備戰(zhàn)2023年海南新高考數(shù)學仿真卷（二）（解析版）

備戰(zhàn)2023年海南新高考數(shù)學仿真卷（二）一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）設(shè)全集，1，2，3，，集合，則A． B． C． D．，1，3，【答案】【詳解】由可得，解得，因為全集，1，2，3，，所以，所以，1，3，．故選：．2．（5分）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】【詳解】復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，故復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限．故選：．3．（5分）某商場在銷售旺季的某天接納顧客量超過1萬人次的概率是，連續(xù)兩天顧客量超過1萬人次的概率是，已知商場在銷售旺季的某天接納顧客量超過1萬人次，則隨后一天的接納顧客量超過1萬人次概率是A． B． C． D．【答案】【詳解】設(shè)第一天的接納顧客量超過1萬人次的事件為，第二天接納顧客量超過1萬人次為，由（A），，則，隨后一天的接納顧客量超過1萬人次概率是，故選．方法二：設(shè)隨后一天的接納顧客量超過1萬人次概率為，則由題意可得，解得，故選：．4．（5分）已知，是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，則下列命題正確的是A．若，，則 B．若，，則 C．若，，且，，則 D．若，，且，則【答案】【詳解】由，是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，知：在中，若，，則與相交、平行或異面，故錯誤；在中，若，，則與相交或平行，故錯誤；在中，若，，且，，則與相交或平行，故錯誤；在中，若，，且，則線面垂直、面面垂直的性質(zhì)定理得，故正確．故選：．5．（5分）函數(shù)的零點個數(shù)為A．0 B．1 C．2 D．3【答案】【詳解】函數(shù)的零點個數(shù)即函數(shù)與的圖象交點的個數(shù)，作圖如圖所示：由圖可知，兩圖象有兩個交點，函數(shù)的零點個數(shù)為2．故選：．6．（5分）已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等，在底面上的射影為的中點，則異面直線與所成的角的余弦值為A． B． C． D．【答案】【詳解】設(shè)的中點為，連接、、，易知即為異面直線與所成的角；并設(shè)三棱柱的側(cè)棱與底面邊長為1，則，，，由余弦定理，得．故選：．7．（5分）已知，，，則A． B． C． D．【答案】【詳解】，，，．．故選：．8．（5分）已知是直線上的動點，，是圓的切線，，是切點，是圓心，那么四邊形面積的最小值是A． B． C． D．【答案】【詳解】如圖，設(shè)，則由圓的知識和勾股定理可得，四邊形面積，當取最小值時取最小值，由點在直線上運動可知當與直線垂直時取最小值，此時恰為點到已知直線的距離，由點到直線的距離公式可得，四邊形面積的最小值為．故選：．二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（5分）已知拋物線的焦點為，、是拋物線上兩動點，過點、分別作拋物線的切線，記兩條切線的交點為，則下列說法正確的是A．點坐標為 B．若，則線段中點到軸距離的最小值為3 C．若，則直線過焦點 D．若直線斜率為1，則的最小值為2【答案】【詳解】對于：拋物線的準線方程為，焦點，故正確；對于：設(shè)，當直線過交點時，設(shè)直線，聯(lián)立，整理得，則，，，當且僅當時取等號，又，即此時直線可以過焦點，，當且僅當直線過焦點時取等號，，即線段中點到軸距離，即最小值為3，故正確；對于：由題意得，則，設(shè)點，，則直線斜率，直線斜率，，，解得，又，且，故，則直線過焦點，故正確；對于，，同理可得，則，是方程的兩個實數(shù)根，則，，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，整理得，則△，解得，，，則，，即，，，即無最小值，故錯誤，故選：．10．（5分）下列說法正確的是A．若，為正整數(shù)，則 B．若，，則 C． D．若，則【答案】【詳解】：當，，時，，故錯誤；，因為，，則，故正確；：因為，當且僅當時取等號，故正確；：因為，所以，當且僅當時取等號，故錯誤，故選：．11．（5分）如圖，正方體的棱長為3，點是側(cè)面上的一個動點（含邊界），點在棱上，且，則下列結(jié)論正確的有A．沿正方體的表面從點到點的最短路程為 B．保持與垂直時，點的運動軌跡長度為 C．若保持，則點的運動軌跡長度為 D．當在點時，三棱錐的外接球表面積為【答案】【詳解】對于，將正方體的下面和側(cè)面展開可得如圖圖形，連接，則，故錯誤；對于，因為平面，平面，，又，，，平面，所以平面，平面，所以，同理可得，，，平面，所以平面，所以過點作交交于，過作交交于，由，可得，平面，平面，所以平面，同理可得平面，，則平面平面，設(shè)平面交平面于，則的運動軌跡為線段，由點在棱上，且，可得，所以，故正確；對于，若，則在以為球心，為半徑的球面上，過點作平面，則，此時，所以點在以為圓心，2為半徑的圓弧上，此時圓心角為，點的運動軌跡長度為，故正確；對于，以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸建系，則，0，，，3，，，3，，，0，，設(shè)三棱錐的外接球球心為，，，由，得，解得：，，所以三棱錐的外接球半徑，所以三校錐的外接球表面積為，正確，故選：．12．（5分）若對，，恒成立，則的取值可以為A． B． C． D．2【答案】【詳解】由題知，，恒成立，且，所以對恒成立，令，，所以當時，，單調(diào)遞增，所以當，單調(diào)遞增，所以當時，，對恒成立等價于對恒成立，所以當時，有，對恒成立等價于對恒成立，即對恒成立，由于，故；當時，對，恒成立，滿足題意，綜上，的取值范圍是，結(jié)合選項可知正確．故選：．三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）已知是定義域為的奇函數(shù)，且當時，則．【答案】【詳解】根據(jù)題意，當時，，而，則，所以，由是奇函數(shù)，則；故答案為：．14．（5分）已知在中，角，，所對邊分別為，，，滿足，且，則周長的取值范圍為．【答案】【詳解】在中，由，由正弦定理得：，而，于是，則，而，，因此，由余弦定理得，即有，當且僅當時取等號，從而，而，則，所以周長的取值范圍為．故答案為：．15．（5分）在直角梯形中，，，，為的中點．將和分別沿，折起，使得點，重合于點，構(gòu)成四面體．若四面體的四個面均為直角三角形，則其外接球的半徑為．【答案】【詳解】如圖．由題意可知，折疊后所構(gòu)成的四面體中，，，不可能為直角．在中，由可知，為直角，即．因為，，，，平面，所以平面，則有．又因為，所以平面，則有．所以四面體外接球的球心為的中點，半徑為．在直角梯形中，設(shè)，則有，，．由，解得（負值已舍去），則．因此，四面體外接球的半徑為．故答案為：．16．（5分）四面體的四個頂點都在球的球面上，，，點，，分別為棱，，的中點，則下列說法正確的是．①過點，，做四面體的截面，則該截面的面積為2；②四面體的體積為；③與的公垂線段的長為2；④過作球的截面，則截面面積的最大值與最小值的比為．【答案】①④【詳解】對于①，取的中點，連接、，因為、分別為、的中點，則且，同理可證且，所以，且，故四邊形為平行四邊形，同理，取的中點，連接、，，為的中點，則，同理，，則平面，平面，則，由中位線的性質(zhì)可得，，則，所以，四邊形是邊長為的正方形，其面積為，①對；對于②，由勾股定理可得，，由余弦定理可得，所以，，所以，，平面，則，②錯；對于③，取的中點，連接，因為平面，平面，所以，，因為，為的中點，則，且，因此，與的公垂線段的長為，③錯；對于④，取的中點，連接、、、，則，同理可得，故點即為四面體的外接球球心，設(shè)球的半徑為，則，因為，為的中點，則，所以，過點作球的截面圓，最大圓是半徑為的圓，最小的圓是半徑為的圓，故過作球的截面，則截面面積的最大值與最小值的比為，④對．故答案為：①④．四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）在中，角，，的對邊分別是，，，已知，且．（1）求；（2）若在上，且，求的最大值．【答案】（1）；（2）【詳解】（1），由正弦定理可得，，，，，，，，；（2），，即，，當且僅當時，等號成立，，最大時，最大，即時，最大，為等邊三角形，的最大值為．18．（12分）已知數(shù)列中，其前項和記為，且滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)無窮數(shù)列，，，對任意自然數(shù)和，不等式均成立，證明：數(shù)列是等差數(shù)列．【答案】（1）；（2）見解析【詳解】（1）解：由．得．兩式作差得，整理得：．．累積得：．，則．當時，上式成立，；（2）證明：由（1）知，，．適合上式，，無窮數(shù)列，，，對任意自然數(shù)和，不等式均成立，即成立．下面用反證法證明數(shù)列是等差數(shù)列：設(shè)為最小的自然數(shù)，使得，但是．可以任意大，，故數(shù)列是等差數(shù)列．19．（12分）如圖，在四棱錐中，，，平面平面，是的中點，是上一點，是上一點，且，．（1）求證：平面平面；（2）若，，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）見解析；（2）【詳解】（1）證明：如圖，取的中點，連接，，則，，又，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為，所以，因為平面平面，平面平面，，所以平面，因為平面，所以，因為，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）過點作于點，連接．平面平面，平面平面，，平面，故為與平面所成的角．在等腰三角形中，，，，因為，所以，，又，，，，．所以直線與平面所成角的正弦值為．20．（12分）隨著科技的發(fā)展，手機的功能已經(jīng)非常強大，各類讓用戶的生活質(zhì)量得到極大的提升，但是大量的青少年卻沉迷于手機游戲，極大地毒害了青少年的身心健康．為了引導(dǎo)青少年抵制不良游戲，適度參與益腦游戲，某游戲公司開發(fā)了一款益腦游戲，在內(nèi)測時收集了玩家對每一關(guān)的平均過關(guān)時間，如下表：關(guān)卡123456平均過關(guān)時間（單位：秒）5078124121137352（1）通過散點圖分析，可用模型擬合與的關(guān)系，試求與的經(jīng)驗回歸方程；（2）甲和乙約定舉行對戰(zhàn)賽，每局比賽通關(guān)用時少的人獲勝（假設(shè)甲、乙都能通關(guān)），兩人約定先勝4局者贏得比賽．已知甲每局獲勝的概率為，乙每局獲勝的概率為，若前3局中甲已勝2局，乙勝1局，求甲最終贏得比賽的概率．參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，2，3，，，其經(jīng)驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為．參考數(shù)據(jù)：，其中．【答案】見解析【詳解】（1）令，由，即，，，，，，．．（2）記“甲最終贏得比賽”為事件，則事件包含三種情況：一是接下去進行兩局比賽，甲都贏了；二是接下去進行三局比賽，乙在前兩局勝了其中一局，甲贏了剩余兩局；三是接下去進行四局比賽，乙在前三局勝了其中兩局，甲贏了剩余兩局；故（A），所以甲最終贏得比賽的概率為．21．（12分）在平面直角坐標系中，雙曲線的離心率為．斜率為的直線經(jīng)過點，點是直線與雙曲線的交點，且．（1）求雙曲線的方程；（2）若經(jīng)過定點的直線與雙曲線相交于、兩點，經(jīng)過點斜率為的直線與直線的交點為，求證：直線經(jīng)過軸上的定點．【答案】（1）；（2）見解析【詳解】（1），，，又直線斜率為，經(jīng)過點，所以直線方程為，設(shè)，由，或，又，，點代入雙曲線方程無解，點代入雙曲線方程，得，，所以雙曲線的方程為．證明：（2）設(shè)，，，，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得，，經(jīng)過點斜率為的直線方程為，由，解得，，，直線方程為：，令，，故直線經(jīng)過軸上的定點．22．（12分）已知函數(shù)和函數(shù)有相同的最大值．（1）求的值；（2）設(shè)集合，為常數(shù)）．①證明：存在實數(shù)，使得集合中有且僅有3個元素；②設(shè)，，，，求證：．【答案】（1）；（2）見解析【詳解】（1）的定義域為，且，時，當時，，遞增；當時，，遞