數(shù)列多選題專項訓(xùn)練測試試題附解析

一、數(shù)列多選題1．已知數(shù)列：1，1，2，3，5，…其中從第三項起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和，記為數(shù)列的前項和，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．答案：BCD【分析】根據(jù)題意寫出，，，從而判斷A，B的正誤；寫出遞推關(guān)系，對遞推關(guān)系進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危美奂臃纯膳袛郈，D的正誤．【詳解】對A，，，故A不正確；對B，，故B正確；對C，由，，解析：BCD【分析】根據(jù)題意寫出，，，從而判斷A，B的正誤；寫出遞推關(guān)系，對遞推關(guān)系進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，利用累加法即可判斷C，D的正誤．【詳解】對A，，，故A不正確；對B，，故B正確；對C，由，，，…，，可得，故C正確；對D，該數(shù)列總有，，則，，…，，，，故，故D正確．故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是對CD的判斷，即要善于利用對所給式子進(jìn)行變形.2．設(shè)數(shù)列滿足，對任意的恒成立，則下列說法正確的是（）A． B．是遞增數(shù)列C． D．答案：ABD【分析】構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性即可求解.【詳解】由，設(shè)，則，所以當(dāng)時，，即在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，即，即，所以，解析：ABD【分析】構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性即可求解.【詳解】由，設(shè)，則，所以當(dāng)時，，即在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，即，即，所以，即，所以，，故A正確；C不正確；由在上為單調(diào)遞增函數(shù)，，所以是遞增數(shù)列，故B正確；,所以因此，故D正確故選：ABD【點睛】本題考查了數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于難題.3．已知數(shù)列滿足，()，數(shù)列的前項和為，則（）A． B．C． D．答案：BC【分析】根據(jù)遞推公式，得到，令，得到，可判斷A錯，B正確；根據(jù)求和公式，得到，求出，可得C正確，D錯.【詳解】由可知，即，當(dāng)時，則，即得到，故選項B正確；無法計算，故A錯；，所以，則解析：BC【分析】根據(jù)遞推公式，得到，令，得到，可判斷A錯，B正確；根據(jù)求和公式，得到，求出，可得C正確，D錯.【詳解】由可知，即，當(dāng)時，則，即得到，故選項B正確；無法計算，故A錯；，所以，則，故選項C正確，選項D錯誤.故選：BC.【點睛】方法點睛：由遞推公式求通項公式的常用方法：（1）累加法，形如的數(shù)列，求通項時，常用累加法求解；（2）累乘法，形如的數(shù)列，求通項時，常用累乘法求解；（3）構(gòu)造法，形如（且，，）的數(shù)列，求通項時，常需要構(gòu)造成等比數(shù)列求解；（4）已知與的關(guān)系求通項時，一般可根據(jù)求解.4．已知數(shù)列的前4項為2，0，2，0，則該數(shù)列的通項公式可能為（）A． B．C． D．答案：BD【分析】根據(jù)選項求出數(shù)列的前項，逐一判斷即可.【詳解】解：因為數(shù)列的前4項為2，0，2，0，選項A：不符合題設(shè)；選項B：，符合題設(shè)；選項C：，不符合題設(shè)；選項D：，符合題設(shè)解析：BD【分析】根據(jù)選項求出數(shù)列的前項，逐一判斷即可.【詳解】解：因為數(shù)列的前4項為2，0，2，0，選項A：不符合題設(shè)；選項B：，符合題設(shè)；選項C：，不符合題設(shè)；選項D：，符合題設(shè).故選：BD.【點睛】本題考查數(shù)列的通項公式的問題，考查了基本運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.5．已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，則下列說法正確的是（）A．?dāng)?shù)列的前n項和為 B．?dāng)?shù)列的通項公式為C．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列 D．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列答案：AD【分析】先根據(jù)和項與通項關(guān)系化簡條件，再構(gòu)造等差數(shù)列，利用等差數(shù)列定義與通項公式求，最后根據(jù)和項與通項關(guān)系得.【詳解】因此數(shù)列為以為首項，為公差的等差數(shù)列，也是遞增數(shù)列，即D正確；解析：AD【分析】先根據(jù)和項與通項關(guān)系化簡條件，再構(gòu)造等差數(shù)列，利用等差數(shù)列定義與通項公式求，最后根據(jù)和項與通項關(guān)系得.【詳解】因此數(shù)列為以為首項，為公差的等差數(shù)列，也是遞增數(shù)列，即D正確；所以，即A正確；當(dāng)時所以，即B，C不正確；故選：AD【點睛】本題考查由和項求通項、等差數(shù)列定義與通項公式以及數(shù)列單調(diào)性，考查基本分析論證與求解能力，屬中檔題.6．已知Sn是等差數(shù)列(n∈N*)的前n項和，且S5>S6>S4，以下有四個命題，其中正確的有（）A．?dāng)?shù)列的公差d<0 B．?dāng)?shù)列中Sn的最大項為S10C．S10>0 D．S11>0答案：AC【分析】由，可得，且，然后逐個分析判斷即可得答案【詳解】解：因為，所以，且，所以數(shù)列的公差，且數(shù)列中Sn的最大項為S5，所以A正確，B錯誤，所以，，所以C正確，D錯誤，故選：AC解析：AC【分析】由，可得，且，然后逐個分析判斷即可得答案【詳解】解：因為，所以，且，所以數(shù)列的公差，且數(shù)列中Sn的最大項為S5，所以A正確，B錯誤，所以，，所以C正確，D錯誤，故選：AC7．(多選)在數(shù)列中，若為常數(shù)，則稱為“等方差數(shù)列”下列對“等方差數(shù)列”的判斷正確的是（）A．若是等差數(shù)列，則是等方差數(shù)列B．是等方差數(shù)列C．是等方差數(shù)列.D．若既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列為常數(shù)列答案：BD【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等方差數(shù)列定義，結(jié)合特殊反例對選項逐一判斷即可.【詳解】對于A，若是等差數(shù)列，如，則不是常數(shù)，故不是等方差數(shù)列，故A錯誤；對于B，數(shù)列中，是常數(shù)，是等方差數(shù)列，故解析：BD【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等方差數(shù)列定義，結(jié)合特殊反例對選項逐一判斷即可.【詳解】對于A，若是等差數(shù)列，如，則不是常數(shù)，故不是等方差數(shù)列，故A錯誤；對于B，數(shù)列中，是常數(shù)，是等方差數(shù)列，故B正確；對于C，數(shù)列中，不是常數(shù)，不是等方差數(shù)列，故C錯誤；對于D，是等差數(shù)列，，則設(shè)，是等方差數(shù)列，是常數(shù)，故，故，所以，是常數(shù)，故D正確.故選：BD.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了數(shù)列的新定義問題和等差數(shù)列的定義，解題的關(guān)鍵是正確理解等差數(shù)列和等方差數(shù)列定義，利用定義進(jìn)行判斷.8．首項為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列，其前項和為，則下列4個命題中正確的有（）A．若，則，；B．若，則使的最大的n為15；C．若，，則中最大；D．若，則.答案：ABD【分析】利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)，逐一檢驗選項，即可得答案.【詳解】對于A：因為正數(shù)，公差不為0，且，所以公差，所以，即，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，又，所以，，故A正解析：ABD【分析】利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)，逐一檢驗選項，即可得答案.【詳解】對于A：因為正數(shù)，公差不為0，且，所以公差，所以，即，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，又，所以，，故A正確；對于B：因為，則，所以，又，所以，所以，，所以使的最大的n為15，故B正確；對于C：因為，則，，則，即，所以則中最大，故C錯誤；對于D：因為，則，又，所以，即，故D正確，故選：ABD【點睛】解題的關(guān)鍵是先判斷d的正負(fù)，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，對求和公式進(jìn)行變形，求得項的正負(fù)，再分析和判斷，考查等差數(shù)列性質(zhì)的靈活應(yīng)用，屬中檔題.9．等差數(shù)列的前項和為，若，公差，則（）A．若，則 B．若，則是中最大的項C．若，則 D．若則.答案：BC【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項和性質(zhì)判斷．【詳解】A錯：；B對：對稱軸為7；C對：，又，；D錯：，但不能得出是否為負(fù)，因此不一定有．故選：BC．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查等差數(shù)列解析：BC【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項和性質(zhì)判斷．【詳解】A錯：；B對：對稱軸為7；C對：，又，；D錯：，但不能得出是否為負(fù)，因此不一定有．故選：BC．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查等差數(shù)列的前項和性質(zhì)，（1）是關(guān)于的二次函數(shù)，可以利用二次函數(shù)性質(zhì)得最值；（2），可由的正負(fù)確定與的大?。唬?），因此可由的正負(fù)確定的正負(fù)．10．已知等差數(shù)列的前n項和為，公差，，是與的等比中項，則下列選項正確的是（）A． B．C．當(dāng)且僅當(dāng)時，取最大值 D．當(dāng)時，n的最小值為22答案：AD【分析】運用等差數(shù)列的通項公式和求和公式，解方程可得首項和公差，可判斷A，B；由二次函數(shù)的配方法，結(jié)合n為正整數(shù)，可判斷C；由解不等式可判斷D．【詳解】等差數(shù)列的前n項和為，公差，由，可解析：AD【分析】運用等差數(shù)列的通項公式和求和公式，解方程可得首項和公差，可判斷A，B；由二次函數(shù)的配方法