2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)習(xí)題：第九章第8節(jié)　微課4　探索性及證明問題

微課4探索性及證明問題

嶺題型分類突破一

題型一探索性問題

9

［例1］(2020?鄭州模擬)已知圓C:(χ-α)2+(y—b)2=a的圓心C在拋物線χ2=2py(p>0)

上，圓C過原點且與拋物線的準(zhǔn)線相切.

(1)求該拋物線的方程.

(2)過拋物線焦點廠的直線/交拋物線于A,B兩點，分別在點A,B處作拋物線的切線，兩

條切線交于P點，則4∕?B的面積是否存在最小值？若存在，求出這個最小值及此時對應(yīng)

的直線/的方程；若不存在，請說明理由.

解⑴由已知可得圓心C(α,b),半徑r=?,焦點f(θ,準(zhǔn)線方程為產(chǎn)一多

因為圓C與拋物線的準(zhǔn)線相切，

所以h=∣一多且圓C過焦點E

又圓C過原點，所以圓心C必在線段OF的垂直平分線上，即方=￡

所以求得p=2.

于是拋物線的方程為χ2=4y.

(2)由拋物線方程∕=4y知,F(0,l).

易知直線/的斜率存在，則設(shè)直線/的方程為y=fcr+l.

y=kx+?,

由L消去)，并整理，得/一4丘一4=0,

x2=4y

/=(一4%)2—4義(-4)=16F+16>0,

設(shè)A(Xy∣),Ba2,丁2),則Xl+l2=4攵，XlX2=-4.

對尸?求導(dǎo)，得y'=參即直線AP的斜率以P=^,則直線A尸的方程為y-力=翔一XI),

即y^x-^xi

同理可得直線BP的方程為y=色一%.設(shè)P(x0,加)，

'即+及

Xo-2_2k,

聯(lián)立直線AP與8尸的方程，可得<

X?X2,

［泗一丁一1,

即P(2K-1).

∣AB∣=√T+P∣XI-X2∣

=y∣1+?2?ΛJ(XI+x2)2~4χ?x2

=y∣1+?2???∕(4?)2+16=4(1+?2),

∣2?2+2∣

點P到直線AB的距離d==2?∣?+k2

y∣ι+∕c29

1____3

所以△布B的面積S=2×4(1+?2)X2√1+P=4(1+>4,

當(dāng)且僅當(dāng)Z=O時等號成立.

故△/?B面積的最小值為4,此時直線/的方程為y=?.

感悟升華此類問題一般分為探究條件、探究結(jié)論兩種.若探究條件，則可先假設(shè)條件成立，

再驗證結(jié)論是否成立，成立則存在，否則不存在；若探究結(jié)論，則應(yīng)先求出結(jié)論的表達式，

再針對其表達式進行討論，往往涉及對參數(shù)的討論.

【訓(xùn)練1】(2021.西安模擬)設(shè)中心在原點，焦點在X軸上的橢圓E過點(1,坐)，且離心

率為坐，尸為E的右焦點，P為E上一點，PFLX軸，圓廠的半徑為PF.

(1)求橢圓E和圓尸的方程；

(2)若直線/：y=Mχ-√5)伏>0)與圓尸交于A,8兩點，與橢圓E交于C,。兩點，其中A,

C在第一象限，是否存在％使HCl=IBQI?若存在，求/的方程；若不存在，說明理由.

解(1)由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，+:=l(a>b>0),

???橢圓的離心率e=坐，坐，

,.*α2=?2+c2,：?a=2b,

將點(I,明代入橢圓的方程得點+條=1,

聯(lián)立α=2Z?,解得。=2且b=l.

二橢圓E的方程為9+J2=1.

.?.F(√3,0),軸，.?.p(√3,±|),

二圓產(chǎn)的半徑為右圓心為(小，0),

二圓尸的方程為(χ-√5)2+y2=/

(2)不存在滿足題意的k,理由如下：

由A,B在圓上得∣ΛM=∣BR=IPFl=4.

設(shè)點Ca1,?i),Oa2,j2).

2x't

同理∣OF∣=2—乎X2.

若IACI=I8。|,則Hel+∣3CI=IBZ)I+∣8C∣,即IABI=ICZ)I=I,4—乎(x∣+x2)=l,

由4得(4?2+l)x2-8Λ∕5?2X+12?2-4=0,

Iy=Z(X一小)，

.?8√3?2

.?X∣~ΓX2-

得12?2=12?2+3,無解，故不存在.

題型二證明問題

【例2】（2021?成都診斷）已知點A0,一明在橢圓C：W+∕=l（"＞人＞0）上，0為坐標(biāo)

原點，直線/：去一拿：=1的斜率與直線OA的斜率乘積為一點

（1）求橢圓C的方程；

（2）不經(jīng)過點A的直線y=坐x+f（fW0且f∈R）與橢圓C交于P,Q兩點，P關(guān)于原點的對稱

點為/?（與點A不重合），直線AQ,AR與），軸分別交于兩點M,N,求證：?AM?=?AN?.

,—Igf?,?/?2b2b11

（1）角牛由通思知，koA?kι=-2?J2a2=一浜=—4,

即足=4按,①

13

又浜+而=L②

所以聯(lián)立砥），解得離,

所以橢圓C的方程為，+y2=l?

(2)證明設(shè)P(X1,y↑)9Q(X2,yι)9則R(—Xi,—??),

y=冬+f,

得x1+y∣3>tx+t2-1=0,

所以∕=4-z2>0,即一2<f<2,

又渚0,所以f∈(-2,0)U(0,2),

x?-i^X2-~y∣3t,XrX2=尸-L

法一要證明HM=3N∣,可轉(zhuǎn)化為證明直線AQ,AR的斜率互為相反數(shù),

即證明?Λβ+?AΛ=0.

(XI+1)(X2^^1)

巾lXX2+Kx∣+x2)+小吏伊-1)+4—小f)+小

(Xl+1)(X2—1)(xi+l)(%2-?)

=0,

所以HM=HN1.

法二要證明HM=以Nl,可轉(zhuǎn)化為證明直線AQ,AR與y軸的交點M,N連線的中點S的

縱坐標(biāo)為一坐，即AS垂直平分MN即可.

直線AQ與AR的方程分別為

√3工+坐?-y<+^2^

l

AQ?y+2=乃_](L1)，IAR:y+2=―二一](LD，

一丫2

分別令X=0,得NM=

xr

近

一”一2乙

所以yM+yN=χ2-1+χι+ι-√3

(一亭l-f+明(及-1)+(一冬2一/一坐)(K1+1)

(Xl+1)(X2—1)

一也XlX2-Z(Xl+12)-立_r-

(∕^v1.4÷-11)(X2-1l?)-VY、'

__小(尸_l)―/(一√5r)-小_r-

(XI+1)(X2-1)-Y

=一小，

”=與*=一當(dāng)即AS垂直平分MM

所以HM=HNI.

感悟升華圓錐曲線中的證明問題常見的有：

(1)位置關(guān)系方面的：如證明直線與曲線相切，直線間的平行、垂直，直線過定點等.

(2)數(shù)量關(guān)系方面的：如存在定值、恒成立、相等等.

在熟悉圓錐曲線的定義與性質(zhì)的前提下，一般采用直接法，通過相關(guān)的代數(shù)運算證明，但有

時也會用反證法證明.

【訓(xùn)練2】(2021?景德鎮(zhèn)一模)拋物線χ2=2p)0>0)的焦點為F,C,。是拋物線上關(guān)于y軸

對稱的兩點，點E是拋物線準(zhǔn)線/與y軸的交點，AECO是面積為4的直角三角形.

(1)求拋物線的方程；

(2)若A為拋物線上第一象限的一動點，過尸作4尸的垂線交準(zhǔn)線/于點B,求證：直線AB

與拋物線相切.

(1)解拋物線爐=2PyS>0)的準(zhǔn)線方程為y=一多

不妨設(shè)點C位于第一象限，

由題意可得ACCE為等腰直角三角形，可得直線EC的斜率為1,則直線EC的方程為y=x

_2

'x1=2py,

聯(lián)立，解得1

SAECD=2PXP=4,解得p=2,

故拋物線的方程為x2=4y.

(2)證明由(1)得焦點RO,1),設(shè)A(XO,X))(Xo>0,>?>0),則直線A尸的斜率為叼?

?o

故直線BF的方程為1,

］一泗

則直線48的斜率為∣?=—'焉梟由尸5得y'4,即拋物線在點A處

20。-1)??f?ɑΛ242

刈一黃■上而—214IJ

的切線的斜率為三，故直線AB與拋物線相切.

蟀題型跟蹤訓(xùn)練---------------------

1.(2020?鄭州模擬)如圖,圓C與X軸相切于點T(2,0),與y軸正半軸相交于兩點M,M點

M在點N的下方)，且IMM=3.

⑴求圓C的方程；

(2)過點M任作一條直線與橢圓^^+9=l相交于兩點A,B,連接AN,BN,求證：NANM

O4

=NBNM.

(1)解設(shè)圓Cr的半徑為Λ∕>0),依題意，圓心C的坐標(biāo)為(2,r).

因為IMNl=3,所以戶=0)2+22=蓍.

所以r=∣,圓C的方程為(x-2)2+Q-|)2=禹

(2)證明把X=O代入方程(X—2)2+Q—?∣>=,，解得y=ι或y=4,即點M(0,1),Mo,4).

①當(dāng)AB_LX軸時，可知NANM=/BNM=O.

②當(dāng)48與X軸不垂直時，可設(shè)直線A8的方程為y=fcr+l.

y=kx+l,

聯(lián)立方程y2消去y得(I+2∕)χ2+4fcr-6=0.

?+τ=1

—4k—6

設(shè)直線AB交橢圓于A(X],yι),B(X2,”)兩點，則x∣^∣^X2=∣+〃二，XIX2=∣+〃」?

UU/.Vi-4V2-4kx?-3kx2132履―2—3(XI+Λ?)1(~12?12??

∏?以f^AN'kBN--Γ-II-.~Lr72十~,~∣>?I=

?iX2x∣XiXlX2X1x2?l+2?21+n2k"J

0.

所以∕ANM=∕BNM.

綜合①②知NANM=ZBNM.

2.(2021.北京西城區(qū)模擬)已知橢圓E：捻十方=l(4>b>0)經(jīng)過點C(0,1),離心率為由，O為

坐標(biāo)原點.

⑴求橢圓E的方程；

(2)設(shè)A,8分別為橢圓E的左、右頂點，。為橢圓E上一點(不在坐標(biāo)軸上)，直線CD交X

軸于點P,。為直線AO上一點，且?>√?=4,求證：C,B,Q三點共線.

(1)解由題意，得6=1,：=乎.

又a2=b2+c2,

所以4=2,C=小.

故橢圓E的方程為Y+y2=l.

⑵證明A(-2,0),B(2,0).

設(shè)O(xo,γo)(J?γo≠O),則詈+的=1.

因為C(0,1),所以直線CQ的方程為y=『x+l,

a

令y=0,得x=τ-,故點尸的坐標(biāo)為37,0).

設(shè)。(X。，%)，由δ>?麗=4,得X0=%∣二")(顯然A?W±2).

?o

直線AO的方程為y=常KX+2),

yo(4-4yo+2m)

將W代入直線AO的方程，得NQ=

M)(XO+2)

目口/4(1-yo)yo(4—4.yo+2ro),

1yl?o'M)(Xo+2),

顯然直線3。的斜率存在，

且kBQ=

XQ~2

、()(4—4yo+24o)

(XO+2)(4—4為一2xo)

2yo—2》+40)?

4—A?-2%ojo-4yo

2yo-2)N+xoyo

4yi-2xoyo-4yo

」

=~2'

又直線BC的斜率總。=—1,

所以ICBC=ICBQ,即C,B,Q三點共線.

3.(2020?太原模擬)已知平面上一動點A的坐標(biāo)為(2凡-2Z).

(1)求點A的軌跡E的方程；

2

(2)點B在軌跡E上，且縱坐標(biāo)為].

①證明直線A8過定點，并求出定點坐標(biāo).

②分別以A,B為圓心作與直線》=-2相切的圓，兩圓公共弦的中點為H,在平面內(nèi)是否

存在定點P,使得IPHI為定值？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

解(1)設(shè)動點A的坐標(biāo)為(x,y),因為A的坐標(biāo)為(2凡—2/),

%=2於

所以消去參數(shù)r得y2=2x,即軌跡E的方程為V=2x.

2

(2)①因為點8在軌跡E上，且縱坐標(biāo)為7，

所以點B的坐標(biāo)為脩力，

當(dāng)f=±l時，直線AB的方程為x=2；

當(dāng)∕≠士ι時，直線AB的斜率為MB=*n=τ[,

所以直線AB的方程為y+2f=±(χ-2f2),

整理得y=y4∕(χ-2).

所以直線AB過定點(2,0).

②法一因為點A的坐標(biāo)為(