17.2.2 勾股定理的逆定理的應(yīng)用 人教版數(shù)學(xué)八年級下冊分層作業(yè)(含答案)

人教版初中數(shù)學(xué)八年級下冊17.2.2勾股定理的逆定理的應(yīng)用同步練習(xí)夯實基礎(chǔ)篇一、單選題：1．如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，△ABC的的頂點都在格點上．則∠ABC的度數(shù)為（）A．120° B．135° C．150° D．165°【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理逆定理證明∠D是直角，結(jié)合BD=CD得∠DBC=45°，從而得到∠ABC．【詳解】如圖，延長射線AB交格點于點D，∵每個小正方形的邊長為1∴，∵∴∠D=90°又∵BD=CD∴△BCD是等腰直角三角形∴∠DBC=45°∴∠ABC=180°－∠DBC=180°－45°=135°故選B．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，利用勾股定理逆定理證明∠D是直角是解決本題的關(guān)鍵．2．如圖所示的一塊地，已知，，，，，則這塊地的面積為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，先利用勾股定理求出，再根據(jù)勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再由的面積減去的面積就是所求的面積，即可．【詳解】解：如圖，連接．

在中，∵，∴，又∵，∴是直角三角形，∴這塊地的面積．故答案為：C．【點睛】本題主要考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理逆定理得到是直角三角形是解題的關(guān)鍵．3．如圖，四邊形ABCD中，AB=15，BC=12，CD=16，AD=25，且∠C=90°，則四邊形ABCD的面積是（）A．246 B．296 C．592 D．以上都不對【答案】A【詳解】解：連接BD．∵∠C=90°，BC=12，CD=16，∴BD==20，在△ABD中，∵BD=20，AB=15，DA=25，152+202=252，即AB2+BD2=AD2，∴△ABD是直角三角形．∴S四邊形ABCD=S△ABD+S△BCD=AB?BD+BC?CD=×15×20+×12×16=150+96=246．故選A．4．已知，是線段上的兩點，，，以點為圓心，長為半徑畫??；再以點為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點，則一定是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形【答案】B【分析】依據(jù)作圖即可得到AC=AN=4，BC=BM=3，AB=2+2+1=5，進而得到AC2+BC2=AB2，即可得出△ABC是直角三角形．【詳解】解：如圖所示，AC=AN=4，BC=BM=3，AB=2+2+1=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，故選：B．【點睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形．5．已知實數(shù)a，b為的兩邊，且滿足，第三邊，則第三邊c上的高的值是

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了算術(shù)平方根的非負性及偶次方的非負性，勾股定理的逆定理及三角形面積的運算，首先根據(jù)非負性的性質(zhì)得出a、b的值是解題的關(guān)鍵，再根據(jù)勾股定理的逆定理判定三角形為直角三角形，再根據(jù)三角形的面積得出c邊上高即可．【詳解】解：整理得，，所以，解得；因為，，所以，所以是直角三角形，，設(shè)第三邊c上的高的值是h，則的面積，所以．故選：D．【點睛】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)、勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是掌握非負數(shù)的性質(zhì)：幾個非負數(shù)的和為0時，這幾個非負數(shù)都為0．二、填空題：6．已知，如圖，一輪船以16海里/時的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/時的速度同時從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時后，則兩船相距_____．【答案】40海里【分析】根據(jù)方位角可知兩船所走的方向正好構(gòu)成了直角，然后根據(jù)路程=速度×?xí)r間，得兩條船分別走了32，24，再根據(jù)勾股定理，即可求得兩條船之間的距離．【詳解】解：∵兩船行駛的方向是東北方向和東南方向，∴∠BAC=90°，兩小時后，兩艘船分別行駛了16×2=32，12×2=24海里，根據(jù)勾股定理得：=40（海里）．故答案為：40海里．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練運用勾股定理進行計算，基礎(chǔ)知識，比較簡單．7．如圖，在一塊三角形土地上，準備規(guī)劃出陰影所示部分作為綠地，若規(guī)劃圖設(shè)計中∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC＝24，求綠地的面積為___．【答案】96【分析】先根據(jù)勾股定理求出AC的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理即可證明△ABC為直角三角形，進而根據(jù)S陰影＝SRt△ABC?SRt△ACD，利用三角形的面積公式計算即可求解．【詳解】解：在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，∴AC2＝AD2＋CD2＝82＋62＝100，∴AC＝10（取正值）．在△ABC中，∵AC2＋BC2＝102＋242＝676，AB2＝262＝676，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC為直角三角形，S陰影＝SRt△ABC?SRt△ACD＝×10×24?×8×6＝96．故答案為：96．【點睛】本題考查的是勾股定理的運用和勾股定理的逆定理運用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理求出AC的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ABC為直角三角形．8．如圖，的周長為36cm，，點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度向點B移動；點Q從點B出發(fā)，以2cm/s的速度向點C移動．如果P，Q兩點同時出發(fā)，那么經(jīng)過3s后，的面積為______．【答案】18【分析】根據(jù)三角形的周長公式求出三邊長，根據(jù)勾股定理的逆定理得出∠B=90°，根據(jù)三角形的面積公式求出△BPQ的面積；【詳解】解：（1）設(shè)AB、BC、CA分別為3x、4x、5x，由題意得：3x+4x+5x=36，解得：x=3，則AB=3x=9，BC=4x=12，AC=5x=15，∵AB2+BC2=92+122=225，AC2=152=225，∴AB2+BC2=AC2，∴∠B=90°，當(dāng)t=3時，AP=3cm，BQ=6cm，則BP=9-3=6cm，∴．故答案為：18．【點睛】本題考查勾股定理的逆定理．能正確判斷△BPQ為直角三角形9．如圖所示，在四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝3，DE⊥AC于E，DE＝3，S△DAC＝6，則∠ACB的度數(shù)等于_____．【答案】90°##90度【分析】根據(jù)三角形面積公式求出AC=4，根據(jù)勾股定理逆定理即可求出∠ACB=90°．【詳解】解：∵DE⊥AC于E，DE＝3，S△DAC＝6，∴×AC×DE=6，∴AC=4，∴，∵AB＝5，∴AB2＝25，∴，∴∠ACB=90°．故答案為：90°【點睛】本題考查了勾股定理逆定理和三角形的面積應(yīng)用，熟練掌握勾股定理逆定理是解題關(guān)鍵．10．“我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書九章》里記載有這樣一道題：“問有沙田一塊，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知為田幾何？”這道題講的是：有一塊三角形沙田，三條邊長分別為5里，12里，13里，問這塊沙田面積有多大？題中“里”是我國市制長度單位，1里=0.5千米，則該沙田的面積為________________平方千米．【答案】7.5【分析】直接利用勾股定理的逆定理進而結(jié)合直角三角形面積求法得出答案．【詳解】解：∵52+122=132，∴三條邊長分別為5里，12里，13里，構(gòu)成了直角三角形，∴這塊沙田面積為：×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．故答案為7.5．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確得出三角形的形狀是解題關(guān)鍵．11．如圖，在鈍角中，已知為鈍角，邊，的垂直平分線分別交于點，，若，則的度數(shù)為________．【答案】【分析】如圖中，連接AD、AE．首先證明∠DAE=90°，易知∠DBA=∠DAB，∠EAC=∠C，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，推出，由此即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接，．∵，的垂直平分線分別交于點，，∴，，∴，．∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)線段垂直平分線作出輔助線，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理解決問題是關(guān)鍵．12．在中，，，，平分交于點，，且交于點，則的長為_____________．【答案】##【分析】首先利用勾股定理逆定理證明為直角三角形，然后利用角平分線性質(zhì)和平行線性質(zhì)求得，，，根據(jù)角平分線定理可知，再根據(jù)求得的長．【詳解】∵，，，∴，∴，為直角三角形，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，如圖作⊥于點，∵平分，，，，∴，在中，，即，可得,，故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理逆定理、角平分線、平行線、三角形面積，解答本題的關(guān)鍵是熟練運用角平分線定理和三角形面積相等求解．三、解答題：13．如圖，在四邊形中，，，，，求四邊形的面積．【答案】【分析】根據(jù)、由勾股定理可以計算的長，根據(jù)，，由勾股定理的逆定理可以判定為直角三角形，再根據(jù)四邊形的面積為和面積之和即可求解．【詳解】解：，，，，，，，，，，是直角三角形，，在中，，在中，，．【點睛】本題考查了勾股定理及勾股定理的逆定理的運用，考查了直角三角形面積計算，本題中求證是直角三角形是解題的關(guān)鍵．14．為響應(yīng)政府的“公園城市建設(shè)”號召，某小區(qū)進行小范圍綠化，要在一塊如圖四邊形空地上種植草皮，測得，，，，，如果種植草皮費用是200元/，那么共需投入多少錢？【答案】46800【分析】連接，利用勾股定理求出，利用勾股定理逆定理，求出為直角三角形，進而利用兩個直角三角形的面積和求出四邊形的面積，再用面積乘以費用，即可得解．【詳解】解：如圖所示，連接．，，，，又，，，即，是直角三角形，所需費用為元．答：共需投入46800元．【點睛】本題考查勾股定理逆定理的應(yīng)用．熟練掌握勾股定理，以及利用勾股定理逆定理判斷三角形是直角三角形是解題的關(guān)鍵．15．如圖，等腰是某小區(qū)的一塊空地，，開發(fā)商準備將其修建成一個小區(qū)居民娛樂中心，在上取一點D，連接區(qū)域修建為兒童樂園，區(qū)域修建為中老年棋牌室，經(jīng)測量，米，米，米，求中老年棋牌室（即）的面積．【答案】中老年棋牌室（即）的面積為84平方米【分析】由勾股定理的逆定理先證明是直角三角形，且，則是直角三角形，且．設(shè)米，則米，在中，由求得米，即可得到答案．【詳解】解：∵米，米，米，∴，∴是直角三角形，且，∴是直角三角形，且．設(shè)米，則米，∵在中，，∴，解得，即米，∴（平方米）．∴中老年棋牌室（即）的面積為84平方米．【點睛】此題考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，證明是直角三角形是解題的關(guān)鍵．16．如圖，學(xué)校操場邊有一塊四邊形空地，其中，，，，，創(chuàng)建綠色校園，學(xué)校計劃將這塊四邊形空地進行綠化整理．(1)求需要綠化的空地的面積；(2)為方便師生出入，設(shè)計了過點A的小路，且于點E，試求小路的長．【答案】(1)114m2；(2)的長為m【分析】（1）由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理證出是直角三角形，，然后由三角形面積公式求解即可；（2）由三角形的面積公式求解即可．【詳解】（1）解：，，，，，，是直角三角形，，需要綠化的空地的面積；（2）解：，，，，解得：，即小路的長為．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、勾股定理的逆定理以及三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理證出．17．如圖，某港口O位于東西方向的海岸線上，“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號每小時航行16海里，“海天”號每小時航行12海里(1)若它們離開港口一個半小時后分別位于A、B處（圖1），且相距30海里．如果知道“遠航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？請說明理由(2)若“遠航”號沿北偏東30°方向航行（圖2），從港口O離開經(jīng)過兩個小時后位于點F處，此時船上有一名乘客需要緊急回到海岸線上，若他從F處出發(fā)，乘坐的快艇的速度是每小時90海里，他能在20分鐘內(nèi)回到海岸線嗎？請說明理由．【答案】(1)“海天”號沿西北方向航行，理由見解析(2)能在20分鐘內(nèi)回到海岸線，理由見解析【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理得出是直角三角形，進而解答即可；（2）過點A作于D，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理得出F到x軸距離，進而得出答案．（1）解：∵（海里），（海里），（海里），∴，∴是直角三角形，∴，∵“遠航”號沿東北方向航行，∴，∴，∴“海天”號沿西北方向航行；（2）過點F作于D，（海里），∵，∴，∴（海里），∵（海里），，∴能在20分鐘內(nèi)回到海岸線．【點睛】此題考查勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理的逆定理得出是直角三角形解答．能力提升篇一、單選題：1．甲、乙兩艘客輪同時離開港口，航行的速度都是，甲客輪沿著北偏東的方向航行，后到達小島，乙客輪到達小島．若，兩島的直線距離為，則乙客輪離開港口時航行的方向是（

）A．北偏西 B．南偏西C．南偏東或北偏西 D．南偏東或北偏西【答案】C【分析】根據(jù)題意可得OA=30海里，OB=40海里，再利用勾股定理的逆定理證明△AOB是直角三角形，從而求出∠AOB=90°，然后分兩種情況，畫出圖形，進行計算即可解答．【詳解】解：由題意得，海里，海里，OA2+OB2=302+402=2500，AB2=502=2500，OA2+OB2=AB2，∠AOB=90°，分兩種情況：如圖1，=180°-30°-90°=60°，乙客輪離開港口時航行的方向是：南偏東60°，如圖2，∠BON=∠AOB-∠AON=90°-30°=60°，乙客輪離開港口時航行的方向是：北偏西60°，綜上所述：乙客輪離開港口時航行的方向是：南偏東60或北偏西60°，故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，方向角，根據(jù)題目的已知條件畫出圖形進行分析是解題的關(guān)鍵．2．點A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點．若△ABO是直角三角形，則m的值不可能是（

）A．4 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三種情況考慮：當(dāng)∠OAB＝90°時，點A在x軸上，進而可得出m＝0；當(dāng)∠OBA＝90°時，點B在x軸上，進而可得出m＝5；當(dāng)∠AOB＝90°時，利用勾股定理可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．綜上，對照四個選項即可得出結(jié)論．【詳解】解：分三種情況考慮（如圖所示）：當(dāng)∠OAB＝90°時，m＝0；當(dāng)∠OBA＝90°時，m?5＝0，解得：m＝5；當(dāng)∠AOB＝90°時，AB2＝OA2＋OB2，即25＝4＋m2＋4＋m2?10m＋25，解得：m1＝1，m2＝4．綜上所述：m的值可以為0，5，1，4．故選B．【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)以及勾股定理，分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三種情況求出m的值是解題的關(guān)鍵．3．已知在等腰三角形ABC中，D為BC的中點AD=12，BD=5，AB=13，點P為AD邊上的動點，點E為AB邊上的動點，則PE+PB的最小值是（

）A．10 B．12 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠ADB=90°，得到點B，點C關(guān)于直線AD對稱，過C作CE⊥AB交AD于P，則此時PE+PB=CE的值最小，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵AD=12，BD=5，AB=13，∴AB2=AD2+BD2，∴∠ADB=90°，∵D為BC的中點，BD=CD，∴AD垂直平分BC，∴點B，點C關(guān)于直線AD對稱，過C作CE⊥AB交AD于P，則此時PE+PB=CE的值最小，∵S△ABC=AB?CE=BC?AD，∴13?CE=10×12，∴CE=，∴PE+PB的最小值為，故選：D．【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，勾股定理的逆定理，兩點這間線段最短，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的面積公式，利用兩點之間線段最短來解答本題．二、填空題：4．如圖，點P是等邊△ABC內(nèi)的一點，PA＝6，PB＝8，PC＝10，若點P′是△ABC外的一點，且△P′AB≌△PAC，則∠APB的度數(shù)為___．【答案】150°【分析】如圖：連接PP′，由△PAC≌△P′AB可得PA＝P′A、∠P′AB＝∠PAC，進而可得△APP′為等邊三角形易得PP′＝AP＝AP′＝6；然后再利用勾股定理逆定理可得△BPP′為直角三角形，且∠BPP′＝90°，最后根據(jù)角的和差即可解答．【詳解】解：連接PP′，∵△PAC≌△P′AB，∴PA＝P′A，∠P′AB＝∠PAC，∴∠P′AP＝∠BAC＝60°，∴△APP′為等邊三角形，∴PP′＝AP＝AP′＝6；∵PP′2+BP2＝BP′2，∴△BPP′為直角三角形，且∠BPP′＝90°，∴∠APB＝90°+60°＝150°．故答案為：150°．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理逆定理的應(yīng)用等知識點，靈活應(yīng)用相關(guān)知識點成為解答本題的關(guān)鍵．5．如圖是一臺雷達探測相關(guān)目標(biāo)得到的結(jié)果，若記圖中目標(biāo)A的位置為(2，)，目標(biāo)B的位置為(4，)，現(xiàn)有一個目標(biāo)C的位置為(3，)，且與目標(biāo)B的距離為5，則目標(biāo)C的位置為______．【答案】(3，300°)或(3，120°)【分析】設(shè)中心點為點O，，由勾股定理逆定理可知，且C有兩個方向，即可確定C．【詳解】解：如圖：設(shè)中心點為點O，在中，，，是直角三角形，且∴C的位置為：(3，)或(3，)．【點睛】本題主要考查了用方向角和距離表示點的位置，勾股定理逆定理，注意分類是解決問題的關(guān)鍵．6．如圖，在中，，點在線段上以每秒個單位的速度從向移動，連接，當(dāng)點移動_____秒時，與的邊垂直．【答案】或或．【分析】設(shè)運動時間為然后分當(dāng)、和三種情況運用勾股定理解答即可．【詳解】解：設(shè)運動時間為則，當(dāng)時，如圖1所示，過點作于點