《4.4.3不同增長函數(shù)的差異》教學(xué)設(shè)計(jì)、導(dǎo)學(xué)案、同步練習(xí)

第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)《4.4.3不同增長函數(shù)的差異》教學(xué)設(shè)計(jì)【教材分析】本節(jié)課是新版教材人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修1第四章第4.4.3節(jié)《不同增長函數(shù)的差異》是在學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)之后的對(duì)函數(shù)學(xué)習(xí)的一次梳理和總結(jié)。本節(jié)提出函數(shù)增長快慢的問題，通過函數(shù)圖像及三個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，完成函數(shù)增長快慢的認(rèn)識(shí)。既是對(duì)三種函數(shù)學(xué)習(xí)的總結(jié)，也為后續(xù)導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)做了鋪墊。培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)直觀、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)(一次函數(shù))的增長差異.2、經(jīng)過探究對(duì)函數(shù)的圖像觀察，理解對(duì)數(shù)增長、直線上升、指數(shù)爆炸。培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題和歸納問題的思維能力以及數(shù)學(xué)交流能力；3、在認(rèn)識(shí)函數(shù)增長差異的過程中，使學(xué)生學(xué)會(huì)認(rèn)識(shí)事物的特殊性與一般性之間的關(guān)系，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識(shí)，探索數(shù)學(xué)。a.數(shù)學(xué)抽象：函數(shù)增長快慢的認(rèn)識(shí)；b.邏輯推理：由特殊到一般的推理；c.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用指數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算分析問題；d.直觀想象：指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像；e.數(shù)學(xué)建模：運(yùn)用函數(shù)增長差異解決實(shí)際問題；【教學(xué)重難點(diǎn)】教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)增長快慢比較的常用方法；教學(xué)難點(diǎn)：了解影響函數(shù)增長快慢的因素；【教學(xué)過程】教學(xué)過程設(shè)計(jì)意圖（一）、溫故知新三種函數(shù)模型的性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)圖象的變化趨勢隨x增大逐漸近似與y軸;平行隨x增大逐漸近似與x軸x平行隨n值而不同增長速度①y＝ax(a>1)：隨著x的增大，y增長速度越來越快，會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝xn(n>0)的增長速度，y＝logax(a>1)的增長速度越來越慢②存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，有ax>xn>logax（二）問題探究我們看到，一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的增長方式存在很大差異．事實(shí)上，這種差異正是不同類型現(xiàn)實(shí)問題具有不同增長規(guī)律的反映．因此，如果把握了不同函數(shù)增長方式的差異，那么就可以根據(jù)現(xiàn)實(shí)問題的增長情況，選擇合適的函數(shù)模型刻畫其變化規(guī)律．下面就來研究一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)增長方式的差異．提出問題雖然它們都是增函數(shù)，但增長方式存在很大差異，這種差異正是不同類型現(xiàn)實(shí)問題具有不同增長規(guī)律的反映.我們?nèi)匀徊捎糜商厥獾揭话?，由具體到抽象的研究方法.下面就來研究一次函數(shù)f(x)=kx+b，k>0，指數(shù)函數(shù)g(x)=ax(a>1)，對(duì)數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)增長方式的差異.問題探究以函數(shù)y=2x與y=2x為例研究指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)增長方式的差異.分析：(1)在區(qū)間(-∞,0)上，指數(shù)函數(shù)y=2x值恒大于0，一次函數(shù)y=2x值恒小于0，所以我們重點(diǎn)研究在區(qū)間(0,+∞)上它們的增長差異.(2)借助信息技術(shù)，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)列表、描點(diǎn)作圖如下：xy=2xy=2x0100.51.41411221.52.82832442.55.6575386·········(3)觀察兩個(gè)函數(shù)圖象及其增長方式：結(jié)論1：函數(shù)y=2x與y=2x有兩個(gè)交點(diǎn)(1,2)和(2,4)結(jié)論2：在區(qū)間(0,1)上，函數(shù)y=2x的圖象位于y=2x之上結(jié)論3：在區(qū)間(1,2)上，函數(shù)y=2x的圖象位于y=2x之下結(jié)論4：在區(qū)間(2,3)上，函數(shù)y=2x的圖象位于y=2x之上綜上：雖然函數(shù)y=2x與y=2x都是增函數(shù)，但是它們的增長速度不同，函數(shù)y=2x的增長速度不變，但是y=2x的增長速度改變，先慢后快.請大家想象一下，取更大的x值，在更大的范圍內(nèi)兩個(gè)函數(shù)圖象的關(guān)系？思考：隨著自變量取值越來越大，函數(shù)y=2x的圖象幾乎與x軸垂直，函數(shù)值快速增長，函數(shù)y=2x的增長速度保持不變，和y=2x的增長相比幾乎微不足道.歸納總結(jié)總結(jié)一：函數(shù)y=2x與y=2x在[0,+∞)上增長快慢的不同如下：雖然函數(shù)y=2x與y=2x在[0,+∞)上都是單調(diào)遞增，但它們的增長速度不同.隨著x的增大，y=2x的增長速度越來越快，會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=2x的增長速度.盡管在x的一定范圍內(nèi)，2x<2x，但由于y=2x的增長最終會(huì)快于y=2x的增長，因此，總會(huì)存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，恒有2x>2x.總結(jié)二：一般地指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)與一次函數(shù)y=kx(k>0)的增長都與上述類似.即使k值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于a值，指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)雖然有一段區(qū)間會(huì)小于y=kx(k>0)，但總會(huì)存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，y=ax(a>1)的增長速度會(huì)大大超過y=kx(k>0)的增長速度.跟蹤訓(xùn)練1．四個(gè)變量y1，y2，y3，y4隨變量x變化的數(shù)據(jù)如表：x151015202530y1226101226401626901y22321024377681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907關(guān)于x呈指數(shù)函數(shù)變化的變量是________.答案：y2[以爆炸式增長的變量呈指數(shù)函數(shù)變化．從表格中可以看出，四個(gè)變量y1，y2，y3，y4均是從2開始變化，且都是越來越大，但是增長速度不同，其中變量y2的增長速度最快，畫出它們的圖象(圖略)，可知變量y2關(guān)x呈指數(shù)型函數(shù)變化．故填y2.]分析：(1)在區(qū)間(-∞,0)上，對(duì)數(shù)函數(shù)y=lgx沒意義，一次函數(shù)值恒小于0，所以研究在區(qū)間(0,+∞)上它們的增長差異.(2)借助信息技術(shù)，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)列表、描點(diǎn)作圖如下：xy=lgx0不存在01011201.3012301.4773401.6024501.6995601.7786·········以函數(shù)y=lgx與為例研究對(duì)數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)增長方式的差異.(3)觀察兩個(gè)函數(shù)圖象及其增長方式：總結(jié)一：雖然函數(shù)y=lgx與在(0,+∞)上都是單調(diào)遞增，但它們的增長速度存在明顯差異.在(0,+∞)上增長速度不變，y=lgx在(0,+∞)上的增長速度在變化.隨著x的增大，的圖象離x軸越來越遠(yuǎn)，而函數(shù)y=lgx的圖象越來越平緩，就像與x軸平行一樣溫故知新，通過對(duì)上節(jié)指數(shù)、對(duì)數(shù)和冪函數(shù)問題的回顧，提出新的問題，提出研究函數(shù)增長差異的問題及研究方法。培養(yǎng)和發(fā)展邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。通過畫出特殊的指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖形，觀察歸納出兩類函數(shù)增長的差異和特點(diǎn)，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)；通過對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與冪函數(shù)圖像的觀察分析歸納總結(jié)出兩類函增長性的差異和特點(diǎn)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)；通過畫出特殊的指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖形，觀察歸納出兩類函數(shù)增長的差異和特點(diǎn)，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)；三、當(dāng)堂達(dá)標(biāo)1．下列函數(shù)中隨x的增大而增大且速度最快的是()A．y＝exB．y＝lnxC．y＝x2D．y＝e－x【答案】A[結(jié)合指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)及一次函數(shù)的圖象變化趨勢可知A正確．]2．能使不等式log2x<x2<2x一定成立的x的取值區(qū)間是()A．(0，＋∞)B．(2，＋∞)C．(－∞，2)D．(4，＋∞)【答案】D[當(dāng)x>4時(shí)，log2x<x2<2x，故選D.]3．某工廠8年來某種產(chǎn)品總產(chǎn)量C與時(shí)間t(年)的函數(shù)關(guān)系如圖所示．以下四種說法：①前三年產(chǎn)量增長的速度越來越快；②前三年產(chǎn)量增長的速度越來越慢；③第三年后這種產(chǎn)品停止生產(chǎn)；④第三年后產(chǎn)量保持不變．其中說法正確的序號(hào)是________.【答案】②④[結(jié)合圖象可知②④正確，故填②④.]4．某人投資x元，獲利y元，有以下三種方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，則投資500元，1000元，1500元時(shí)，應(yīng)分別選擇________方案.【答案】乙、甲、丙[將投資數(shù)分別代入甲、乙、丙的函數(shù)關(guān)系式中比較y值的大小即可求出．]通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，鞏固對(duì)函數(shù)增長差異性的認(rèn)識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)1.由特殊到一般，由具體到抽象研究了一次函數(shù)f(x)=kx+b，k>0，指數(shù)函數(shù)g(x)=ax(a>1)，對(duì)數(shù)函數(shù)在定義域上的不同增長方式.2.根據(jù)圖象判斷增長型的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)時(shí)，通常是觀察函數(shù)圖象上升得快慢，即隨著自變量的增大，圖象最“陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)；圖象趨于平緩的函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)．五、作業(yè)1.課時(shí)練2.預(yù)習(xí)下節(jié)課內(nèi)容學(xué)生根據(jù)課堂學(xué)習(xí)，自主總結(jié)知識(shí)要點(diǎn)，及運(yùn)用的思想方法。注意總結(jié)自己在學(xué)習(xí)中的易錯(cuò)點(diǎn)；《4.4.3不同增長函數(shù)的差異》導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、線性函數(shù)(一次函數(shù))的增長差異.2.理解對(duì)數(shù)增長、直線上升、指數(shù)爆炸?！局攸c(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn)：函數(shù)增長快慢比較的常用方法；難點(diǎn)：了解影響函數(shù)增長快慢的因素；【知識(shí)梳理】三種函數(shù)模型的性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)圖象的變化趨勢隨x增大逐漸近似與y軸——平行隨x增大逐漸近似與x——軸平行隨n值而不同增長速度①y＝ax(a>1)：隨著x的增大，y增長速度越來越快，會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝xn(n>0)的增長速度，y＝logax(a>1)的增長速度越來越慢②存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，有ax>x——n>logx增函數(shù);增函數(shù);增函數(shù);y軸;x軸;越來越快;越來越慢;ax>xn>logax【學(xué)習(xí)過程】【課堂小結(jié)】我們看到，一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的增長方式存在很大差異．事實(shí)上，這種差異正是不同類型現(xiàn)實(shí)問題具有不同增長規(guī)律的反映．因此，如果把握了不同函數(shù)增長方式的差異，那么就可以根據(jù)現(xiàn)實(shí)問題的增長情況，選擇合適的函數(shù)模型刻畫其變化規(guī)律．下面就來研究一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)增長方式的差異．提出問題雖然它們都是增函數(shù)，但增長方式存在很大差異，這種差異正是不同類型現(xiàn)實(shí)問題具有不同增長規(guī)律的反映.我們?nèi)匀徊捎糜商厥獾揭话?，由具體到抽象的研究方法.下面就來研究一次函數(shù)f(x)=kx+b，k>0，指數(shù)函數(shù)g(x)=ax(a>1)，對(duì)數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)增長方式的差異.問題探究以函數(shù)y=2x與y=2x為例研究指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)增長方式的差異.分析：(1)在區(qū)間(-∞,0)上，指數(shù)函數(shù)y=2x值恒大于0，一次函數(shù)y=2x值恒小于0，所以我們重點(diǎn)研究在區(qū)間(0,+∞)上它們的增長差異.(2)借助信息技術(shù)，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)列表、描點(diǎn)作圖如下：xy=2xy=2x0100.51.41411221.52.82832442.55.6575386·········(3)觀察兩個(gè)函數(shù)圖象及其增長方式：結(jié)論1：函數(shù)y=2x與y=2x有兩個(gè)交點(diǎn)(1,2)和(2,4)結(jié)論2：在區(qū)間(0,1)上，函數(shù)y=2x的圖象位于y=2x之上結(jié)論3：在區(qū)間(1,2)上，函數(shù)y=2x的圖象位于y=2x之下結(jié)論4：在區(qū)間(2,3)上，函數(shù)y=2x的圖象位于y=2x之上綜上：雖然函數(shù)y=2x與y=2x都是增函數(shù)，但是它們的增長速度不同，函數(shù)y=2x的增長速度不變，但是y=2x的增長速度改變，先慢后快.請大家想象一下，取更大的x值，在更大的范圍內(nèi)兩個(gè)函數(shù)圖象的關(guān)系？思考：隨著自變量取值越來越大，函數(shù)y=2x的圖象幾乎與x軸垂直，函數(shù)值快速增長，函數(shù)y=2x的增長速度保持不變，和y=2x的增長相比幾乎微不足道.歸納總結(jié)總結(jié)一：函數(shù)y=2x與y=2x在[0,+∞)上增長快慢的不同如下：雖然函數(shù)y=2x與y=2x在[0,+∞)上都是單調(diào)遞增，但它們的增長速度不同.隨著x的增大，y=2x的增長速度越來越快，會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=2x的增長速度.盡管在x的一定范圍內(nèi)，2x<2x，但由于y=2x的增長最終會(huì)快于y=2x的增長，因此，總會(huì)存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，恒有2x>2x.總結(jié)二：一般地指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)與一次函數(shù)y=kx(k>0)的增長都與上述類似.即使k值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于a值，指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)雖然有一段區(qū)間會(huì)小于y=kx(k>0)，但總會(huì)存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，y=ax(a>1)的增長速度會(huì)大大超過y=kx(k>0)的增長速度.跟蹤訓(xùn)練1．四個(gè)變量y1，y2，y3，y4隨變量x變化的數(shù)據(jù)如表：x151015202530y1226101226401626901y22321024377681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907關(guān)于x呈指數(shù)函數(shù)變化的變量是________.答案：y2[以爆炸式增長的變量呈指數(shù)函數(shù)變化．從表格中可以看出，四個(gè)變量y1，y2，y3，y4均是從2開始變化，且都是越來越大，但是增長速度不同，其中變量y2的增長速度最快，畫出它們的圖象(圖略)，可知變量y2關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化．故填y2.]分析：(1)在區(qū)間(-∞,0)上，對(duì)數(shù)函數(shù)y=lgx沒意義，一次函數(shù)值恒小于0，所以研究在區(qū)間(0,+∞)上它們的增長差異(2)借助信息技術(shù)，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)列表、描點(diǎn)作圖如下：xy=lgx0不存在01011201.3012301.4773401.6024501.6995601.7786·········以函數(shù)y=lgx與為例研究對(duì)數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)增長方式的差異.(3)觀察兩個(gè)函數(shù)圖象及其增長方式：總結(jié)一：雖然函數(shù)y=lgx與在(0,+∞)上都是單調(diào)遞增，但它們的增長速度存在明顯差異.在(0,+∞)上增長速度不變，y=lgx在(0,+∞)上的增長速度在變化.隨著x的增大，的圖象離x軸越來越遠(yuǎn)，而函數(shù)y=lgx的圖象越來越平緩，就像與x軸平行一樣.例如：lg10=1，lg100=2，lg1000=3，lg10000=4；這表明，當(dāng)x>10，即y>1，y=lgx比相比增長得就很慢了.思考：將y=lgx放大1000倍，將函數(shù)y=1000lgx與比較，仍有上面規(guī)律嗎？先想象一下，仍然有.總結(jié)二：一般地，雖然對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)y=kx(k>0)在(0,上都是單調(diào)遞增，但它們的增長速度不同.隨著x的增大，一次函數(shù)y=kx(k>0)保持固定的增長速度，而對(duì)數(shù)函數(shù)的增長速度越來越慢.不論a值比k值大多少，在一定范圍內(nèi)，可能會(huì)大于kx，但由于的增長會(huì)慢于kx的增長，因此總存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，恒有．跟蹤訓(xùn)練1．函數(shù)f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的圖象如圖所示．(1)試根據(jù)函數(shù)的增長差異指出曲線C1，C2分別對(duì)應(yīng)的函數(shù)；(2)比較兩函數(shù)的增長差異(以兩圖象交點(diǎn)為分界點(diǎn)，對(duì)f(x)，g(x)的大小進(jìn)行比較).[解](1)C1對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝0.3x－1，C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝lgx.(2)當(dāng)x<x1時(shí)，g(x)>f(x)；當(dāng)x1<x<x2時(shí)，f(x)>g(x)；當(dāng)x>x2時(shí)，g(x)>f(x)；當(dāng)x＝x1或x＝x2時(shí)，f(x)＝g(x)．【達(dá)標(biāo)檢測】1．下列函數(shù)中隨x的增大而增大且速度最快的是()A．y＝exB．y＝lnxC．y＝x2D．y＝e－x【答案】A[結(jié)合指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)及一次函數(shù)的圖象變化趨勢可知A正確．]2．能使不等式log2x<x2<2x一定成立的x的取值區(qū)間是()A．(0，＋∞)B．(2，＋∞)C．(－∞，2)D．(4，＋∞)【答案】D[當(dāng)x>4時(shí)，log2x<x2<2x，故選D.]3．某工廠8年來某種產(chǎn)品總產(chǎn)量C與時(shí)間t(年)的函數(shù)關(guān)系如圖所示．以下四種說法：①前三年產(chǎn)量增長的速度越來越快；②前三年產(chǎn)量增長的速度越來越慢；③第三年后這種產(chǎn)品停止生產(chǎn)；④第三年后產(chǎn)量保持不變．其中說法正確的序號(hào)是________.【答案】②④[結(jié)合圖象可知②④正確，故填②④.]4．某人投資x元，獲利y元，有以下三種方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，則投資500元，1000元，1500元時(shí)，應(yīng)分別選擇________方案.【答案】乙、甲、丙[將投資數(shù)分別代入甲、乙、丙的函數(shù)關(guān)系式中比較y值的大小即可求出．]【課堂小結(jié)】1.由特殊到一般，由具體到抽象研究了一次函數(shù)f(x)=kx+b，k>0，指數(shù)函數(shù)g(x)=ax(a>1)，對(duì)數(shù)函數(shù)在定義域上的不同增長方式.2.根據(jù)圖象判斷增長型的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)時(shí)，通常是觀察函數(shù)圖象上升得快慢，即隨著自變量的增大，圖象最“陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)；圖象趨于平緩的函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)．《4.4.3不同函數(shù)增長的差異》同步練習(xí)一基礎(chǔ)鞏固1.如果某工廠12月份的產(chǎn)量是1月份產(chǎn)量的7倍,那么該工廠這一年中的月平均增長率是()A.711 B.712 C.127-12.某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長10.4%,要增長到原來的x倍,需經(jīng)過y年,則函數(shù)y=f(x)的圖象大致是()3.現(xiàn)有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下:t1.993.004.005.106.12V1.54.047.51218.01現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律,其中最接近的一個(gè)是()A.V=log2t B.V=log1C.V=t24.在固定電壓差(電壓為常數(shù))的前提下,當(dāng)電流通過圓柱形的電線時(shí),其電流強(qiáng)度I(單位:安)與電線半徑r(單位:毫米)的三次方成正比.若已知電流通過半徑為4毫米的電線時(shí),電流強(qiáng)度為320安,則電流通過半徑為3毫米的電線時(shí),電流強(qiáng)度為()A.60安 B.240安 C.75安 D.135安5.若a>1,n>0,則當(dāng)x足夠大時(shí),ax,xn,logax的大小關(guān)系是.

6.某種細(xì)菌在培養(yǎng)過程中,每15分鐘分裂1次(由1個(gè)分裂成2個(gè)),這種細(xì)菌由1個(gè)分裂成4096個(gè)需經(jīng)過小時(shí).

7.畫出函數(shù)f(x)=x與函數(shù)g(x)=14x2-2的圖象,并比較兩者在[0,+∞)上的大小關(guān)系8.某文具店出售軟皮本和鉛筆,軟皮本每本2元,鉛筆每支0.5元,該店推出兩種優(yōu)惠辦法:(1)買一本軟皮本贈(zèng)送一支鉛筆;(2)按總價(jià)的92%付款.現(xiàn)要買軟皮本4本,鉛筆若干支(不少于4支),若購買x支鉛筆,付款為y元,試分別建立兩種優(yōu)惠辦法中y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并說明使用哪種優(yōu)惠辦法更合算?能力提升9.若x∈(0,1),則下列結(jié)論正確的是()A.2x>x12>lgx B.2xC.x12>2x>lgx D.lgx>x10.如圖,是某受污染的湖泊在自然凈化過程中,某種有害物質(zhì)的剩留量y與凈化時(shí)間t(單位:月)的近似函數(shù)關(guān)系:y=at(t≥0,a>0,且a≠1).有以下敘述:①第4個(gè)月時(shí),剩留量會(huì)低于15;②每月減少的有害物質(zhì)量都相等;③若剩留量為12,14,18所經(jīng)過的時(shí)間分別是t1,t2,t3,其中所有正確的敘述是.

11.每年的3月12日是植樹節(jié),全國各地在這一天都會(huì)開展各種形式、各種規(guī)模的義務(wù)植樹活動(dòng).某市現(xiàn)有樹木面積10萬平方米,計(jì)劃今后5年內(nèi)擴(kuò)大樹木面積,有兩種方案如下:方案一:每年植樹1萬平方米;方案二:每年樹木面積比上年增加9%.你覺得哪個(gè)方案較好?素養(yǎng)達(dá)成12.畫出函數(shù)f(x)=x與函數(shù)g(x)=14x24.4.3不同函數(shù)增長的差異答案解析基礎(chǔ)鞏固1.如果某工廠12月份的產(chǎn)量是1月份產(chǎn)量的7倍,那么該工廠這一年中的月平均增長率是()A.711 B.712 C.127-1【答案】D【解析】設(shè)月平均增長率為x,1月份的產(chǎn)量為a,則有a(1+x)11=7a,則1+x=117,故x=112.某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長10.4%,要增長到原來的x倍,需經(jīng)過y年,則函數(shù)y=f(x)的圖象大致是()【答案】D【解析】設(shè)該林區(qū)的森林原有蓄積量為a,由題意知ax=a(1+0.104)y,即y=log1.104x(x≥1),所以y=f(x)的圖象大致為D中圖象.3.現(xiàn)有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下:t1.993.004.005.106.12V1.54.047.51218.01現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律,其中最接近的一個(gè)是()A.V=log2t B.V=log12tC.V=t2【答案】C【解析】當(dāng)t=4時(shí),選項(xiàng)A中的V=log24=2,選項(xiàng)B中的V=log1選項(xiàng)C中的V=42選項(xiàng)D中的V=2×4-2=6,故選C.4.在固定電壓差(電壓為常數(shù))的前提下,當(dāng)電流通過圓柱形的電線時(shí),其電流強(qiáng)度I(單位:安)與電線半徑r(單位:毫米)的三次方成正比.若已知電流通過半徑為4毫米的電線時(shí),電流強(qiáng)度為320安,則電流通過半徑為3毫米的電線時(shí),電流強(qiáng)度為()A.60安 B.240安 C.75安 D.135安【答案】D【解析】設(shè)比例系數(shù)為k,則電流強(qiáng)度I=kr3,由已知可得當(dāng)r=4時(shí),I=320,故有320=43k,解得k=32064=5,所以I=5r3,則當(dāng)r=3時(shí),I=5×33=135(安5.若a>1,n>0,則當(dāng)x足夠大時(shí),ax,xn,logax的大小關(guān)系是.

【答案】logax<xn<ax【解析】由三種函數(shù)的增長特點(diǎn)可知,當(dāng)x足夠大時(shí),總有l(wèi)ogax<xn<ax.6.某種細(xì)菌在培養(yǎng)過程中,每15分鐘分裂1次(由1個(gè)分裂成2個(gè)),這種細(xì)菌由1個(gè)分裂成4096個(gè)需經(jīng)過小時(shí).

【答案】3【解析】設(shè)1個(gè)細(xì)菌分裂x次后有y個(gè)細(xì)菌,則y=2x.令2x=4096=212,則x=12,即需分裂12次,需12×15=180(分鐘),即3小時(shí).7.畫出函數(shù)f(x)=x與函數(shù)g(x)=14x2-2的圖象,并比較兩者在[0,+∞)上的大小關(guān)系【答案】函數(shù)f(x)與g(x)的圖象如右.根據(jù)圖象可得:當(dāng)0≤x<4時(shí),f(x)>g(x);當(dāng)x=4時(shí),f(x)=g(x);當(dāng)x>4時(shí),f(x)<g(x).【解析】函數(shù)f(x)與g(x)的圖象如右.根據(jù)圖象可得:當(dāng)0≤x<4時(shí),f(x)>g(x);當(dāng)x=4時(shí),f(x)=g(x);當(dāng)x>4時(shí),f(x)<g(x).8.某文具店出售軟皮本和鉛筆,軟皮本每本2元,鉛筆每支0.5元,該店推出兩種優(yōu)惠辦法:(1)買一本軟皮本贈(zèng)送一支鉛筆;(2)按總價(jià)的92%付款.現(xiàn)要買軟皮本4本,鉛筆若干支(不少于4支),若購買x支鉛筆,付款為y元,試分別建立兩種優(yōu)惠辦法中y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并說明使用哪種優(yōu)惠辦法更合算?【答案】見解析【解析】由優(yōu)惠辦法(1)得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式為y=2×4+0.5(x-4)=0.5x+6(x≥4,且x∈N).由優(yōu)惠辦法(2)得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式為y=(0.5x+2×4)×92%=0.46x+7.36(x≥4,且x∈N).令0.5x+6=0.46x+7.36,解得x=34,且當(dāng)4≤x<34時(shí),0.5x+6<0.46x+7.36,當(dāng)x>34時(shí),0.5x+6>0.46x+7.36.即當(dāng)購買鉛筆少于34支(不少于4支)時(shí),用優(yōu)惠辦法(1)合算;當(dāng)購買鉛筆多于34支時(shí),用優(yōu)惠辦法(2)合算;當(dāng)購買鉛筆34支時(shí),兩種優(yōu)惠辦法支付的總錢數(shù)是相同的,即一樣合算.能力提升9.若x∈(0,1),則下列結(jié)論正確的是()A.2x>x12>lgx B.2x>lgx>C.x12>2x>lgx D.lgx>x【答案】A【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=2x,y=x12如圖所示.由圖可知,當(dāng)x∈(0,1)時(shí),2x>x110.如圖,是某受污染的湖泊在自然凈化過程中,某種有害物質(zhì)的剩留量y與凈化時(shí)間t(單位:月)的近似函數(shù)關(guān)系:y=at(t≥0,a>0,且a≠1).有以下敘述:①第4個(gè)月時(shí),剩留量會(huì)低于15;②每月減少的有害物質(zhì)量都相等;③若剩留量為12,14,18所經(jīng)過的時(shí)間分別是t1,t2,t3,其中所有正確的敘述是.

【答案】①③【解析】由圖象可得,當(dāng)t=2時(shí),y=49,即a2=4解得a=23.故y=2所以當(dāng)t=4時(shí),有害物質(zhì)的剩余量為y=234第一個(gè)月的減少量為1-23第二個(gè)月的減少量為23③由已知23t1=12,23t2=14,211.每年的3月12日是植樹節(jié),全國各地在這一天都會(huì)開展各種形式、各種規(guī)模的義務(wù)植樹活動(dòng).某市現(xiàn)有樹木面積10萬平方米,計(jì)劃今后5年內(nèi)擴(kuò)大樹木面積,有兩種方案如下:方案一:每年植樹1萬平方米;方案二:每年樹木面積比上年增加9%.你覺得哪個(gè)方案較好?【答案】見解析【解析】(方案一)5年后樹木面積是10+1×5=15(萬平方米).(方案二)5年后樹木面積是10(1+9%)5≈15.386(萬平方米).∵15.386>15,∴方案二較好.素養(yǎng)達(dá)成12.畫出函數(shù)f(x)=x與函數(shù)g(x)=14x2【答案】見解析【解析】函數(shù)f(x)與g(x)的圖象如下.根據(jù)圖象易得:當(dāng)0≤x<4時(shí),f(x)>g(x);當(dāng)x=4時(shí),f(x)=g(x);當(dāng)x>4時(shí),f(x)<g(x).《4.4.3不同增長函數(shù)的差異》同步練習(xí)二一、選擇題1．有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示：x12345y1.55.913.424.137下列所給函數(shù)模型較適合的是()A．y＝logax(a>1) B．y＝ax＋b(a>1)C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝logax＋b(a>1)2．若，則下列結(jié)論正確的是()A． B．C． D．3．三個(gè)變量y1，y2，y3隨著變量x的變化情況如表：x1357911y15135625171536356655y2529245218919685177149y356.106.616.957.207.40則與x呈對(duì)數(shù)型函數(shù)、指數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)型函數(shù)變化的變量依次是()A.y1，y2，y3 B.y2，y1，y3C.y3，y2，y1 D.y3，y1，y24．下面對(duì)函數(shù)f(x)＝logx，g(x)＝與h(x)＝x-12在區(qū)間(0，＋∞)上的衰減情況說法正確的是()A.f(x)衰減速度越來越慢，g(x)衰減速度越來越快，h(x)衰減速度越來越慢B.f(x)衰減速度越來越快，g(x)衰減速度越來越慢，h(x)衰減速度越來越快C.f(x)衰減速度越來越慢，g(x)衰減速度越來越慢，h(x)衰減速度越來越慢D.f(x)衰減速度越來越快，g(x)衰減速度越來越快，h(x)衰減速度越來越快5．四人賽跑，假設(shè)他們跑過的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和時(shí)間x(x>1)的函數(shù)關(guān)系分別是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他們一直跑下去，最終跑在最前面的人具有的函數(shù)關(guān)系是()A.f1(x)＝x2 B.f2(x)＝4x C.f3(x)＝log2x D.f4(x)＝2x6．某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長，要增長到原來的倍，需經(jīng)過年，則函數(shù)的圖象大致為A． B． C． D．二、填空題7．函數(shù)y＝x2與函數(shù)y＝xlnx在區(qū)間(0，＋∞)上增長較快的一個(gè)是________.8．在某種金屬材料的耐高溫實(shí)驗(yàn)中，溫度隨著時(shí)間變化的情況由微機(jī)記錄后顯示的圖象如圖所示．現(xiàn)給出下列說法：①前5min溫度增加的速度越來越快；②前5min溫度增加的速度越來越慢；③5min以后溫度保持勻速增加；④5min以后溫度保持不變．其中正確的說法是________．(填序號(hào))9．據(jù)報(bào)道，青海湖水在最近50年內(nèi)減少了10%，如果按此規(guī)律，設(shè)2013年的湖水量為m，從2013年起，過x年后湖水量y與x的函數(shù)關(guān)系是________．10．如圖所示是某受污染的湖泊在自然凈化過程中某種有害物質(zhì)的剩留量y與凈化時(shí)間t(月)的近似函數(shù)關(guān)系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的圖象．有以下敘述：①第4個(gè)月時(shí)，剩留量就會(huì)低于；②每月減少的有害物質(zhì)量都相等；③若剩留量為，，時(shí)，所經(jīng)過的時(shí)間分別是t1，t2，t3，則t1＋t2＝t3.其中所有正確敘述的序號(hào)是________．三、解答題11．函數(shù)f(x)＝1.1x，g(x)＝lnx＋1，h(x)＝x的圖象如圖所示，試分別指出各曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)，并比較三個(gè)函數(shù)的增長差異(以1，a，b，c，d，e為分界點(diǎn))．12．每年的3月12日是植樹節(jié)，全國各地在這一天都會(huì)開展各種形式的植樹活動(dòng)，某市現(xiàn)有樹木面積10萬平方米，計(jì)劃今后5年內(nèi)擴(kuò)大樹木面積，現(xiàn)有兩種方案如下：方案一：每年植樹1萬平方米；方案二：每年樹木面積比上一年增加9%.哪個(gè)方案較好？4.4.3不同增長函數(shù)的差異答案解析一、選擇題1．有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示：x12345y1.55.913.424.137下列所給函數(shù)模型較適合的是()A．y＝logax(a>1) B．y＝ax＋b(a>1)C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝logax＋b(a>1)【答案】C【解析】通過所給數(shù)據(jù)可知y隨x增大，其增長速度越來越快，而A，D中的函數(shù)增長速度越來越慢，而B中的函數(shù)增長速度保持不變，故選C.2．若，則下列結(jié)論正確的是()A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖所示，結(jié)合，及的圖象易知，當(dāng)時(shí)，，本題選擇A選項(xiàng).3．三個(gè)變量y1，y2，y3隨著變量x的變化情況如表：x1357911y15135625171536356655y2529245218919685177149y356.106.616.957.207.40則與x呈對(duì)數(shù)型函數(shù)、指數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)型函數(shù)變化的變量依次是()A.y1，y2，y3 B.y2，y1，y3C.y3，y2，y1 D.y3，y1，y2【答案】C【解析】由指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長速率比較，指數(shù)函數(shù)增長最快，對(duì)數(shù)函數(shù)增長最慢，由題中表格可知，是冪函數(shù)，是指數(shù)函數(shù)，是對(duì)數(shù)函數(shù)，故選C。4．下面對(duì)函數(shù)f(x)＝logx，g(x)＝與h(x)＝x-12在區(qū)間(0，＋∞)上的衰減情況說法正確的是()A.f(x)衰減速度越來越慢，g(x)衰減速度越來越快，h(x)衰減速度越來越慢B.f(x)衰減速度越來越快，g(x)衰減速度越來越慢，h(x)衰減速度越來越快C.f(x)衰減速度越來越慢，g(x)衰減速度越來越慢，h(x)衰減速度越來越慢D.f(x)衰減速度越來越快，g(x)衰減速度越來越快，h(x)衰減速度越來越快【答案】C【解析】畫出三個(gè)函數(shù)的圖像如下圖，由圖像可知選C.因?yàn)槿齻€(gè)函數(shù)都是下凸函數(shù)。選C.【點(diǎn)睛】當(dāng)圖像是一條直線的減函數(shù)時(shí)，是勻減速函數(shù)。當(dāng)圖像為上凸的增函數(shù)時(shí)減小速度是越來越快的。當(dāng)圖像為下凸的減函數(shù)時(shí)（如本題）減小速度是越來越慢的。5．四人賽跑，假設(shè)他們跑過的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和時(shí)間x(x>1)的函數(shù)關(guān)系分別是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他們一直跑下去，最終跑在最前面的人具有的函數(shù)關(guān)系是()A.f1(x)＝x2 B.f2(x)＝4x C.f3(x)＝log2x D.f4(x)＝2x【答案】D【解析】由函數(shù)的增長趨勢可知，指數(shù)函數(shù)增長最快，所以最終最前面的具有的函數(shù)關(guān)系為，故選D。6．某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長，要增長到原來的倍，需經(jīng)過年，則函數(shù)的圖象大致為A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，函數(shù)解析式為y=1.104x，（x＞0）函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，底數(shù)1.104＞1遞增，選B二、填空題7．函數(shù)y＝