2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)習(xí)題：第四章三角函數(shù)、解三角形

第四章DISIZI1ΛNG

三角函數(shù)、解三角形

第1節(jié)任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)

考綱要求1.了解任意角的概念和弧度制的概念；2.能進(jìn)行弧度與角度的互化；3.理解任意

角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.

知識分類落實(shí)回扣知識?夯實(shí)基礎(chǔ)

知識梳理

1.角的概念的推廣

(1)定義：角可以看成平面內(nèi)的一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形.

,*1按旋轉(zhuǎn)方向不同分為止魚、負(fù)魚、零角.

(2)分類j按終邊位置不同分為象限角和軸線角

(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S={β?[i=a

+??360o,k∈Z}.

2.弧度制的定義和公式

(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角,弧度記作rad.

(2)公式

IaI=T(弧長用I表示)

角α的弧度數(shù)公式

角度與弧度的換算1。=erad；1rad=（哪

弧長公式弧長l=?a?r

2

扇形面積公式S=.?=.Ialr

3.任意角的三角函數(shù)

(1)定義：設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),那么Sina=BCOSa=工,

tanα=*x≠O).

(2)幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示，正弦線的起點(diǎn)都在X軸上，余

弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是(1,0).如圖中有向線段MP,OM,AT分別叫做角

常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒

1.三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.

2.角度制與瓠度制可利用18(T=πrad進(jìn)行互化，在同一個(gè)式子中，采用的度量制必須一致,

不可混用.

3.象限角

限

角

的

4軸線角

∕??終邊落在刀軸上的角αα=A?π,?∈Z

線

角""［終邊落在y軸上的需{a∣a=y+Aπ,4∈z)

的

集

{a∣a=^?τr.A-∈Z∣

終邊落在坐標(biāo)軸上的角

診斷自測

??思考辨析

1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“J”或“義”)

(1)小于90。的角是銳角.()

(2)銳角是第一象限角，第一象限角也都是銳角.()

(3)角a的三角函數(shù)值與其終邊上點(diǎn)P的位置無關(guān).()

(4)若a為第一象限角，則Sina+cosa>l.()

答案(1)×(2)×(3)√(4)√

解析⑴銳角的取值范圍是(o,9

（2）第一象限角不一定是銳角.

〉教材衍化

12

2.已知角。的終邊過點(diǎn)P（—12,⑼，cos。=一石，則根的值為（）

A.-5B.5C.±5D.±8

答案C

—1212

解析由三角函數(shù)的定義可知CoSJ=F=一；=一1，解得〃z=±5.

3.在一720。~0。范圍內(nèi)，所有與角a=45。終邊相同的角夕構(gòu)成的集合為.

答案｛一675°,-315o｝

解析所有與角a終邊相同的角可表示為：∕7=45o+?×360o（?∈Z）,則令一720。?45。+4

X360o<0o（?∈Z）,得一765°WZX360o<-45o（?∈Z）.

解得上=-2或上=一1,λβ=一675°或β=-315°.

>考題體驗(yàn)

4.（2021?合肥期末）集合Iakπ+jWaWE+,,k∈*中的角α所表示的范圍（陰影部分）是

答案C

解析當(dāng)火為偶數(shù)時(shí)，集合㈤祈+3α≤E+宏通｝與｛α∣gα≤,表示的角終邊相同，

位于第一象限；

當(dāng)Z為奇數(shù)時(shí)，集合｛α∣E+^WαWE+W,k∈?與｛α∣,WaW與｝表示的角終邊相同，位于

第三象限.故選C.

5.（2020?全國Il卷）若α為第四象限角，則（）

A.cos2a>0B.cos2a<0

C.sin2a>0D.sin2a<0

答案D

解析Ya是第四象限角，Λsinct<O,cosa>0,.".sin2a=2sin?cosα<0,故選D.

6.（2021.荷澤質(zhì)檢）密位廣泛用于航海和軍事，我國采取的“密位制”是6000密位制，即將

一個(gè)圓周分成6OOO等份，每一等份是一個(gè)密位，那么60密位等于rad.

答案?

解析?.?周角為2πrad,

■1→*2兀兀，I、

?/卷位=6OoO=3Oooaad),

TlTi

?■60空位=獲而-60=而(rad).

、考點(diǎn)分層突破考點(diǎn)聚焦?題型剖析

考點(diǎn)一角的概念及其表示自主演練

1.下列與角QTT手的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是()

9兀

A.2hc+45o(?∈Z)B.??360o+y(?∈Z)

5兀

C.??360o-315o(?∈Z)D.Ax+y(?∈Z)

答案C

解析與O詈jr的終邊相同的角可以寫成2E+O詈Jr(AeZ),但是角度制與弧度制不能混用，排除

A、B,易知D錯(cuò)誤，C正確.

2.(2021?海南調(diào)研)已知α為第三象限角，則與的終邊所在的象限是()

A.第一或第二象限B.第二或第三象限

C.第一或第三象限D(zhuǎn).第二或第四象限

答案D

3JF

解析Ta為第三象限角，.??7c+2Evg＜3~+2kπ,?∈Z,

.π,?3π.ILr

.f1kGZ,

當(dāng)左=2〃?，/%WZ時(shí)，/+2加兀＜與＜苧+2〃?兀，∕w∈Z,此時(shí)?在第二象限，

3TiG.7兀

當(dāng)左=2〃?+1,∕%WZ時(shí)，3^+2∕∕mvgvN^+2mπ;,∕w∈Z,

此時(shí)楙在第四象限.

綜上，F(xiàn)的終邊在第二或第四象限.

3.終邊在直線y=√5x上，且在［-2兀，2兀)內(nèi)的角α的集合為.

[5π_2nπ4πl(wèi)

口木13，3,3,3∫

解析終邊在直線y=√5x上的角α的集合為

jα∣α=^÷?π∣,

TT

又由2兀，2π),即一2τtWg+Aπv2τr,?∈Z,

解得&=—2,—1,0,1,

故滿足條件的角ɑ構(gòu)成的集合為｛-苧，-y,1,竽｝.

Cl

感悟升華1.確定“a,*"∈N*)的終邊位置的方法

先用終邊相同角的形式表示出角a的范圍，再寫出〃a或f的范圍，然后根據(jù)〃的可能取值

討論確定na或。的終邊所在位置(也可采用等分象限角的方法).

2.利用終邊相同的角的集合求適合某些條件的角：先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集

合，然后通過對集合中的參數(shù)Z賦值來求得所需的角.

考點(diǎn)二弧度制及其應(yīng)用師生共研

【例1】已知一■扇形的圓心角為a,半徑為R,弧長為/,若a=?R=IOcm,求：

(1)扇形的面積；

(2)扇形的弧長及該弧所在弓形的面積.

TT

解(1)由已知得R=IO,

Λ5扇形=；8/?2=3義]乂102=^y?(cm2).

兀10兀

(2)∕=a?R=gXIo=-?-(Cm),

S弓形=S扇形一S三角形=；/R—；R2.sinJ

110π1??/?50π—75-J3?

=2×^3~^×I。"-2X102×2=------3~^~(cm2).

感悟升華應(yīng)用弧度制解決問題時(shí)應(yīng)注意：

(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度.

⑵求扇形面積最大值的問題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題.

(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形.

【訓(xùn)練1】(1)(2021?長沙質(zhì)檢)已知弧長4兀的弧所對的圓心角為2弧度，則這條弧所在的圓

的半徑為()

A.1B.2C.πD.2π

(2)已知扇形的周長為8cm,則該扇形面積的最大值為cm2.

答案(I)D(2)4

解析(1)：弧長4兀的弧所對的圓心角為2弧度，

4π

?=7=2,解得r=2π,

???這條弧所在的圓的半徑為2π.

(2)設(shè)扇形半徑為rCm,弧長為/cm,

則2H√=8,S=^r∕=^r×(8-2r)

=-r2÷4r=—(r—2)2+4,

所以SmaX=4(Cm2).

考點(diǎn)三三角函數(shù)的定義及應(yīng)用多維探究

角度1求三角函數(shù)值

【例2】已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為尸(一；，))，則Sina?tanα等于()

答案C

解析由0尸2=；+產(chǎn)=1,得y=*y=±^?

當(dāng)y=坐時(shí)，Sina=坐，tana=~y∣3,

3

此時(shí)sinα?tana=—

∣.?/?l.Γ-

當(dāng)y=一亍時(shí)，sina=-2?tanα=y3,

3

此時(shí)，sinct?tana=一全

3

綜上sinct?tana=-?

角度2由三角函數(shù)值求參數(shù)

4

【例3】已知角。的終邊過點(diǎn)P(-8m,-6sin30°),且CC)Sa=一亍則加的值為()

答案C

解析由題意得點(diǎn)P(—8〃i,—3),r-^?∣64m2+9,

-8，"

所以cosa

√64∕n2+9

所以∕M>0,解得

角度3三角函數(shù)值的符號

[例4](2020?北京海淀區(qū)質(zhì)量監(jiān)控)已知sinθ>0且cosΘ<0,則角θ的終邊所在的象限是()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案B

解析由題意及三角函數(shù)的定義可知角。終邊上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于零，縱坐標(biāo)大于零，所以

終邊在第二象限，故選B.

感悟升華1.三角函數(shù)定義的應(yīng)用

(1)直接利用三角函數(shù)的定義，找到給定角的終邊上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，及這點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，

確定這個(gè)角的三角函數(shù)值.

(2)已知角的某一個(gè)三角函數(shù)值，可以通過三角函數(shù)的定義列出含參數(shù)的方程，求參數(shù)的值.

2.要判定三角函數(shù)值的符號，關(guān)鍵是要搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角，再根據(jù)正、余弦

函數(shù)值在各象限的符號確定值的符號.如果不能確定角所在象限，那就要進(jìn)行分類討論求解.

【訓(xùn)練2】(I^sin(9?cos0<0,指f>°，則角?是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

(2)已知角6?的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與X軸非負(fù)半軸重合，若A(-l,y)是角9終邊上的一

點(diǎn)，且Sinθ——3?θ,則y-.

答案(I)D(2)-3

解析(D由鬻>°,得白>°'所以8SG0?

又sinO?cos。<0,所以sinO<O,所以J為第四象限角.故選D.

(2)因?yàn)閟in6=一嚼<0,A(—l,y)是角6終邊上一點(diǎn)，所以y<0,由三角函數(shù)的定義，得

.y_3√Iθ

√∕+ι-^'0-

解得y=~3.

考點(diǎn)四三角函數(shù)線的應(yīng)用師生共研

［例5］函數(shù)y=lg(2sinx—1)+，1—2CoSX的定義域?yàn)?

Ti5兀、

答案2?π+］,2E+不∈Z)

解析要使函數(shù)有意義，必須有

1

sinx>y

2sinχ-1>0,

即

1—2cosx≥0,cosxW；.

如圖，在單位圓中作出相應(yīng)的三角函數(shù)線，

由圖可知，原函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

2E+*2攵π+,)(左∈Z).

感悟升華1.三角函數(shù)線是三角函數(shù)的幾何表示，正弦線、正切線的方向同縱軸一致，向上

為正，向下為負(fù)；余弦線的方向同橫軸一致，向右為正，向左為負(fù).

2.利用三角函數(shù)線解不等式要注意邊界角的取舍，結(jié)合三角函數(shù)的周期性寫出角的范圍.

【訓(xùn)練3】若一空。<一看從單位圓中的三角函數(shù)線觀察Sina,cosa,tana的大小關(guān)系是

答案sincc<cosa<tana

解析如圖，作出角1的正弦線MP,余弦線OM,正切線AT,

觀察可知AT>0M>MP,故有sina<coscc<tana.

課后鞏固作業(yè)分層訓(xùn)練?提升能力

A級基礎(chǔ)鞏固

一、選擇題

L（2021?西安調(diào)研）小明出國旅游，當(dāng)?shù)貢r(shí)間比北京時(shí)間晚一個(gè)小時(shí)，他需要調(diào)整手表的時(shí)間,

則時(shí)針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)為（）

▲兀C?！肛兀

??B6C,^3D^6

答案B

解析因?yàn)楫?dāng)?shù)貢r(shí)間比北京時(shí)間晚一個(gè)小時(shí)，所以時(shí)針應(yīng)該是逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，故時(shí)針轉(zhuǎn)過

的角的弧度數(shù)為常故選B.

2.給出下列四個(gè)命題：

①一竽是第二象限角；鱷是第三象限角；③一400。是第四象限角；④一315。是第一象限角.

其中正確的命題有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

答案C

T4TTTr4IT

解析一半是第三象限角，故①錯(cuò)誤拳=兀+小從而半是第三象限角，②正確.-400。=

-360°-40°,從而一400。是第四象限角，③正確.一315。=-360。+45。，從而一315。是第一

象限角，④正確.

3.（2020?天津期末）在平面直角坐標(biāo)系中，若角α以X軸的非負(fù)半軸為始邊，且終邊過點(diǎn)

（一坐,3）則Sina=（）

AL坐B.-gC坐D.；

答案D

解析由任意角三角函數(shù)的定義得

1

21、

sina=----/CT=不故選D.

“一明+&

4.已知扇形的面積為2,扇形圓心角的弧度數(shù)是4,則扇形的周長為（）

A.2B.4C.6D.8

答案C

解析設(shè)扇形的半徑為「，弧長為/,則由扇形面積公式可得2=∣Ia-=^X4X凡解得r=l,

∕=ctr=4,所以所求扇形的周長為2r+∕=6.

5.若角α的終邊在直線y=-χ上，則角ɑ的取值集合為()

A.{1Q=匕2兀一去?≡Zj

B.∣αQ=&.2兀+,，?∈Z

CJaa=kπ-^,?∈Z∣

D.卜a=hπ~^Z∈z}

答案D

解析由圖知，角］的取值集合為｛αα=2"iι+竽，?∈Z∣U

aa=2〃兀一幣?∈Z

夕

C。

貝

匙

一

COS一

.設(shè)。是第三象限角，且22

62,

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

答案B

解析由6是第三象限角知，號為第二或第四象限角，

。

。C

又

COS--C一

2Os22

綜上可知，，為第二象限角.

7.(2021?唐山模擬)已知角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與X軸的非負(fù)半軸重合，終邊上一點(diǎn)

4(2Sinα,3)(Sinar0),貝!!cosα=()

A?IB?-2

答案A

解析由三角函數(shù)定義得tanα=熹;，即*=大三，得3cosα=2siMα=2（l-cos2ct）,

/billCAVV'O（Λ乙bill（Λ

解得COSQ=T或cosQ=-2（舍去）.故選A.

8.已知點(diǎn)《坐，一，在角。的終邊上，且6∈[0,2π）,則。的值為（）

,5兀_2π_llπ_5π

A.^τ-B.-rC.-T-D.τr

OJo?

答案C

解析因?yàn)辄c(diǎn)楞，一;）在第四象限，

根據(jù)三角函數(shù)的定義可知tanG=Y=-W,

11兀

又ee[O,2π）,可得。=可.

二、填空題

9.已知扇形的圓心角為會(huì)面積為?則扇形的弧長等于—

答案I

解析設(shè)扇形半徑為「，弧長為/,

,π

∕=τ,

解得J3

.r=2.

10.在平面直角坐標(biāo)系XO），中，點(diǎn)P在角行的終邊上，且IoPl=2,則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為.

答案(-1,√3)

2π

X=IOPICOs于—?,

解析設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y）,由三角函數(shù)定義得廠’所以點(diǎn)P

2π√3.

y=∣OP∣sin?y,

的坐標(biāo)為（一1,√3）.

11.（2021?河北九校聯(lián)考）已知點(diǎn)P（Sin35。,cos35。）為角α終邊上一點(diǎn)，若0°Wα<360°,則α

答案55o

解析由題意知COSa=Sin35°=cos55°,sina=cos35o=sin550,P在第一象限，所以Q=

55°.

12.函數(shù)y=y∣2cosx-?的定義域?yàn)?

兀71

答案2E—2kπ+^(Λ∈Z)

解析V2cosχ-1≥0,

?>1

..cosX2'

由三角函數(shù)線畫出X滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示),

itπ

Λx∈2kπ-y2Zπ+](?∈Z).

B級能力提升

13.設(shè)集合MTXIX=苧180。+45。，?∈z},N=(小=亨180。+45。，?∈Z},那么()

NM=NB.MUNCNJMD.M∏N=0

答案B

解析由于M中，Λ=^?180O+45O≈??90O+45O=(2?+l)?45o,2A+1是奇數(shù)；而N中，X=

1180o+45o=k-45o+45o=(fc+1)?45o,k+1是整數(shù),因此必有MUN

14.在(0,2兀)內(nèi)，使得sinx>cosx成立的X的取值范圍是()

fπτt?(5π?(π、

AgSLJsT)B匕，πj

f≡絢fΞY∕5π3πλ

cr?4,4JDn.Q，πJu<4,2J

答案C

Am/—，兀兀5715TU

解析如圖所示，找出在(O,2π)內(nèi)，使SinX=COSX的X值，Sina=CoSSinZ-=COS彳

=一坐，根據(jù)三角函數(shù)線的變化規(guī)律標(biāo)出滿足題中條件的角χ∈(},竽).

15.一扇形的圓心角為手，則此扇形的面積與其內(nèi)切圓的面積的比值為.

答gq案7一+4六√3

解析設(shè)扇形半徑為R,內(nèi)切圓半徑為r.

Tl

W(/?—r)sin???r,

即R=(1+￥)八

又SIS=:∣α∣R2=；義專XR2=,R2=7兀1,

S7+4√5

所以康Sa—9-

16.在平面直角坐標(biāo)系中，劣弧蠢，CD,EF,正是圓/+>2=1上的四段?。ㄈ鐖D），點(diǎn)P在

其中一段弧上，角α以。X為始邊，OP為終邊.若tanα<cosα<sinα,則P所在的圓弧是

答案EF

解析因?yàn)镮ana<cosα,所以P所在的圓弧不是GH,因?yàn)镮anaVSinα,所以P所在的圓弧

不是無，又CoSQ<sinα,所以尸所在的圓弧不是翁，所以P所在的圓弧是病.

第2節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式

考綱要求1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2α+cos2α=l,念=tana；2.能利用單

位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出自：a,πia的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式.

知識分類落實(shí)回扣知識?夯實(shí)基礎(chǔ)

知識梳理

L同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(1)平方關(guān)系：sir?+cos%=I.

(2)商數(shù)關(guān)系：?=tan?.

CoS(Z

2.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

公式一二三四五六

ππ,

角2?π+a(?∈Z)π+a~aπ~a?-ɑ2÷w

正弦sina一sina一sinaSinαCOSaCC)Sa

余弦cosa—cosaCOSa一cosaSina一sina

正切tanatana—tana一tana

口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名改變，符號看象限

?——常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒

1.同角三角函數(shù)關(guān)系式的常用變形

(sinα+cosα)2=1+2sinacosa；sina—tana-cosa.

2.誘導(dǎo)公式的記憶口訣

''奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指1的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱

的變化.

3.在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí)，若開方，要特別注意判斷符號.

診斷自測

??思考辨析

1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“J”或“X”)

(1)若a,/為銳角，則si∏2a+cos2S=l.()

(2)sin(π+α)=-sina成立的條件是a為銳角.()

(3)若α∈R,則tanl=黑吃恒成立.()

(4)若sin(?π-Z),K∣Jsina=g.()

答案(1)×(2)×(3)×(4)×

解析(1)對任意的角a,sin2α÷cos2a=1.

(2)中對于任意αWR,恒有sin(π÷α)=-sina.

(3)中當(dāng)α的終邊落在y軸上時(shí)，商數(shù)關(guān)系不成立.

(4)當(dāng)左為奇數(shù)時(shí)，Sina=；,

當(dāng)攵為偶數(shù)時(shí)，sina=-1.

〉教材衍化

L.3sinc(-cosa

2.已知tana=2,fflɑ----------------=()

sin6(÷2COSa

D.-1

?iβ?^4c.∣

答案A

3lana~~13X2~1_5

解析原式=

tana+22+2

4

3已知α為銳角,且CoSa=于則sin(π+α)=()

3「3「4

A.—?B.gC,-?D5

答案A

解析由題意得sinCC=Λ∕1-cos2α=^,

3

故sin(π÷α)=-sinα=-?.

＞考題體驗(yàn)

4.(2021?天津南開質(zhì)檢)cos480°=()

11

A.—?B，2CT

答案A

解析由誘導(dǎo)公式可得cos480o=cos(540o-60o)=cos(180°-60°)=-cos60°=-???A.

5.(2021?成者R診斷)已知0∈(0,π),sin。+CoSo=上，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

∈兀3

AJC,B.cosθ=~~^

-C37

C.tan。=-WD.sincosθ=q

答案C

解析Tsin8+cos①

T2

.,.(sinθ+cos8)2=

即sin2<9÷2sin8cosO+cos2。=表,

24

??2sinAcosθ=一石，

/.(sin0—cos9)2=1-2sinaOSJ=蕓

?.?9∈(0,π),.?sinft>O,cos^<0,

.?.9∈&兀7

,sincos。=?、?/p>

4

①+②得sin9=q,

3

①一②得cosΘ=—?,

4

.sin。54

??tan(7=T=一τ.

cosθ_33

-5

則sin(*+α)=

6.（2021?海南期末）若=5'

答案5

考點(diǎn)分層突破考點(diǎn)聚焦題型剖析

考點(diǎn)一誘導(dǎo)公式的應(yīng)用自主演練

COS(兀+α)cosg+ajcos(-1ylπ1-a

2

1.化簡的結(jié)果是（）

cos(π-α)sin(一…)sin(?÷a)

A.-1B.1C.tanaD.-tana

答案C

解析由誘導(dǎo)公式，得原式

—cos?(—sina)?

-siι??cosa

-sintt?cos2a

—cosa?sina?

=tanɑ,故選C.

=tan(α+W),則角α=(

2.(2021?長春模擬)已知α為銳角,且)

?兀兀π

A?T2β?6瑞

a,即

?+|j,解得α=j,故選C.

3.(202卜皖北名校聯(lián)考)sin6130+cosI063。+1211(—30。)的值為,

答案一W

解析sin613o+cos1063o-tan300=sin(1800+730)+cos(-17o)-tan30o=-sin73°+

cos(-17°)-tan30o=-cos17o+cos17。一牛

3,

感悟升華1.誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用

(1)求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了.

(2)化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了.

2.含2π整數(shù)倍的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用

由終邊相同的角的關(guān)系可知，在計(jì)算含有2兀的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將2π的整數(shù)倍

去掉后再進(jìn)行運(yùn)算.如CoS(5π~~α)=CoS(Tr—a)=—COSa.

考點(diǎn)二同角三角函數(shù)基本關(guān)系及其應(yīng)用多維探究

角度1切弦互化

Q

【例1】(1)已知。是第四象限角，tan[=一不，則Sina等于()

?1515

AFBLFc?π

9Win2〃—cn?-?∕

(2)己知曲線段)=會(huì)在點(diǎn)(1,川))處的切線的傾斜角為α,則戶-%：1-=()

?ZSInɑɑos(XIcosQ

133

A.zB.2CWD.—d

Z?O

答案(I)D(2)C

Q

解析(1)因?yàn)閠ana=一^β,

Sina8

所l?L正

所以cosa=-?sina9

八、、c,c64

代入sin2a+cos2a=1,得sin2a=^ξ^,

Q

又1是第四象限角，所以Sina=-

(2)由f(x)—2x2,得tana=∕(l)=2,

LLsin2a-cos2atan2a-13

改--------------?~~=-------------=—

2sinacosa÷cos2a2tana+15'

故選C.

角度2sina÷cosa與sinacosa的轉(zhuǎn)化

【例2】(2020?東北三省三校聯(lián)考)若Sinθ-cosθ=~,且0∈(%,π),則sin(π—6?)-CoS(Tr

44

B-D-

A.-√32√3233

答案A

416

解析由sin0—cos8=w得1—2Sin9cos9=K，

jy

7

即2sin9cosθ=—∩,

2

/.(sin0+cosθ)2=1+2sinΘcos0=θ,

又e∈，πI,Λsin9+cosf)<09

sin6+cosθ-一亭,

√2

則sin(兀一?0)-CoS(兀-6)=Sin0÷cos0=—?,故選A.

感悟升華1.(1)利用Si∏2α+cos2a=l可以實(shí)現(xiàn)角ɑ的正弦、余弦的互化，利用氏氏=tana

可以實(shí)現(xiàn)角?的弦切互化.

αsinx+Z?COSx

(2)形如一:---------,βsin2x+?sinxcosx+ccos2x等類型可進(jìn)行弦化切.

2.注意公式的逆用及變形應(yīng)用：1=sin2a+cos2a,sin2a=1—cos2a,cos2tt=1—sin?.

3.應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用：對于Sina+cosα,sinacosa,Sina—cosα這三個(gè)式子,

利用(Sina÷cosa)2=l÷2sinacosa,可以知一求二.

12

【訓(xùn)練1】(1)已知α是第四象限角，Sina=一百，貝IJtan(π+α)等于()

5-5-12-12

AL百B/C?-γDT

7

(2)(2021?蘭州診斷)己知sinα+cos則tana=.

43

答案(I)C(25或；

12

解析(1)因?yàn)棣潦堑谒南笙藿?，sina=一百，

所以cosa=y∣1—sin2α=^,

⑵將sinα÷cosα=g兩邊平方得1÷2sinacos0=不，

.._12.SinacosaIana?2

sin22=(

?,αc°s”=不，??sinα+cosα=tan?+125

43

整理得12tan2a-25tana÷12=0,解得tan公=y或tan0=]?

考點(diǎn)三同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用師生共研

【例3】(1)(2020?全國I卷)已知a￡(0,π),且3cos21一8COSa=5,則Sina=()

(2)已知tane一J=坐，貝IJtan借+α)=.

(3)已知cose一0=o(∣0∣Wl),則CoS管+。)+Sin停一。)的值是.

答案(I)A(2)一坐(3)0

解析(1)?3cos2a-8cosα=5,

2

得3(2cosa-1)—8cosa=5f

即3cos2a-4cosa—4=0,

解得cosa=-y或cosa=2（舍去）.

又因?yàn)镼￡（0,π）,

所以sina故選A.

Sin停'2兀-0=sin任π+/-川=

32

COSdq=a,「?cos恃+0+sin第一，）=。.

感悟升華1.利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡時(shí)，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間

的聯(lián)系，靈活使用公式進(jìn)行變形.注意角的范圍對三角函數(shù)值符號的影響.

2.用誘導(dǎo)公式求值時(shí)，要善于觀察所給角之間的關(guān)系，利用整體代換的思想簡化解題過程.

常見的互余關(guān)系有「a與看+a,鼻+a與5-a,j+ct與彳一々等，常見的互補(bǔ)關(guān)系有5一0與

知+e,玄+夕與華一區(qū)彳+夕與竽一e等.

【訓(xùn)練2]⑴己知G（是第四象限角，且3si∏2a=8cosa,貝1cos。+20；1兀）=（）

2√21^2√2I

A.-?-BL§C?U~Dq

（2）（2020?上海徐匯區(qū)期中）若sin（a+；）=|,則cos（a—：）=.

答案（I）C（2）|

解析（l）：3sin2a=8cosa,.β.sin2ct+

整理可得9sin4a÷64sin2a_64=0,

Q

解得sirPa=^或sin2。=—8（舍去），

2、F

又?.?a是第四象限角，.?.sina=一—手

,eos（a+?）lπ）=cos（a+l010π÷^

=COS(a+*—Sina=乎，故選C.

⑵?.?sin(a+g=∣,

=coβ-(a+∣)]=sin(a+∣)=∣.

課后鞏固作業(yè)分層訓(xùn)練?提升能力

A級基礎(chǔ)鞏固

一、選擇題

Ltan420°=()

A.一巾B.y∣3

D菩

答案B

解析tan420o=tan(360o+60o)=tan60o=√3.

CoSa2sina

2.若角α的終邊在第三象限，則的值為()

*?∕1—sin2ay∣1-cos2ez

A.3B.-3C.1D.-1

答案B

2t75,r-LL小、一.八八UH上cosa.2sinacosa

解析由角ɑ的八邊在第二象限，侍Slna<0,cosα<0,故原式=ICOScι∣+∣sinɑ∣=—cosα

2sina

1—2=—3,故選B.

—sina

3.已知M§sin(兀+0)=COS(2兀一。)，?θ?<^,則。等于()

πC?！?，兀

A-%B-3C-6

答案A

解析,.*√3sin(π+。)=cos(2π—θ),

-*?∕5sine=cosθ,.*.tanθ=-?,

ππ

V|0|<2，?"=一4.

4

4.已知sina-cosα=τ,則Sin2α=()

7227

-B-C-D-

A.-9-999

答案A

解析?.?(sina—cosa)2=1—2sinQCoSa=1—sin2a,

ΛsinIa=1

5.，1—2Sin(兀+2)COS(兀-2)=()

A.sin2—cos2B.sin2÷cos2

C.÷(sin2—cos2)D.cos2—sin2

答案A

解析*?∕1-2sin(π+2)cos(π-2)=*?∕l—2sin2cos2

=y∣(sin2-cos2)2=∣sin2—cos2∣=sin2—cos2.

,sina÷3cosaE?,1,,.??

6.已知-----:-=5,則cos2a+^sin2a的值是()

3cosa-sina2

33

A.gB,-?C.—3D.3

答案A

._,sinct+3cosatana÷3__.?,1?

用牛析rτ----------:—=5仔zh?----------=5,可行ZBtana=2,貝r1llcos^-tt+τsin2cc=cos?+smacosa

3cosa-sina3-tanaZ

cos2(z+Sinacosa1+Iana3A、生

cos2ct+sin2β1÷tan2a5?隊(duì)JA.

7.(2021?四川名校聯(lián)考)在448C中，SinA?cosA=一?,則CoSA-SinA的值為()

O

ATB.苦C坐D興

答案B

解析,/在AABC中，sinA?cosA=-J,

O

二?A為鈍角，cosA—sinA<0,

cosA-sinA=—?/(eosA-sinA)2

cos2A+sin2A—2sinAcosA

√5

l-2×

2.

8.己知a為銳角，且2tan(π-a)-3cos^÷^5J+5=0,tan(π+a)÷6sin(π+^)-1=0,則Sin

a

=()

3√53√Z1

A.BR