（江蘇專用）高考數(shù)學(xué) 專題10 概率與統(tǒng)計 77 古典概型 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

訓(xùn)練目標(biāo)理解古典概型的概念、會求古典概型的概率.訓(xùn)練題型(1)求簡單古典概型的概率；(2)與其他知識交匯求古典概型的概率；(3)古典概型的應(yīng)用.解題策略讀懂題目，抓住解決問題的實質(zhì)，即：確定基本事件個數(shù)及所求事件包含基本事件的個數(shù).1．某位同學(xué)進(jìn)行投球練習(xí)，連投了10次，恰好投進(jìn)了8次，若用A表示投進(jìn)球這一事件，則A的頻率為________．2．(2015·江西臨川二中一模)同時投擲兩個骰子，則向上的點數(shù)之差的絕對值為4的概率是________．3．若有2位老師，2位學(xué)生站成一排合影，則每位老師都不站在兩端的概率是________．4．(2015·廣州二模)有兩張卡片，一張的正反面分別寫著數(shù)字0與1，另一張的正反面分別寫著數(shù)字2與3，將兩張卡片排在一起組成兩位數(shù)，則所組成的兩位數(shù)為奇數(shù)的概率是________．5．甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個數(shù)字，記為a，再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就稱甲、乙“心相近”．現(xiàn)任意找兩人玩這個游戲，則他們“心相近”的概率為________．6．(2015·遼寧師范大學(xué)附中模擬)一個三位自然數(shù)百位、十位、個位上的數(shù)字依次為a，b，c，當(dāng)且僅當(dāng)a>b，b<c時稱為“凹數(shù)”(如213,312等)，若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，則這個三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率為________．7．(2015·嘉興二模)在正六邊形的6個頂點中隨機(jī)選擇4個頂點，則構(gòu)成的四邊形是梯形的概率為________．8．從個位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中任取一個，其中個位數(shù)為0的概率是________．9．從三件正品、一件次品中隨機(jī)取出兩件，則取出的產(chǎn)品全是正品的概率是________．10．(2015·浙江杭州富陽二中質(zhì)檢)設(shè)a∈{1,2,3}，b∈{2,4,6}，則函數(shù)y＝logeq\f(b,a)eq\f(1,x)是減函數(shù)的概率為________．11．(2015·浙江重點中學(xué)協(xié)作體上學(xué)期第二次適應(yīng)性測試)已知k∈Z，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(k,1)，Aeq\o(C,\s\up6(→))＝(2,4)，若|eq\o(AB,\s\up6(→))|≤4，則△ABC是直角三角形的概率是________．12．某人有4把鑰匙，其中2把能打開門，現(xiàn)隨機(jī)地取1把鑰匙試著開門，不能開門的就扔掉，問第二次才能打開門的概率是______；如果試過的鑰匙不扔掉，這個概率是________．13．(2015·江西會昌中學(xué)月考)某同學(xué)同時投擲兩顆骰子，得到點數(shù)分別為a，b，則橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的離心率e>eq\f(\r(3),2)的概率是________．14．如圖所示，在每一個方格中填入一個數(shù)字，數(shù)字可以是1,2,3,4中的任何一個，允許重復(fù)，則填入A方格的數(shù)字大于B方格的數(shù)字的概率為________．答案解析1.eq\f(4,5)2.eq\f(1,9)解析同時拋擲兩個骰子，基本事件總數(shù)為36，記“向上的點數(shù)之差的絕對值為4”為事件A，則事件A包含的基本事件有(1,5)，(2,6)，(5,1)，(6,2)，共4個，故P(A)＝eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).3.eq\f(1,6)解析設(shè)兩位老師分別為A，B，兩位學(xué)生分別為C，D，則他們站成一排合影的所有基本事件為ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDBA，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA，共有24個，每位老師都不站在兩端的基本事件為CABD，CBAD，DABC，DBAC，共有4個，故所求概率為P＝eq\f(4,24)＝eq\f(1,6).4.eq\f(1,2)解析將兩張卡片排在一起組成兩位數(shù)，則所組成的兩位數(shù)有12,13,20,21,30,31，共6個，兩位數(shù)為奇數(shù)的有13,21,31，共3個，故所組成的兩位數(shù)為奇數(shù)的概率為eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).5.eq\f(4,9)解析試驗包含的所有事件共有6×6＝36種，其中滿足題設(shè)條件的有如下情形：若a＝1，則b＝1,2；若a＝2，則b＝1,2,3；若a＝3，則b＝2,3,4；若a＝4，則b＝3,4,5；若a＝5，則b＝4,5,6；若a＝6，則b＝5,6.即滿足題設(shè)條件的情形共有16種，故他們“心相近”的概率為P＝eq\f(16,36)＝eq\f(4,9).6.eq\f(1,3)解析由于a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，故可得24個三位數(shù)．若b＝1，則“凹數(shù)”有213,214,312,314,412,413，共6個；若b＝2，則“凹數(shù)”有324,423，共2個，所以這個三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率為eq\f(8,24)＝eq\f(1,3).7.eq\f(2,5)解析如圖為正六邊形ABCDEF,6個頂點中隨機(jī)選擇4個頂點，共有15種選法，其中構(gòu)成的四邊形是梯形的有ABEF、BCDE、ABCF、CDEF、ABCD、ADEF，共6種情況，故構(gòu)成的四邊形是梯形的概率為P＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).8.eq\f(1,9)解析分類討論法求解．個位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)，則個位數(shù)與十位數(shù)中必一個奇數(shù)一個偶數(shù)，所以可以分兩類．(1)當(dāng)個位為奇數(shù)時，有5×4＝20(個)符合條件的兩位數(shù)．(2)當(dāng)個位為偶數(shù)時，有5×5＝25(個)符合條件的兩位數(shù)．因此共有20＋25＝45(個)符合條件的兩位數(shù)，其中個位數(shù)為0的兩位數(shù)有5個，所以所求概率為P＝eq\f(5,45)＝eq\f(1,9).9.eq\f(1,2)解析設(shè)“取出兩件產(chǎn)品全是正品”為事件A，三件正品的編號分別為a，b，c，一件次品的編號為d，則基本事件有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6個，事件A包含的基本事件為ab，ac，bc共3個．因此P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).10.eq\f(7,9)解析由題意可知本題是一個古典概型，因為試驗發(fā)生包含的事件是從兩個集合中各取一個數(shù)字，所以共有9種結(jié)果，滿足條件的事件是函數(shù)y＝logeq\f(b,a)eq\f(1,x)＝－logeq\f(b,a)x是一個減函數(shù)，只要底數(shù)大于1，列舉出所有的情況有a＝1，b＝2；a＝1，b＝4；a＝1，b＝6；a＝2，b＝4；a＝2，b＝6；a＝3，b＝4；a＝3，b＝6，共7種結(jié)果，所以概率是P＝eq\f(7,9).11.eq\f(3,7)解析因為|Aeq\o(B,\s\up6(→))|＝eq\r(k2＋1)≤4，所以k2≤15，又因為k∈Z，所以k∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在△ABC中，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2－k,3)，若△ABC為直角三角形，則Aeq\o(C,\s\up6(→))·Aeq\o(B,\s\up6(→))＝0，或Aeq\o(B,\s\up6(→))·Beq\o(C,\s\up6(→))＝0，或Aeq\o(C,\s\up6(→))·Beq\o(C,\s\up6(→))＝0，解得k＝－2，或k＝3，或k＝－1，或k＝8(舍去)，滿足條件的有3個，所以所求概率為eq\f(3,7).12.eq\f(1,3)eq\f(1,4)解析第二次能打開門說明第一次是從不能打開門的鑰匙中取一，第二次是從能打開門的鑰匙中取一，第二次打開門這個事件包含的基本事件數(shù)為2×2＝4，基本事件總數(shù)為4×3＝12，所求概率為P1＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3).如果試過的鑰匙不扔掉，基本事件總數(shù)為4×4＝16，所求概率為P2＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).13.eq\f(1,3)解析當(dāng)a>b時，e＝eq\r(1－\f(b2,a2))>eq\f(\r(3),2)?eq\f(b,a)<eq\f(1,2)?a>2b，符合a>2b的情況：當(dāng)b＝1時，a＝3,4,5,6；當(dāng)b＝2時，a＝5,6，總共有6種情況，則概率為eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).同理，當(dāng)a<b時，e>eq\f(\r(3),2)的概率也為eq\f(1,6)，綜上可知，e>eq\f(\r(3),2)的概率為eq\f(1,3).1