貴州省貴陽市五校2023屆高三聯(lián)合考試（五）理科數(shù)學(xué)試題（含答案與解析）

貴陽市五校2023屆高三年級聯(lián)合考試（五）

數(shù)學(xué)（理科）

貴州省實(shí)驗(yàn)中學(xué)貴陽二中貴陽六中貴陽八中貴陽九中貴陽民中

注意事項(xiàng):

1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號在答題卡上填

寫清楚.

2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.在試題卷上作答無效.

3.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的）

―,在人A=(XIx~-5x<θ},8={x∣x=2"+l,"∈N}則A

1.已知集合IB=()

A.{0,1,2,3,4,5)B.{1,2,3,4,5)C.{1,3,5)D.{3,5}

2.設(shè)復(fù)數(shù)一i?z=T+23則Z的共輪復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)得到回歸直線方程y=?r+G,其中8=9,則％=7時(shí)y的估計(jì)值是（）

X2345

y25385055

A.73.5B.64.5C.61.5D.57.5

4.已知命題P：3XeR,有SinX<1成立；命題9："<7>l,?lia2>a充要條件，則下列命題中為真命題

的是（）

A.PdqB.∏P^√C.PAFD.TPVq)

5.設(shè)α=3°,,A=IogoslSc=IogojOS,則α,b,C的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.c<a<b

C.c<b<aD.h<c<a

6.在＜45C中，AO為8C邊上的中線，E為AQ的中點(diǎn)，則EC=（)

31-1—3

A.-AB——ACB.--AB--AC

4444

3113

C-AB+-ACD.--AB+-AC

4444

7.等差數(shù)列｛α,J的公差為2,若q.%,q成等比數(shù)列，則｛凡｝的前“項(xiàng)和S”=

/,、/,、n(n+Γ)n(n-l)

A.n(n+l)B.n(n-l)C.--------D.—-------

22

einY4-Y

8.函數(shù)4》)=一在［—兀，π］的圖像大致為

COSX+X

9.十七世紀(jì)德國著名天文學(xué)家開普勒曾經(jīng)說過：“幾何學(xué)里有兩件寶，一個(gè)是勾股定理，一個(gè)是黃金分

割，如果把勾股定理比作黃金礦的話，黃金分割就可以比作鉆石礦”.如果把頂角為36。的等腰三角形稱

為“黃金三角形"，那么我們常見的五角星則是由五個(gè)黃金三角形和一個(gè)正五邊形組成.如圖所示，

絲=避二?（黃金分割比），則COS2ND84=（）

BC2

「3-√5n√5+l

44

10.在三棱錐A—BCD中，已知AC,BC,AC=BC=2,AO=BO=遍，且平面ABDJ_平面ABC,則

三棱錐A-BCr）的外接球表面積為（）

A.8兀B.9兀C.10πD.12兀

23L

11.設(shè)點(diǎn)A為橢圓r0+y2=i（α>i）上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)8為橢圓的上頂點(diǎn)，若IABl的最大值為彳夜，則橢圓

a2

的方程為（）

r2r2

A.—+γ2?lB.—+/=1

54?

22

C.—+/=1D.—+/?l

32

12.已知函數(shù)/（χ）的定義域?yàn)镽,滿足/（x+D為奇函數(shù)且/（6-x）=∕（x）,當(dāng)xe[l,3]時(shí)?，

/CO="?2"+bd,若/⑸+/Q2）=y則/（2023）=（）

33

A.10B.-10C,-D.-一

22

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.在（尤-2）的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是.（用數(shù)字作答）

14.已知等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且S“=則%=.

15.由直線x+2y~7=0上一點(diǎn)P引圓χ2+y2-2χ+4y+2=0一條切線，切點(diǎn)為A,貝IJlPAl的最小值為

16.將函數(shù)"X）=Sin[S+"W>0）向右平移;個(gè)周期后所得的圖象在（0,?內(nèi)有3個(gè)最高點(diǎn)和2個(gè)

最低點(diǎn)，則。的取值范圍是.

三、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.記一ABC內(nèi)角A,B,C的對邊分別為4,b,c,?（a2+?2-C2）（?COSB+/JCOSA）=?Z?C.

（1）求C；

（2）若為銳角三角形，c=2,求二ABC周長范圍.

18.某學(xué)校組織"消防”知識競賽，有A,3兩類題目.每位參加比賽的同學(xué)先在兩類題目中選擇一類并從中

隨機(jī)抽取一道題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題

回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個(gè)問題回答正確得40分，否則得0分；B類問

題中的每個(gè)問題回答正確得60分，否則得0分已知小明能正確回答A類問題的概率為0.7,能正確回答B(yǎng)

類問題的概率為05且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)

（1）若小明先回答A類問題，記X為小明累計(jì)得分，求X的分布列；

（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.

19.如圖，在三棱錐產(chǎn)一ABC中，AB=BC=2√2,PA=PB=PC=AC=4,。為AC的中點(diǎn).

(!)證明：PO，平面ABC；

CM

(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角M-PA-C為30°,求——的值.

CB

22

20.已知坐標(biāo)原點(diǎn)為。，拋物線為G：Y=2Py(P>0)與雙曲線3-《=1在第一象限的交點(diǎn)為P,F為

雙曲線的上焦點(diǎn)，且AOPF的面積為3.

(1)求拋物線G的方程；

(2)已知點(diǎn)M(-2,-l),過點(diǎn)M作拋物線G的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,切線M4,MB分別交X

軸于C,D,求z?MAB與aMCD的面積之比.

21.設(shè)函數(shù)/(x)=αe*-∕+l.(其中e=2.71828為自然對數(shù)的底數(shù))

(1)若AX)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，求"的取值范圍；

(2)證明：Va≥1,當(dāng)χ>0時(shí)，f(x)≥aex-2x+2.

請考生在第22、23兩題中任選一題作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑.注

意所做題目的題號必須與所涂題目的題號一致，在答題卡選答區(qū)域指定位置答題.如果多做，

則按所做的第一題計(jì)分.

【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】

22.在直角坐標(biāo)系Xoy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線C的極坐標(biāo)方程為

/7=2COS6,直線/的普通方程為x—y+l=O.

(1)將C的極坐標(biāo)方程化為參數(shù)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(-1,2),M為C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸滿足AP=240,寫出P的軌跡Cl的參數(shù)方

程并判斷Cl與/的位置關(guān)系.

【選修4-5：不等式選講】

23.已知函數(shù)/(x)=∣x+2∣+∣2x+3∣.

(1)求函數(shù)/(χ)的最小值;

（2）若","c為正實(shí)數(shù)，且/（。）+/（勿+/（。）=21,求?L+1+?L的最小值.

abc

參考答案

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的）

1已知集合A={x∣χ2-5χ<θ},8={x∣x=2∕j+"∈N},則AB=（）

A.{O,1,2,3,4,5}B.{1,2,3,4,5}C.{1,3,5}D.{3,5}

【答案】C

【解析】

【分析】解不等式，得到A={x∣0≤x<5},結(jié)合集合8的元素特征，得到交集.

【詳解】X2-5Λ<0-解得0≤X≤5;集合A元素滿足x=2〃+l,〃eN,

當(dāng)〃=O時(shí)，χ=l滿足要求，當(dāng)n=1時(shí)，χ=3滿足要求，當(dāng)拉=2時(shí)，x=5滿足要求，

其他均不合要求，故4B={1,3,5}.

故選：C.

2.設(shè)復(fù)數(shù)-i.z=T+2i,則Z的共枕復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算出z,進(jìn)而得到Z=-2+i,求出答案.

【詳解】由題意得z=（—l+2i）?i=-2—i,Z的共軻復(fù)數(shù)5=—2+i,z的共扼復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為（一2,1）,

位于第二象限，

故選：B.

3.根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)得到回歸直線方程y=%+a,其中2=9,則x=7時(shí)y的估計(jì)值是（）

X2345

y25385055

A.73.5B.64.5C.61.5D.57.5

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)回歸方程經(jīng)過樣本中心點(diǎn)和回歸方程對數(shù)據(jù)的估計(jì)即可求解.

【詳解】因?yàn)榛貧w直線方程y=9χ+4必過（雙歹），

由題中表格數(shù)據(jù)得X=3.5,5=42,

則。=歹一9了=10.5,

故y=9x+10.5,

則當(dāng)X=7時(shí)，J=73.5,

故選：A.

4.已知命題P：玉eR,有SinX<1成立；命題4：是“∕>α，，的充要條件，則下列命題中為真命題

的是（）

A.PdqB.7AqC.P八rD.TPVq）

【答案】C

【解析】

【分析】先分別判斷命題，。的真假，再根據(jù)復(fù)合命題真假的判斷方法即可得解.

【詳解】當(dāng)X=O時(shí)，sinx=O<1,所以命題P是真命題，則一7?為假命題，

由a?）。，得α>l或a<0,

所以"α>l''是"∕>α，，的充分不必要條件，故命題4是假命題，則F為真命題，

所以。人4,為假命題，P*q,P八一4真命題，則Vq）為假命題.

故選：C.

5.設(shè)”=3°,7,/?=1080.81.6,。=1。80.70.8,則4,b,C的大小關(guān)系為（）

A.a<h<cB.c<a<b

C.c<b<aD.b<c<a

【答案】D

【解析】

【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，確定這三個(gè)數(shù)所在范圍，即可比較出大小.

【詳解】由題意得3°?7>3°=1,即a>l;

Iog081.6<Iog081=0,即）<0；

Iog071<Iog07θ?8<Iog070.7,即O<c<1,

則a,b,C的大小關(guān)系為Z?<c<a.

故選：D.

6.在,AgC中，4。為BC邊上的中線，E為AO的中點(diǎn)，貝IJEC=（）

3113

A.-AB——ACB.——AB--AC

4444

3113

C.-AB+-ACD,--AB+-AC

4444

【答案】D

【解析】

【分析】首先將圖畫出來，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，向量減法的三角形法則，用基底ABAC表

示EC，從而求得結(jié)果.

由。為BC中點(diǎn)，根據(jù)向量的運(yùn)算法則,

可得Ao=；（AB+AC）,

1131

在ABC中，ECAC-AEAC——AD=一一(AB+AC)+AC=-AC一一AB.

2444

故選:D.

7.等差數(shù)列伍“｝的公差為2,若%,牝,4成等比數(shù)列，則僅“｝的前”項(xiàng)和S“=

/,、/八n(n+Γ)n(n-l)

A.n(n+l)B.rt(rt-l)C.———-D.———-

22

【答案】A

【解析】

【詳解】試題分析：qMq成等比數(shù)歹U二W=44(4+2)2=4(4+6)/.α∣=2

考點(diǎn)：等差數(shù)列

Sinγ+?

8.函數(shù)~~7在［—兀，兀］的圖像大致為

【答案】D

【解析】

【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，得/(X)是奇函數(shù)，排除A,再注意到選項(xiàng)的區(qū)別，利用特殊值得正確答案.

“、sin(-?)+(-%)-SinX-X”、

【詳解】由八r)=c。f+(-4=嬴ETM得AX)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.又

π

1+

2_4+2^TT

>1,/(π)=--------->0.故選D.

π~-?Λ-π~

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)與圖象，滲透了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取性質(zhì)法或賦值法,

利用數(shù)形結(jié)合思想解題.

9.十七世紀(jì)德國著名天文學(xué)家開普勒曾經(jīng)說過：“幾何學(xué)里有兩件寶，一個(gè)是勾股定理，一個(gè)是黃金分

割，如果把勾股定理比作黃金礦的話，黃金分割就可以比作鉆石礦”.如果把頂角為36。的等腰三角形稱

為“黃金三角形"，那么我們常見的五角星則是由五個(gè)黃金三角形和一個(gè)正五邊形組成.如圖所示，

絲=苴二?(黃金分割比)，則CoS2N084=()

BC2

r3—λ∕5nλ∕5+1

44

【答案】D

【解析】

【分析】構(gòu)造RtADEB,根據(jù)題意推得SinN8。E=避二?.然后根據(jù)誘導(dǎo)公式以及二倍角的余弦公式化

4

簡，即可得出答案.

【詳解】如圖：

D

過。作r>E1Aβ于E,則SinNBOE=Sin18°=殷=J_.絲=J.四=避二?

BD2BD2BC4

1800-36°

NoBA==72°,

2

0002o

所以，cos2ZDjβ4=cosl44=cos(180-36)=-cos360=-(l-2sin18)

Λ√5-1V√5+l

=-1+2

4

故選：D.

10.在三棱錐A—BCD中，已知AC,BCAC=BC=2,Ao=BO=#，且平面ABD，平面ABC,則

三棱錐A-88的外接球表面積為（）

A.8πB.9πC.10πD.12π

【答案】B

【解析】

【分析】通過面面垂直確定球心的大致位置，在直角三角形中利用勾股定理可求球的半徑，結(jié)合表面積公式

可得答案.

【詳解】如圖，設(shè)外接球的半徑為R,取AB的中點(diǎn)O一連接則由AD=皿，得qOLAB,

因?yàn)槠矫鍭fiD，平面ABC,平面ABoC平面ABC=AB，U平面他￡）,

所以平面A8C,則球心。在直線上.

連接。4,則QD=Q4=R,

因?yàn)锳C,BCAC=BC=2,所以48=2及；

因?yàn)锳O=80=#，所以Aa=0,qθ=2.

因?yàn)镼O>AO一所以球心在線段。。上.

在RtZ?O0A中，由勾股定理，得。O：+GA2=0屋，

3

即(2-H)2+2=R2,解得R二一

2

3

所以三棱錐人-38的外接球表面積為4兀/?2=471*

故選：B.

11.設(shè)點(diǎn)A為橢圓0+y2=i(α>i)上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B為橢圓的上頂點(diǎn)，若IABl的最大值為］√∑,則橢圓

a~2

的方程為()

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)A(XO,%),貝IJlABl2=(1—一二]+/+]+/,利用二次函數(shù)性質(zhì)求最

'??-a')α^-1

大值，由IABl的最大值為求出/即可.

2

2

【詳解】由橢圓方程得3(0,1),設(shè)動(dòng)點(diǎn)A(XO,%),則其+y=1,所以x；="一標(biāo)必，

a

則IABI2=片+(No-1)2=〃一+(NO-I)2

(?λ2??

=(l-<a^)jθ-2y0+α^+l=(l-α^)y0-J^Tj+k+1+胃'

、2]

y~??2J+〃+]+^^^PyO對稱軸為%=]_々2〈0?

(0

1/9

①若^~r≤-l,即1<Q2≤2時(shí)，/(%)在[-1J上單調(diào)遞減，則〃%)maχ=∕(-l)=4≠[,故舍去；

1—Ci2

②若一L>T,即∕>2,f(y0)?-l,-?-上單調(diào)遞增，在?-,l上單調(diào)遞減，則

l-a^L'~aJLl-a.

/(%)max=∕[r?]=α2+l+^7=q,解得/=3,

故選：C.

12.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,滿足/(X+數(shù)為奇函數(shù)且或?yàn)橐籜)=∕(X),當(dāng)X∈[l,3]時(shí),

/0)=22"+陵2,若/(5)+/(12)=-4,則/(2023)=()

33

A.10B.-10C.-D.--

22

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)/(χ)的奇偶性與對稱性得函數(shù)的周期，再根據(jù)已知區(qū)間內(nèi)的解析式求得。力的值，最后利

用周期性即可求得/(2023)的值.

【詳解】由f(x+D為奇函數(shù)可得：/(x+l)=-∕(-x+l),即/(x)=-∕(2-X)①，則/(χ)關(guān)于點(diǎn)

(LO)對稱,令χ=l,則。。)=0；

由/(6-X)=/(x)②，得/(χ)的圖象關(guān)于直線％=3對稱;

由①②可得：/(6-x)=-∕(2-x),即f(x+4)=-f(x),所以/(x)=~√(X-4),故

/(x+4)=∕(x-4),所以函數(shù)/(χ)的周期T=8；

所以f(5)=_/?⑴=2。+匕=0"(12)=2(4)=f⑵=-4,即，+6=—1,

2a+b-Q)a=1

聯(lián)立《解得〈，C，故/(X)=2"-2一.所以

a+b=-lD=-2

/(2023)=/(-1)=-/(3)=-(23-2×32)=10.

故選：A.

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.在(尤-2]的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是_________.(用數(shù)字作答)

IXj

【答案】-160

【解析】

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，即可求得答案.

【詳解】(X-2)的展開式的通項(xiàng)公式為

6r62r

Tr+t=Cix-(--y=(-2YC^x-,r=0,l,2,,6,

令6-2v=0,尸=3,

故常數(shù)項(xiàng)為(-2)3*=760,

故答案為：-160

14.已知等比數(shù)列｛α,J的前”項(xiàng)和為S“，且S“=則%=.

【答案】54

【解析】

【分析】先求出4=3丸—1,根據(jù)S“與%的關(guān)系得出當(dāng)時(shí)，α,,=2∕l?3"τ.又根據(jù)等比數(shù)列，可知

4=22.列出方程，即可求出4的值，代入可得｛q｝的通項(xiàng)公式.

【詳解】當(dāng)n=1時(shí)，則S∣=q=34-1.

n

當(dāng)〃22時(shí)，a,,^Sn-S,ι=4(3"-3"τ)=22?3^'.

又因?yàn)椋?｝是等比數(shù)列，所以％=2∕l,

所以%=2∕t=32-1,解得：A=I,

所以”,,=2?3"τ,所以%=54.

故答案為：54.

15.由直線x+2y—7=0上一點(diǎn)P引圓χ2+y2-2x+4y+2=0的一條切線,切點(diǎn)為A,則IPAl的最小值為

【答案】√∏

【解析】

【分析】根據(jù)題意，將圓的一般方程變形為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得圓心坐標(biāo)與半徑，由直線與圓相切的性質(zhì)可得

PAI2=IMPp-F=IMPF-3,分析可得MP取得最小值時(shí)，PA取得最小值，據(jù)此分析可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，圓χ2+y2-2x+4y+2=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y+2)2=3,

則圓的圓心為(1，-2),半徑『石，

設(shè)圓心為M,

貝!∣IPAF=IMPF-P=IMPF-3,

則IMPl取得最小值時(shí)，PAl取得最小值，

∣l+2×(-2)-7∣L

JL

且IMPl的最小值即M到直線x+2y-7=0的距離，［MP卮Wa=——-∣=——=2√5，

則IPAl最小(S=J20—3=歷，

故答案為√∏.

【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，注意將圓的一般方程變形為標(biāo)準(zhǔn)方程.

16.將函數(shù)〃尤)=5吊(公1+1)0>0)向右平移；個(gè)周期后所得圖象在(θ,?∣)內(nèi)有3個(gè)最高點(diǎn)和2個(gè)

最低點(diǎn)，則0的取值范圍是.

28,34

【答案】--<69≤----

33

【解析】

【分析】求出平移后所得函數(shù)的解析式，根據(jù)題意可得出關(guān)于。的不等式，解之即可.

2冗

【詳解】函數(shù)/(χ)的最小正周期為T=力，

T

將函數(shù)/(χ)向右平移彳后的解析式為了

，八兀?,πfπωππ

由X∈0,二?，∏T<69X---∈-一~

\2J6\626

要使得平移后的圖象有3個(gè)最高點(diǎn)和2個(gè)最低點(diǎn)，則需：電<要-2≤坐，解得空<o≤2.

226233

故答案為：--<(V≤—.

33

三、解答題(共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.記JIBC內(nèi)角A,B,C的對邊分別為α,b,c,Ji(?2+b2-c2)(tzcosB+ZJCOSA)=O∕JC.

(1)求C；

(2)若.ABC為銳角三角形，c=2,求-ABC周長范圍.

71

【答案】(I)C=-

(2)(2+2√3,6]

【解析】

分析】(1)應(yīng)用正弦定理及余弦定理解三角形即可；

(2)先應(yīng)用正弦定理用角表示邊長，再根據(jù)銳角三角形求角的范圍，最后求三角函數(shù)的值域即得.

【小問1詳解】

在LA6C中，由射影定理得acosB+Z?cosA=c,

則題述條件化簡為a2-^-b2-c2=abf

由余弦定理得cr+b2-c2=2abcosC.

可得CoSC=-^,C∈(0,π),

π

所以C=-?

3

【小問2詳解】

在-ABC中,

a_b_c_2_4λ∕3

由正弦定理得SinASinBsinC.兀3,

sin—

3

則_ABC周長Cλbc=α+0+2=2+?^^（sinA+sinB）=SinA+sin（學(xué)一A

因?yàn)镾inA+sinA）=百Sin（A+巳），貝IJCabc=2+4sin（A+￡）,

因?yàn)橐籄BC為銳角三角形，A+B=~,

故sin〔A+7Jw-?,1,Cλbc∈（2+2Λ∕3,6].

18.某學(xué)校組織"消防'’知識競賽，有A,8兩類題目.每位參加比賽的同學(xué)先在兩類題目中選擇一類并從中

隨機(jī)抽取一道題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題

回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個(gè)問題回答正確得40分，否則得0分；B類問

題中的每個(gè)問題回答正確得60分，否則得0分已知小明能正確回答A類問題的概率為0.7,能正確回答B(yǎng)

類問題的概率為0.5,且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)

（1）若小明先回答4類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；

（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.

【答案】（1）分布列見解析

（2）小明應(yīng)選擇先回答4類問題，理由見解析

【解析】

【分析】（1）由X的所有可能取值，計(jì)算對應(yīng)的概率，列出分布列；

（2）分別計(jì)算先回答A類問題累計(jì)得分的期望和先回答8類問題累計(jì)得分的期望，比較即可.

【小問1詳解】

由己知可得，X的所有可能取值為0,40,100,

則P（X=O）=I-0.7=0.3；

P（X=40）=0.7X（l-O.5）=O.35;

P（X=IOO）=O.7X0.5=0.35.

所以X的分布列為

X040100

【小問2詳解】由(1)可知小明先回答4類問題累計(jì)得分的期望為

E(X)=OXO.3+40x0.35+100x0.35=49.

若小明先回答8類問題，記丫為小明的累計(jì)得分，

則y的所有可能取值為0,60,wo,

P(Y=O)=1-0.5=0.5,

P(y=60)=0.5×(1-0.7)=0.15,

P(y=100)=0.5X0.7=0.35,

則Y的期望為E(Y)=0x0.5+60x0.15+100x0.35=44,

因?yàn)镋(X)>E(Y),

所以為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答A類問題.

19.如圖，在三棱錐P—ABC中，AB=BC=2&PA=PB=PC=AC=A,。為4C的中點(diǎn).

B

(1)證明：Po_L平面ABG

CM

(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角M-PA-C為30°,求——的值.

CB

【答案】(1)證明見解析

⑵,

【解析】

【分析】(1)由等腰三角形三線合一得到PO_LAC,由勾股定理逆定理得到50J_PO,從而證明出線面

垂直；

CM

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)J=∕l,利用空間向量及二面角列出方程，求出答案.

CB

【小問1詳解】

在APAC中，PA=PC=4,。為AC的中點(diǎn).

則中線Po_LAC,且AO=CO=2,OP=2G;

同理在JIBC中有AB2+BC2=AC2,則.IBC；

因?yàn)锳B=BC=2后，。為AC中點(diǎn).

所以BOlAC且BO=2；

在APOB中有尸。2+8。2=Bp2,則Boj.PO,

因?yàn)锳CCBO=O,4。,8。(=平面42。,

所以POL平面4BC.

【小問2詳解】

由(1)得產(chǎn)。,平面ABC,故建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系。一孫z,

則BQ,0,0),C(0,2,0),A(0,-2,0),P(0,0,2圾,

設(shè)宴

=丸，則CM=TIC8,

CB

而CB=(2,-2,0),PA=(0,-2,-2√3),PC=(0,2,-2√3),

.?.CM=ACB=(22,-22,0).

.?.PM=PC+CM=(0,2,-2√3)+(22,-22,0)=(22,2-22,—2石)，

設(shè)平面PAM的一個(gè)法向量為m=(x,y,z),

m?PM=0-2y-2√3z=0

由,得，\

mPA=O2Λx+(2-2Λ)?-2√3z=θ'

令Z=?/?,/.m=

又X軸所在直線垂直于平面見C,

.?.取平面PAC的一個(gè)法向量n=(1,0,0),

也

.?.cos(m,〃〉=

2，

+3+9

%

平方得7必3,令

4λ

I--3+12

UJ

m2

C--=>4m2=3m2÷36,m2=36,m=6,

m2+124

...9—3=6,/1=9=2

A93

22

20.已知坐標(biāo)原點(diǎn)為。，拋物線為G：f=2Py(P>0)與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P,F為

雙曲線的上焦點(diǎn)，且AOPF的面積為3.

(1)求拋物線G的方程;

(2)已知點(diǎn)M(-2,-1),過點(diǎn)M作拋物線G的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,切線M4,MB分別交X

軸于C,D,求Z?M4B與ZkMCD的面積之比.

【答案】(I)X2=2y

(2)生誕=12

S.CD

【解析】

【分析】⑴首先求出雙曲線的上焦點(diǎn)，設(shè)P(XP,%),(?>0,γr>0),根據(jù)三角形面積求出Xp,再代

入雙曲線方程求出Vp,再根據(jù)點(diǎn)尸在拋物線上，即可求出。，即可得解；

(2)設(shè)點(diǎn)A(XI,χ),β(x2,y2)1利用導(dǎo)數(shù)表示出的方程，即可求出C點(diǎn)坐標(biāo)，同理可得。，再將M

代入M4,即可得到AB的方程，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、列出韋達(dá)定理，即可求出∣A8∣,再求出點(diǎn)

M到直線AB的距離，即可得到SMAB，再求出SM°,即可得解.

【小問1詳解】

22.

雙曲線《一方=1的上焦點(diǎn)為網(wǎng)0,遙)，設(shè)P(XP,%)，(xp>0,yp>0),

由已知得：S=g??∣OZ∏?Xp=3,則巧)=指，

代入雙曲線方程可得y；=],解得力=3或?qū)O=一3（舍去），所以p（、4,3）,

33

又因?yàn)镻在拋物線上，所以6=2px3,解得p=l,故拋物線G的方程為f=2y?

【小問2詳解】

r2

設(shè)點(diǎn)A（玉，y）,B（X2,%），對y=]求導(dǎo)得V="

則切線M4的方程為y-χ=N（X-XJ,

由X；=2yl整理得y=x∣x-%,

令y=0,則X=5,即CE^,0,同理可求得。方,0

將“（一2,-1）代入直線MA可得：2%-1=0,

同理可求得直線的方程：2%2+y2-l=0,

所以A,B的直線方程2x+y-l=0.

y=l-2x

聯(lián)立，消去y得f+4x—2=0，

則韋達(dá)定理：x∣+%2=-4,XlX2=-2,

22

則弦長IAB?=√l+?∣X1-Λ2∣=√5?√4+4×2=2√30，

∣2×(-2)+(-l)-l∣

點(diǎn)M到直線AB的距離d爭,

所以STA郎"=6幾，

又Si[m?∣%∣=審考,

故K=I2.

^?Λ∕CD

21.設(shè)函數(shù)/(x)="e*-V+](其中e=2.71828為自然對數(shù)的底數(shù))

(1)若f(χ)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，求。的取值范圍；

(2)證明：Dα≥l,當(dāng)x>O時(shí)，f(x)≥aex-2x+2.

【答案】(1)j,+s)

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)/S)在區(qū)間(O,+8)內(nèi)單調(diào)遞增可轉(zhuǎn)化為了'(x)≥O在(0,+oo)恒成立，然后分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求

函數(shù)最值問題.

v

(2)證明/(x)NaeX-2x+2,即證ɑ(e?-ex)-(X-I了≥0,考慮到x>0時(shí)，e-ex≥O)可把

a(e“一ex)—(x-1)220放縮為證明]一5一(無一1)220,排除參數(shù)方便證明.

【小問1詳解】

∩Y

解：由己知得：1(x)=。eX—2x≥0在(0,+8)恒成立，則分參得一≥

2e

令函數(shù)g(x)=W，則只要一大于或等于g(x)的最大值即可.

eZ

又令g'(x)=O得X=L當(dāng)x>l時(shí)，g'(%)<0,當(dāng)O<x<l時(shí)，g'(x)>0,

X

則函數(shù)y=在(1,QO)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增.

e+

故函數(shù)g(χ)≤g⑴=L所以9NL即”的取值范圍是p,+j.

e2eLe)

【小問2詳解】

證明：由題要證f(?)≥cιex-2x+2成立，只需證aex—x2+1>aex-2x+2，即證

6z(ev-ex)-(x-l)2≥0.

令〃(X)=e*-ex,則/(X)=eA-e,令"(x)=0,得x=l,

當(dāng)x〉l時(shí)，h,(x)>O,∕z(x)單調(diào)遞增；當(dāng)OVXVl時(shí)，h?x)<O,g(x)單調(diào)遞減.

所以∕2(x)≥〃(1)=0,即e"一ex≥O,當(dāng)且僅當(dāng)％=1時(shí)等號成立.

所以要證a(e'—ex)-(x-I)2≥0,只需證：ev-eΛ-(x-l)2>0.

令函數(shù)*x)=eA-ex-(x-l)2,則t?x)=e?-e-2(x-l),

令函數(shù)O(X)=e"-e-2(x-I),則“(犬)=e"-2,令0(x)=O,則