《2.1等式性質(zhì)與不等式的性質(zhì)》考點(diǎn)講解、同步練習(xí)與培優(yōu)

《2.1等式性質(zhì)與不等式的性質(zhì)》考點(diǎn)講解與同步練習(xí)【思維導(dǎo)圖】【常見考點(diǎn)】考點(diǎn)一等式性質(zhì)【例1】下列變形中錯(cuò)誤的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【一隅三反】1．根據(jù)等式的性質(zhì)判斷下列變形正確的是（）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么2．若，則下列變形正確的是（）A． B． C． D．考點(diǎn)二不等式性質(zhì)【例2】對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，c，則下列四個(gè)命題：①若，，則；②若，則；③若，則；④若，則.其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．2 C．1 D．0【一隅三反】1．下列命題正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，，則2．若、、為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則3．下列結(jié)論正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則考點(diǎn)三比較大小【例3】已知a，b均為正實(shí)數(shù)，試?yán)米鞑罘ū容^與的大小.【一隅三反】1．已知，那么的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．2．設(shè)，則的大小關(guān)系為（）．A． B． C． D． 考點(diǎn)四代數(shù)式的取值范圍【例4】(1)已知，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．(2)已知實(shí)數(shù)，滿足，，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【一隅三反】1．已知二次函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，且，則的取值范圍為（）A． B． C． D．2．若，則的范圍為_______________3．已知，，則的值為___________.考點(diǎn)五不等式證明【例5】已知，，求證：.【一隅三反】1．證明不等式().2．如果，，證明：.3．已知，．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）證明：．2.1等式性質(zhì)與不等式的性質(zhì)答案解析考點(diǎn)一等式性質(zhì)【例1】下列變形中錯(cuò)誤的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【解析】根據(jù)等式的性質(zhì)易知A，B，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，兩邊都除以無意義，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:D.【一隅三反】1．根據(jù)等式的性質(zhì)判斷下列變形正確的是（）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么【答案】D【解析】對(duì)于A，沒有的條件，等式的兩邊不能都除以，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B，等式的左邊減去5，等式的右邊乘以后加上5，等式不成立，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C，等式的左邊乘以2，等式的右邊除以2，等式不成立，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于D，等式的兩邊都乘以，等式成立，故選項(xiàng)D正確.故選:D.2．若，則下列變形正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】對(duì)于A，根據(jù)等式的性質(zhì)，得，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，根據(jù)等式的性質(zhì)，得-，故該選項(xiàng)正確；對(duì)于C，根據(jù)等式的性質(zhì)，得或，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，根據(jù)等式的性質(zhì)，得，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:B.考點(diǎn)二不等式性質(zhì)【例2】對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，c，則下列四個(gè)命題：①若，，則；②若，則；③若，則；④若，則.其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【解析】時(shí)，若，則，①錯(cuò)誤；若，則，②錯(cuò)誤；若，則，∴，③正確；，若，仍然有，④錯(cuò)誤．正確的只有1個(gè)．故選：C．本題考查不等式正誤的判斷，常用的判斷方法有：不等式的基本性質(zhì)、特殊值法以及比較法本題考查不等式正誤的判斷，常用的判斷方法有：不等式的基本性質(zhì)、特殊值法以及比較法【一隅三反】1．下列命題正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，，則【答案】C【解析】A.若，則，取不成立B.若，則，取不成立C.若，，則，正確D.若，，則，取不成立故答案選C2．若、、為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，若，則，故A不成立；對(duì)于B選項(xiàng)，，在不等式同時(shí)乘以，得，另一方面在不等式兩邊同時(shí)乘以，得，，故B成立；對(duì)于選項(xiàng)C，在兩邊同時(shí)除以，可得，所以C不成立；對(duì)于選項(xiàng)D，令，，則有，，，所以D不成立.故選B.3．下列結(jié)論正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【解析】對(duì)于A，取時(shí)，，則A錯(cuò)誤；對(duì)于B，取時(shí)，，則B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以由不等式的性質(zhì)可知，則C正確；對(duì)于D，取時(shí)，，則D錯(cuò)誤；故選：C考點(diǎn)三比較大小【例3】已知a，b均為正實(shí)數(shù)，試?yán)米鞑罘ū容^與的大小.【答案】【解析】∵.又a，b均為正實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則.綜上所述，.一．作差法、作商法是比較兩個(gè)實(shí)數(shù)（或代數(shù)式）大小的基本方法．一．作差法、作商法是比較兩個(gè)實(shí)數(shù)（或代數(shù)式）大小的基本方法．①作差法的步驟：作差、變形、判斷差的符號(hào)、得出結(jié)論．②作商法的步驟：作商、變形、判斷商與1的大小、得出結(jié)論．介值比較法也是比較大小的常用方法，其實(shí)質(zhì)是不等式的傳遞性：若a＞b，b＞c，則a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a與c之間的值，此種方法的關(guān)鍵是通過恰當(dāng)?shù)姆趴s，找出一個(gè)比較合適的中介值．三．比較大小時(shí)應(yīng)注意：（1）比較代數(shù)式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此時(shí)一定要保證代數(shù)式大于零；（2）作差時(shí)應(yīng)該對(duì)差式進(jìn)行恒等變形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明顯看出其正負(fù)號(hào)為止；【一隅三反】1．已知，那么的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，則，所以，所以，故選C.2．設(shè)，則的大小關(guān)系為（）．A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，，.又，故．綜上可得：．故選：.考點(diǎn)四代數(shù)式的取值范圍【例4】(1)已知，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．(2)已知實(shí)數(shù)，滿足，，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】(1)C(2)B【解析】(1)令則，∴，又，…∴①，∴…②∴①②得．則．故選C．(2)令，，,則又，因此，故本題選B.代數(shù)式的取值范圍的一般思路：借助性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同向不等式相加進(jìn)行解答；代數(shù)式的取值范圍的一般思路：借助性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同向不等式相加進(jìn)行解答；借助所給條件整體使用，切不可隨意拆分所給條件；（3）結(jié)合不等式的傳遞性進(jìn)行求解【一隅三反】1．已知二次函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，且，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】二次函數(shù)的圖像過原點(diǎn)，設(shè)二次函數(shù)為：，，，……①，……②，則3①+6②得：即，故選：B.2．若，則的范圍為_______________【答案】【解析】依題意可知，由于，由不等式的性質(zhì)可知.故填：.3．已知，，則的值為____________.【答案】24【解析】由題得.故答案為：2考點(diǎn)五不等式證明【例5】已知，，求證：.【答案】證明見解析.【解析】，因?yàn)?，，所以，，故，即證：.【一隅三反】1．證明不等式().【答案】證明見解析.【解析】證明：因?yàn)?，所以，所以兩邊同除?，即得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào).2．如果，，證明：.【答案】證明見解析.【解析】證明：由，，則，又,，則，又，故.3．已知，．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）證明：．【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析【解析】（Ⅰ）由a＞b＞c＞d＞0得a－d＞b－c＞0，即(a－d)2＞(b－c)2，由ad＝bc得(a－d)2＋4ad＞(b－c)2＋4bc，即(a＋d)2＞(b＋c)2，故a＋d＞b＋c．（Ⅱ）.因?yàn)?，所以，?同理，.從而.即《2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)》同步練習(xí)【題組一不等式性質(zhì)】1．若、、為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則2．下列結(jié)論正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則3．若則一定有（）A． B． C． D．4．已知a，b，c∈R，則下列命題正確的是（）A．a(chǎn)>b?ac2>bc2 B． C． D．5．對(duì)于實(shí)數(shù)，判斷下列命題的真假．（1）若，則．（2）若，則．（3）若，則．（4）若，則．（5）若，則．（6）若，，則．【題組二比較大小】1．比較下列各組中兩個(gè)代數(shù)式的大?。海?）與；（2）當(dāng)，且時(shí)，與.2．已知a，b均為正實(shí)數(shù)，試?yán)米鞑罘ū容^與的大小.3．已知，比較與的大小.【題組三代數(shù)式的取值范圍】1．已知，，則的值為____________.2．已知，，則的取值范圍是（）A． B．C． D．3．設(shè)，且1是一元二次方程的一個(gè)實(shí)根，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【題組四不等式的證明】1．證明不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R).2.已知x≥1，y≥1，證明：2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)答案解析【題組一不等式性質(zhì)】1．若、、為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，若，則，故A不成立；對(duì)于B選項(xiàng)，，在不等式同時(shí)乘以，得，另一方面在不等式兩邊同時(shí)乘以，得，，故B成立；對(duì)于選項(xiàng)C，在兩邊同時(shí)除以，可得，所以C不成立；對(duì)于選項(xiàng)D，令，，則有，，，所以D不成立.故選B.2．下列結(jié)論正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【解析】對(duì)于A，取時(shí)，，則A錯(cuò)誤；對(duì)于B，取時(shí)，，則B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以由不等式的性質(zhì)可知，則C正確；對(duì)于D，取時(shí)，，則D錯(cuò)誤；故選：C3．若則一定有（）A． B． C． D．【答案】D【解析】本題主要考查不等關(guān)系．已知,所以，所以，故．故選4．已知a，b，c∈R，則下列命題正確的是（）A．a(chǎn)>b?ac2>bc2 B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)c＝0時(shí)，A不成立；當(dāng)c<0時(shí)，B不成立；當(dāng)時(shí)，，即，所以C成立.當(dāng)時(shí)，，即，所以D不成立.故選：C5．對(duì)于實(shí)數(shù)，判斷下列命題的真假．（1）若，則．（2）若，則．（3）若，則．（4）若，則．（5）若，則．（6）若，，則．【答案】（1）假命題；（2）真命題；（3）真命題；（4）真命題；（5）真命題；（6）真命題.【解析】（1）由于c的符號(hào)未知，因而不能判斷與的大小，故該命題是假命題．（2），，，，故該命題為真命題．（3）．又，．故該命題為真命題．（4）,又,故該命題為真命題．（5），，，．故該命題為真命題．（6）由已知條件，得，，．又，．故該命題為真命題．【題組二比較大小】1．比較下列各組中兩個(gè)代數(shù)式的大?。海?）與；（2）當(dāng)，且時(shí)，與.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），因此，；（2）.①當(dāng)時(shí)，即，時(shí)，，；②當(dāng)時(shí)，即，時(shí)，，.綜上所述，當(dāng)，且時(shí)，.2．已知a，b均為正實(shí)數(shù)，試?yán)米鞑罘ū容^與的大小.【答案】【解析】∵.又a，b均為正實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則.綜上所述，.3．已知，比較與的大小.【答案】【解析】，，又，.【題組三代數(shù)式的取值范圍】1．已知，，則的值為____________.【答案】24【解析】由題得.故答案為：242．已知，，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】令4a﹣2b＝x（a﹣b）+y（a+b），即，解得：x＝3，y＝1，即4a﹣2b＝3（a﹣b）+（a+b）.∵1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，∴3≤3（a﹣b）≤6，∴5≤（a﹣b）+3（a+b）≤10故選：B．3．設(shè)，且1是一元二次方程的一個(gè)實(shí)根，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】又因?yàn)?是一元二次方程的一個(gè)實(shí)根，所以有，且，所以，所以，所以排除A、B兩項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以，此時(shí)，所以，故選C.【題組四不等式的證明】1．證明不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R).【答案】證明見詳解.【解析】，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.2.已知x≥1，y≥1，證明：【證明】因?yàn)閤≥1，y≥1，所以x－1≥0，y－1≥0，xy≥1，所以≥0故≥0，所以《2.1等式的性質(zhì)與不等式的性質(zhì)》培優(yōu)同步練習(xí)一、單選題1．設(shè)集合，則（）A． B． C． D．2．已知集合，，那么=()A． B． C． D．3．已知，，則和的大小關(guān)系為A． B．C． D．4．下列結(jié)論正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則5．若，，則一定有A． B． C． D．6．已知，那么的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．7．若，，則的值可能是（）．A． B． C．2 D．48．若，則下列不等式不能成立的是（）A． B． C． D．9．設(shè)，則的大小關(guān)系為（）．A． B． C． D．10．已知二次函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，且，則的取值范圍為（）A． B． C． D．二、多選題11．若,,則下列不等式成立的是()A． B． C． D．12．對(duì)于實(shí)數(shù)，下列說法正確的是()A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則13．（多選題）下列命題為真命題的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若且，則14．已知，，則下列正確的是（）A． B．C． D．三、填空題15．已知a，b，x均為正數(shù)，且a＞b，則____（填“＞”、“＜”或“＝”）．16．設(shè)，且滿足，，則的大小關(guān)系為_______．17．若，，則在①，②，③，④，⑤這五個(gè)式子中，恒成立的所有不等式的序號(hào)是_______.四、雙空題18．關(guān)于的一元一次不等式組中兩個(gè)不等式的解集在同一數(shù)軸上的表示如圖所示，則該不等式組的解集是_______，的值為_______.19．張軍自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家干果店，銷售的干果中有松子、開心果、腰果、核桃，價(jià)格依次為120元/千克、80元/千克、70元/千克、40元千克，為增加銷量，張軍對(duì)這四種干果進(jìn)行促銷:一次購買干果的總價(jià)達(dá)到150元，顧客就少付x(2x∈Z)元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，張軍會(huì)得到支付款的80%.①若顧客一次購買松子和腰果各1千克，需要支付180元，則x=________；②在促銷活動(dòng)中，為保證張軍每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值為_____.20．（1）“且”是“且”的________條件；（2）“且”是“且”的________條件.21．已知，則的取值范圍為_____，的取值范圍為_____.五、解答題22．如果，，證明：.23．已知，，求證：.24．已知a，b均為正實(shí)數(shù)，試?yán)米鞑罘ū容^與的大小.25．當(dāng)都為正數(shù)且時(shí)，試比較代數(shù)式與的大?。?6．甲、乙兩車從A地沿同一路線到達(dá)B地，甲車一半時(shí)間的速度為a，另一半時(shí)間的速度為b；乙車一半路程的速度為a，另一半路程的速度為b．若，試判斷哪輛車先到達(dá)B地．27．比較下列各組中兩個(gè)代數(shù)式的大?。海?）與；（2）當(dāng)，且時(shí)，與.2.1等式的性質(zhì)與不等式的性質(zhì)答案解析一、單選題1．設(shè)集合，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】集合，，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，，所以選項(xiàng)B正確，A,，所以選項(xiàng)C，D錯(cuò)誤.故選：B2．已知集合，，那么=()A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，，所以，故選：C3．已知，，則和的大小關(guān)系為A． B．C． D．【答案】D【解析】s﹣t=a+b2+1﹣a﹣2b=b2﹣2b+1=（b﹣1）2≥0，故有s≥t，故選D．4．下列結(jié)論正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【解析】對(duì)于A，取時(shí)，，則A錯(cuò)誤；對(duì)于B，取時(shí)，，則B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋杂刹坏仁降男再|(zhì)可知，則C正確；對(duì)于D，取時(shí)，，則D錯(cuò)誤；故選：C5．若，，則一定有A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，，，．故選：．6．已知，那么的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，則，所以，所以，故選C.7．若，，則的值可能是（）．A． B． C．2 D．4【答案】C【解析】，，．故選：C.8．若，則下列不等式不能成立的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】選項(xiàng)A：由于，即，，所以，所以，所以成立；選項(xiàng)B：由于，即，所以，所以，所以不成立；選項(xiàng)C：由于，所以，所以，所以成立；選項(xiàng)D：由于，所以，所以，所以，所以成立.故選：B.9．設(shè)，則的大小關(guān)系為（）．A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，，.又，故．綜上可得：．故選：.10．已知二次函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，且，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】二次函數(shù)的圖像過原點(diǎn)，設(shè)二次函數(shù)為：，，，……①，……②，則3①+6②得：即，故選：B.二、多選題11．若,,則下列不等式成立的是()A． B． C． D．【答案】BD【解析】對(duì)A,因?yàn)?,故,故A錯(cuò)誤.對(duì)B,因?yàn)?,故,故,故B正確.對(duì)C,取易得,故C錯(cuò)誤.對(duì)D,因?yàn)闉樵龊瘮?shù),故D正確.故選：BD12．對(duì)于實(shí)數(shù)，下列說法正確的是()A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ABC【解析】A.在三邊同時(shí)除以得，故A正確；B.由及得，故B正確；C.由知且，則，故C正確；D.若，則，，，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.13．（多選題）下列命題為真命題的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若且，則【答案】BCD【解析】選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí)，不等式不成立，故本命題是假命題；選項(xiàng)B:，所以本命題是真命題；選項(xiàng)C:，所以本命題是真命題；選項(xiàng)D:，所以本命題是真命題，所以本題選BCD.14．已知，，則下列正確的是（）A． B．C． D．【答案】AC【解析】A中，，又，所以根據(jù)不等式的性質(zhì)可得，故A正確；B中，，，故B錯(cuò)誤；C中，，，故C正確；D中，，故D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題15．已知a，b，x均為正數(shù)，且a＞b，則____（填“＞”、“＜”或“＝”）．【答案】<【解析】由題得，因?yàn)閍>0,x+a>0,b-a<0,x>0,所以所以.故答案為＜16．設(shè)，且滿足，，則的大小關(guān)系為_______．【答案】．【解析】因?yàn)?，所以．又因?yàn)?，所以，所以，綜上可得，．17．（若，，則在①，②，③，④，⑤這五個(gè)式子中，恒成立的所有不等式的序號(hào)是_______.【答案】②④【解析】令，則，故①錯(cuò)誤；令，則：，故③錯(cuò)誤；令，則：，故⑤錯(cuò)誤；由于，，根據(jù)不等式的性質(zhì)可知，故②正確；由于，，則，根據(jù)不等式的性質(zhì)可知，故④正確.故答案為：②④四、雙空題18．關(guān)于的一元一次不等式組中兩個(gè)不等式的解集在同一數(shù)軸上的表示如圖所示，則該不等式組的解集是_______，的值為_______.【答案】2【解析】解得，解得.由題圖知這個(gè)不等式組的解集是，且，.故答案為；219．張軍自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家干果店，銷售的干果中有松子、開心果、腰果、核桃，價(jià)格依次為120元/千克、80元/千克、70元/千克、40元千克，為增加銷量，張軍對(duì)這四種干果進(jìn)行促銷:一次購買干果的總價(jià)達(dá)到150元，顧客就少付x(2x∈Z)元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，張軍會(huì)得到支付款的80%.①若顧客一次購買松子和腰果各1千克，需要支付180元，則x=________；②在促銷活動(dòng)中，為保證張軍每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值為_____.【答案