高中數(shù)學(xué)選擇性課時(shí)評(píng)價(jià)1-2-2直線的兩點(diǎn)式方程

三直線的兩點(diǎn)式方程(15分鐘30分)1．經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，－2)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距和為2的直線方程是()A．eq\f(x,2)＋eq\f(y,－2)＝1 B．eq\f(x,－2)＋eq\f(y,2)＝1C．eq\f(x,4)＋eq\f(y,2)＝1 D．eq\f(x,4)－eq\f(y,2)＝1【解析】選D.依題意可設(shè)eq\f(x,a)＋eq\f(y,2－a)＝1，把(0，－2)代入方程可得a＝4.所以直線方程為eq\f(x,4)－eq\f(y,2)＝1.2．若直線過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，－3))和點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－4))，則該直線的方程為()A．y＝eq\f(\r(3),3)x－4B．y＝eq\f(\r(3),3)x＋4C．y＝eq\r(3)x－6D．y＝eq\f(\r(3),3)x＋2【解析】選A.方法一：因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，－3))和點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－4))，所以直線的方程為eq\f(y－（－4）,－3－（－4）)＝eq\f(x－0,\r(3)－0)，整理得y＝eq\f(\r(3),3)x－4；方法二：因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，－3))和點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－4))，所以直線的斜率為k＝eq\f(\r(3),3)，所以直線的方程為y＋4＝eq\f(\r(3),3)x，整理得y＝eq\f(\r(3),3)x－4.3．已知直線mx－2y－3m＝0(m≠0)在x軸上的截距是它在y軸上截距的4倍，則m＝________.【解析】直線方程可化為eq\f(x,3)＋eq\f(y,－\f(3m,2))＝1，所以－eq\f(3m,2)×4＝3，解得m＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)4．若三點(diǎn)A(1，1)，B(a，0)，C(0，2)共線，則a＝________.【解析】由題意得過(guò)點(diǎn)A，C的直線方程為eq\f(y－1,2－1)＝eq\f(x－1,0－1)，整理得x＋y－2＝0.又點(diǎn)B(a，0)在直線上，所以a－2＝0，解得a＝2.答案：25．求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－2，2)并且和兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是1的直線方程．【解析】設(shè)直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab))＝1，,\f(－2,a)＋\f(2,b)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2，))故所求的直線方程為：eq\f(x,2)＋y＝1或－x－eq\f(y,2)＝1.(25分鐘50分)一、單選題(每小題5分，共20分)1．若△ABC的頂點(diǎn)A(－5，0)，B(3，－2)，C(1，2)，則經(jīng)過(guò)AB，BC兩邊中點(diǎn)的直線方程為()A．y＝3x－2 B．y＝eq\f(1,3)x－eq\f(4,3)C．y＝eq\f(1,3)x－eq\f(2,3) D．y＝3x－4【解析】選C.由題意，可得線段AB的中點(diǎn)為(－1，－1)，線段BC的中點(diǎn)為(2，0).因此所求直線方程為eq\f(y＋1,0＋1)＝eq\f(x＋1,2＋1)，即y＝eq\f(1,3)x－eq\f(2,3).2．直線eq\f(x,m)－eq\f(y,n)＝1與eq\f(x,n)－eq\f(y,m)＝1在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是()【解析】選B.兩直線的方程分別化為斜截式：y＝eq\f(n,m)x－n，y＝eq\f(m,n)x－m，易知兩直線的斜率的符號(hào)相同，四個(gè)選項(xiàng)中僅有B選項(xiàng)的兩直線的斜率符號(hào)相同．3．直線l：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1中a∈{1，3，5，7}，b∈{2，4，6，8}．若l與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積不小于10，則這樣的直線的條數(shù)為()A．6B．7C．8D．16【解析】選B.因?yàn)閍>0，b>0，所以直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S＝eq\f(1,2)ab，于是eq\f(1,2)ab≥10?ab≥20，若a＝1時(shí)，沒(méi)有這樣的b滿足條件；若a＝3時(shí)，b＝8；若a＝5時(shí)，b∈{4，6，8}；若a＝7時(shí)，b∈{4，6，8}，所以這樣的直線的條數(shù)為7.4．已知△ABC三頂點(diǎn)A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M為AB中點(diǎn)，N為AC中點(diǎn)，則中位線MN所在直線方程為()A．2x＋y－8＝0 B．2x－y＋8＝0C．2x＋y－12＝0 D．2x－y－12＝0【解析】選A.點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，4)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3，2)，由兩點(diǎn)式方程得eq\f(y－2,4－2)＝eq\f(x－3,2－3)，即2x＋y－8＝0.二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分)5．下列說(shuō)法正確的是()A．直線x－y－2＝0與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2B．點(diǎn)(0，2)關(guān)于直線y＝x＋1的對(duì)稱點(diǎn)為(1，1)C．過(guò)(x1，y1)，(x2，y2)兩點(diǎn)的直線方程為eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)D．經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，1)且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為x＋y－2＝0【解析】選AB.A中直線在坐標(biāo)軸上的截距分別為2，－2，所以圍成三角形的面積是2正確，B中eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0＋1,2)，\f(2＋1,2)))在直線y＝x＋1上，且(0，2)，(1，1)連線的斜率為－1，所以B正確，C選項(xiàng)需要條件y2≠y1，x2≠x1，故錯(cuò)誤，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，還有一條截距都為0的直線y＝x.6．下列說(shuō)法正確的是()A．截距相等的直線都可以用方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1表示B．方程x＋my－2＝0(m∈R)能表示平行y軸的直線C．經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，1)，傾斜角為θ的直線方程為y－1＝tanθ(x－1)D．經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線方程為(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0【解析】選BD.若直線過(guò)原點(diǎn)，橫縱截距都為零，則不能用方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1表示，所以A不正確；當(dāng)m＝0時(shí)，平行于y軸的直線方程形式為x＝2，所以B正確；若直線的傾斜角為90°，則該直線的斜率不存在，不能用y－1＝tanθ(x－1)表示，所以C不正確；設(shè)點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))是經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線上的任意一點(diǎn)，根據(jù)∥可得(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0，所以D正確．三、填空題(每小題5分，共10分)7．過(guò)點(diǎn)P(1，3)的直線l分別與兩坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，若P為AB的中點(diǎn)，則直線l的截距式方程是________.【解析】設(shè)點(diǎn)A(m，0)，B(0，n)，由點(diǎn)P(1，3)是AB的中點(diǎn)可得m＝2，n＝6，即A，B的坐標(biāo)分別為(2，0)，(0，6).則l的方程為eq\f(x,2)＋eq\f(y,6)＝1.答案：eq\f(x,2)＋eq\f(y,6)＝18．過(guò)點(diǎn)P(3，－1)且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對(duì)值相等的直線有________條，方程為_(kāi)_________.【解析】①當(dāng)截距不為0，且截距相等時(shí)，設(shè)直線的截距為a，則直線方程為：eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，將點(diǎn)P坐標(biāo)代入直線方程解得a＝2，所以直線方程為eq\f(x,2)＋eq\f(y,2)＝1；②當(dāng)截距不為0，且截距互為相反數(shù)時(shí)，設(shè)直線的橫截距為a，則縱截距為－a，則直線方程為：eq\f(x,a)＋eq\f(y,－a)＝1，將點(diǎn)P坐標(biāo)代入直線方程，解得：a＝4，所以直線方程為：eq\f(x,4)－eq\f(y,4)＝1；③當(dāng)截距為0時(shí)，設(shè)直線方程為：y＝kx，代入點(diǎn)P，可得：k＝－eq\f(1,3)，直線方程為：x＋3y＝0，故直線有3條．答案：3x＋3y＝0，eq\f(x,2)＋eq\f(y,2)＝1，eq\f(x,4)－eq\f(y,4)＝1四、解答題9．(10分)已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，6)和點(diǎn)(8，－8).(1)求直線l的兩點(diǎn)式方程，并化為截距式方程；(2)求直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形面積．【解析】(1)由已知得直線l的兩點(diǎn)式方程為eq\f(y－6,－8－6)＝eq\f(x－1,8－1)，所以eq\f(y－6,－14)＝eq\f(x－1,7)，即eq\f(y－6,－2)＝x－