廣東省揭陽市揭東區(qū)2023-2024學年高二上學期1月期末數(shù)學試題【含答案解析】

2023—2024學年度第一學期期末教學質(zhì)量監(jiān)測高二級數(shù)學科試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合間的運算法則直接計算.【詳解】由，得，所以，故選：C.2.已知復數(shù)z滿足，則（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】由復數(shù)的除法法則計算得到，從而求出模長.【詳解】由，即，所以．故選：B．3.等差數(shù)列的前項和為，且，則（）A.63 B.45 C.49 D.56【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)已知求出公差，再利用求和公式得出結(jié)果.【詳解】設公差為，由可得，解得，故．故選：A.4.圓：和圓：的位置關系是（）A.外離 B.相交 C.外切 D.內(nèi)含【答案】C【解析】【分析】求出兩圓的圓心和半徑，得到圓心距等于兩半徑之和，求出答案.【詳解】變形為，故圓心為，半徑為，變形為，故圓心為，半徑為，故，由于，故兩圓外切.故選：C5.“春雨驚春清谷天，夏滿芒夏暑相連，秋處露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月兩節(jié)不變史，最多相差一兩天．”中國農(nóng)歷的“二十四節(jié)氣”，凝結(jié)著中華民族的智慧，是中國傳統(tǒng)文化的結(jié)晶，如五月有立夏、小滿，六月有芒種、夏至，七月有小暑、大暑，現(xiàn)從五月、六月、七月這六個節(jié)氣中任選兩個節(jié)氣，則這兩個節(jié)氣恰在同一個月的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】寫出基本事件，根據(jù)古典概型概率公式求解.【詳解】由題意，基本事件由（立夏，小滿），（立夏，芒種），（立夏，夏至），（立夏，小暑），（立夏，大暑），（小滿，芒種），（小滿，夏至），（小滿，小暑），（小滿，大暑），（芒種，夏至），（芒種，小暑），（芒種，大暑），（夏至，小暑），（夏至，大暑），（小暑，大暑）共15個，其中任取兩個在同一個月的有3個，所以,故選：C6.如右圖，三棱錐中，為的中點，點滿足，記，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用空間向量的加減法和數(shù)乘向量即可以為基底表示向量【詳解】故選：D7.正多面體被古希臘圣哲認為是構(gòu)成宇宙的基本元素.如圖，該幾何體是一個棱長為的正八面體，則此正八面體的體積與表面積的數(shù)值之比為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用四棱錐體積公式，可得正八面體的體積，再根據(jù)正三角形面積公式可得正八面體的表面積.【詳解】如圖所示，連接，，則四邊形為正方形，且平面，由正八面體可知，，則，，所以，表面積，所以，故選：B.8.已知函數(shù)，則使得不等式成立的實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】易知，是偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱，且在上遞減，在上遞增，由，得到的圖象關于對稱，且在上遞減，在上遞增，再根據(jù)不等式成立，由求解.【詳解】函數(shù)，令，因為，所以是偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱，且在上遞減，在上遞增，所以的圖象關于對稱，且在上遞減，在上遞增，若使得不等式成立則，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是故選：B二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.下列說法中，正確的有（）A直線必過定點（2，3）B.直線在y軸上的截距為C.直線的傾斜角為60°D.點（1，3）到直線的距離為1【答案】BCD【解析】【分析】令的系數(shù)為0求解判斷A；根據(jù)截距的定義判斷B，求出直線的斜率再根據(jù)斜率與傾斜角的關系求出傾斜角判斷C，利用點到直線的距離的定義求距離判斷D.【詳解】對A，直線過的定點坐標滿足：，，故定點為，故A錯誤；對B，在軸上的截距為，故B正確；對C，直線的斜率為，故傾斜角滿足，即，故C正確；對D，因為直線垂直于軸，故過作直線的垂線，垂足為，所以點到直線的距離為，故D正確.故選：BCD10.人均國內(nèi)生產(chǎn)總值是人們了解和把握一個國家或地區(qū)的宏觀經(jīng)濟運行狀況的有效工具，即“人均GDP”，常作為發(fā)展經(jīng)濟學中衡量經(jīng)濟發(fā)展狀況的指標，是最重要的宏觀經(jīng)濟指標之一.在國家統(tǒng)計局的官網(wǎng)上可以查詢到我國2013年至2022年人均國內(nèi)生產(chǎn)總值（單位：元）的數(shù)據(jù)，如圖所示，則（）A.2013年至2022年人均國內(nèi)生產(chǎn)總值逐年遞增B.2013年至2022年人均國內(nèi)生產(chǎn)總值的極差為42201C.這10年的人均國內(nèi)生產(chǎn)總值的80%分位數(shù)是71828D.這10年的人均國內(nèi)生產(chǎn)總值的增長量最小的是2020年【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)圖中數(shù)據(jù)和極差、百分位數(shù)、增長量的定義判斷.【詳解】由圖可知，2013年至2022年人均國內(nèi)生產(chǎn)總值逐年遞增，A正確；2013年至2022年人均國內(nèi)生產(chǎn)總值的極差為85698-43497=42201，B正確；因為10×80%=8，所以這10年的人均國內(nèi)生產(chǎn)總值的80%分位數(shù)是.C不正確；由圖中數(shù)據(jù)分析可知，2020年人均同內(nèi)生產(chǎn)總值的增長為71828-70078=1750（元），是這10年中增長量最小的，D正確.故選：ABD.11.已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，點雙曲線C右支上，若，的面積為，則下列選項正確的是（）A.若，則S＝B.若，則C.若為銳角三角形，則D.若的重心為G，隨著點P的運動，點G的軌跡方程為【答案】ACD【解析】【分析】對于A，利用焦點三角形的面積公式求解，對于B，由焦點三角形的面積公式求出，再由以雙曲線的定義和勾股定理列方程組可求得結(jié)果，對于C，當為直角三角形時，求出臨界值進行判斷，對于D，利用相關點法結(jié)合重心坐標公式求解【詳解】由，得，則焦點三角形的面積公式，將代入可知，故A正確．當S＝4時，，由，可得，故B錯誤．當時，S＝4，當時，，因為為銳角三角形，所以，故C正確．設，則，由題設知，則，所以，故D正確．故選：ACD12.如圖，在正方體中，點P在線段上運動，則（）A直線平面B.三棱錐的體積為定值C.異面直線AP與所成角的取值范圍是D.直線與平面所成角的正弦值的最大值為【答案】AB【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量垂直的坐標表示公式、空間向量夾角公式、三棱錐的體積性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為，，設，設，即.A：，因為，所以，而平面，所以直線平面，因此本選項結(jié)論正確；B：側(cè)面的對角線交點為，所以，，而平面，平面，所以，而平面，所以平面，為定值，因此本選項結(jié)論正確；C：，設異面直線AP與所成角為，則有，當時，；當時，，因為，所以，因此，，即，所以，綜上所述：，所以本選項結(jié)論不正確；D：設平面的法向量為，，所以有，直線與平面所成角的正弦值為：因，所以當時，有最小值，最小值為，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為，因此本選項結(jié)論不正確，故選：AB【點睛】關鍵點睛：利用空間向量夾角公式是解題的關鍵.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.數(shù)列滿足，則其通項公式________【答案】【解析】【分析】由遞推公式可得數(shù)列是以1為首項,3為公比的等比數(shù)列,根據(jù)等比數(shù)列定義求出通項公式即可【詳解】由題知,數(shù)列是以1為首項,3為公比的等比數(shù)列,故答案為【點睛】本題考查定義法求等比數(shù)列通項公式,屬于基礎題14.已知，，且，則x的值是________．【答案】2【解析】【分析】由，得直接求解即可.【詳解】因為，，且，所以，解得，故答案為：215.求過兩條直線和的交點，且與平行的直線方程___________.【答案】【解析】【分析】求出兩直線交點坐標，設出直線方程，代入點求出，得到答案.【詳解】聯(lián)立，解得，故交點坐標為，設直線方程為，將代入得，解得，故所求直線方程為.故答案為：16.已知函數(shù)（）在區(qū)間有且僅有2個零點，則的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】先化簡函數(shù)，再利用整體思想換元得不等式求解.【詳解】,令，則在上有兩個解，所以，解得故答案為：四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，，若，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和為.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設等差數(shù)列公差為，根據(jù)題意，列出方程求得，進而求得數(shù)列的通項公式；（2）由（1）得到，結(jié)合裂項法求和，即可求解.【小問1詳解】解：數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，設公差為，因為，若，，成等比數(shù)列，可得，即，且，解得，所以，所以數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】解：由（1）知，則，所以，即數(shù)列的前項和為.18.在中，角，，所對的邊分別為，，，且．（1）求的值；（2）若，，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式及誘導公式求出，即可得解；（2）利用余弦定理求出，再由面積公式計算可得.【小問1詳解】因為，由正弦定理得，，又，所以，又，所以，故，所以.【小問2詳解】由余弦定理得，所以，故．19.已知是橢圓的兩個焦點，，為上一點.（1）求橢圓的標準方程；（2）若為上一點，且，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件先求解出的值，然后根據(jù)橢圓定義求解出的值，結(jié)合求解出的值，則方程可求；（2）根據(jù)先求解出點坐標，然后由三角形面積公式求解出結(jié)果.【小問1詳解】設橢圓的焦距為，因為，可得，所以，則，，由橢圓的定義可得，所以，故橢圓的標準方程為；【小問2詳解】因為，所以，所以，所以.20.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱底面，且，點分別為的中點．（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先證明線面垂直，再證明線線垂直，可得，，再利用線面垂直的判定定理可得平面；（2）為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標系，求出兩平面的法向量，利用夾角公式求解公式.【小問1詳解】因為底面，底面，所以，因為為正方形，所以，因為，平面，所以平面，又因為平面，所以，又因為，點為的中點，所以．因為，平面，所以平面，因為平面，所以．同理可得，因為，平面，所以平面．【小問2詳解】如圖，以點為坐標原點，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標系，設，則各點坐標分別為．由（1）可知是平面的一個法向量，記為，又平面的一個法向量為．所以平面與平面夾角的余弦值等于．21.已知直線：，圓：.（1）若，求直線被圓截得的弦長；（2）當直線被圓截得的弦長最短時，求的值及的方程.【答案】（1）（2），的方程為【解析】【分析】（1）時，直線的方程為，先求出圓心到直線的距離，再由弦長公式進行求解即可.（2）由分析知直線過定點，當圓心到直線的距離最大時，弦長最短.此時，進而即可求出結(jié)果.【小問1詳解】時，直線的方程為，圓心到直線的距離，圓C的半徑為，所以直線被圓截得的弦長為.【小問2詳解】直線：可轉(zhuǎn)化為由得，所以直線過定點，當圓心到直線的距離最大時，弦長最短.此時，因，，所以即，可得故的方程為.22.已知拋物線經(jīng)過點.（1）求拋物線的方程及其準線方程；（2）設為原點，過拋物線的焦點作斜率不為0的直線交拋物線于兩點，直線分別交直線于點和點，求證：以為直徑的圓經(jīng)過定點.【答案】（1），（2）證明見解析【解析】【分析】（1）將點坐標代入拋物線方程可求出，從而可求出拋物線方程和準線方程；（2）設直線的方程為，代入拋物線方程化簡，利用根與系數(shù)關系，表示出直線方程，表