《4.4.3不同函數(shù)增長的差異》教案與導(dǎo)學(xué)案

《第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)》《4.4.3不同函數(shù)增長的差異》教案【教材分析】本節(jié)課在已學(xué)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的增長方式存在很大差異.事實(shí)上，這種差異正是不同類型現(xiàn)實(shí)問題具有不同增長規(guī)律的反應(yīng).而本節(jié)課重在研究不同函數(shù)增長的差異.【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)1.掌握常見增長函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì),并體會(huì)其增長的快慢.2.理解直線上升、對數(shù)增長、指數(shù)爆炸的含義以及三種函數(shù)模型的性質(zhì)的比較,培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：常見增長函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)；2.邏輯推理：三種函數(shù)的增長速度比較；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：由函數(shù)圖像求函數(shù)解析式；4.數(shù)據(jù)分析：由圖象判斷指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)；5.數(shù)學(xué)建模：通過由抽象到具體，由具體到一般的數(shù)形結(jié)合思想總結(jié)函數(shù)性質(zhì).【教學(xué)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：比較函數(shù)值得大?。浑y點(diǎn)：幾種增長函數(shù)模型的應(yīng)用．【教學(xué)方法】：以學(xué)生為主體，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。【教學(xué)過程】一、情景導(dǎo)入請學(xué)生用畫圖像，觀察兩個(gè)函數(shù)圖像,探索它們在區(qū)間[0，+∞）上的增長差異，你能描述一下指數(shù)函數(shù)增長的特點(diǎn)嗎？要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.二、預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本136-138頁，思考并完成以下問題1.三種函數(shù)模型的性質(zhì)？2.三種函數(shù)的增長速度比較？要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。三、新知探究1.三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xn(n>0)在(0,+∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增圖象的變化隨x增大逐漸變陡隨x增大逐漸變緩隨n值不同而不同2.三種函數(shù)的增長速度比較(1)在區(qū)間(0,+∞)上,函數(shù)y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函數(shù),但增長速度不同.(2)在區(qū)間(0,+∞)上隨著x的增大,函數(shù)y=ax(a>1)的增長速度越來越快,會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=xn(n>0)的增長速度,而函數(shù)y=logax(a>1)的增長速度則會(huì)越來越慢.(3)存在一個(gè)x0,使得當(dāng)x>x0時(shí),有l(wèi)ogax<xn<ax.四、典例分析、舉一反三題型一比較函數(shù)增長的差異例1函數(shù)f(x)=2x和g(x)=x3的圖象如圖所示.設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2.(1)指出圖中曲線C1,C2分別對應(yīng)的函數(shù);(2)結(jié)合函數(shù)圖象,判斷f(6),g(6),f(2019),g(2019)的大小.【答案】(1)C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)=x3,C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)=2x.（2）f(2019)>g(2019)>g(6)>f(6).【解析】(1)C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)=x3,C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)=2x.(2)因?yàn)閒(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),所以1<x1<2,9<x2<10,所以x1<6<x2,2019>x2,從圖象上可以看出,當(dāng)x1<x<x2時(shí),f(x)<g(x),所以f(6)<g(6).當(dāng)x>x2時(shí),f(x)>g(x),所以f(2019)>g(2019).因?yàn)間(2019)>g(6),所以f(2019)>g(2019)>g(6)>f(6).變式1.在本例(1)中,若將“函數(shù)f(x)=2x”改為“f(x)=3x”,又如何求解第(1)題呢?【答案】C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)=x3,C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)=3x.【解析】由圖象的變化趨勢以及指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長速度可知:C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)=x3,C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)=3x.變式2.本例條件不變,(2)題改為:試結(jié)合圖象,判斷f(8),g(8),f(2019),g(2019)的大小.【答案】f(2019)>g(2019)>g(8)>f(8).【解析】因?yàn)閒(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),所以1<x1<2,9<x2<10,所以x1<8<x2,2019>x2,從圖象上可以看出,當(dāng)x1<x<x2時(shí),f(x)<g(x),所以f(8)<g(8),當(dāng)x>x2時(shí),f(x)>g(x),所以f(2019)>g(2019).因?yàn)間(2019)>g(8),所以f(2019)>g(2019)>g(8)>f(8).解題技巧：（由圖象判斷指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的方法）根據(jù)圖象判斷增長型的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)時(shí),通常是觀察函數(shù)圖象上升得快慢,即隨著自變量的增長,圖象最“陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù),圖象趨于平緩的函數(shù)是對數(shù)函數(shù).跟蹤訓(xùn)練一當(dāng)a>1時(shí),有下列結(jié)論:①指數(shù)函數(shù)y=ax,當(dāng)a越大時(shí),其函數(shù)值的增長越快;②指數(shù)函數(shù)y=ax,當(dāng)a越小時(shí),其函數(shù)值的增長越快;③對數(shù)函數(shù)y=logax,當(dāng)a越大時(shí),其函數(shù)值的增長越快;④對數(shù)函數(shù)y=logax,當(dāng)a越小時(shí),其函數(shù)值的增長越快.其中正確的結(jié)論是()①③B.①④ C.②③ D.②④【答案】B2.已知函數(shù)y1=2x,y2=x2,y3=log2x,當(dāng)2<x<4時(shí),有()A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3C.y1>y3>y2 D.y2>y3>y1【答案】B【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出這三個(gè)函數(shù)的圖象(圖略),在區(qū)間(2,4)內(nèi),從上到下圖象依次對應(yīng)的函數(shù)為y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故y2>y1>y3.題型二體會(huì)指數(shù)函數(shù)的增長速度例2甲、乙、丙三個(gè)公司分別到慈善總會(huì)捐款給某災(zāi)區(qū),捐款方式如下:甲公司:在10天內(nèi),每天捐款5萬元給災(zāi)區(qū);乙公司:在10天內(nèi),第1天捐款1萬元,以后每天比前一天多捐款1萬元;丙公司:在10天內(nèi),第1天捐款0.1萬元,以后每天捐款都比前一天翻一番.你覺得哪個(gè)公司捐款最多?【答案】丙公司捐款最多,為102.3萬元.【解析】三個(gè)公司在10天內(nèi)捐款情況如下表所示.公司捐款數(shù)量/萬元時(shí)間甲乙丙第1天510.1第2天520.2第3天530.4第4天540.8第5天551.6第6天563.2第7天576.4第8天5812.8第9天5925.6第10天51051.2總計(jì)5055102.3由上表可以看出,丙公司捐款最多,為102.3萬元.解題技巧：（指數(shù)函數(shù)的增長速度的實(shí)際應(yīng)用）解答此類問題的關(guān)鍵是明確“指數(shù)爆炸”“對數(shù)增長”等函數(shù)增長差異,需注意冪函數(shù)的增長是介于兩者之間的.跟蹤訓(xùn)練二1.某民營企業(yè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場調(diào)查和預(yù)測,A產(chǎn)品的利潤與投資的函數(shù)模型為y=k1x,B產(chǎn)品的利潤與投資的函數(shù)模型為y=k2xα(利潤和投資的單位為百萬元),其關(guān)系分別如圖①,圖②所示.(1)分別求出A,B兩種產(chǎn)品的利潤與投資的函數(shù)關(guān)系式;(2)該企業(yè)已籌集到資金1千萬元,并準(zhǔn)備全部投入到A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)中,問怎樣分配這1千萬元,才能使企業(yè)獲得最大利潤,其最大利潤為多少?(精確到萬元)【答案】(1)A:y=12x(x≥0),B:y=54x((2)投資A產(chǎn)品844萬元,投資B產(chǎn)品156萬元時(shí),總利潤最大,最大值約為578萬元.【解析】(1)A:y=k1x過點(diǎn)(1,0.5),∴k1=12B:y=k2xα過點(diǎn)(4,2.5),(9,3.75),∴k∴A:y=12x(x≥0),B:y=54x((2)設(shè)投資B產(chǎn)品x(百萬元),則投資A產(chǎn)品(10-x)(百萬元),總利潤y=12(10-x)+54x=-12所以當(dāng)x=1.25,x=1.5625≈1.56時(shí),ymax≈5.78.故投資A產(chǎn)品844萬元,投資B產(chǎn)品156萬元時(shí),總利潤最大,最大值約為578萬元.五、課堂小結(jié)讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識(shí)及解題技巧六、板書設(shè)計(jì)4.4.3不同函數(shù)增長的差異4.4.3不同函數(shù)增長的差異1.三種函數(shù)模型的性質(zhì)例1例22.三種函數(shù)的增長速度比較七、作業(yè)課本140頁習(xí)題4.4【教學(xué)反思】本節(jié)課通過數(shù)形結(jié)合研究不同函數(shù)增長的差異,借助結(jié)論解決相關(guān)問題，側(cè)重用實(shí)操，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).《4.4.3不同函數(shù)增長的差異》導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】知識(shí)目標(biāo)1.掌握常見增長函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì),并體會(huì)其增長的快慢.2.理解直線上升、對數(shù)增長、指數(shù)爆炸的含義以及三種函數(shù)模型的性質(zhì)的比較,培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).核心素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：常見增長函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)；2.邏輯推理：三種函數(shù)的增長速度比較；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：由函數(shù)圖像求函數(shù)解析式；4.數(shù)據(jù)分析：由圖象判斷指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)；5.數(shù)學(xué)建模：通過由抽象到具體，由具體到一般的數(shù)形結(jié)合思想總結(jié)函數(shù)性質(zhì).【重點(diǎn)與難點(diǎn)】重點(diǎn)：比較函數(shù)值得大小；難點(diǎn)：幾種增長函數(shù)模型的應(yīng)用．【學(xué)習(xí)過程】一、預(yù)習(xí)導(dǎo)入閱讀課本136-138頁，填寫。1.三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xn(n>0)在(0,+∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增圖象的變化隨x增大逐漸______隨x增大逐漸______隨n值不同而不同2.三種函數(shù)的增長速度比較(1)在區(qū)間(0,+∞)上,函數(shù)y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是______,但______不同.(2)在區(qū)間(0,+∞)上隨著x的增大,函數(shù)y=ax(a>1)的增長速度越來越快,會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=xn(n>0)的增長速度,而函數(shù)y=logax(a>1)的增長速度則會(huì)______.(3)存在一個(gè)x0,使得當(dāng)x>x0時(shí),有____________.【小試牛刀】1.判斷正誤:(1)函數(shù)y=x2比y=2x增長的速度更快些.()(2)當(dāng)a>1,n>0時(shí),在區(qū)間(0,+∞)上,對任意的x,總有l(wèi)ogax<xn<ax成立.()(3)能用指數(shù)型函數(shù)f(x)=abx+c(a,b,c為常數(shù),a>0,b>1)表達(dá)的函數(shù)模型,稱為指數(shù)型函數(shù)模型,也常稱為“爆炸型”函數(shù)模型.()2.已知三個(gè)變量y1,y2,y3隨著變量x的變化情況如下表:x1357911y15135625171536456655y2529245218919685177149y356.106.616.957.27.4則關(guān)于x分別呈對數(shù)型函數(shù)、指數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)型函數(shù)變化的變量依次為()A.y1,y2,y3 B.y2,y1,y3C.y3,y2,y1D.y1,y3,y2【自主探究】題型一比較函數(shù)增長的差異例1函數(shù)f(x)=2x和g(x)=x3的圖象如圖所示.設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2.(1)指出圖中曲線C1,C2分別對應(yīng)的函數(shù);(2)結(jié)合函數(shù)圖象,判斷f(6),g(6),f(2019),g(2019)的大小.變式1.在本例(1)中,若將“函數(shù)f(x)=2x”改為“f(x)=3x”,又如何求解第(1)題呢?變式2.本例條件不變,(2)題改為:試結(jié)合圖象,判斷f(8),g(8),f(2019),g(2019)的大小.跟蹤訓(xùn)練一當(dāng)a>1時(shí),有下列結(jié)論:①指數(shù)函數(shù)y=ax,當(dāng)a越大時(shí),其函數(shù)值的增長越快;②指數(shù)函數(shù)y=ax,當(dāng)a越小時(shí),其函數(shù)值的增長越快;③對數(shù)函數(shù)y=logax,當(dāng)a越大時(shí),其函數(shù)值的增長越快;④對數(shù)函數(shù)y=logax,當(dāng)a越小時(shí),其函數(shù)值的增長越快.其中正確的結(jié)論是()①③B.①④ C.②③ D.②④2.已知函數(shù)y1=2x,y2=x2,y3=log2x,當(dāng)2<x<4時(shí),有()A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3C.y1>y3>y2 D.y2>y3>y1題型二體會(huì)指數(shù)函數(shù)的增長速度例2甲、乙、丙三個(gè)公司分別到慈善總會(huì)捐款給某災(zāi)區(qū),捐款方式如下:甲公司:在10天內(nèi),每天捐款5萬元給災(zāi)區(qū);乙公司:在10天內(nèi),第1天捐款1萬元,以后每天比前一天多捐款1萬元;丙公司:在10天內(nèi),第1天捐款0.1萬元,以后每天捐款都比前一天翻一番.你覺得哪個(gè)公司捐款最多?跟蹤訓(xùn)練二1.某民營企業(yè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場調(diào)查和預(yù)測,A產(chǎn)品的利潤與投資的函數(shù)模型為y=k1x,B產(chǎn)品的利潤與投資的函數(shù)模型為y=k2xα(利潤和投資的單位為百萬元),其關(guān)系分別如圖①,圖②所示.(1)分別求出A,B兩種產(chǎn)品的利潤與投資的函數(shù)關(guān)系式;(2)該企業(yè)已籌集到資金1千萬元,并準(zhǔn)備全部投入到A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)中,問怎樣分配這1千萬元,才能使企業(yè)獲得最大利潤,其最大利潤為多少?(精確到萬元)【課堂檢測】1．在一次數(shù)學(xué)試驗(yàn)中，采集到如下一組數(shù)據(jù)：x－2.0－1.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02則x，y的函數(shù)關(guān)系與下列哪類函數(shù)最接近？(其中a，b為待定系數(shù))()A．y＝a＋bx B．y＝a＋bxC．y＝ax2＋b D．y＝a＋eq\f(b,x)2．下列函數(shù)中，隨著x的增大，增長速度最快的是()A．y＝50 B．y＝1000xC．y＝0.4·2x－1 D．y＝eq\f(1,1000)ex3．有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示：x12345y1.55.913.424.137下列所給函數(shù)模型較適合的是()A．y＝logax(a>1) B．y＝ax＋b(a>1)C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝logax＋b(a>1)4．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，當(dāng)2＜x＜4時(shí)，有()A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y3＞y15．小明2015年用7200元買一臺(tái)筆記本．電子技術(shù)的飛速發(fā)展，筆記本成本不斷降低，每過一年筆記本的價(jià)格降低三分之一．三年后小明這臺(tái)筆記本還值________元．6．已知某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份x滿足關(guān)系y＝a·(0.5)x＋b，現(xiàn)已知該廠今年1月、2月生產(chǎn)該產(chǎn)品分別為1萬件、1.5萬件．則此廠3月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為________萬件．7．燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬，研究燕子的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，兩歲燕子的飛行速度可以表示為函數(shù)v＝5log2eq\f(Q,10)，單位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．(1)求燕子靜止時(shí)的耗氧量是多少個(gè)單位；(2)當(dāng)一只燕子的耗氧量是80個(gè)單位時(shí)，它的飛行速度是多少？答案小試牛刀1.(1)×(2)×(3)√2.C自主探究例1【答案】(1)C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)=x3,C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)=2x.（2）f(2019)>g(2019)>g(6)>f(6).【解析】(1)C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)=x3,C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)=2x.(2)因?yàn)閒(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),所以1<x1<2,9<x2<10,所以x1<6<x2,2019>x2,從圖象上可以看出,當(dāng)x1<x<x2時(shí),f(x)<g(x),所以f(6)<g(6).當(dāng)x>x2時(shí),f(x)>g(x),所以f(2019)>g(2019).因?yàn)間(2019)>g(6),所以f(2019)>g(2019)>g(6)>f(6).變式1.【答案】C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)=x3,C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)=3x.【解析】由圖象的變化趨勢以及指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長速度可知:C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)=x3,C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)=3x.變式2.【答案】f(2019)>g(2019)>g(8)>f(8).【解析】因?yàn)閒(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),所以1<x1<2,9<x2<10,所以x1<8<x2,2019>x2,從圖象上可以看出,當(dāng)x1<x<x2時(shí),f(x)<g(x),所以f(8)<g(8),當(dāng)x>x2時(shí),f(x)>g(x),所以f(2019)>g(2019).因?yàn)間(2019)>g(8),所以f(2019)>g(2019)>g(8)>f(8).跟蹤訓(xùn)練一1.【答案】B2.【答案】B【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出這三個(gè)函數(shù)的圖象(圖略),在區(qū)間(2,4)內(nèi),從上到下圖象依次對應(yīng)的函數(shù)為y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故y2>y1>y