/(x)=Q

Λv)=d(αGQ*)f(x)=ax,i"l

Xx)=sinXf(x)=COSX

fix)=COSXf(x)=~sinX

於)=e"/(x)=重

yU)=/3>0,a≠l)f(x)=ax?na

F(X)=2

βx)=lnx

於)=Iogd

F(X)=盒

3>0,a≠l)

4.導數的運算法則

若/(x),g，(x)存在，則有:

(l)[∕(x)±g(x)]'=∕ω?3;

(2)f∕U)火(X)1'=/X)0X)+∕U)R'(X)；

P(X)].f(x)R(X)—f(X)女'(X)

⑶,8(X)J(g(x)WO).

收(X)P

常用結論與微點提醒

1/(出)代表函數7U)在X=沏處的導數值；(/Uo))'是函數值yuo)的導數，且(/Uo)y=o.

r1∏f(?)

3.曲線的切線與曲線的公共點的個數不一定只有一個，而直線與二次曲線相切只有一個公共

點.

4.函數y=y(x)的導數/(x)反映了函數T(X)的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化的方向，其

大小/(X)I反映了變化的快慢，IT(X)I越大，曲線在這點處的切線越“陡”.

診斷自測

??思考辨析

1.判斷下列結論正誤(在括號內打“J”或“X”)

(1?(XO)是函數y=AX)在X=Xo附近的平均變化率.()

(2)函數y(x)=sin(-X)的導數/(x)=COSX.()

(3)求/Qo)時，可先求yUo),再求了(Xo).()

(4)曲線y=Ax)在某點處的切線與曲線y=∕(x)過某點的切線意義是相同的.()

答案(I)X(2)×(3)×(4)×

解析(1?(XO)表示y=∕(x)在X=XO處的瞬時變化率，⑴錯.

(2)/(X)=Sin(—x)=-sinX,則了(X)=—cosx,(2)錯.

(3)求/(xo)時，應先求/(x),再代入求值，(3)錯.

(4)“在某點”的切線是指以該點為切點的切線，因此此點橫坐標處的導數值為切線的斜率；

而對于“過某點”的切線，則該點不一定是切點，要利用解方程組的思想求切線的方程，在

曲線上某點處的切線只有一條，但過某點的切線可以不止一條，(4)錯.

??教材衍化

2.已知函數TU)=我，則函數在X=-I處的切線方程是()

A.2χ-y+l=0B.x—2y+2=0

C.2r-y-l=0D,x+2y~2=0

答案A

X2

解析由yu)=m，得/(X)=(t+0)2,

又D=-1，/(-1)=2.

因此函數在X=-I處的切線方程為y+l=2(x+l),即2x—y+l=0.

3.若曲線y=(ox+l)e，在點(0,1)處的切線的斜率為-2,則α=.

答案一3

解析y'=aeκ+(ax+?)e`,則y∣*=o=α+l=—2,所以a=-3.

??考題體驗

f+〃，χW0,

4.(2020?唐山模擬)已知函數/W='為奇函數，則曲線火X)在x=2處的切線斜

-χ^+ax,x>0

率等于()

A.6B.-2C.-6D.-8

答案B

解析丸X)為奇函數,則式一X)=—fix).

取x>0,得x2—2x=—(―x2+ar),則a=2.

當QO時，/(x)=-2x+2.

?V(2)=-2.

5.(2020?全國I卷)函數√(x)=χ4-2√的圖象在點(1,式1))處的切線方程為()

A.γ=-2χ-1B.y=-2x÷1

C.y=2x~3D.y=2x+?

答案B

解析χi)=l-2=-l,切點坐標為(1,-1),

又/(x)=4x3—6x2,

所以切線的斜率?=∕(l)≈4×l3-6×l2=-2,

切線方程為y+l=-2(x—1),即y=—2x+l.故選B.

6.(2021?日照質檢)己知函數yU)=e%ιx,/(x)為/U)的導函數，則/(1)的值為.

答案e

解析由題意得/(x)=e'lnx+e?W,則了(l)=e.

考點分層突破考點聚焦?題型剖析

考點一導數的運算自主演練

1.下列求導運算正確的是()

A(十)'=XB.(Λ?γ=2x+e]

C.(xcosXy=—sinxD.Q-5}=1+5

答案D

解析對于A,~i?(,nχY=~χh？xt對于B,(x2et),=(x2+2x)ev,對于C,(xcosx)t

=cosχ-χsinX,對于D,(χ-τΓ=?÷T∑.

%3÷2χ-Λ21Πχ-

2?若危)=則Ia)=

21

解析由已知?r)=x—Inx+,-

.VW=ι-∣-j+5.

3.(2020?全國III卷)設函數兀￥)=.+〃.若/(I)=W則a=

答案

Fsex(X+α)-e*一,,口eaeaIy

解析由1/(x)=-(D2，可付八D=(i+α)2=不即(l+α)2=不解付

4.已知函數./(%)的導函數為/(x),且滿足關系式/(x)=x2+3M7(2)+lnx,則7(1)=，

解析因為#尤)=Λ2+34(2)+In%,

.?f(x)=2x+3f(2)+^.

1Q

令x=2,得/(2)=4+3∕(2)+g,則八2)=一1

.?,ΛD=l+3×l×(-∣)+0=-y.

感悟升華1.求函數的導數要準確地把函數拆分成基本初等函數的和、差、積、商，再利用

運算法則求導.

2.抽象函數求導，恰當賦值是關鍵，然后活用方程思想求解.

3.復合函數求導，應由外到內逐層求導，必要時要進行換元.

考點二導數的幾何意義多維探究

角度1求切線的方程

【例1】(1)曲線y=3(x2+x)er在點(0,0)處的切線方程為.

(2)(2020.全國I卷)曲線y=lnx+x+l的一條切線的斜率為2,則該切線的方程為.

答案(l)3χ-y=0(2)2r-y=0

解析(1)/=3(2x+1)ev+3(x2+x)ev=3ev(√+3x+1),

所以曲線在點(0,0)處的切線的斜率k=e°X3=3,所以所求切線方程為3χ-y=0.

(2)設切點坐標為(M),yo)t

因為y=lnx+%+l,所以y=1+l,

所以切線的斜率為;+1=2,解得XO=L

所以yo=ln1+1+1=2,即切點坐標為(1,2),

所以切線方程為y-2=2(x—1),即2Λ->=0.

角度2求曲線的切點坐標

【例2】(2019?江蘇卷改編)在平面直角坐標系Xo)，中，點A在曲線y=lnX上，且該曲線在

點A處的切線經過點(一e,一l)(e為自然對數的底數)，則點A的坐標是,此時切

線方程為.

答案(e,1)x—ey—O

解析設A(S,〃)，則曲線y=lnx在點A處的切線方程為y—"=?(χ-附.

又切線過點(一e,—1),所以有n+l--^(m+e).

再由"=Inm，解得，w=e,H-1.

故點A的坐標為(e,1),

切線方程為x—ey=O.

角度3導數與函數圖象問題

【例3】己知y=∕(x)是可導函數，如圖，直線尸履+2是曲線y=∕U)在x=3處的切線，令

g(x)=M(X),g<x)是g(x)的導函數，則g<3)=________.

y=kx+2

答案0

解析由題圖可知曲線y=∕(x)在x=3處切線的斜率等于一;，.?."3)=-/

g(x)=項x),.?.g'(x)=βx)+xf(x),

Λgf(3)=Λ3)+3∕(3),

又由題意可知/3)=1,

"(3)=1+3x]-9=0.

感悟升華1.求曲線在點P(Xo,")處的切線，則表明尸點是切點，只需求出函數在P處的

導數，然后利用點斜式寫出切線方程，若在該點P處的導數不存在，則切線垂直于X軸，

切線方程為X=Xo.

2.求曲線的切線方程要分清“在點處”與“過點處”的切線方程的不同.切點坐標不知道，要

設出切點坐標，根據斜率相等建立方程(組)求解，求出切點坐標是解題的關鍵.

【訓練1】(1)設函數y(x)=x3+("-1)小+以.若大X)為奇函數，則曲線y=∕(x)在點(0,0)處的

切線方程為()

A.y=~2xB.y=-%

C.y=2xD.y=x

(2)(2021?長沙檢測)如圖所示，y=∕(x)是可導函數，直線/：y=fcc+3是曲線y=∕(x)在x=1

f(X)

處的切線，令∕7(x)=U?,Y(X)是/Z(X)的導函數，則的值是()

答案(I)D(2)D

3

解析(1)因為函數TU)=x+(α-l)∕+αT為奇函數，所以。一ι=o,則。=晨所以兀r)=χ3

+x.

.?.∕(x)=3x2+l,則/(O)=L

所以曲線y=?∕(x)在點(0,0)處的切線方程為y=x.

(2)由圖象知，直線/經過點(1,2).

則1+3=2,k=-?,

從而/(D=-1，且八1)=2,

,,,,f(X),xf(X)—f(X)

由人(X)=~->付zbh'(x)-^2,

所以I(I)=/(1)-/(1)=一1-2=-3.

考點三導數幾何意義的應用師生共研

【例4】(1)已知曲線y=αe*+xlnx在點(1,αe)處的切線方程為y=2x+i>,則()

A.α=e,h=-?B.α=e,b=?

C.α=e',b=1D.a=e^*,b=~?

(2)(2020-合肥質檢)已知函數段)="e*(α>O)與g(x)=2『一〃?(機>0)的圖象在第一象限有公共

點，且在該點處的切線相同，當實數機變化時，實數”的取值范圍為()

C(O,S)D(O,勻

答案(I)D(2)D

,

解析(l)?.y=ae'+ln%+1,.?k=y?x-?=ae+1,

，切線方程為y—4e=(ge+l)(χ-1),

即y=(αe+l)χ-1.又已知切線方程為y=2x+b,

(2)設在第一象限的切點為A(Xo,yo),

4XO=2Λ?-//?,

d)

Oe=ZTQ一M,整理得卜o>O,

所以

QeA°=4‰

m>0,

由m=2xi-4xo>O和xo>O,解得沏>2.

由上可知4=,，令〃(x)=3，x>2,

.4(1-x)

貝"h'(x)=-G-.

4(1—χ)

因為x>2,所以h,(x)=---G-----<0,

4γ

力(X)=G在(2，+8)上單調遞減，

所以O<Λ(x)</,即a∈(θ,菅)

感悟升華1.處理與切線有關的參數問題，通常根據曲線、切線、切點的三個關系列出參數

的方程(組)并解出參數：(1)切點處的導數是切線的斜率；(2)切點在切線上；(3)切點在曲線

上.

2.利用導數的幾何意義求參數范圍時，注意化歸與轉化思想的應用.

【訓練2】(I)QO21?洛陽檢測)函數段)=lnx—ax在x=2處的切線與直線OX-5-1=0平行，

則實數α=()

A.—1BAWD.I

(2)若函數y=2x3+l與y=3f-〃的圖象在一個公共點處的切線相同，則實數b=.

答案(I)B(2)0或一1

解析(l)?.?y(x)=lnχ-?αx,

?,?∕ω=^-?.

.?.曲線y=Ax)在x=2處切線的斜率k=f(2),

因此￡—4=4,.,.a=∣?

(2)設公共切點的橫坐標為xo,函數y=2x3+l的導函數為y=6x2,y=3∕-人的導函數為y

=6x,由圖象在-■個公共點處的切線相同，可得6Λ?=6XO且1+2X8=3J?-h,解得Xo=O,h

=-1或Xo-1.b—0.

故實數b=0或一1.

課后鞏固作業(yè)分層訓練?提升能力

A級基礎鞏固

一、選擇題

1.下列求導數的運算中錯誤的是()

A.(37=3?vln3B.(x2lnx),=2χ]nx+x

COSX

D.(sinx?cosx);=cos2x

答案C

G力“—/cosx?-xsinχ-cosx

解析因為(V/=--------7---------，C項錯誤.

2.(2021?北師大附中月考泄線y==在點(3,2)處的切線的斜率是()

A.2B.-2C，2D.一；

答案D

&力打，(x+l),(χ-1)—(X+1)(%—1)'

解析片--------------；~~rv?---------------------------------

?(?-1)/

一2

(%—1)2，

故曲線在點(3,2)處的切線的斜率

f〃21

k=y"3=~(3-∣)2=-2?

3.若函數人尤)在R上可導，且兀V)=X2+4I(1)X+3,則()

A.Λ0)<A4)B.χθ)=Λ4)

C<0)44)D.以上都不對

答案B

解析函數7U)的導數/(X)=2Λ+4(1),

令x=l,得/(1)=2+4(1),即/(l)=-2,

故T(x)=x2-4x+3=(χ-2)2—1,

所以大O)=A4)=3.

4.(2021?豫北十校聯(lián)考)已知危)=x2,則過點P(—1,0),曲線y=∕U)的切線方程為()

A.y=OB.4x+y+4=0

C.4χ-γ+4=0DJ=O或4x+y+4=0

答案D

解析易知點尸(一i,0)不在yu)=χ2上，

設切點坐標為(X0,焉)，由凡T)=X2可得/(x)=2x,

二切線的斜率左=∕(xo)=2xo.

：切線過點P(—1,0),

k=??=?2Λ??解得XO=O或XO=-2,

/.Jt=O或一4,

故所求切線方程為y=0或4x+y+4=0.

5.(2021?昆明診斷)若直線y=αr與曲線y=lnχ-l相切，貝!Jα=()

A.eB.le?D?

Ce

答案D

解析由y=lnχ-1,得y=1，設切點為(迎，1∏ΛO-1),

PzXO=InXO_1,

f(4)—f(2)

6.已知函數y(x)在R上可導，其部分圖象如圖所示，設Z曰——=小則下列不等式正

確的是()

1<牛丁(

A.β<√(2)<T(4)B/⑵4)

C〃4)勺Q)<αD,⑵<f(4)<“

答案B

解析由函數y(x)的圖象可知，在［o,+∞)±,函數值的增長越來越快，故該函數圖象在［0,

+8)上的切線斜率也越來越大.

f

因為Z一(4)1—?f一(2)=。，所以7(2)<。q(4).

7.(2020?九江十校模擬)若曲線y=χ4-V+αx(x>0)存在斜率小于1的切線，則a的取值范圍為

-OO

答案C

解析由題意，y,=4xi-3x2+a<?,當第>0時有解.(*)

設7U)=4x3—3x2+q(x>0),

則/(x)=lit2—6x=6x(2χ-1).

令/(x)<0,得Oa<3；

令/(x)>0,得x>g.

15

-

4yQ7

8.給出/￡義：設/(%)是函數y="r)的導函數，廣。)是函數/(x)的導函數.右方程廣(幻=0有頭

數解M)，則稱點(即，於o))為函數y=,")的“拐點”.已知函數/(x)=5工+4SinX—cosX的“拐

點”是Ma0,兀咐)，則點M()

A.在直線y=-5x上B.在直線y=5x上

C.在直線y=-4X上D.在直線y=4x_h

答案B

解析由題意，知了(X)=5+4COSX+sinX,

,

f(x)=—4sinx÷cosx9

,z

由f(xo)=09知4sinxo—cosXO=0,

所以/Uo)=5xo,

故點M(X0,./Uo))在直線y=5x上.

二、填空題

9.(2019?天津卷)曲線y=cosX一5在點(0,1)處的切線方程為.

答案x+2y-2=0

解析V=-SinX—將X=O代入，

可得切線斜率為一g.

所以切線方程為y—1=-今，即x+2y—2=0.

10.(2020?江南十校聯(lián)考)函數Xx)=(2r-l)e?的圖象在點(0,#)))處的切線的傾斜角為

答案I

解析由.益)=(2%-1戶，得/(x)=(2x+l)e*,

.V(O)-I1則切線的斜率Z=I,

又切線傾斜角6W[O,π),

因此切線的傾斜角6=今

11.(2021?濟南檢測)曲線y=√(x)在點P(-l,1—1))處的切線/如圖所示,則/(-1)+八一1)

答案-2

解析：直線/過點(-2,0)和(0,-2),

0+2

二直線/的斜率,∕7(-l)==7T5=-1，直線/的方程為y=-χ-2.

則-1)=1-2=-1.

故/(T)+D=TT=-2.

12.已知直線y=A是曲線y=xe'的一條切線，則實數m的值為.

答案一e

解析設切點坐標為(〃，

由y=xex,得y,=(xex)r=ex+xex.

若直線y=A是曲線y=χe*的一條切線,

y'|x=〃=e"+〃e"=0,解得〃=—1,

因此藐=〃,〃=—展，故加=—e.

B級能力提升

13.若曲線y=e'在X=O處的切線也是曲線y=lnx+Z?的切線，則6=()

A.-1