山東省泰安市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（解析版）

高二數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.若直線4與直線"：y=3x平行，則實(shí)數(shù)Z的值為（）

11近

--B-CD3

A.333

【答案】D

【解析】

【分析】利用兩直線平行斜率相等，求出實(shí)數(shù)A的值.

【詳解】因?yàn)橹本€4：y=履+1與直線，2：y=3x平行，

所以兩直線斜率相等，即攵=3.

故選：D.

2.已知等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)4=3,公差d=2,則%=（）

A.7B.9C.11D.13

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可算出答案.

【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列｛4｝的首項(xiàng)％=3,公差d=2,所以%=4+4"=3+8=ll

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查的是等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，較簡(jiǎn)單.

3.已知橢圓工+二=1上的點(diǎn)P到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為7,則P到另一焦點(diǎn)的距離為（）

2516

A.2B.3C.5D.7

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓的定義列方程，求得尸到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離.

【詳解】根據(jù)橢圓定義可知，P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為2α=2?510,所以。到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為

10-7=3.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓的定義，屬于基礎(chǔ)題.

4.已知空間向量α=(2,-1,2),A=(T,2,x)滿足”_LZ,，則實(shí)數(shù)X的值是()

A.-5B.-4C.4D.5

【答案】D

【解析】

【分析】由已知條件得出α"=0,結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得實(shí)數(shù)X的值.

【詳解】由已知條件得出α?b=2χ(T)—lχ2+2x=2X—IO=0,解得x=5.

故選：D.

5.已知圓Y+y2-6x=0,過(guò)點(diǎn)(1,2)的直線被該圓所截得的弦的長(zhǎng)度的最小值為()

A.1B.2

C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】當(dāng)直線和圓心與點(diǎn)(1,2)的連線垂直時(shí)，所求的弦長(zhǎng)最短，即可得出結(jié)論.

【詳解】圓Y+y2-6x=0化為(X-3)?y2=9,所以圓心C坐標(biāo)為C(3,0),半徑為3,

設(shè)P(l,2),當(dāng)過(guò)點(diǎn)尸的直線和直線CP垂直時(shí)，圓心到過(guò)點(diǎn)P的直線的距離最大，所求的弦長(zhǎng)最短，此時(shí)

ICPb7(3-1)2+(-2)2=2√2

根據(jù)弦長(zhǎng)公式得最小值為2λ∕9.∣CP∣2=2√9-8=2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，以及幾何法求弦長(zhǎng)，屬于基礎(chǔ)題.

6.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有如下問(wèn)題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺…”其大意為：“有

一位善于織布的女子，每天織的布都是前一天的2倍，5天共織了5尺布…”.那么該女子第一天織布的尺

數(shù)為()

45610

A.—B.—C.—D.—

31313131

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)第一天織布尺數(shù)為X,則由題意有X(1+2+22+23+24)=5,據(jù)此可得答案.

【詳解】設(shè)第一天織布的尺數(shù)為X,則x(l+2+22+23+24)=5

=>x-------=31x=5nx=—.

2-131

故選：B

7.設(shè)A、5是y軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2,且IF=IPM，若直線外的方程為x-y+l=O,則

直線PB的方程為O

A.x÷y-5=0B.2x-y-l=0

C.2%+y-7=0D,x+y-3=0

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)直線方的方程，確定出∕?的傾斜角，利用∣P4∣=∣P@且A、8在y軸上，可得∕?的傾斜

角，求出尸的坐標(biāo)，然后求出直線PB的方程.

【詳解】解：由于直線R4的方程為X—y+l=0,故其傾斜角為45°,

又IPAI=IP例，且A、B是y軸上兩點(diǎn)，故直線PB的傾斜角為135。，

又當(dāng)x=2時(shí)，y=3,即P(2,3),

二直線PB的方程為y-3=-(x-2),即x+y-5=0.

故選：A.

8.PAP8,PC是從點(diǎn)P出發(fā)的三條射線，每?jī)蓷l射線的夾角均為60。，那么直線PC與平面PAB所成角

的余弦值是O

A.&B.立C.也D1

3322

【答案】B

【解析】

【分析】作圖，找到直線PC在平面RW上的投影在構(gòu)建多個(gè)直角三角形，找出邊與角之間的關(guān)系，繼

而得到線面角；也可將PAP8,PC三條射線截取出來(lái)放在正方體中進(jìn)行分析.

【詳解】解法一：

如圖，設(shè)直線PC在平面P鉆的射影為PO,

D

作CGJ_P￡＞于點(diǎn)G,CH_LQ4于點(diǎn)，，連接用，

易得CG_LB4,又CHCCG=C,CH,CGu平面CHG,則B4_L平面C//G,又"Gu平面C"G,

則Q4_L〃G,

CoSNCPA=------

PC

PGPHPH

cosZ.CPDXcosZAPD

~PC~PG~yC

故cosNCPA=cosZCPD×cosZAPD.

已知ZAPC=60o,ZAPD=30°,

故cosNCPO=史仝竺=*2：=2為所求.

cosZAPDcos3003

解法二：

如圖所示，把PApB,PC放在正方體中，PAPB,PC的夾角均為60°.

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,

則P(l,0,0),C(0,0,1),A(l,1,1),B(0,1,0),

所以PC=(-1,0,1),PA=(0,1,1),PB=(-1,1,0),

n?PA=y+z=O

設(shè)平面RW的法向量"=(χ,y,z),則＜

n-PB=-X+y=0

令X=1,則y=l,z=-1,所以"=(i,ι,-i),

g、i/?PCn-2—?/e

所以CoS〈PC,〃〉=---------=-f=——τ=?=-------.

?PC???n?√2×√33

設(shè)直線PC與平面PAB所成角為。，所以Sine=Icos<PC,〃〉I=當(dāng)，

所以cosθ=JI-Sin20：—.

3

故選B.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列說(shuō)法正確的是（）

A.直線丁=公一2。+4（。€1^）必過(guò)定點(diǎn)（2,4）

B.直線3x-y-l=0在y軸上的截距為1

C.過(guò)點(diǎn)（一2,3）且垂直于直線x-2y+3=0的直線方程為2x+y+l=0

D.直線x+百y+1=0的傾斜角為120。

【答案】AC

【解析】

【分析】對(duì)于A,整理直線方程，合并出參數(shù)的系數(shù)，令其等于零，建立方程，可得答案；

對(duì)于B,將X=O代入直線方程，結(jié)合截距的定義，可得答案；

對(duì)于C,根據(jù)直線之間的垂直關(guān)系，設(shè)未知直線方程，代入點(diǎn)，可得答案；

對(duì)于D,根據(jù)直線的一般式方程，明確直線的斜率，可得答案.

【詳解】對(duì)于A,由直線方程y=5一20+4,整理可得y=α（x-2）+4,當(dāng)x=2時(shí)，y=4,故A正

確；

對(duì)于B,將X=O代入直線方程3x-y—1=0,可得—y—1=0,解得y=-1,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由直線方程x-2y+3=0,則其垂線的方程可設(shè)為2x+y+C=0,將點(diǎn)（一2,3）代入上式，可

得2x（—2）+3+C=0,解得C=I,則方程為2x+y+l=0,故C正確：

對(duì)于D,由直線方程x+Gy+l=0,可得其斜率為—乎，設(shè)其傾斜角為。，則tan6=-理，解得

8=150，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

10.已知橢圓C:二+二=1內(nèi)一點(diǎn)過(guò)點(diǎn)M的直線/與橢圓C交于4,B兩點(diǎn)，且例是線段

42I2；

AB的中點(diǎn)，橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為"，F(xiàn)2,則下列結(jié)論正確的是()

A.橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),(-2,0)

B.橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4

C.直線MK與直線M凡的斜率之積為-工

4

D.|陰=半

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)、點(diǎn)差法、以及弦長(zhǎng)公式求得正確答案.

22

【詳解】依題意，橢圓C:二+二=1，

42

所以α=2,0=c=J5,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為耳(JlO)(一/,0),A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

長(zhǎng)軸長(zhǎng)2α=4,B選項(xiàng)正確.

??

k.k=a_____J=_J.,c選項(xiàng)正確?

MF，叱l-√2l+√24

2222

設(shè)則==

A(%,)),B(Λ2,%),

?

兩式相減并化簡(jiǎn)得2=y+%y-%,2y一%=1,)-1—8=]

4x1+x2x1-x21x1-x22x1-x2

13

即直線AB的斜率為-1,直線AB的方程為y—/=-(x—1),y=一無(wú)+萬(wàn),

3

V=-X+-

.2

由＜22消去y并化簡(jiǎn)得6f—12x+l=0,

土+匕=I

I42

故選：BCD

11.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S“=；〃2+g〃+3(〃eN"),則下列結(jié)論正確的是()

A.數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列B.數(shù)列｛q｝不是等差數(shù)列

C.a2,%，4成等差數(shù)列D.S6-S3,S9-S6,幾-M成等差數(shù)列

【答案】BCD

【解析】

【分析】由an與S”的關(guān)系推導(dǎo)出數(shù)列｛??｝的通項(xiàng)公式,判斷選項(xiàng)A,B,分別計(jì)算出小,%，R和Sb-Si,

Sg-$6，512-S9,結(jié)合等差數(shù)列的定義判斷選項(xiàng)C,D.

【詳解】S,,=L∕+2"+3(neN*),

43v)

22

.?.”≥2時(shí)，an=Sn-Sn_｛=→z+∣n+3-^-(∕j-l)+∣(n-l)+3=；〃+2，

47

—,∏=I1

12b

aneN

71=1時(shí)，ɑι=S1=TT'即n=<15?--

-n-?-----,n≥2

%=I<4=K，因此數(shù)列｛4｝不是單調(diào)遞增數(shù)列，故A錯(cuò)誤;

又〃=1時(shí)，不滿足4,=+卷，

；?數(shù)列｛0,,｝不是等差數(shù)列，故B正確；

172941

-12412612

因此。2，%，。6成等差數(shù)列，故C正確;

15351553

?-5=?+?+?=z×(4+5+6)+÷r×3=y?S-S=a+?+a=-×(7+8+9)+-?×3=y

341乙"14967149lt

1571

S12-S9-010+αll+/=5x(10+11+12)+/3=W

S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差數(shù)列,故D正確.

故選：BCD.

12.平行六面體ABer)-AB'C'D中，各棱長(zhǎng)均為2,設(shè)NA'A5=NAAO=NflAB=O,則下列結(jié)論中

正確的有O

兀f-

A.當(dāng)O=,時(shí)，ΛC,=2√3

B.AC'和8?？偞怪?/p>

21

C.6的取值范圍為(0,§)

D.6=60°時(shí)，三棱錐C—CBZX的外接球的體積是4指萬(wàn)

【答案】ABC

【解析】

【分析】對(duì)于A,求正方體對(duì)角線即可判斷；對(duì)于B,利用空間向量數(shù)量積運(yùn)算即可判斷；對(duì)于C,由正

三棱錐

A-A,BD高與斜高的關(guān)系即可計(jì)算判斷；對(duì)于D,求出正四面體C-C'BZ>'外接球體積判斷作答.

【詳解】平行六面體ABCD—A'8'CZ>'中，各棱長(zhǎng)均為2,設(shè)NA'45=NA'AD=NDW=O,

對(duì)于A,9=j∣時(shí)，該平行六面體為正方體，其體對(duì)角線長(zhǎng)AC'=2百，A正確；

對(duì)于B,AC'=AB+AA+AD>BD=AD—AB，因此，

...,....2-2....

AC'BD=(AB+AA'+ADY(AD-AB)=AD-AB'+AA'-AD-AA'AB

=2?-2?+4COSe-4cos，=0，B正確;

對(duì)于C,連接8。,43,A。，如圖，依題意，A-ABD為正三棱錐，取Bo中點(diǎn)E,

令。為正A'BE>的中心，^AE,AO,EO,有Aoj"平面A'BD，

aaao

正三棱錐A-A'8。的斜高AE=ABCoS上=2cos;,8。=2A3sin:=4Sin上，則

2222

C.√32√3.θ

OE=——BβDn=----sin—，

632

顯然，AE>OE,即2cos?^>空sin2,則tangvg,銳角,w(0,2),從而得6∈(0,?),C

2322233

正確；

對(duì)于D,當(dāng)。=60時(shí)，三棱錐C-C'3N>'為正四面體，三棱錐A-ABO也是正四面體，它們?nèi)龋?/p>

2222

由C選項(xiàng)知，AO=y∣AE-OE=J(y∕3)-(-)=^,正四面體A-ABO的外接球球心在線段

V3√3

A。上，設(shè)球半徑為小

則有尸=(AO一r)2+θβ2,整理得2A0?r=AC>2+(2OE)2,解得「=空，

2

于是得三棱錐C-CPD外接球的體積V=普X(?)?=#萬(wàn)，D不正確.

故選：ABC

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：幾何體的外接球的表面積、體積計(jì)算問(wèn)題，借助球的截面小圓性質(zhì)確定出球心位置是

解題的關(guān)鍵.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.準(zhǔn)線方程為x=2的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

2

【答案】y=-Sx

【解析】

【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為x=2,說(shuō)明拋物線開口向左，且〃=2x2=4,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是

?2=-8x.

4

14.已知雙曲線C的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，漸近線方程為y=±1X,請(qǐng)寫出雙曲線。的一

個(gè)離心率.

【答案】?(答案不唯一)

3

【解析】

【分析】分類討論雙曲線C的焦點(diǎn)在X軸、y軸兩種情況，結(jié)合雙曲線的漸近線方程及離心率公式計(jì)算可

得.

【詳解】當(dāng)雙曲線C的焦點(diǎn)在X軸時(shí)，其漸近線為y=±2χ,則2=d,

aa3

所以離心率e=￡1÷‰5

a3

aa4b3

當(dāng)雙曲線。的焦點(diǎn)在y軸時(shí)，其漸近線為y=±-χ,則一=一，即一

bb3a4

所以離心率6=￡5

a4

綜上，可得雙曲線的離心率為3或

34

故答案為：I（答案不唯一）.

3

15.如圖甲是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（簡(jiǎn)稱/CME-7）的會(huì)徽?qǐng)D案,會(huì)徽的主體圖案是由如圖乙的一

—√A∣AQ—√AA3—????—Arj—1,

連串直角三角形演化而成的，其中OA7如果把圖乙中的直角三角形繼續(xù)

作下去，記OAy,OA2,?OAn,的長(zhǎng)度構(gòu)成數(shù)列｛4｝，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為

ICME-7

圖甲

【答案】匹

【解析】

+利用等差數(shù)列的通

【分析】由圖可知OAt=44=4A=…=44=1，由勾股定理可得=區(qū)

項(xiàng)公式求解即可.

【詳解】根據(jù)圖形OA=AA2=44=???=44=1，

因?yàn)锳Q4,4'AQ44…都是直角三角形，

4：=α,ι2+l,

???%2是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列,

:.a；=1+（M-I）XI="，

an-yfn＞故答案為6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查歸納推理的應(yīng)用，等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式，以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，意在考

查綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問(wèn)題的能力，屬于與中檔題.

22

16.已知過(guò)點(diǎn)尸(4,1)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A和B,在線段AB上存在點(diǎn)Q,滿

足網(wǎng)?網(wǎng)=屈H畫,則IOQl的最小值為.

【答案】2叵

5

【解析】

【分析】設(shè)A(Xl,y),B(Λ2,%),Q(x,y),由A,P,8,Q四點(diǎn)共線，用向量共線關(guān)系表示A,B兩點(diǎn)坐

標(biāo)，又點(diǎn)AB在橢圓上，把坐標(biāo)代入橢圓方程，得出。點(diǎn)在一條定直線上，再求最短距離即可.

APPB

【詳解】設(shè)A(XQJ,B(x2,y2),Q{x,y),由網(wǎng).囪=|砌.網(wǎng),記一=一,又A,P,B,Q

AQQB

四點(diǎn)共線，設(shè)P4=4AQ,則由已知；1＞0,月”PB=-ABQ.

由PA—λAQ,得(Xl—4,%—1)=2(九一/1,y—%),

4+Ax

?l

1+Λ

解得《同理PB=-λBQ,得(?X2—4,%-1)=-4(x-%2,>-%)，

1+Λy

X=E

4—λx

(4+.XY(l+λyV

I-A因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以［

解得＜A1+2J11+2J即

=1

%^I-A42

(4+Λx)2(l+∕ly)2

2

-7+-2^(I+Λ)>①

/?Q16Xx4Λy,c?,,C

①-②得-----+―-=4Λ,因?yàn)棣耍?>0

42

所以2x+y-2=0,故點(diǎn)。在定直線2x+y-2=0上,

22√5

IOQl的最小值為點(diǎn)。到直線2x+y-2=0的距離d-

故答案：正

5

【點(diǎn)睛】解析幾何中線段定比分點(diǎn)問(wèn)題方法點(diǎn)睛:

1.在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(X∣,yj,B(X2,%)，P(X,y)，且AP=/IPB，2≠0,且∕l≠-l,那么

我們就說(shuō)P分有向線段A8的比為X,則有：

x+λx

X=12

1+A

這就是定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式.

X+4%

y=

1+2

當(dāng)尸為內(nèi)分點(diǎn)時(shí)，Λ>0;

當(dāng)P為外分點(diǎn)時(shí)，Λ<0(λ≠-l).

2.這個(gè)公式在解決解析幾何中向量共線或者點(diǎn)共線問(wèn)題有著很強(qiáng)大的作用，運(yùn)用好往往可以幾步就解決一

個(gè)大題.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.如圖，直線y=x-2與拋物線y2=2χ相交于4,B兩點(diǎn).

(1)求線段A8的長(zhǎng)；

(2)證明：OALOB.

【答案】(1)2√10；

(2)證明見解析.

【解析】

【分析】(1)聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求得∣AB∣?

(2)根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系、向量數(shù)量積等知識(shí)證得結(jié)論成立.

【小問(wèn)1詳解】

式，即可求解.

【詳解】(1)由題意，數(shù)列｛αj滿足4+∣+α,=3?2",即=-α,,+3?2”,

l

6Z,,+I-2-'-α,,+3?2--2"÷2r_

-----------——1，

`…a,-T4—2"

又由4=1,可得q-2∣=-1,

所以數(shù)列｛α,,-2"｝表示首項(xiàng)為τ,公比為T的等比數(shù)列.

(2)由(1)知""一2"=—1x(—l)"τ=(一1)",所以/=(T)"+2",

所以Sf,=2∣+2?+…+2"+(-1)+1+…+(-1)”,

當(dāng)?為偶數(shù)時(shí)，可得S“=2(1-2，)+0=2,,+l-2；

"1-2

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，可得S,,=2(l_2)_]=2向_3,

“1-2

’2"M-2,〃為偶數(shù)

綜上可得，S“=<

2e-3,〃為奇數(shù)

20.已知兩個(gè)定點(diǎn)M(TO),N(l,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足MH=忘IpM?

(1)求點(diǎn)尸的軌跡方程；

(2)若點(diǎn)N到直線PM的距離為1,求直線PN的方程.

【答案】(1)√+√-6Λ+1=0

(2)y=χ-l或y=-x+l

【解析】

【分析】⑴設(shè)點(diǎn)P(X,y),后由IMPl=3∣∕W∣結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式可得軌跡方程；

(2)由點(diǎn)N到直線PM的距離為1,可得NPMN=30°,則可得直線PM方程為

+將直線方程與軌跡方程聯(lián)立可得點(diǎn)P坐標(biāo)，后可得直線PN方程.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(χ,y),因?yàn)楱OΛ^=J5∣PN∣,

所以J(ΛT+1)2+y2=夜J(X—1)2+y2.

整理得/+/一6尤+ι=o,所以點(diǎn)P的軌跡方程為χ2+y2-6χ+ι=o.

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)辄c(diǎn)N到直線PM的距離為1,IMNl=2,

所以NPMN=30°，直線PM的斜率為走或-也，

33

所以直線PM的方程為y=*(χ+1)或y=一#(x+1).

聯(lián)立軌跡方程與y=±2^(χ+l),

X2+y2-6x+1=O

可得VC=>X2-4Λ+1=O,

y=?-(χ+ι)

解得X=2+G或X=2—6.得直線PM的方程為)，=乎(χ+l)時(shí)，

P的坐標(biāo)為(2+6,1+石)或(2-后,-1+方).直線PM的方程為y=一日(χ+i)時(shí)，P的坐標(biāo)為

^2+>∕3,-1—?/?j或(2—6/一6).

當(dāng)P的坐標(biāo)為(2+6,1+月)時(shí)，直線PN的方程為：

√—-1j?AΓJ八"*?

3

P的坐標(biāo)為(2-G,-l+G)時(shí)，直線PN的方程為:

-=T+盧=-1,即y=-x+l.

x-l1_√3

P的坐標(biāo)為(2+G,一1—6)時(shí)，直線PN的方程為:

-?=TH=-1,即y=r+l?

x-l1+√3

尸的坐標(biāo)為(2一6,1一行)時(shí)，直線PN的方程為：

y=1-[=1,即y=χ-L

X—11-√3

綜上可得直線PN的方程為y=x-l^y=-x+?

21.歇山頂，即歇山式屋頂，為古代漢族建筑屋頂樣式之一，宋朝稱九脊殿、曹殿或廈兩頭造，清朝改稱

歇山頂，又名九脊頂，其屋頂（上半部分）類似于五面體形狀.如圖所示的五面體E尸-ABCD的底面488

為一個(gè)矩形，AB=2EF=8,4。=6,EFHAB,棱EA=ED=FB=FC=5,M,N分別是AO,

BC的中點(diǎn).

（1）求證：平面￡7WM，平面ABC￡）；

（2）求平面BFC與平面EFCD夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

【解析】

【分析】（1）證明EMLAD以及MNlAD,根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明結(jié)論；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求得平面39C與平面EFcz）法向量，根據(jù)向量的夾角公

式即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)镋4=ED,M為A。中點(diǎn)，所以七M(jìn)J_4>.

在矩形ABC。中，M,N分別是4），BC的中點(diǎn)，所以MN/AD.

又EMCMN=M,EM，MNU平面EFNM,所以AD，平面EfMW.

又AZ）U平面ABCD，所以平面￡7WM_L平面ABC￡）.

【小問(wèn)2詳解】

在平面EMWW中，過(guò)戶作EHLMV,，為垂足.

因?yàn)槠矫鍱/WM_L平面AB8,平面瓦NMC平面ABCr）=MN,

FHU平面EFNM,所以FHL平面ABCr>.

過(guò)〃作8C的平行線，交AB于點(diǎn)S,則”S=3,HN=2,HF=2上，

以〃為坐標(biāo)原點(diǎn)，以“S，HN，HF方向分別為X軸，y軸，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系，則3(3,2,0),C(-3,2,0),0(—3,-6,0),F(O,O,2√3),

所以BE=(—3,—2,26),SC=(-6,0,0),CF=(3,-2,2√3),CD=(O,—8,0).

CF?m=0..,3x-2y+2百Z=O

設(shè)平面EFC。的一個(gè)法向量為m=(X,y,z),則所以《)

CD?m=QSy=0

取Z=百，解得《一C所以加=(一2,0,百卜

Iy=O

同理可得平面的一個(gè)法向量為〃=9,