2023年上海市高考數(shù)學考前20天復習-07 計數(shù)原理與概率統(tǒng)計小題綜合教師版

07計數(shù)原理與概率統(tǒng)計小題綜合

一、填空題

1.(2023?上海閔行?統(tǒng)考二模)已知常數(shù)〃2>0,+的二項展開式中χ2項的系數(shù)是

60,則，"的值為.

【答案】2

【分析】根據(jù)二項展開式的通項公式確定特定項系數(shù)，進而確定/的值.

【詳解】由已知則其展開式的通項為C"/1:J=G"fa’,

又其：項展開式中X2項的系數(shù)是60,

則令6-2r=2,BPr=2,C>2=15w2=60,

又加?0,

所以a=2,

故答案為：2.

2.(2023?上海浦東新?統(tǒng)考二模)設隨機變量X服從正態(tài)分布N(0Q2),且

P(X>—2)=0.9,貝IJp(X>2)=.

【答案】o.i/?

【分析】由正態(tài)分布曲線的對稱性進行求解.

【詳解】X服從正態(tài)分布N(0,b2),其正態(tài)分布曲線關于y軸對稱，

由對稱性可知P(X>2)=P(X<-2)=l-P(X>-2)=l-0.9=0.l.

故答案為：0」

3.(2023?上海黃浦?統(tǒng)考二模)已知機是加-2與4的等差中項，且

52)45

(w+%)=?0+axx+a2x+a3x+a4x+a5x,則a｝的值為.

【答案】40

【分析】首先根據(jù)等差中項的性質求出機=2,再利用二項式的通項得到相應「值，代

入即可得到答案.

【詳解】由題意得“z-2+4=2∕n,解得〃?=2,

5

則二項式(2+X)的通項為τr+l=C；.25,短,

令r=3則有7；=c；.2?.1=40X3,故生=40,

故答案為：40.

4.(2023?上海閔行?統(tǒng)考二模)已知事件A與事件B互斥，如果P(A)=O.3,P(B)=0.5,

那么P(T^)=.

【答案】0.2∕∣

【分析】根據(jù)互斥事件與對立事件的概率公式計算.

【詳解】由題意P(A8)=1-P(AlB)=1-[P(Λ)+P(B)]=1-(0.3+0.5)=0.2.

故答案為：02

2θ23

5.(2023?上海徐匯?統(tǒng)考二模)若(l+x)(l-2x)=%+αlx+α∕2+...+%o24產,

aj∈R(z=0,l,2,???,2024),貝!]ai+a2+…+αMM=.

【答案】-3

【分析】賦值，犬=0和;<=1,即可求解.

【詳解】令X=0,?=1,

令

X=1,%+a[+%+…+O2Q24=2x(—1)=-2,

所以4+%H---1-<?4=-2-1=-3.

故答案為：-3

6.(2023?上海徐匯?統(tǒng)考二模)抽取某校高一年級10名女生，測得她們的身高(單位:

Cm)數(shù)據(jù)如下：163165161157162165158155164162,據(jù)此估計該校高一年

級女生身高的第25百分位數(shù)是.

【答案】158

【分析】計算10x25%=2.5,確定從小到大第3個數(shù)即可.

【詳解】IOx25%=2.5,第25百分位數(shù)是從小到大第3個數(shù)為158.

故答案為：158

7.(2023?上海寶山?統(tǒng)考二模)從裝有3個紅球和4個藍球的袋中，每次不放回地隨機

摸出一球.記“第一次摸球時摸到紅球”為4,“第二次摸球時摸到藍球”為B,則P(BIA)=

【答案】I

[分析]根據(jù)獨立事件概率乘法公式結合條件概率分析運算.

334?

【詳解】由題意可得:P(A)=/(AB)=Ix?=/,

2

所以P(Bk)=需=z=2

33

7

故答案為：?∣.

8.(2023?上海寶山?統(tǒng)考二模)如圖是某班一次數(shù)學測試成績的莖葉圖(圖中僅列出

[50,60),[90,100)的數(shù)據(jù))和頻率分布直方圖，則x-y=

【答案】QoO4

【分析】根據(jù)莖葉圖可得相應的頻數(shù)，根據(jù)頻率分布直方圖可得相應的頻率，根據(jù)頻率

與頻數(shù)之間的關系列式求解.

【詳解】由莖葉圖可知：[50,60),[90,100)的頻數(shù)分別為5,2；

由頻率分布直方圖可得：每組的頻率依次為0.2,0.24,0.36,10x,IOy,

設樣本容量為〃，

*=0.2

n/7=25

則-=IOy解得元=0.012,

n

y=0.008

0.2+0.24+0.36÷10x+10y=l

故X—y=0.012—0.008=0.004.

故答案為：0.004.

9.(2023?上海松江?統(tǒng)考二模)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(0,l),若

P(X<-1.96)=0.03,貝IJP(IX|<1.96)=.

【答案】0.94

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性即可求出指定區(qū)間的概率.

【詳解】由正態(tài)分布的對.稱性得P(IX∣<1.96)=1-2P(X<-1.96)=0.94.

故答案為：0.94.

10.(2023?上海閔行?統(tǒng)考二模)今年春季流感爆發(fā)期間，某醫(yī)院準備將2名醫(yī)生和4名

護士分配到兩所學校，給學校老師和學生接種流感疫苗.若每所學校分配1名醫(yī)生和2

名護士，則不同的分配方法數(shù)為.

【答案】12

【分析】先利用組合知識選出一個小組，剩下的一組就確定了，然后利用分步乘法原理

即可求解.

【詳解】從2位醫(yī)生中選1人，從4位護士中選2人，分到第一所學校，有C；C：=12

種方法，

剩下的1位醫(yī)生和剩下的2位護士只能分到第二所學校，只有I種方法，

根據(jù)分步計數(shù)原理得不同的分配方法共有C；C；Xl=12種.

故答案為：12.

11.(2023?上海靜安?統(tǒng)考二模)今年是農歷癸卯兔年，一種以兔子形象命名的牛奶糖深

受顧客歡迎.標識質量為500g的這種袋裝奶糖的質量指標X是服從正態(tài)分布

N(500,2.52)的隨機變量.若質量指標介于495g(含)至505g(含)之間的產品包裝為

合格包裝，則隨意買一包這種袋裝奶糖，是合格包裝的可能性大小為%(結

果保留一位小數(shù))(已知中⑴=0.8413,中(2)aQ9772,①⑶=0.9987.①(x)表示標準正態(tài)

分布的密度函數(shù)從-8到X的累計面積)

【答案】95.4(sg95.5都對)

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性及標準正態(tài)分布的概率取值情況即可得所求答案.

【詳解】因為X是服從正態(tài)分布N(500,2?52),

所以P(X>505)=P(X<495)=1-Φ(2)≈1-0.9772=0.0228,

則P(495<X<505)=l-2×0.0228=0.9544≈95.4%或95.5%.

故答案為：95.4或95.5.

12.(2023?上海崇明?上海市崇明中學校考模擬預測)現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字

1,2,2,3,4,5,6.從這7張卡片中隨機抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為J,則

E?=.

12

【答案】y

【分析】由條件求4分布列，再由期望公式求其期望.

【詳解】由已知可得々的取值有1,2,3,4,

C2ISC"Cy=16

PC=I)=m=至,P(?=2)=

―e?--35

-吟噎P(I)V=1

35

所以Ee)=IX"+2χ3+3χ3+4χ-!-二12

35353535T

12

故答案為：~■

13.（2023?上海黃浦?統(tǒng)考二模）若每經過一天某種物品的價格變?yōu)樵瓉淼?.02倍的概

率為0?5,變?yōu)樵瓉淼?.98倍的概率也為0.5,則經過6天該物品的價格較原來價格增

加的概率為.

【答案嗎

【分析】先判斷價格比原來的升降情況，然后利用二項分布的知識求解，即得結果.

【詳解】設物品原價格為1,0?1.026≈1.12>1,?.02s×0.98≈1.08>1,

1.024×0.982≈1.04>l,1.023X0.98,≈0.9988<1,

故經過6天該物品的價格較原來價格增加的情況是6天中恰好是4天升高2天降低,

5天升高1天降低和6天升高,則經過6天該物品的價格較原來價格增加的概率為

叱M/C但啜

故答案為：??.

14.（2023?上海徐匯?統(tǒng)考二模）甲、乙、丙、丁四名同學報名參加高中社會實踐活動,

高中社會實踐活動共有博物館講解、養(yǎng)老院慰問、交通宣傳、超市導購四個項目，每人

限報其中一項，記事件A為“4名同學所報項目各不相同”，事件B為“只有甲同學一人

報交通宣傳項目，則P（AIB）=.

【答案】I

【分析】直接利用條件概率公式計算得到答案.

【詳解】P（AB）=苧,P（B）=W■，故尸（A⑻=黯寫總

故答案為：-

15.（2023?上海崇明?上海市崇明中學?？寄M預測）若（丁+與）”展開式的各項系數(shù)之

和為32,其展開式中的常數(shù)項為.（用數(shù)字作答）

【答案】10

【詳解】由題意，二項式（丁+二）"展開式的各項系數(shù)之和為32,

令X=I,可得2"=32,解得九=5,

則展開式的通項為（+1=q（√）r（4）5^r=q√r-'°,

Jr

令r=2,可得常數(shù)項為C；=10.

故答案為：10.

,?23'

16.（2023?上海奉賢?統(tǒng)考二模）已知隨機變量X的分布為111,且y=αv+3,

536?

若E[y]=-2,則實數(shù)4=.

【答案】-3

【分析】由期望性質可得答案.

【詳解】因y=0X+3,則E團=E[αX+3]=αE[x]+3=-2nαE[X]=-5.

又E「x]=—+—+—=—,貝1]α=-3.

lj2323

故選：-3.

二、單選題

17.（2023?上海楊浦?統(tǒng)考二模）對成對數(shù)據(jù)伍,匕）、伍，4）.......（乙,%）用最小二

乘法求回歸方程是為了使（）

【分析】由最小二乘法的求解即可知.

【詳解】根據(jù)最小二乘法的求解可知：回Ul方程是為「使得每個數(shù)據(jù)與估計值之間的差

的平方和最小，

故選：D

18.（2023?上海浦東新?統(tǒng)考二模）某種產品的廣告支出X與銷售額》（單位：萬元）之

間有下表關系，y與X的線性回歸方程為y=10?5x+5.4,當廣告支出6萬元時，隨機誤

差的效應即離差（真實值減去預報值）為（）.

X24568

y3040607080

A.1.6B.8.4C.11.6D.7.4

【答案】A

【分析】代入x=6,得至Uy=68.4,從而得到隨機誤差的效應即離差.

【詳解】當x=6時，γ=10.5×6+5.4=68.4,故隨機誤差的效應即離差為70—68.4=1.6.

故選：A

19.（2023?上海青浦?統(tǒng)考二模）已知〃為正整數(shù)，貝廣〃是3的倍數(shù)”是“（Y-蛾）的二

項展開式中存在常數(shù)項''的（）條件.

A.充分非必要B.必要非充分

C.充要D.既不充分也不必要

【答案】C

【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式以及充分、必要條件的知識確定正確答案.

【詳解】卜JlJ展開式的通項公式為c；.（y廠.（_2/）'=（-2）'C

2

?4n-6r=0,解得〃

所以，若（XjI）的二項展開式中存在常數(shù)項，則〃是3的倍數(shù).

所以“〃是3的倍數(shù)”是的二項展開式中存在常數(shù)項”的充要條件.

故選：C

20.（2023?上海金山?統(tǒng)考二模）某社區(qū)通過公益講座宣傳交通法規(guī).為了解講座效果，

隨機抽取10位居民，分別在講座前、后各回答一份交通法規(guī)知識問卷，滿分為100分.

他們得分的莖葉圖如圖所示（“葉”是個位數(shù)字），則下列選項敘述錯誤的是（）

講座前講座后

505

5006

5007

080555

090055

1000

A.講座后的答卷得分整體上高于講座前的得分

B.講座前的答卷得分分布較講座后分散

C.講座后答卷得分的第80百分位數(shù)為95

D.講座前答卷得分的極差大于講座后得分的極差

【答案】C

【分析】根據(jù)莖葉圖即可判斷AB；再根據(jù)百分位數(shù)的計算公式即可判斷C；根據(jù)極差

的定義即可判斷D.

【詳解】有莖葉圖可知講座后的答卷得分整體上高于講座前的得分，故A正確；

講座前的答卷得分主要分布在5075之間，而講座后主要分布在8085之間，

則講座前的答卷得分分布較講座后分散，故B正確；

講座后答卷得分依次為80,85,85,85,90,90,95,95,100,100,

因為8O%xlO=8,所以笫80百分位數(shù)是第8個數(shù)與第9個數(shù)的平均數(shù)，為1詈95，故C

錯誤；

講座前答卷得分的極差為90-50=40,講座后得分的極差為K）O-80=20,

所以講座前答卷得分的極差大于講座后得分的極差，故D正確.

故選：C.

21.（2023?上海松江?統(tǒng)考二模）為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關系，隨機

調查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表：

收入X（萬元）8.28.610.011.311.9

支出y（萬元）6.27.58.08.59.8

根據(jù)上表可得回歸直線方程y=%+g,其中4=0.76,b=y-ax,據(jù)此估計，該社區(qū)

一戶收入為15萬元家庭年支出為（）

A.11.4萬元B.11.8萬元C.12.0萬元D.12.2萬元

【答案】B

【分析】求出元=10，7=8,則求出方=0.4,最后得到回歸直線方程，代入χ=15即可.

【詳解】由題意得y=0.76x+九x=∣（8.2+8.6+10+11.3+11.9）=10,

1.

y=-（6.2+7.5+8+8.5+9.8）=8,W∣J?=y-0.76丁=0.4,

所以y=O76x+O4,當x=15時,y=11.8,

故選：B.

22.（2023?上海長寧?統(tǒng)考二模）在下列統(tǒng)計指標中，用來描述一組數(shù)據(jù)離散程度的量是

（）

A.平均數(shù)B.眾數(shù)C.百分位數(shù)D.標準差

【答案】D

【分析】根據(jù)中位數(shù)，平均數(shù)、百分位數(shù)和標準差的定義即可判斷.

【詳解】平均數(shù)、眾數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的量，

所以說平均數(shù)、眾數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的統(tǒng)計量，故A、B不正確；

百分位數(shù)是指將一組數(shù)據(jù)從小到大排列，并計算相應的累計百分位，

則某一個百分位所對應的數(shù)據(jù)的值稱為這一百分位數(shù)的百分位數(shù).

所以百分位數(shù)不能用來描述一組數(shù)據(jù)離散程度的量，故C不正確；

標準差反映J'數(shù)據(jù)分散程度的大小，所以說標準差都是描述一組數(shù)據(jù)的離散程度的統(tǒng)計

量，故D正確.

故選：D.

23.（2023?上海崇明?上海市崇明中學?？寄M預測）在對吸煙與患肺病這兩個分類變量

的獨立性檢驗中，下列說法正確的是（）

（參考數(shù)據(jù)：P（K226.635）=0.01）

①若Y的觀測值滿足K2≥6.635,我們有99%的把握認為吸煙與患肺病有關系；

②若Kz的觀測值滿足K2≥6.635,那么在100個吸煙的人中約有99人患有肺?。?/p>

③從獨立性檢驗可知，如果有99%的把握認為吸煙與患肺病有關系時，那么我們就認

為：每個吸煙的人有99%的可能性會患肺??；

④從統(tǒng)計量中得知有99%的把握認為吸煙與患肺病有關系時，是指有1%的可能性使推

斷出現(xiàn)錯誤.

A.①B.①@C.②③D.①?③④

【答案】B

【分析】由給出的數(shù)據(jù)，結合觀測值的意義判定即可.

【詳解】若蜉的觀測值滿足y≥6.635,則我們有99%的把握認為吸煙與患肺病有關

系，而得知有99%的把握認為吸煙與患肺病有關系時，仍有1%的可能性使推斷出現(xiàn)錯

誤，但不能說明100個吸煙的人中約有99人患有肺病，及每個吸煙的人有99%的可能性

會患肺病.

故①④正確、②③錯誤.

故選：B

24?（2023?上海嘉定?統(tǒng)考二模）有一筆資金，如果存銀行，那么收益預計為2萬.該筆

資金也可以做房產投資或商業(yè)投資，投資和市場密切相關,根據(jù)調研，發(fā)現(xiàn)市場的向上、

平穩(wěn)、下跌的概率分別為0.2、0.7、0.1.據(jù)此判斷房產投資的收益X∣和商業(yè)投資的收

‘X113—3\(X74—2\

益x?的分布分別為InDn7nJ，2,則從數(shù)學期望的角度

IP0.20.70.1)IP0.20.70.1)

來看，該筆資金如何處理較好()

A.存銀行B.房產投資

C.商業(yè)投資D.房產投資和商業(yè)投資均可

【答案】D

【分析】計算出房產投資和商業(yè)投資的收益平均值，根據(jù)平均值判斷即可.

【詳解】房產投資的收益平均值為：E(X1)=Il×0.2+3×0.7-3×0.1=4,

商業(yè)投資的收益平均值為：E(X2)=7×0.2+4×0.7-2×0.1=4,

因為E(Xj=E(X2),所以房產投資和商業(yè)投資均叱

故選：D

25.(2023?上海閔行?統(tǒng)考二模)在某區(qū)高三年級舉行的一次質量檢測中，某學科共有

3000人參加考試.為了解本次考試學生的成績情況，從中抽取了部分學生的成績(成

績均為正整數(shù),滿分為100分)作為樣本進行統(tǒng)計,樣本容量為〃.按照[50,60),