高等數(shù)學(xué)考研輔導(dǎo)3

計(jì)算機(jī)學(xué)院:高麗高數(shù)輔導(dǎo)一.填空題第二章導(dǎo)數(shù)與微分4.f(-x)=-f(x),且f'(-x0)=k,那么f'(x0)=______.解：對f(-x)=-f(x)兩邊求導(dǎo),得-f'(-x)=-f'(x),即f'(-x)=f'(x),所以由f'(-x0)=k得,f'(x0)=k.f'(x0)=k.二.選擇題第二章導(dǎo)數(shù)與微分1.設(shè)f(x)可導(dǎo),F(x)=f(x)(1+|sinx|),那么f(0)=0是F(x)在x=0處可導(dǎo)的(a)充分必要條件;(b)充分但非必要條件;(c)必要但非充分條件;(d)既非充分又非必要條件.2.函數(shù)f(x)具有任意階導(dǎo)數(shù),且f'(x)=[f(x)]2,那么當(dāng)n為大于2的正整數(shù)時(shí),f(x)的n階導(dǎo)數(shù)是(a)n![f(x)]n+1;(b)n[f(x)]n+1;(c)[f(x)]2n;(d)n![f(x)]2n.3.設(shè)函數(shù)對任意x均滿足f(1+x)=af(x),且f'(0)=b,其中a,b為非零常數(shù),那么(a)f(x)在x=1處不可導(dǎo);(b)f(x)在x=1處可導(dǎo),且f'(1)=a;(c)f(x)在x=1處可導(dǎo),且f'(1)=b;(d)f(x)在x=1處可導(dǎo),且f'(1)=ab.×因?yàn)闆]有條件f可導(dǎo).4.設(shè)f(x)=3x3+x2|x|,那么使f(n)(0)存在的最高階導(dǎo)數(shù)n為(a)0;(b)1;(c)2;(d)3.5.設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),當(dāng)自變量x由x0增加到x0+x時(shí),記y為f(x)的增量,dy為f(x)的微分,那么(a)-1(b)0;(c)1;(d)

.解.由微分定義

y=dy+0(

x),所以(a)a=1,b=0；(b)a=0,b為任意常數(shù)；(c)a=0,b=0；(d)a=1,b為任意常數(shù)。解在x=0處可導(dǎo)一定在x=0處連續(xù),所以解由f'(0)存在可推出(a)中的極限值為1/2f'(0)，7.設(shè)f(0)=0,那么f(x)在x=0處可導(dǎo)的充要條件為(b)中的極限值為-f'(0)，(d)中的極限值為f'(0),而(c)中的極限值不一定存在,所以排除(c).反之(a)中的極限值存在,不一定f'(0)存在,舉反例如下:

y=|x|,排除(a).(d)中的極限值存在,不一定f'(0)存在,舉反例如下:排除(d).所以(b)是答案.由(b)推出f'(0)存在證明如下:所以f'(0)存在.解(a)不正確.反例如下:y=x;8.設(shè)函數(shù)f(x)在(-,+)上可導(dǎo),那么(b)不正確.反例如下:y

=x2;(c)不正確.反例如下:

y=x;

(d)是答案.證明如下:解(a)反例f(x)=0,取a=0.排除(a);9.設(shè)函數(shù)f(x)在x=a處可導(dǎo),那么函數(shù)|f(x)|在x=a處不可導(dǎo)的充分條件是(c)反例:f(x)=x2+x+1,取a=0.f(0)=1>0,f'(0)=1>0,|f(x)|=f(x),在x=0可導(dǎo).排除(c);(d)反例:f(x)=-x2-x-1,取a=0.排除(d);所以(b)是答案.對于(b)證明如下:在(b)的條件下證明|f'(a)|不存在.所以|f'(a)|不存在.三.計(jì)算題第二章導(dǎo)數(shù)與微分五.當(dāng)x0時(shí),f(x)有定義且二階可導(dǎo),問a,b,c為何值時(shí)二階可導(dǎo).解.F(x)連續(xù),所以所以

c=f(-0)=f(0);因?yàn)镕(x)二階可導(dǎo),所以F'(x)連續(xù),所以

b=