5.1 任意角和弧度制（八大題型）（原卷版）

5．1任意角和弧度制【題型歸納目錄】題型一：角的概念題型二：終邊相同的角的表示題型三：角所在象限的研究題型四：象限角的判定題型五：區(qū)域角的表示題型六：弧度制與角度制的互化題型七：扇形的弧長及面積公式的應(yīng)用題型八：扇形中的最值問題【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一：任意角的概念1、角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形．正角：按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角．負(fù)角：按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角．零角：如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個(gè)零角．知識點(diǎn)詮釋：角的概念是通過角的終邊的運(yùn)動(dòng)來推廣的，既有旋轉(zhuǎn)方向，又有旋轉(zhuǎn)大小，同時(shí)沒有旋轉(zhuǎn)也是一個(gè)角，從而得到正角、負(fù)角和零角的定義．2、終邊相同的角、象限角終邊相同的角為角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合．那么，角的終邊（除端點(diǎn)外）在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限角．知識點(diǎn)詮釋：（1）終邊相同的前提是：原點(diǎn)，始邊均相同；（2）終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同；（3）終邊相同的角有無數(shù)多個(gè)，它們相差的整數(shù)倍．3、常用的象限角角的終邊所在位置角的集合x軸正半軸y軸正半軸x軸負(fù)半軸y軸負(fù)半軸x軸y軸坐標(biāo)軸是第一象限角，所以是第二象限角，所以是第三象限角，所以是第四象限角，所以知識點(diǎn)二：弧度制1、弧度制的定義長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1（單位可以省略不寫）．2、角度與弧度的換算弧度與角度互換公式：1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad）3、弧長公式：（是圓心角的弧度數(shù)），扇形面積公式：．知識點(diǎn)詮釋：（1）角有正負(fù)零角之分，它的弧度數(shù)也應(yīng)該有正負(fù)零之分，如等等，一般地，正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0，角的正負(fù)主要由角的旋轉(zhuǎn)方向來決定．（2）角的弧度數(shù)的絕對值是：，其中，是圓心角所對的弧長，是半徑．【典型例題】題型一：角的概念例1．下列說法中正確的是（

）A．銳角是第一象限角 B．終邊相等的角必相等C．小于的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角例2．每周一的早晨，我們都會(huì)在學(xué)校的操場上舉行升國旗儀式，一般需要10分鐘．這10分鐘的時(shí)間，鐘表的分針走過的角度是（

）A． B． C． D．例3．射線繞端點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)位置，由位置繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到達(dá)位置，得，則射線旋轉(zhuǎn)的方向與角度分別為（）A．逆時(shí)針， B．順時(shí)針，C．逆時(shí)針， D．順時(shí)針，變式1．下列命題中正確的是（

）A．如果我們把相等的角視為同一個(gè)角，則弧度制建立了一個(gè)從任意角的集合到實(shí)數(shù)集的一一對應(yīng)的關(guān)系B．弧度制表示角時(shí)，不同大小的弧度可以表示同一個(gè)角C．終邊相同的角的弧度制表示相差D．終邊相同的角的弧度都相同變式2．下列說法正確的有幾個(gè)（

）（1）第一象限的角都是銳角；（2）銳角都是第一象限的角；（3）銳角是大于小于的角；A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)變式3．已知集合A={|為銳角}，B={|為小于的角}，C={|為第一象限角}，D={|為小于的正角}，則下列等式中成立的是（

）A．A=B B．B=C C．A=C D．A=D【方法技巧與總結(jié)】理解與角的概念有關(guān)問題的關(guān)鍵關(guān)鍵在于正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等的概念，弄清角的始邊與終邊及旋轉(zhuǎn)方向與大?。硗庑枰莆张袛嘟Y(jié)論正確與否的技巧，判斷結(jié)論正確需要證明，而判斷結(jié)論不正確只需舉一個(gè)反例即可．題型二：終邊相同的角的表示例4．請寫出與終邊相同的最小正角：.例5．與角終邊重合的角的集合是.例6．在區(qū)間內(nèi)找出與下列各角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角．(1)；(2)；(3)．變式4．寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式的元素寫出來：(1)；(2)；(3)；(4)．變式5．寫出與角終邊相同的角的集合，并求在范圍內(nèi)與角終邊相同的角．【方法技巧與總結(jié)】在0°～360°范圍內(nèi)找與給定角終邊相同的角的方法（1）把任意角化為（且）的形式，關(guān)鍵是確定k．可以用觀察法（的絕對值較?。部捎贸ǎ?）要求適合某種條件且與已知角終邊相同的角，其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式，再依條件構(gòu)建不等式求出k的值．題型三：角所在象限的研究例7．已知角α的終邊在第四象限，確定下列各角終邊所在的象限：(1)；(2)；(3)；(4)．例8．若角是第二象限角，試確定角，是第幾象限角．例9．若角是第二象限角，試確定，的終邊所在位置．變式6．若，，試確定，分別是第幾象限角．變式7．若是第一象限角，問，，是第幾象限角？變式8．已知角的終邊在第四象限.（1）試分別判斷、是哪個(gè)象限的角；（2）求的范圍.【方法技巧與總結(jié)】已知的范圍，確定的范圍，一般應(yīng)先將的范圍用不等式表示，然后再兩邊同除以，根據(jù)的取值進(jìn)行分類討論，以確定的范圍，討論角的范圍時(shí)要做到不重不漏，尤其對象限界角應(yīng)引起注意．題型四：象限角的判定例10．若是第二象限角，則是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角例11．若是第一象限角，則下列各角是第三象限角的是（

）A． B． C． D．例12．若為第二象限角，則的終邊所在的象限是（

）A．第二象限 B．第一、二象限C．第一、三象限 D．第二、四象限變式9．若是第二象限角，則是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角變式10．若角是第二象限角，則角的終邊所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限變式11．若是第四象限角，則一定是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【方法技巧與總結(jié)】判斷一個(gè)角在第幾象限或哪條坐標(biāo)軸上的一般方法（1）若的絕對值比較大，可通過加上或減去360°的整數(shù)倍得到內(nèi)或內(nèi)的一個(gè)角β；（2）判斷所在象限，則在第幾象限，就在第幾象限．題型五：區(qū)域角的表示例13．用弧度分別表示終邊落在如圖（1）（2）所示的陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角的集合．（如無特別說明，邊界線為實(shí)線代表包括邊界，邊界線為虛線代表不包括邊界）

例14．（1）如圖，陰影部分表示角的終邊所在的位置，試寫出角的集合．

（2）已知角，將改寫成的形式，并指出是第幾象限角．例15．用弧度表示終邊落在如圖所示的陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角的集合.

變式12．寫出終邊落在圖中陰影區(qū)域內(nèi)的角的集合．(1)

(2)

變式13．寫出終邊在如圖所示的直線上的角的集合．

變式14．用弧度制表示終邊落在下列陰影部分的角包含邊界，請用集合形式表示(1)(2)【方法技巧與總結(jié)】區(qū)域角的寫法可（1）按逆時(shí)針方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；（2）由小到大分別標(biāo)出起始、終止邊界對應(yīng)的一個(gè)角，，寫出所有與，終邊相同的角；（3）用不等式表示區(qū)域內(nèi)的角，組成集合．題型六：弧度制與角度制的互化例16．把下列各角化成的形式，并指出它們是哪個(gè)象限的角：(1)；(2)；(3)；(4)．例17．把下列各角的弧度化成度：(1)；(2)；(3)；(4)．例18．把下列各角的角度化成弧度：(1)；(2)；(3)；(4)．【方法技巧與總結(jié)】①在進(jìn)行角度與弧度的換算時(shí)，關(guān)鍵是抓住πrad=180°，這一關(guān)系．②用弧度作為單位時(shí)，常出現(xiàn)，如果題目沒有特殊的要求，應(yīng)當(dāng)保留的形式，不要寫成小數(shù)．③角度制與弧度制不得混用，如，k∈Z；，k∈Z都是不正確的寫法．題型七：扇形的弧長及面積公式的應(yīng)用例19．我國古代某數(shù)學(xué)著作中記載：“今有宛田，下周四步，徑四步，問為田幾何？”譯成現(xiàn)代漢語其意思為：有一塊扇形的田，弧長4步，其所在圓的直徑是4步，則這塊田的面積是（

）A．8平方步 B．6平方步 C．4平方步 D．16平方步例20．在半徑為9的圓中，的圓心角所對弧長為（

）A．900 B． C． D．例21．已知扇形弧長為，圓心角為2，則該扇形面積為（

）A． B． C． D．1變式15．已知扇形面積，半徑是1，則扇形的周長是（

）A． B． C． D．變式16．半徑為4，圓心角為1弧度的扇形的面積是（

）A．6 B．7 C．8 D．9變式17．一只紅螞蟻與一只黑螞蟻在一個(gè)圓（半徑為1cm）的圓周上爬動(dòng)，且兩只螞蟻均從點(diǎn)同時(shí)逆時(shí)針勻速爬動(dòng)，紅螞蟻以的速度爬行，黑螞蟻以的速度爬行，則2秒鐘后，兩只螞蟻之間的直線距離為（

）A．1 B． C． D．變式18．中國扇文化有著深厚的文化底蘊(yùn)，文人雅士喜歡在扇面上寫字作畫．如圖是書畫家唐寅（1470—1523）的《枯木寒鴉圖》扇面，其尺寸如圖所示，則該扇面的面積為（

）

A． B． C． D．變式19．已知扇形的半徑為1，圓心角為，則這個(gè)扇形的弧長為（

）A． B． C． D．60【方法技巧與總結(jié)】有關(guān)扇形的弧長，圓心角，面積的題目，一般是知二求一的題目，解此類題目的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用，兩組公式．題型八：扇形中的最值問題例22．已知扇形的圓心角為，所在圓的半徑為r．(1)若，求扇形的弧長．(2)若扇形的周長為24，當(dāng)為多少弧度時(shí)，該扇形面積最大？求出最大面積．例23．已知一扇形的圓心角為，半徑為R，弧長為l．(1)若，，求扇形的弧長l；(2)若扇形面積為16，求扇形周長的最小值，及此時(shí)扇形的圓心角．例24．已知扇形的圓心角為，所在圓的半徑為(1)若，，求扇形的弧長(2)若扇形的周長為，當(dāng)為多少弧度時(shí)，該扇形面積最大并求出最大面積．變式20．已知扇形的圓心角是，半徑是，弧長為.(1)若，求扇形的面積；(2)若扇形的周長為，求扇形面積的最大值，并求此時(shí)扇形圓心角的弧度數(shù)．變式21．某地政府部門欲做一個(gè)“踐行核心價(jià)值觀”的宣傳牌，該宣傳牌形狀是如圖所示的扇形環(huán)面(由扇形挖去扇形后構(gòu)成的)．已知米，米，線段、線段與弧、弧的長度之和為米，圓心角為弧度．(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)記該宣傳牌的面積為，試問取何值時(shí)，的值最大?并求出最大值．變式22．如果一個(gè)扇形的周長為，那么當(dāng)它的半徑和圓心角分別為多少時(shí)，扇形的面積最大？變式23．已知一扇形的圓心角為，半徑為，弧長為．(1)已知扇形的周長為，面積是，求扇形的圓心角；(2)若扇形周長為，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？并求此扇形的最大面積．【方法技巧與總結(jié)】解決最值問題采用消元思想或二次函數(shù)思想加以解決【過關(guān)測試】一、單選題1．已知相互嚙合的兩個(gè)齒輪，大輪50齒，小輪20齒，當(dāng)大輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)小輪轉(zhuǎn)動(dòng)角度是（

）A． B． C． D．2．下列命題中，正確的是（

）A．1弧度的角就是長為半徑的弦所對的圓心角B．若是第一象限的角，則也是第一象限的角C．若兩個(gè)角的終邊重合，則這兩個(gè)角相等D．用角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑有關(guān)3．磚雕是我國古建筑雕刻中的重要藝術(shù)形式，傳統(tǒng)磚雕精致細(xì)膩、氣韻生動(dòng)、極富書卷氣.如圖所示，一扇環(huán)形磚雕，可視為將扇形OCD截去同心扇形OAB所得圖形，已知，，，則該扇環(huán)形磚雕的面積為（

）.

A． B． C． D．4．二十四節(jié)氣是中國古代訂立的一種用來指導(dǎo)農(nóng)事的補(bǔ)充歷法，是中華民族勞動(dòng)人民智慧的結(jié)晶．從立春起的二十四節(jié)氣依次是立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種、夏至、小暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒．二十四節(jié)氣的對應(yīng)圖如圖所示，從2022年4月20日谷雨節(jié)氣到2022年12月7日大雪節(jié)氣，圓上一點(diǎn)轉(zhuǎn)過的弧所對圓心角的弧度數(shù)為（

）．

A． B． C． D．5．如圖所示，已知的一條劣弧的長等于該圓內(nèi)接正三角形的邊長，則從順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到所形成的角的弧度數(shù)是（

）

A． B． C． D．6．已知為第二象限角，則所在的象限是（

）A．第一或第二象限 B．第二或第三象限C．第二或第四象限 D．第一或第三象限7．設(shè)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．8．?dāng)?shù)學(xué)中處處存在著美，萊洛三角形就給人以對稱的美感.萊洛三角形的畫法如下：先畫等邊三角形，再分別以點(diǎn)為圓心，線段長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角形（如圖所示）.若萊洛三角形的周長為，則其面積是（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知某扇形的周長為44，圓心角為2，則（

）A．該扇形的半徑為11 B．該扇形的半徑為22C．該扇形的面積為100 D．該扇形的面積為12110．如圖，A，B是單位圓上的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，0)，∠BOA＝60°，質(zhì)點(diǎn)A以1rad/s的角速度按逆時(shí)針方向在單位圓上運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)B以2rad/s的角速度按順時(shí)針方向在單位圓上運(yùn)動(dòng)，則（

）A．經(jīng)過1s后，∠BOA的弧度數(shù)為＋3B．經(jīng)過s后，扇形AOB的弧長為C．經(jīng)過s后，扇形AOB的面積為D．經(jīng)過s后，A，B在單位圓上第一次相遇11．如果α是第三象限的角，那么可能是下列哪個(gè)象限的角（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．與角終邊相同的角的集合是（

）A． B．C． D．三、填空題13．把分針撥快15分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角度為.14．如圖1，折扇又名“撒扇”“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，?紙或綾絹?zhàn)錾让娴哪苷郫B的扇子，其展開的平面圖如圖2的扇形，其中，