第17章 勾股定理 人教版數(shù)學(xué)八年級下冊達(dá)標(biāo)檢測(含答案)

第十七章勾股定理達(dá)標(biāo)檢測一、單選題:1．下面四組數(shù)，其中是勾股數(shù)組的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】A【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義：有a、b、c三個正整數(shù)，滿足的三個數(shù)，稱為勾股數(shù)．由此判定即可．【詳解】解：A、，能構(gòu)成勾股數(shù)，故正確；B、0.3，0.4，0.5，不是正整數(shù)，所以不是勾股數(shù)，故錯誤；C、，不能構(gòu)成勾股數(shù)，故錯誤；D、，不能構(gòu)成勾股數(shù)，故錯誤．故選：A．【點睛】本題考查了勾股數(shù)，解答此題要深刻理解勾股數(shù)的定義，熟記常用的勾股數(shù)．2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別記為a，b，c，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．如果a2=b2?c2，那么△ABC是直角三角形且∠A=90°B．如果∠A:∠B:∠C=1:2:3，那么△ABC是直角三角形C．如果，那么△ABC是直角三角形D．如果，那么△ABC是直角三角形【答案】A【分析】根據(jù)直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可．【詳解】解：A、如果

a2=b2-c2，即b2=a2+c2，那么△ABC

是直角三角形且∠B=90°，選項錯誤，符合題意；B、如果∠A：∠B：∠C=1：2：3，由∠A+∠B+∠C=180°，可得∠A=90°，那么△ABC

是直角三角形，選項正確，不符合題意；C、如果

a2：b2：c2=9：16：25，滿足a2+b2=c2，那么△ABC

是直角三角形，選項正確，不符合題意；D、如果∠A-∠B=∠C，由∠A+∠B+∠C=180°，可得∠A=90°，那么△ABC

是直角三角形，選項正確，不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查的是直角三角形的判定和勾股定理的逆定理的應(yīng)用，如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形．3．如圖，字母B所代表的正方形的邊長是（

）A．12 B．15 C．144 D．306【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理求出字母B所代表的正方形的面積，根據(jù)正方形的性質(zhì)計算，得到答案．【詳解】解：在Rt△DEF中，由勾股定理得，DF2＋EF2＝DE2，∴字母B所代表的正方形的面積＝EF2＝DE2?DF2＝225?81＝144（cm2），∴字母B所代表的正方形的邊長＝12（cm），故選A．【點睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用、正方形的面積，熟知如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2是解決問題的關(guān)鍵．4．已知一個直角三角形的兩邊長分別為和，則第三邊長是（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】分為兩種情況：斜邊是有一條直角邊是，和都是直角邊，根據(jù)勾股定理求出即可．【詳解】解：如圖，分為兩種情況：斜邊是有一條直角邊是，由勾股定理得：第三邊長是；和都是直角邊，由勾股定理得：第三邊長是；即第三邊長是或，故選：D．【點睛】本題考查了對勾股定理的應(yīng)用，注意：在直角三角形中的兩條直角邊、的平方和等于斜邊的平方．5．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點，，都在格點上，若是的邊上的高，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理計算AC的長，利用割補(bǔ)法可得△ABC的面積，由三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：由勾股定理得：AC＝，∵S△ABC＝3×3?×1×2?×1×3?×2×3＝，∴AC?BD＝，∴?BD＝7，∴BD＝．故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理與三角形的面積的計算，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．6．如圖，在矩形COED中，點D的坐標(biāo)是，則CE的長是（

）A．3 B． C． D．4【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理求得，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)得出．【詳解】解：∵四邊形COED是矩形，∴CE=OD，∵點D的坐標(biāo)是（1，3），∴，∴，故選C．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．如圖，一圓柱體的底面周長為10cm，高AB為12cm，BC是直徑，一只螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱的表面爬行到點C的最短路程為（）A．17cm B．13cm C．12cm D．14cm【答案】B【分析】將圓柱的側(cè)面展開，得到一個長方形，再然后利用兩點之間線段最短解答．【詳解】解：如圖所示：由于圓柱體的底面周長為10cm，則AD=10×=5（cm）．又因為CD=AB=12cm，所以AC=＝13（cm）．故螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點C的最短路程是13cm．故選：B．【點睛】此題主要考查了平面展開圖的最短路徑問題，將圓柱的側(cè)面展開，構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．8．如圖，已知中，，F(xiàn)是高和的交點，，，則線段的長度為（

）A． B．2 C． D．1【答案】D【分析】先證明△BDF≌△ADC，得到BF=AC=，再根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：∵和是△ABC的高線，∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠DBF+∠C=90°，∠CAD+∠C=90°，∴∠DBF=∠CAD，∵，∴∠BAD=45°，∴BD=AD，∴△BDF≌△ADC，∴BF=AC=，在Rt△BDF中，DF=．故選：D【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，證明△BDF≌△ADC是解題關(guān)鍵．9．如圖，在矩形中，，，將矩形沿折疊，點落在點處，則重疊部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】已知為邊上的高，要求的面積，求得即可，求證，得，設(shè)，則在中，根據(jù)勾股定理求，于是得到，即可得到答案．【詳解】解：由翻折變換的性質(zhì)可知：，∴，，，∵四邊形為矩形，，，∴，，，∴，，在和中，，∴，∴，，設(shè)，則，在中，，∴，解得：，∴，∴．故選：B．【點睛】本題考查翻折變換―折疊問題，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識點，應(yīng)用了方程的思想．本題通過設(shè)，在中運用勾股定理建立關(guān)于的方程并求解是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在中，，，點D，E為BC上兩點．，F(xiàn)為外一點，且，，則下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的是

A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③【答案】A【分析】①利用全等三角形的判定得≌，再利用全等三角形的性質(zhì)得結(jié)論；②利用全等三角形的判定和全等三角形的性質(zhì)得，再利用勾股定理得結(jié)論；③利用等腰三角形的性質(zhì)得，再利用三角形的面積計算結(jié)論；④利用勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)計算得結(jié)論．【詳解】解：如圖：對于①，因為，所以，，因此．又因為，所以．又因為，所以．因此≌，所以．故①正確．對于②，由①知≌，所以．又因為，所以，連接FD，因此≌．所以．在中，因為，所以．故②正確．對于③，設(shè)EF與AD交于G．因為，所以．因此．故③正確．對于④，因為，

又在中，又是以EF為斜邊的等腰直角三角形，所以因此，故④正確．故選A．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)和三角形的面積．二、填空題:11．如圖所示，在數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為a，則a的值為_______．【答案】【分析】先根據(jù)勾股定理求出直角三角形的斜邊，即可求解．【詳解】解：如圖：由圖可知：，∵數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為a，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了數(shù)軸和實數(shù)，勾股定理的應(yīng)用，能讀懂圖是解此題的關(guān)鍵．12．如圖，每個小正方形的邊長都相等，A，B，C是小正方形的頂點，則∠ABC的度數(shù)為___．【答案】45°【分析】根據(jù)勾股定理得到AB，BC，AC的長度，再判斷△ABC是等腰直角三角形，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接AC．由題意，AC＝，BC＝，AB＝，∴AC＝BC，AB2＝AC2+BC2，∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠CAB＝45°．故答案為：45°．【點睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，判斷出△ABC是等腰直角三角形是解決本題的關(guān)鍵．13．如圖，在等腰△ABC中，AD是角平分線，E是AB的中點，已知AB＝AC＝15cm.BC＝18cm，則△ADE的周長是_____cm.【答案】27【分析】先根據(jù)勾股定理求出AD的長，再根據(jù)中點的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：在等腰△ABC中，AD是角平分線，E是AB的中點，AB

BD=BC

AD已知AB＝AC＝15cm.

BC＝18cm，BD=9

DE=AC=7.5

AE=AB=7.5AD=△ADE的周長=AE+AD+DE=7.5+12+7.5=27【點睛】此題重點考察學(xué)生對勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.14．如圖，一個池塘，其底面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦生長在它的中央，高出水面的部分為1尺．如果把這根蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，蘆葦?shù)捻敳壳『门龅桨哆叺?，則這根蘆葦?shù)拈L度是______尺．【答案】13【分析】設(shè)出AB=AB'=x尺，表示出水深A(yù)C，根據(jù)勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到蘆葦?shù)拈L．【詳解】解：設(shè)蘆葦長AB=AB′=x尺，則水深A(yù)C=(x-1)尺，因為底面是邊長為10尺的正方形，所以B'C=5尺在Rt△AB'C中，52+(x-1)2=x2，解之得x=13，即蘆葦長13尺．故答案為：13．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟悉數(shù)形結(jié)合的解題思想是解題關(guān)鍵．15．如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD對折，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，CD的長為______．【答案】3cm【分析】由勾股定理求得AB=10cm，然后由翻折的性質(zhì)求得BE=4cm，設(shè)DC=xcm，則BD=（8-x）cm，DE=xcm，在△BDE中，利用勾股定理列方程求解即可．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，兩直角邊AC=6cm，BC=8cm，由折疊的性質(zhì)可知：DC=DE，AC=AE=6cm，∠DEA=∠C=90°，∴BE=AB-AE=10-6=4（cm），∠DEB=90°，設(shè)DC=xcm，則BD=（8-x）cm，DE=xcm，在Rt△BED中，由勾股定理得：BE2+DE2=BD2，即42+x2=（8-x）2，解得：x=3．故答案為3cm．【點睛】本題主要考查的是翻折變換以及勾股定理的應(yīng)用，一元一次方程的解法，熟練掌握翻折的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．16．如圖，學(xué)校有一塊長方形花圃，有極少數(shù)同學(xué)為了避開拐角走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”，他們僅僅少走了________步（假設(shè)1米＝2步），卻踩傷了花草．【答案】4【分析】根據(jù)勾股定理求出“路”的長度，再根據(jù)少走的“路”計算出少走的長度，得出所需步數(shù)即可．【詳解】解：由勾股定理可得：“路”的長度，∴，∵1米＝2步，∴少走了4步故答案為：4．【點睛】本題主要考查了勾股定理的運用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵．17．如圖，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間空出的部分是一個小正方形，這樣就組成了一個“趙爽弦圖”，如果大正方形面積為169，且直角三角形中較短的直角邊的長為5，則中間小正方形面積(陰影部分)為________．【答案】49【分析】設(shè)直角三角形中較長的直角邊的長為a，利用勾股定理求得直角邊的較長邊，進(jìn)一步求得陰影部分的面積即可．【詳解】解：設(shè)直角三角形中較長的直角邊的長為a，由題意得a2+52=169解得：a=12，則中間小正方形面積(陰影部分)為(12?5)2=49.故答案為49.【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用.18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，兩點的坐標(biāo)分別為和，為等邊三角形，則點的坐標(biāo)為______．【答案】【分析】過點A作AD⊥BC于D，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BD=CD，再求出點D的橫坐標(biāo)，然后利用勾股定理列式求出AD的長度，再寫出點A的坐標(biāo)即可．【詳解】如圖，過點A作AD⊥BC于D，∵B、C兩點的坐標(biāo)分別為(-2，0)和(6，0)，∴BC=6-（-2）=8，∵△ABC為等邊三角形∴AB=AC=BC=8，BD=CD=4，∴點D的橫坐標(biāo)為6-4=2，在Rt△ABD中，AD=，所以，點A的坐標(biāo)為(2，)，故答案為：(2，)．【點睛】本題考查了點的坐標(biāo)，主要利用了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，勾股定理，作輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．19．如圖，等腰直角中，，D為的中點，，若P為上一個動點，則的最小值為_________．【答案】【分析】根據(jù)中點的含義先求解作點C關(guān)于AB對稱點，則，連接，交AB于P，連接，此時的值最小，由對稱性可知于是得到再證明，然后根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：為的中點，

作點C關(guān)于AB對稱點，交于，則，連接，交AB于P，連接．此時的值最小．由對稱性可知

∴∴，點C關(guān)于AB對稱點，∴AB垂直平分，∴根據(jù)勾股定理可得故答案為：．【點睛】此題考查了軸對稱-線路最短的問題，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理的應(yīng)用，確定動點P何位置時，使PC+PD的值最小是解題的關(guān)鍵．20．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝12cm，∠BAC＝60°，動點M從點B出發(fā)，在BA邊上以每秒2cm的速度向點A勻速運動，同時動點N從C出發(fā)，在CB邊上以每秒cm的速度向B勻速運動，設(shè)運動時間為t秒(0＜t＜6)，連接MN，若△BMN是等腰三角形，則t的值為_____．【答案】3s或（12﹣18）s或s．【分析】分三種情形：①當(dāng)MN＝MB時②當(dāng)BM＝BN時③當(dāng)MN＝BN時，分別求解即可；【詳解】解：分三種情形：①當(dāng)MN＝MB時，作MH⊥BC于H，則HB＝HN．在Rt△ABC中，∵∠A＝60°，∠C＝90°，AB＝12cm，∴BC＝AB?sin60°＝6，∠B＝30°，∵BM＝2t，CN＝t，∴BN＝6﹣t＝2（BM?cos30°），∴6﹣t＝t，∴t＝3．②當(dāng)BM＝BN時，6﹣t＝2t，∴t＝12﹣18．③當(dāng)MN＝BN時，同法可得：2t＝2?（6﹣t）?cos30°，解得t＝，綜上所述，若△BMN是等腰三角形，則t的值為3s或（12﹣18）s或s．【點睛】本題考查勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．三、解答題:21．已知：如圖，，，，，，求四邊形的面積．【答案】36【分析】利用勾股定理求出BC，再利用勾股定理的逆定理證出△BCD是直角三角形，得到四邊形的面積就等于兩個直角三角形的面積之和.【詳解】∵∠A=90°，AB=4，AC=3，∴．∵BC=5，BD=12，CD=13，∴，∴△BCD是直角三角形，且斜邊為CD，∴．即四邊形ABCD的面積為36．【點睛】此題考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，利用勾股定理逆定理判定△BCD是直角三角形是解決此題的關(guān)鍵.22．如圖，將矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點D恰好落在BC邊上F點處，已知CE＝3cm，AB＝8cm，求圖中陰影部分的面積．【答案】30．【分析】根據(jù)折疊的過程以及矩形的對邊相等，得：AF＝AD＝BC，DE＝EF．然后根據(jù)勾股定理求得CF的長，再設(shè)BF＝x，即可表示AF的長，進(jìn)一步根據(jù)勾股定理進(jìn)行求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，由折疊可知△ADE和△AFE關(guān)于AE成軸對稱，故AF＝AD，EF＝DE＝DC﹣CE＝8﹣3＝5cm．在△CEF中，CF＝=4cm，設(shè)BF＝xcm，則AF＝AD＝BC＝（x+4）cm．在Rt△ABF中，由勾股定理，得82+x2＝（x+4）2．解得x＝6，故BC＝10．所以陰影部分的面積為：10×8﹣2S△ADE＝80﹣50＝30（cm2）．【點睛】此題考查勾股定理的實際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，正確分析圖形得到直角三角形，利用勾股定理解決問題是解題的關(guān)鍵．23．如圖，在離水面高度為5米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時繩子BC的長為13米，此人以0.5米/秒的速度收繩，10秒后船移動到點D的位置，問船向岸邊移動了多少米？(假設(shè)繩子是直的，結(jié)果保留根號)【答案】船向岸邊移動了(12－)米【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理計算出AB長，再根據(jù)題意可得CD長，然后再次利用勾股定理計算出AD長，再利用BD=AB-AD可得BD長．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13米，AC＝5米，

∴AB＝＝12(米)，由題意，得CD＝13－0.5×10＝8(米)，∴AD＝＝＝(米)，∴BD＝AB－AD＝(12－)米，答：船向岸邊移動了(12－)米．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．24．如圖，四邊形ABCD，AB＝AD＝2，BC＝3，CD＝1，∠A＝90°，求∠ADC的度數(shù)．【答案】135°.【分析】首先在Rt△BAD中，利用勾股定理求出BD的長，求出∠ADB=45°，再根據(jù)勾股定理逆定理在△BCD中，證明△BCD是直角三角形，即可求出答案．【詳解】解連接BD，在Rt△BAD中，∵AB＝AD＝2，∴∠ADB＝45°，BD＝＝2，在△BCD中，DB2＋CD2＝(2)2＋12＝9＝CB2，∴△BCD是直角三角形，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝45°＋90°＝135°.故答案為135°.【點睛】此題主要考查了勾股定理以及逆定理的運用，解決問題的關(guān)鍵是求出∠ADB=45°，再求出∠BDC=90°．25．如圖，一個牧童在小河的南4華里（長度單位）的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8華里北7華里處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家，他要完成這件事情所走的最短路程是多少?【答案】17華里【分析】作出A點關(guān)于MN的對稱點，連接交MN于點P，則就是最短路線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，得出，根據(jù)勾股定理得出，即可求出最短路徑．【詳解】解：作出A點關(guān)于MN的對稱點，連接交MN于點P，則就是最短路線，如圖所示：，，，∵M(jìn)N垂直平分，∴，∵在中，，∴，∴（華里）．答：牧童所走的最短里程是17華里．【點睛】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)題意作出最短路徑，是解題的關(guān)鍵．26．已知正方形ABCD的邊長為4，E為AB的中點，F(xiàn)為AD上一點，且AF=AD，試判斷△EFC的形狀．【答案】△EFC為直角三角形，理由見解析【分析】因為正方形ABCD的邊長為4，易得AF＝1，則FD＝3，DC＝BC＝4，AE＝EB＝2；在Rt△AEF、Rt△DFC，Rt△EBC中，利用勾股定理求出EF、EC、FC的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理解答．【詳解】解：△EFC為直角三角形．∵正方形ABCD的邊長為4，AF=AD∴AF=1，F(xiàn)D=3，DC=BC=4，∵E為AB的中點，∴AE=EB=2；在Rt△AEF中，EF=；在Rt△DFC中，F(xiàn)C==5；在