福建省福州市六校2023-2024學年高二上學期期末聯(lián)考數(shù)學試題

2023—2024學年第一學期高二年段期末六校聯(lián)考數(shù)學試卷（滿分：150分，完卷時間：120分鐘）命題校：馬尾第一中學班級__________座號__________姓名__________準考證號__________.一?單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題的四個選項中，只有一項符合題目要求.）1.在等比數(shù)列中，若，則（）A.32B.16C.8D.4

2.已知函數(shù)在上可導(dǎo)，且滿足，則函數(shù)在點處的切線的方程為（）A.B.C.D.3.已知在四面體中，分別是的中點，設(shè)，則（）A.B.C.D.4.過點的直線與圓相交于兩點，則弦長的最小值是（）A.2B.C.D.4

5.已知，若直線經(jīng)過點，且與線段有交點，則的斜率的取值范圍為（）A.B.C.D.6.已知橢圓的左?右焦點分別為為上位于第一象限的一點，與軸交于點.若.則的離心率為（）A.B.C.D.7.如圖，是棱長為1的正方體，若在正方體內(nèi)部且滿足，則點到直線的距離為（）A.B.C.D.8.如圖，過拋物線的焦點的直線與拋物線交于兩點，與其準線交于點（點位于之間）且于點且，則等于（）A.B.C.D.二?多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對5分，部分選對得2分，有選錯得0分.）9.已知正方體，棱長為分別為棱的中點，則（）A.直線與直線共面B.C.直線與直線的所成角為D.三棱錐的體積為10.已知遞減的等差數(shù)列的前項和為，則（）A.B.C.D.最大11.已知兩點，若直線上存在點，使得，則稱該直線為“點定差直線”，下列直線中，是“點定差直線”的有（）A.B.C.D.12.設(shè)雙曲線的左?右焦點分別為，點在的右支上，且不與的頂點重合，則下列命題中正確的是（）A.若，則的兩條漸近線的方程是B.若點的坐標為，則的離心率大于3C.若，則的面積等于D.若為等軸雙曲線，且，則三?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知圓.若圓與圓外切，則的值為__________.14.設(shè)數(shù)列的前項和為.已知，數(shù)列的通項公式__________.15.已知為單位向量.若，則在上的投影向量為__________.16.數(shù)列，稱為斐波那契數(shù)列（Fibonaccisequence），該數(shù)列是由十三世紀意大利數(shù)學家萊昂納多?斐波那契（LeonardoFibonacci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.在數(shù)學上，斐波那契數(shù)列可表述為.設(shè)該數(shù)列的前項和為，記，則__________.（用表示）四?解答題（本題共6小題，第17題10分，第1822題各12分，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17.（10分）已知數(shù)列滿足，設(shè).（1）求；（2）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并說明理由；（3）求的通項公式.18.（12分）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，，是的中點.（1）求證：；（2）已知二面角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值.19.（12分）已知為銳角三角形，且（1）若，求（2）已知點在邊上，且，求的取值范圍.20.（12分）如圖，已知是拋物線上的三個點，且直線分別與拋物線相切，為拋物線的焦點.（1）若點的橫坐標為，用表示線段的長；（2）若，求點的坐標；21.（12分）已知等差數(shù)列滿足：成等差數(shù)列，成等比數(shù)列.（1）求的通項公式：（2）在數(shù)列的每相鄰兩項與間插入個，使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新數(shù)列，數(shù)列的前項和記為，求及.22.（12分）已知橢圓過點，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓交于兩點，過作直線的垂線，垂足分別為，點為線段的中點，為橢圓的左焦點.求證：四邊形為梯形.參考答案1.【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)得，，從而可求.【解答】解：等比數(shù)列中，由等比數(shù)列的性質(zhì)得，，則.故選：.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可得到答案.【詳解】由題意，故選D.3.【答案】D【分析】結(jié)合圖像，利用空間向量的線性運算即可得到結(jié)果.【詳解】連接，如圖，因為分別是的中點，所以.故選：D.

4【答案】B5.【答案】D【解析】【分析】作出圖形，數(shù)形結(jié)合可得出直線的斜率的取值范圍.【詳解】過點作，垂足為點，如圖所示：設(shè)直線交線段于點，設(shè)直線的斜率為，且，當點在從點運動到點（不包括點）時，直線的傾斜角逐漸增大，此時；當點在從點運動到點時，直線的傾斜角逐漸增大，此時.綜上所述，直線的斜率的取值范圍是.故選：D.

6.A【解析】解析：如圖，由，得為等邊三角形，結(jié)合對稱性及橢圓的定義，得，則B為的中點，從而OB為的中位線，，所以，所以，即，則，故選：A.

7.【答案】C【解析】【分析】以為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，計算出和的坐標，然后根據(jù)向量法求點到直線的距離公式即可求解.【詳解】如圖，以為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，因為，所以，，，所以點到的距離.故選：C.

8.【答案】A【解析】【分析】由題可得，然后結(jié)合條件可得，即求.【詳解】設(shè)于點，準線交軸于點，則，又，，又于點且，，，即，，等于.故選：A9.【答案】BD【解析】【分析】如圖，以為原點，以所在直線分別為建立空間直角坐標系，對于，利用面面平行性質(zhì)結(jié)合平行公理分析判斷，對于，通過計算進行判斷，對于，利用向量的夾角公式求解，對于，利用求解.【詳解】如圖，以為原點，以所在直線分別為建立空間直角坐標系，則對于，假設(shè)直線與直線共面，因為平面平面，平面平面，平面平面，所以，因為，所以，矛盾，所以直線與直線不共面，所以錯誤；對于，因為，所以，所以，所以，所以正確，對于，設(shè)直線與直線的所成角為，因為，所以，所以，所以錯誤，對于，因為平面，所以，所以正確，故選：BD.10.【答案】ACD【解析】【分析】由可得，由等差數(shù)列為遞減數(shù)列，所以，所以當時，時，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式和性質(zhì)，逐項分析判斷即可.【詳解】由可得，由等差數(shù)列為遞減數(shù)列，所以，故A正確；又，故B錯誤；，故C正確；由等差數(shù)列為遞減數(shù)列，所且，所以當時，時，所以最大，故D正確故選：ACD11.【答案】AD【解析】【分析】先求出點的軌跡方程為的右支，結(jié)合雙曲線的漸近線斜率與選項中直線斜率進行比較，得到有無交點，進而求出答案.【詳解】因為，故點的軌跡方程為雙曲線的右支，其中，則，所以雙曲線為，漸近線方程為的斜率為，故與有交點，A正確；的斜率，且與軸交點為，故與無交點，B錯誤；的斜率，且與軸交點為，故與無交點，錯誤；的斜率，故與有交點，D正確.故選：12.BC【解析】當時，雙曲線的漸近錢的斜率錯誤，因為點在上，則，得，所以，B正確：因為，若，則，即，即，得，所以，C正確若為等軸雙曲線，則，從而.若，則.在中，由余弦定理，得，D錯誤，故選.13.【答案】8【解析】【分析】利用兩圓相外切列方程即可求解.【詳解】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑.因為圓與圓外切，所以，所以，解得：.故答案為：814.【詳解】（1）因，則當時，，兩式相減得：，即，而，則數(shù)列是以1為首項，4為公比的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項公式是.15.【答案】【解析】【分析】根據(jù)模與向量的關(guān)系求出的值，再根據(jù)在上的投影向量的模的公式求出答案即可.【詳解】由題可知：即，則在上的投影向量的模為故答案為：16.【解析】由，得，即.所以17.【答案】（1）；（2）是首項為1，公比為2的等比數(shù)列.理由見解析；（3）.【分析】（1）由條件可得.將代入得，，而，所以，.將代入得，，所以，.從而（2）是首項為1，公比為2的等比數(shù)列.由條件可得，即，又，所以是首項為1，公比為2的等比數(shù)列；（3）由（2）可得，所以.18.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由菱形及線面垂直的性質(zhì)可得，再根據(jù)線面垂直的判定?性質(zhì)即可證結(jié)論.（2）構(gòu)建空間直角坐標系，設(shè)，結(jié)合已知確定相關(guān)點坐標，進而求面?面的法向量，結(jié)合已知二面角的余弦值求出參數(shù)，再根據(jù)空間向量夾角的坐標表示求與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】由平面平面，則，又是菱形，則，又，所以平面平面所以.【小問2詳解】分別以為軸正方向建立空間直角坐標系，設(shè)，則，由（1）知：平面的法向量為，令面的法向量為，則，令，可得，因為二面角的余弦值為，則，可得，則，設(shè)與平面所成的角為，又，所以19.【解析】（1）由，得，所以，因為，所以，所以，即，又，所以，解得.（2）因為，所以，由（1）知，可得在中，由正弦定理得，所以在中，，又，所以，所以，所以，故的取值范圍為.20.（1）（2）【分析】（1）求出拋物線的準線方程，利用拋物線定義將的長度轉(zhuǎn)化成點到準線的距離即可；（2）設(shè)與直線，根據(jù)直線直線分別與拋物線相切，可將直線與拋物線方程聯(lián)立得到判別式為0，進而得出的兩根，結(jié)合韋達定理與可得即可求解；【詳解】（1）設(shè)，且在拋物線上，故滿足為拋物線的焦點，，拋物線的準線為，線段的長等于點到準線的距離，即.（2）設(shè)，顯然直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線，..6分聯(lián)立，化簡得：直線與拋物線相切，，即①又直線均與拋物線相切，為方程①的兩根，且有，，解得，將代入得：，故的坐標為.21.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式進行求解即可；（2）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，結(jié)合等比數(shù)列的前項和公式進行求解即可.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為成等差數(shù)列，所以有，因為成等比數(shù)列，所以，所以；【小問2詳解】由題意可知：在3和5之間插入2個3，在5和7之間插入個，在19和21之間插入個3，此時共插入3的個數(shù)為：在21和23之間插入個3，此時共插入3的個數(shù)為：因此22.【分析】（1）由題意可得關(guān)于的方程組，求得與的值，