《3.3冪函數(shù)》教案、導(dǎo)學(xué)案與同步練習(xí)

《第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)》《3.3冪函數(shù)》教案【教材分析】?jī)绾瘮?shù)是在繼一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)之后，又學(xué)習(xí)了單調(diào)性、最值、奇偶性的基礎(chǔ)上，借助實(shí)例，總結(jié)出冪函數(shù)的概念，再借助圖像研究?jī)绾瘮?shù)的性質(zhì).【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)1、理解冪函數(shù)的概念，會(huì)畫冪函數(shù)y=x，y=x2，y=x3，y=x－1，y=x的圖象；2、結(jié)合這幾個(gè)冪函數(shù)的圖象，理解冪函數(shù)圖象的變化情況和性質(zhì)；3、通過(guò)觀察、總結(jié)冪函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生概括抽象和識(shí)圖能力．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示函數(shù)冪函數(shù)；2.邏輯推理：常見(jiàn)冪函數(shù)的性質(zhì)；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：利用冪函數(shù)的概念求參數(shù)；4.數(shù)據(jù)分析：比較冪函數(shù)大小；5.數(shù)學(xué)建模：在具體問(wèn)題情境中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，利用冪函數(shù)性質(zhì)、圖像特點(diǎn)解決實(shí)際問(wèn)題。【教學(xué)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：常見(jiàn)冪函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)；難點(diǎn)：冪函數(shù)的單調(diào)性及比較兩個(gè)冪值的大?。窘虒W(xué)方法】：以學(xué)生為主體，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練?！窘虒W(xué)過(guò)程】一、情景導(dǎo)入學(xué)生閱讀課本89頁(yè)五個(gè)實(shí)例，求解析式？觀察五個(gè)解析式有什么共同特征？問(wèn)題1：如果張紅購(gòu)買了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付的錢數(shù)p=w元，這里p是w的函數(shù).問(wèn)題2：如果正方形的邊長(zhǎng)為a，那么正方形的面積S=a2，這里S是a的函數(shù).問(wèn)題3：如果正方體的邊長(zhǎng)為a，那么正方體的體積V=a3，這里V是a的函數(shù).問(wèn)題4：如果正方形場(chǎng)地的面積為S，那么正方形的邊長(zhǎng)a=S，這里a是S的函數(shù).問(wèn)題5：如果某人ts內(nèi)騎車行進(jìn)了1km，那么他騎車的平均速度v=t－1km/s，這里v是t的函數(shù).要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.二、預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本89-90頁(yè)，思考并完成以下問(wèn)題1.冪函數(shù)是如何定義的？2.冪函數(shù)的解析式具有什么特點(diǎn)？3.常見(jiàn)冪函數(shù)的圖象是什么？它具有哪些性質(zhì)？要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問(wèn)題。三、新知探究1．冪函數(shù)一般地,函數(shù)y=xα叫做冪函數(shù),其中x是自變量,α是常數(shù).冪函數(shù)的性質(zhì)冪函數(shù)y=xy=x2y=x3y=xy=x-1定義域RRR[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)值域R[0,+∞)R[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在R上是增函數(shù)在[0,+∞)上是增函數(shù),在(-∞,0]上是減函數(shù)在R上是增函數(shù)在[0,+∞)上是增函數(shù)在(0,+∞)上是減函數(shù),在(-∞,0)上是減函數(shù)公共點(diǎn)(1,1)四、典例分析、舉一反三題型一冪函數(shù)的概念例1函數(shù)f(x)=(m2-m-5)xm-1是冪函數(shù),且當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)是增函數(shù),試確定m的值.【答案】m=3【解析】根據(jù)冪函數(shù)的定義,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2.當(dāng)m=3時(shí),f(x)=x2在(0,+∞)上是增函數(shù);當(dāng)m=-2時(shí),f(x)=x-3在(0,+∞)上是減函數(shù),不符合要求.故m=3.解題技巧：（判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)）判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y=xα(α為常數(shù))的形式,即:(1)系數(shù)為1;(2)指數(shù)為常數(shù);(3)后面不加任何項(xiàng).反之,若一個(gè)函數(shù)為冪函數(shù),則該函數(shù)必具有這種形式.跟蹤訓(xùn)練一1.如果冪函數(shù)y=(m2-3m+3)xm2-m-2【答案】m=1或m=2.【解析】由冪函數(shù)的定義得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;當(dāng)m=1時(shí),m2-m-2=-2,函數(shù)為y=x-2,其圖象不過(guò)原點(diǎn),滿足條件;當(dāng)m=2時(shí),m2-m-2=0,函數(shù)為y=x0,其圖象不過(guò)原點(diǎn),滿足條件.綜上所述,m=1或m=2.題型二冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)例2已知函數(shù)y=xa,y=xb,y=xc的圖象如圖所示,則a,b,c的大小關(guān)系為()A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b【答案】A【解析】由冪函數(shù)的圖象特征,知c<0,a>1,0<b<1.故c<b<a.解題技巧：(冪函數(shù)圖像與性質(zhì))1.本題也可采用特殊值法,如取x=2,結(jié)合圖象可知2a>2b>2c,又函數(shù)y=2x在R上是增函數(shù),于是a>b>c.2.對(duì)于函數(shù)y=xα(α為常數(shù))而言,其圖象有以下特點(diǎn):(1)恒過(guò)點(diǎn)(1,1),且不過(guò)第四象限.(2)當(dāng)x∈(0,1)時(shí),指數(shù)越大,冪函數(shù)圖象越靠近x軸(簡(jiǎn)記為“指大圖低”);當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),指數(shù)越大,冪函數(shù)的圖象越遠(yuǎn)離x軸(簡(jiǎn)記為“指大圖高”).(3)由冪函數(shù)的圖象確定冪指數(shù)α與0,1的大小關(guān)系,即根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象(類似于y=x-1或y=y=x,y=x3)來(lái)判斷.(4)當(dāng)α>0時(shí),冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,+∞)上都是增函數(shù);當(dāng)α<0時(shí),冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,+∞)上都是減函數(shù).跟蹤訓(xùn)練二1.如圖所示,曲線C1與C2分別是函數(shù)y=xm和y=xn在第一象限內(nèi)的圖象,則下列結(jié)論正確的是()A.n<m<0B.m<n<0C.n>m>0D.m>n>0【答案】A【解析】畫出直線y=x0的圖象,作出直線x=2,與三個(gè)函數(shù)圖象交于點(diǎn)(2,20),(2,2m),(2,2n).由三個(gè)點(diǎn)的位置關(guān)系可知,n<m<0.故選A.題型三利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小例3比較下列各組中兩個(gè)數(shù)的大小:(1)25(2)-2(3)12【答案】見(jiàn)解析【解析】(1)∵冪函數(shù)y=x12在[0,+∞)又25>13(2)∵冪函數(shù)y=x-1在(-∞,0)上是減函數(shù),又-23<-35,∴(3)∵函數(shù)y1=12x在定義域內(nèi)為減函數(shù),且34>又函數(shù)y2=x12在[0,+∞)上是增函數(shù),且∴3412>解題技巧：（比較冪函數(shù)大?。?.比較冪大小的三種常用方法2.利用冪函數(shù)單調(diào)性比較大小時(shí)要注意的問(wèn)題比較大小的兩個(gè)實(shí)數(shù)必須在同一函數(shù)的同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),否則無(wú)法比較大小.跟蹤訓(xùn)練三1.已知a=243,b=425,c=251A.b<a<c B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b【答案】A【解析】∵a=243=1613,b=425=1615,c=25五、課堂小結(jié)讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識(shí)及解題技巧六、板書設(shè)計(jì)七、作業(yè)課本91頁(yè)習(xí)題3.3【教學(xué)反思】本節(jié)主要學(xué)習(xí)了一類新的函數(shù)：冪函數(shù)。主要就冪函數(shù)的形式定義、圖像性質(zhì)、比較大小三方面學(xué)習(xí)冪函數(shù).尤其比較大小與前面函數(shù)單調(diào)性密切相關(guān)，因此本節(jié)課需要學(xué)生熟記定義及圖像特征.《3.3冪函數(shù)》導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】知識(shí)目標(biāo)1、理解冪函數(shù)的概念，會(huì)畫冪函數(shù)y=x，y=x2，y=x3，y=x－1，y=x的圖象；2、結(jié)合這幾個(gè)冪函數(shù)的圖象，理解冪函數(shù)圖象的變化情況和性質(zhì)；3、通過(guò)觀察、總結(jié)冪函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生概括抽象和識(shí)圖能力．核心素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示函數(shù)冪函數(shù)；2.邏輯推理：常見(jiàn)冪函數(shù)的性質(zhì)；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：利用冪函數(shù)的概念求參數(shù)；4.數(shù)據(jù)分析：比較冪函數(shù)大小；5.數(shù)學(xué)建模：在具體問(wèn)題情境中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，利用冪函數(shù)性質(zhì)、圖像特點(diǎn)解決實(shí)際問(wèn)題。【重點(diǎn)與難點(diǎn)】重點(diǎn)：常見(jiàn)冪函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)；難點(diǎn)：冪函數(shù)的單調(diào)性及比較兩個(gè)冪值的大?。緦W(xué)習(xí)過(guò)程】一、預(yù)習(xí)導(dǎo)入閱讀課本89-90頁(yè)，填寫。1．冪函數(shù)一般地,函數(shù)_______叫做冪函數(shù),其中_______是自變量,______是常數(shù).冪函數(shù)的性質(zhì)冪函數(shù)y=xy=x2y=x3y=y=x-1定義域RRR_____(-∞,0)∪(0,+∞)值域R_____R_____(-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性__________奇函數(shù)__________單調(diào)性在R上是_____在[0,+∞)上是_____,在(-∞,0]上是_____在R上是_____在[0,+∞)上是增函數(shù)在(0,+∞)上是_____,在(-∞,0)上是_____公共點(diǎn)_____【小試牛刀】1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)y＝x0(x≠0)是冪函數(shù)．()(2)冪函數(shù)的圖象必過(guò)點(diǎn)(0,0)(1,1)．()(3)冪函數(shù)的圖象都不過(guò)第二、四象限．()2．下列函數(shù)中不是冪函數(shù)的是()A．y＝eq\r(x) B．y＝x3C．y＝2x D．y＝x－13．已知f(x)＝(m－1)x是冪函數(shù)，則m＝()A．2 B．1C．3 D．04．已知冪函數(shù)f(x)＝xα圖象過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(\r(2),2)))，則f(4)＝________.【自主探究】題型一冪函數(shù)的概念例1函數(shù)f(x)=(m2-m-5)xm-1是冪函數(shù),且當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)是增函數(shù),試確定m的值.跟蹤訓(xùn)練一1.如果冪函數(shù)y=(m2-3m+3)xm2-m-2題型二冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)例2已知函數(shù)y=xa,y=xb,y=xc的圖象如圖所示,則a,b,c的大小關(guān)系為()A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b跟蹤訓(xùn)練二1.如圖所示,曲線C1與C2分別是函數(shù)y=xm和y=xn在第一象限內(nèi)的圖象,則下列結(jié)論正確的是()A.n<m<0 B.m<n<0C.n>m>0 D.m>n>0題型三利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小例3比較下列各組中兩個(gè)數(shù)的大小:(1)25(2)-2(3)12跟蹤訓(xùn)練三1.已知a=243,b=425,c=251A.b<a<c B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b【課堂檢測(cè)】1．在函數(shù)①y＝eq\f(1,x)，②y＝x2，③y＝2x，④y＝1，⑤y＝2x2，⑥y＝x中，是冪函數(shù)的是()A．①②④⑤ B．③④⑥C．①②⑥ D．①②④⑤⑥2．已知冪函數(shù)f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的圖象過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(2)))，則k＋α＝()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2) D．.23．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減的函數(shù)是()A．y＝x－2 B．y＝x－1C．y＝x2 D.y＝x4.如圖所示，曲線C1與C2分別是函數(shù)y＝xm和y＝xn在第一象限內(nèi)的圖象，則下列結(jié)論正確的是()A．n<m<0 B．m<n<0C．n>m>0 D．m>n>05．如下圖所示曲線是冪函數(shù)y＝xα在第一象限內(nèi)的圖象，已知α取±2，±eq\f(1,2)四個(gè)值，則對(duì)應(yīng)于曲線C1，C2，C3，C4的指數(shù)α依次為()A．－2，－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，2B．2，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，－2C．－eq\f(1,2)，－2,2，eq\f(1,2)D．.2，eq\f(1,2)，－2，－eq\f(1,2)6．已知函數(shù)f(x)＝(m2＋2m)·x，m為何值時(shí)，函數(shù)f(x)是：(1)正比例函數(shù)；(2)反比例函數(shù)；(3)冪函數(shù)．解：(1)若函數(shù)f(x)為正比例函數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－1＝1，,m2＋2m≠0，))∴m＝1.(2)若函數(shù)f(x)為反比例函數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－1＝－1，,m2＋2m≠0，))∴m＝－1.(3)若函數(shù)f(x)為冪函數(shù)，則m2＋2m＝1，∴m＝－1±eq\r(2).7．比較下列各組數(shù)的大小．(1)3和3.2；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))；(3)4.1和3.8.解：(1)函數(shù)y＝x在(0，＋∞)上為減函數(shù)，又3＜3.2，所以3＞3.2.(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))，函數(shù)y＝x在(0，＋∞)上為增函數(shù)，而eq\f(2,3)＞eq\f(π,6)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6))).(3)4.1＞1＝1,0＜3.8－eq\f(4,3)＜1－eq\f(4,3)＝1，所以4.1＞3.8－eq\f(4,3).答案小試牛刀1．（1）√（2）×（3）×2-3．CA4．eq\f(1,2)自主探究例1【答案】m=3【解析】根據(jù)冪函數(shù)的定義,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2.當(dāng)m=3時(shí),f(x)=x2在(0,+∞)上是增函數(shù);當(dāng)m=-2時(shí),f(x)=x-3在(0,+∞)上是減函數(shù),不符合要求.故m=3.跟蹤訓(xùn)練一1.【答案】m=1或m=2.【解析】由冪函數(shù)的定義得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;當(dāng)m=1時(shí),m2-m-2=-2,函數(shù)為y=x-2,其圖象不過(guò)原點(diǎn),滿足條件;當(dāng)m=2時(shí),m2-m-2=0,函數(shù)為y=x0,其圖象不過(guò)原點(diǎn),滿足條件.綜上所述,m=1或m=2.例2【答案】A【解析】由冪函數(shù)的圖象特征,知c<0,a>1,0<b<1.故c<b<a.跟蹤訓(xùn)練二1.【答案】A【解析】畫出直線y=x0的圖象,作出直線x=2,與三個(gè)函數(shù)圖象交于點(diǎn)(2,20),(2,2m),(2,2n).由三個(gè)點(diǎn)的位置關(guān)系可知,n<m<0.故選A.例3【答案】見(jiàn)解析【解析】(1)∵冪函數(shù)y=x12在[0,+∞)上是增函數(shù)又25>13(2)∵冪函數(shù)y=x-1在(-∞,0)上是減函數(shù),又-23<-35,∴(3)∵函數(shù)y1=12x在定義域內(nèi)為減函數(shù),且34>又函數(shù)y2=x12在[0,+∞)上是增函數(shù),且∴3412>跟蹤訓(xùn)練三1.【答案】A【解析】∵a=243=1613,b=425=1615,c=25當(dāng)堂檢測(cè) 1-5．CAAAB6．【答案】見(jiàn)解析【解析】(1)若函數(shù)f(x)為正比例函數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－1＝1，,m2＋2m≠0，))∴m＝1.(2)若函數(shù)f(x)為反比例函數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－1＝－1，,m2＋2m≠0，))∴m＝－1.(3)若函數(shù)f(x)為冪函數(shù)，則m2＋2m＝1，∴m＝－1±eq\r(2). 7.【答案】見(jiàn)解析【解析】(1)函數(shù)y＝x在(0，＋∞)上為減函數(shù)，又3＜3.2，所以3＞3.2.(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))，函數(shù)y＝x在(0，＋∞)上為增函數(shù)，而eq\f(2,3)＞eq\f(π,6)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6))).(3)4.1＞1＝1,0＜3.8－eq\f(4,3)＜1－eq\f(4,3)＝1，所以4.1＞3.8－eq\f(4,3).《3.3冪函數(shù)》分層同步練習(xí)一鞏固基礎(chǔ)1.下列結(jié)論中，正確的是()A．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0)，(1,1)B．冪函數(shù)的圖象可以出現(xiàn)在第四象限C．當(dāng)冪指數(shù)α取1,3，eq\f(1,2)時(shí)，冪函數(shù)y＝xα是增函數(shù)D．當(dāng)α＝－1時(shí)，冪函數(shù)y＝xα在其整個(gè)定義域上是減函數(shù)2．設(shè)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(3,4))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up15(eq\f(3,4))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))eq\s\up15(eq\f(1,2))，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)>b>cB．c>a>bC．a(chǎn)<b<cD．b>c>a3．函數(shù)y＝xeq\f(5,3)的圖象大致是圖中的()4．下列是y＝x的圖象的是()5．已知f(x)＝x，若0<a<b<1，則下列各式中正確的是()A．f(a)<f(b)<f(eq\f(1,a))<f(eq\f(1,b))B．f(eq\f(1,a))<f(eq\f(1,b))<f(b)<f(a)C．f(a)<f(b)<f(eq\f(1,b))<f(eq\f(1,a))D．f(eq\f(1,a))<f(a)<f(eq\f(1,b))<f(b)6．給出以下結(jié)論：①當(dāng)α＝0時(shí)，函數(shù)y＝xα的圖象是一條直線；②冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)(0,0)，(1,1)兩點(diǎn)；③若冪函數(shù)y＝xα的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則y＝xα在定義域內(nèi)y隨x的增大而增大；④冪函數(shù)的圖象不可能在第四象限，但可能在第二象限．則正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)_______．函數(shù)y＝3xα－2的圖象過(guò)定點(diǎn)________．8．已知冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(\r(2),2)))，試求出此函數(shù)的解析式，判斷奇偶性．綜合應(yīng)用9.如圖所示，曲線C1與C2分別是函數(shù)y＝xm和y＝xn在第一象限內(nèi)的圖象，則下列結(jié)論正確的是()A．n<m<0B．m<n<0C．n>m>0D．m>n>010．若冪函數(shù)y＝(m2＋3m＋3)xm2＋2m－3的圖象不過(guò)原點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則()A．m＝－2 B．m＝－1C．m＝－2或m＝－1 D．－3≤m≤－111．已知冪函數(shù)f(x)＝(n2＋2n－2)x(n∈Z)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則n的值為()A．－3 B．1C．2 D．1或212.已知冪函數(shù)f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，且f(－x)＝f(x)，則m可能等于()A．0 B．1C．2 D．313.已知當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，函數(shù)y＝xα的圖象恒在直線y＝x的上方，則α的取值范圍是________．14．若(a＋1)＜(3－2a)，則a的取值范圍是________．15.已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x2)＋1.(1)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上的單調(diào)性并證明；(2)求f(x)在區(qū)間[1,3]上的最大值和最小值．16．已知冪函數(shù)y＝f(x)＝x－2m2－m＋3，其中m∈{x|－2<x<2，x∈Z}，滿足：①是區(qū)間(0，＋∞)上的增函數(shù)；②對(duì)任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.求同時(shí)滿足①，②的冪函數(shù)f(x)的解析式，并求x∈[0,3]時(shí)f(x)的值域．17.已知冪函數(shù)f(x)＝xm－3(m∈N*)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，求滿足(a＋1)＜(3－2a)的a的取值范圍．【參考答案】1.C[解析]當(dāng)冪指數(shù)α＝－1時(shí)，冪函數(shù)y＝x－1的圖象不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；因?yàn)樗械膬绾瘮?shù)在區(qū)間(0，＋∞)上都有定義，且y＝xα(α∈R)>0，所以冪函數(shù)的圖象不可能出現(xiàn)在第四象限，故B錯(cuò)誤；當(dāng)α>0時(shí)，y＝xα是增函數(shù)，故C正確；當(dāng)α＝－1時(shí)，y＝x－1在區(qū)間(－∞，0)，(0，＋∞)上是減函數(shù)，但在整個(gè)定義域上不是減函數(shù)，故D錯(cuò)誤．故選C.2.B[解析]構(gòu)造冪函數(shù)y＝xeq\s\up15(eq\f(3,4))，x>0，由該函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，知1>a>b；又c＝2eq\s\up15(eq\f(1,2))>1，知a<c.故c>a>b.B[解析]∵函數(shù)y＝xeq\s\up15(eq\f(5,3))是奇函數(shù)，且α＝eq\f(5,3)>1，∴函數(shù)在R上單調(diào)遞增．故選B.4.B解析y＝x＝eq\r(3,x2)，∴x∈R，y≥0，f(－x)＝eq\r(3,－x2)＝eq\r(3,x2)＝f(x)，即y＝x是偶函數(shù)，又∵eq\f(2,3)<1，∴圖象上凸．5.C解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，又0<a<b<eq\f(1,b)<eq\f(1,a)，故選C.6.④解析當(dāng)α＝0時(shí)，函數(shù)y＝xα的定義域?yàn)閧x|x≠0，x∈R}，故①不正確；當(dāng)α<0時(shí)，函數(shù)y＝xα的圖象不過(guò)(0,0)點(diǎn)，故②不正確；冪函數(shù)y＝x－1的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，但其在定義域內(nèi)不是增函數(shù)，故③不正確．④正確．7.(1,1)[解析]依據(jù)冪函數(shù)y＝xα性質(zhì)，x＝1時(shí)，y＝1恒成立，所以函數(shù)y＝3xα－2中，x＝1時(shí)，y＝1恒成立，即過(guò)定點(diǎn)(1,1)．8.[解]設(shè)y＝xα(α∈R)，∵圖象過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(\r(2),2)))，∴2α＝eq\f(\r(2),2)，α＝－eq\f(1,2)，∴f(x)＝xeq\s\up15(－eq\f(1,2)).∵函數(shù)y＝xeq\s\up15(－eq\f(1,2))＝eq\f(1,\r(x))，定義域?yàn)?0，＋∞)，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)．9.A[解析]由圖象可知，兩函數(shù)在第一象限內(nèi)遞減，故m<0，n<0.當(dāng)x＝2時(shí)，2m>2n，所以n<m<010.A[解析]根據(jù)冪函數(shù)的概念，得m2＋3m＋3＝1，解得m＝－1或m＝－2.若m＝－1，則y＝x－4，其圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以不符合題意，舍去；若m＝－2，則y＝x－3，其圖象不過(guò)原點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．B解析由于f(x)為冪函數(shù)，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，經(jīng)檢驗(yàn)只有n＝1適合題意，故選B.B[解析]∵f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，∴3m－5<0(m∈N)，則m＝0或m＝1，當(dāng)m＝0時(shí)，f(x)＝x－5是奇函數(shù)，不合題意．當(dāng)m＝1時(shí)，f(x)＝x－2是偶函數(shù)，因此m＝1，故選B.13.(1，＋∞)[解析]由冪函數(shù)的圖象特征知α>1.14.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(3,2)))解析(a＋1)＜(3－2a)?(eq\f(1,a＋1))＜(eq\f(1,3－2a))，函數(shù)y＝x在[0，＋∞)上是增函數(shù)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1＞0，,3－2a＞0，,a＋1＞3－2a，))解得eq\f(2,3)＜a＜eq\f(3,2).15.解(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)．證明如下：設(shè)x1，x2是區(qū)間(0，＋∞)上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝(eq\f(1,x\o\al(2,1))＋1)－(eq\f(1,x\o\al(2,2))＋1)＝eq\f(x1＋x2x2－x1,x1x22)，∵x2>x1>0，∴x1＋x2>0，x2－x1>0，(x1x2)2>0，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上減函數(shù)．(2)由(1)知函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,3]上是減函數(shù)，所以當(dāng)x＝1時(shí)，取最大值，最大值為f(1)＝2，當(dāng)x＝3時(shí)，取最小值，最小值為f(3)＝eq\f(10,9).16.[解]因?yàn)閙∈{x|－2<x<2，x∈Z}，所以m＝－1,0,1.因?yàn)閷?duì)任意x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)．當(dāng)m＝－1時(shí)，f(x)＝x2只滿足條件①而不滿足條件②；當(dāng)m＝1時(shí)，f(x)＝x0條件①、②都不滿足．當(dāng)m＝0時(shí)，f(x)＝x3條件①、②都滿足，且在區(qū)間[0,3]上是增函數(shù)．所以x∈[0,3]時(shí)，函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0,27]．17.解∵函數(shù)在(0，＋∞)上遞減，∴m－3＜0，解得m＜3.∵m∈N*，∴m＝1,2.又函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，∴m－3是偶數(shù)，而2－3＝－1為奇數(shù)，1－3＝－2為偶數(shù)，∴m＝1.而f(x)＝x在(－∞，0)，(0，＋∞)上均為減函數(shù)，∴(a＋1)＜(3－2a)等價(jià)于a＋1＞3－2a＞0或0＞a＋1＞3－2a或a＋1＜0＜3－2a.解得a＜－1或eq\f(2,3)＜a＜eq\f(3,2).故a的取值范圍為{a|a＜－1或eq\f(2,3)＜a＜eq\f(3,2)}．《§3．3冪函數(shù)》同步練習(xí)二一．選擇題1．給出下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是冪函數(shù)的有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)2．冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則()A．8B．6C．4D．23．已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，則()A．1B．2C．1或2D．34．函數(shù)的圖象是（）A．B．C．D．5．如圖是冪函數(shù)的部分圖像，已知取這四個(gè)值，則于曲線相對(duì)應(yīng)的依次為（）A． B．C． D．6．已知冪函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn),則的值域是()A． B．C． D．7．函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱的圖象大致是()ABCD8．若冪函數(shù)（且互素）的圖象如下圖所示，則下列說(shuō)法中不正確的是（）A．0<B．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)C．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且D．m、n是偶數(shù)，且二．填空題9．比較下列各式的大小(1)；(2)．10．已知冪函數(shù)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，試確定的值，則滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍．三．解答題11．已知冪函數(shù)（實(shí)