第05講 5.4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象（解析版）

第05講5.4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象課程標準學習目標①理解并掌握用單位圓作正弦函數(shù)以及作余弦函數(shù)的圖象的方法.掌握數(shù)形結合的優(yōu)勢。②通過兩類函數(shù)圖象認識函數(shù)圖象的特點，并能通過兩類圖象的形狀掌握兩類函數(shù)的性質。會作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象的同時，能認識圖象與三角函數(shù)的密切關系，并能解決與圖象有關的三角函數(shù)問題知識點01：正弦函數(shù)的圖象正弦函數(shù),的圖象叫做正弦曲線.知識點02：正弦函數(shù)圖象的畫法(1)幾何法:①在單位圓上,將點繞著點旋轉弧度至點,根據正弦函數(shù)的定義,點的縱坐標.由此,以為橫坐標,為縱坐標畫點,即得到函數(shù)圖象上的點.②將函數(shù),的圖象不斷向左、向右平行移動(每次移動個單位長度).(2)“五點法”:在函數(shù),的圖象上,以下五個點:，，，，在確定圖象形狀時起關鍵作用.描出這五個點,函數(shù),的圖象形狀就基本確定了.因此,在精確度要求不高時,常先找出這五個關鍵點,再用光滑的曲線將它們連接起來,得到正弦函數(shù)的簡圖.【即學即練1】（2023春·陜西西安·高二西北工業(yè)大學附屬中學?？茧A段練習）用五點法作出函數(shù)的大致圖象．【答案】圖象見解析【詳解】解：因為，列表：描點、連線，函數(shù)圖象如下圖所示：知識點03：余弦函數(shù)的圖象余弦函數(shù),的圖象叫做余弦曲線.知識點04：余弦函數(shù)圖象的畫法(1)要得到,的圖象,只需把,的圖象向左平移個單位長度即可,這是因為.(2)用“五點法”:畫余弦函數(shù)在上的圖象時,所取的五個關鍵點分別為，，，，再用光滑的曲線連接起來.【即學即練1】（2023·全國·高三專題練習）作出函數(shù)的圖象【答案】見解析【詳解】，，作出函數(shù)圖象后，將軸下方的部分沿軸翻折到軸上方，即為函數(shù)的圖象，如圖

題型01用“五點法”作三角函數(shù)的圖象【典例1】（2023·全國·高三專題練習）用“五點法”在給定的坐標系中，畫出函數(shù)在上的大致圖像.

【答案】答案見解析【詳解】列表：012001描點，連線，畫出在上的大致圖像如圖：【典例2】（2023·全國·高一課堂例題）（1）作出函數(shù)的簡圖；（2）作出函數(shù)的簡圖．【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析【詳解】（1）列表：001000200描點并用光滑的曲線連接起來，可得函數(shù)的圖象，如圖所示：

（2）列表：0010101210描點并用光滑的曲線連接起來，可得函數(shù)的圖象，如圖所示：

【變式1】（2023春·北京·高一北京市第三十五中學?？茧A段練習）用五點法畫出函數(shù)一個周期的圖象.【答案】答案見解析【詳解】令，則.列表：函數(shù)在一個周期內的圖象如下圖所示：【變式2】（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，．在用“五點法”作函數(shù)的圖象時，列表如下：x完成上述表格，并在坐標系中畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象；

【答案】填表見解析；作圖見解析【詳解】由題意列出以下表格：0x0020函數(shù)圖象如圖所示：

【變式3】（2023·全國·高一隨堂練習）用五點法分別畫下列函數(shù)在上的圖象:(1);(2).【答案】（1）見解析（2）見解析【詳解】解:/p>

題型02利用圖象解三角不等式【典例1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：函數(shù)圖象如下所示：

，不等式的解集為：．故選：．【典例2】（2023秋·江西撫州·高二黎川縣第二中學校考開學考試）不等式的解集為．【答案】【詳解】畫出時，的圖象．

令，，解得或又的周期為，所以的解集為．用代替解出．可得則的解集為.故答案為：.【變式1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】如圖所示，不等式，的解集為故選：A【變式2】（2023春·高一課時練習）在(0，2π)內使sinx>|cosx|的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因為sinx>|cosx|且x∈(0，2π)，所以sinx>0，所以x∈(0，π)，在同一平面直角坐標系中畫出y=sinx，x∈(0，π)與y=|cosx|，x∈(0，π)的圖象，觀察圖象易得x∈．故選：A.【變式3】（2023春·上海嘉定·高一?？计谥校┎坏仁降慕饧癁?【答案】【分析】畫出的圖象，由圖象即可求解.【詳解】

畫出的圖象，如圖所示，由圖可知，不等式的解集為.故答案為：題型03利用圖象求方程的解或函數(shù)零點的個數(shù)問題【典例1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）函數(shù)的零點個數(shù)為.【答案】3【詳解】由，則函數(shù)零點個數(shù)為圖象交點個數(shù)，在同一坐標系中畫出兩函數(shù)圖象如下，則交點有3個，即有3個零點.故答案為：3【典例2】（2023秋·河南新鄉(xiāng)·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)在上恰有2個零點，則的取值范圍為．【答案】【詳解】由且，得，若在上無零點，則在上恰有2個零點，則，無解；若在上恰有1個零點，則在上恰有1個零點，則，解得；若在上恰有2個零點，則在上無零點，則，無解，所以的取值范圍為.故答案為：【典例3】（2023春·新疆塔城·高一塔城地區(qū)第一高級中學?？茧A段練習）函數(shù)的零點個數(shù)為．【答案】7【詳解】依題意求函數(shù)的零點個數(shù)，可以轉化為求函數(shù)與的交點個數(shù)，，如圖，對于函數(shù)，當時，；當時，；當時，；當時，；所以在軸非負半軸上兩個函數(shù)圖像有4個交點，當時，；當時，；所以在軸負半軸上兩個函數(shù)圖像有3個交點，

綜上，函數(shù)的零點個數(shù)為7.故答案為：7.【典例4】（2023春·貴州遵義·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有10個零點，則ω的取值范圍是.【答案】【詳解】由，則，因為函數(shù)在區(qū)間上有且僅有10個零點，所以由余弦函數(shù)的性質可知：解得，故答案為：.【典例5】（2023春·高一單元測試）方程的解的個數(shù)是．【答案】7【詳解】由正弦函數(shù)值域可得，又因為當時，；所以，分別畫出和在上的圖象如下圖所示：

根據圖像并根據其對稱性可知，在上兩函數(shù)圖象共有7個交點；由函數(shù)與方程可知，方程有7個解.故答案為：7【變式1】（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)，則在上的零點個數(shù)為．【答案】2【詳解】令，可得，原題意等價于求與在上的交點個數(shù)，∵，則，且，有余弦函數(shù)可知與在上有2個交點所以與在上有2個交點.故答案為：2.【變式2】（2023春·湖北武漢·高一華中科技大學附屬中學校聯(lián)考期中）已知函數(shù)），若方程在上恰有5個實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【詳解】當時，，因為函數(shù)在區(qū)間上恰好有5個x，使得，故在上恰有5條對稱軸．令，則在上恰有5條對稱軸，如圖：所以，解得．故答案為：.【變式3】（2023春·江西南昌·高一校考階段練習）已知函數(shù)，若存在實數(shù)滿足互不相等，則的取值范圍是.【答案】【詳解】函數(shù)的圖象如下圖所示：存在實數(shù)滿足互不相等，不妨設，則由圖可知關于對稱，所以；當時，，，則，此時；當時，因為解得或，故而，，且由圖可得，即，可得，所以設，則，在上單調遞減，所以，所以，綜上所述；故答案為：.【變式4】（2023春·四川廣安·高一?？茧A段練習）已知關于x的方程在上有兩個不同的實數(shù)根，則m的取值范圍是．【答案】【詳解】由題設在上有兩個不同的實數(shù)根，又，故在的圖象如下，只需與在給定區(qū)間內有兩個交點即可，如圖，，則.故答案為：【變式5】（2023秋·河北衡水·高二衡水市第二中學?？茧A段練習）已知函數(shù)，令在區(qū)間上恰有2個零點，則，.【答案】//0.75【詳解】由題意得在上恰有2個零點，即在上恰有2個零點，當時，，畫出在時的函數(shù)圖象，

關于對稱，故，即，解得，且，，因為，所以故答案為：，A夯實基礎B能力提升A夯實基礎1．（2023秋·高一課時練習）函數(shù)的圖象中與y軸最近的最高點的坐標為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】用五點法畫出函數(shù)的部分圖象如圖所示，由圖易知與y軸最近的最高點的坐標為.

故選：B2．（2023·全國·高三專題練習）用“五點法”作的圖象，首先描出的五個點的橫坐標是（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由“五點法”作圖知：令，，，，，解得，即為五個關鍵點的橫坐標.故選：B.3．（2023·全國·高三專題練習）三角函數(shù)在區(qū)間上的圖像為（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：∵為奇函數(shù)，∴的圖像關于原點對稱，故排除A、D選項，三角函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，故排除B選項.故選：C.4．（2023·全國·高三專題練習）從函數(shù)的圖象來看，當時，對于的x有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【詳解】先畫出，的圖象，即A與D之間的部分，再畫出的圖象，如下圖：由圖象可知它們有2個交點B、C，所以當時，的x的值有2個.故選：C5．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)與圖像交點的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【詳解】作出函數(shù)在上的圖象，并作出直線，如圖：觀察圖形知：函數(shù)在上的圖象與直線有兩個公共點，所以函數(shù)與圖像交點的個數(shù)為2.故選：C6．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的簡圖是（

）A．B．C． D．【答案】B【詳解】由知，其圖象和的圖象相同，故選B．7．（2023秋·安徽合肥·高一校聯(lián)考期末）函數(shù)，的圖象在區(qū)間的交點個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【詳解】分別作出，在區(qū)間上的圖象，如圖所示，

由圖象可知：，的圖象在區(qū)間的交點個數(shù)為3.故選：A.8．（2023春·遼寧·高一鳳城市第一中學校聯(lián)考階段練習）華羅庚說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休.”所以研究函數(shù)時往往要作圖，那么函數(shù)的部分圖像可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【詳解】因為，所以ACD錯誤.故選：B二、多選題9．（2023秋·高一課時練習）（多選）函數(shù)與有一個交點，則的值為（

）A． B．0C．1 D．【答案】BD【詳解】畫出的圖象.如圖：直線和與的圖象只有一個交點，

故或.故選：BD.10．（2023·全國·高一假期作業(yè)）函數(shù)，的圖像與直線（t為常數(shù)，）的交點可能有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】ABC【詳解】作出，的圖像觀察可知，

當或時，的圖像與直線的交點個數(shù)為0；當或或時，的圖像與直線的交點個數(shù)為l；當或時，的圖像與直線的交點個數(shù)為2.故選：ABC.三、填空題11．（2023秋·湖南邵陽·高三湖南省邵東市第一中學校考階段練習）若函數(shù)在上有且僅有3個零點，則的最小值為.【答案】【詳解】令，得，由得，依題意，在上有且僅有3個零點，則，解得，所以的最小值為.故答案為：.12．（2023春·上海嘉定·高一?？计谥校┎坏仁降慕饧癁?【答案】【詳解】

畫出的圖象，如圖所示，由圖可知，不等式的解集為.故答案為：四、解答題13．（2023·全國·高三專題練習）用“五點法”在給定的坐標系中，畫出函數(shù)在上的大致圖像.

【答案】答案見解析【詳解】列表：012001描點，連線，畫出在上的大致圖像如圖：14．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)，用五點作圖法畫出函數(shù)在上的圖象；（先列表，再畫圖）【答案】答案見解析【詳解】，按五個關鍵點列表：0010003010描點并將它們用光滑的曲線連接起來如下圖所示：15．（2023·高一課時練習）作函數(shù)的圖象.【答案】圖象見解析.【詳解】故的圖象實際就是的圖象在x軸下方的部分翻折到x軸上方后得到的圖象，如圖16．（2023秋·山東泰安·高一泰山中學?？计谀┮阎瘮?shù)（1）作出該函數(shù)的圖象；（2）若，求的值；（3）若，討論方程的解的個數(shù)．【答案】（1）圖見解析；（2）或或；（3）當或時，解的個數(shù)為0；當或時，解的個數(shù)為1；當時，解的個數(shù)為3．【詳解】（1）的函數(shù)圖象如下：（2）當時，，解得，當時，，解得或，綜上，或或；（3）方程的解的個數(shù)等價于與的圖象的交點個數(shù)，則由（1）中函數(shù)圖象可得，當或時，解的個數(shù)為0；當或時，解的個數(shù)為1；當時，解的個數(shù)為3．B能力提升1．（2023春·江蘇揚州·高一統(tǒng)考期中）設函數(shù)的定義域為R，，，當時，，則函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【詳解】由，得的圖象關于y軸對稱，由，得的圖象關于直線對稱，令，得，函數(shù)是周期為1的偶函數(shù)，當時，，在同一坐