【數(shù)學(xué) 】專題：等差數(shù)列限時小練（40分鐘）-2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)（人教A版2019選擇性必修第二冊）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題4：等差數(shù)列限時訓(xùn)練滿分100一、單選題（每題5分共30分）1．已知數(shù)列滿足，則的值為（

）A．2 B． C． D．2．已知數(shù)列滿足.若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A．4046 B．4047 C．8092 D．80943．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，若，則（

）A． B． C． D．4．已知等差數(shù)列，則“單調(diào)遞增”是“”的（

）條件A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件5．若數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，則（

）A．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列C．為等差數(shù)列 D．為等差數(shù)列6．衛(wèi)生紙是人們生活中的必需品，隨處可見．衛(wèi)生紙形狀各異，有單張四方型的，也有卷成滾筒形狀的．某款卷筒衛(wèi)生紙繞在圓柱形空心紙筒上，紙筒直徑為40mm，衛(wèi)生紙厚度為0.1mm．若未使用時直徑為90mm，使用一段時間后直徑為60mm，則這個卷筒衛(wèi)生紙大約已經(jīng)使用了（

）A．25.7m B．30.6m C．35.3m D．40.4m7．已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，則中最小的一項(xiàng)是（

）A． B． C． D．8．過圓：內(nèi)一點(diǎn)的2023條弦恰好可以構(gòu)成一個公差為（）的等差數(shù)列，則公差的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題（每題5分共10分）9．已知為橢圓C上一點(diǎn)，，為橢圓的焦點(diǎn)，且，若與的等差中項(xiàng)為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．10．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，現(xiàn)將數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大排列可以得到新數(shù)列，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．?dāng)?shù)列的前10項(xiàng)和為三、填空題（每題5分共10分）11．若數(shù)列滿足，，則的最小值是．12．已知數(shù)列是遞增數(shù)列，前項(xiàng)和為，且當(dāng)時，，則.四、解答題13．在等差數(shù)列中，(1)已知，，求，；(2)已知，，求；(3)已知，，求．14．在①，②，③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題的題設(shè)條件中.問題：已知等差數(shù)列的公差為，前n項(xiàng)和為，滿足，___________？(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求的值.15．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.16．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項(xiàng)公式．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．A【分析】直接根據(jù)遞推公式計(jì)算即可得出答案【詳解】，故選：A2．B【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)得到數(shù)列為等差數(shù)列，然后利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)和前項(xiàng)和公式求即可.【詳解】因?yàn)?，所以?shù)列為等差數(shù)列，則.故選：B.3．D【分析】根據(jù)題意，推得，得到數(shù)列是公差為3的等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】由數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，可得，即，故數(shù)列是公差為3的等差數(shù)列，因?yàn)椋?，所?故選：D．4．A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的概念得到，進(jìn)而推得結(jié)果.【詳解】已知等差數(shù)列的公差為，即，當(dāng)單調(diào)遞增時，，令得到，；反之，，為單調(diào)遞增.故“單調(diào)遞增”是“”的充要條件．故選：A.5．D【分析】降次作差即可得到，根據(jù)等差數(shù)列的定義即可判斷A，根據(jù)數(shù)列單調(diào)性即可判B，求出相關(guān)值結(jié)合等差數(shù)列定義即可判斷CD.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴，對于A：不滿足，故A不正確；對于B：，故B不正確；對于C，，,，不滿足，故C不正確；對于D：，，，三項(xiàng)可構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為8，故D正確；故選：D．6．C【分析】依題意，可以把繞在盤上的衛(wèi)生紙長度，近似看成是半徑成等差數(shù)列的圓周長，然后分別計(jì)算各圓的周長，再借助等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求總和即可.【詳解】未使用時，可認(rèn)為外層衛(wèi)生紙的長度為：，可認(rèn)為每層紙的長度為等差數(shù)列，使用到現(xiàn)在，相當(dāng)于等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為：，且.由等差數(shù)列的求和公式得：故選：C7．B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，即，所以有，顯然當(dāng)時，，因此中最小的一項(xiàng)是，故選：B8．B【分析】依題意，過點(diǎn)的2023條弦構(gòu)成公差為正數(shù)的等差數(shù)列，要使公差最大，必須使首項(xiàng)取到最短弦長，末項(xiàng)取到最長弦長，利用等差數(shù)列基本量運(yùn)算即得.【詳解】因經(jīng)過圓：內(nèi)一點(diǎn)的最長的弦為圓的直徑，長度為10，最短弦長為以點(diǎn)為中點(diǎn)且與垂直的弦，其長度為.(理由如下)如圖，過點(diǎn)且與垂直，過點(diǎn)另作弦,過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，顯然,而,因，則得，即為過點(diǎn)的最短弦長.要使公差d最大，則這2023條弦構(gòu)成的等差數(shù)列應(yīng)以最短弦長為首項(xiàng)，以最長弦長為末項(xiàng).即，解得：，故公差的最大值為.故選：B.9．AB【分析】根據(jù)給定條件，求出橢圓長短半軸長，再按焦點(diǎn)位置求出橢圓方程即得.【詳解】依題意，橢圓的半焦距，長半軸長，則，因此，短半軸長，焦點(diǎn)在x軸上時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點(diǎn)在y軸上時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：AB10．ACD【分析】根據(jù)題設(shè)條件求出數(shù)列的公差，易得通項(xiàng)和前項(xiàng)和，易于判斷A,B兩項(xiàng)；對于新數(shù)列，可以通過項(xiàng)的列舉找到公共項(xiàng)，易得其通項(xiàng)，判斷C項(xiàng)；對于D項(xiàng)，因數(shù)列的通項(xiàng)易于裂項(xiàng)，故運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求和即得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，由解得：，故，，故A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯誤；將數(shù)列列舉出來為：數(shù)列列舉出來為：故共同項(xiàng)依次有：,即，故，則，C項(xiàng)正確；因，其前10項(xiàng)和為．故D項(xiàng)正確.故選：ACD.11．/【分析】利用累加法求得，利用基本不等式求得的最小值.【詳解】由已知，，…，，，所以，又也滿足上式，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值是．故答案為：12．【分析】根據(jù)題意，推得，得到，求得，再利用并項(xiàng)法求和，即可求解.【詳解】由時，，可得，即，所以，兩式相減得，即，所以，因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以，則，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差的等差數(shù)列，所以，經(jīng)檢驗(yàn)時成立，則，則.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法知識點(diǎn)撥：對于數(shù)列分組求和的解題策略：1、一個數(shù)列的的通項(xiàng)公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減；2、分組轉(zhuǎn)化求和的常見類型：①若數(shù)列滿足（為等差或等比數(shù)列），可分組求和；②若（為等差或等比數(shù)列），可分組求和.13．(1)；(2)28；(3)17.【分析】（1）（2）（3）利用給定條件，列出關(guān)于、的方程組即可求解作答.【詳解】（1）在等差數(shù)列中，由，得：，解得，所以.（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得：，解得，所以.（3）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得：，解得，所以.14．(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個量的值，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求出的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)相消法求出，結(jié)合放縮法可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以.（2）證明：由（1）可得，則，所以，所以.15．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由已知得,且，取,得,由題意得,消積得到項(xiàng)的遞推關(guān)系,進(jìn)而證明數(shù)列是等差數(shù)列;（2）由（1）可得的表達(dá)式,由此得到的表達(dá)式,然后利用和與項(xiàng)的關(guān)系求得.【詳解】（1）[方法一]：由已知得,且，,取,由得,由于為數(shù)列的前n項(xiàng)積，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差等差數(shù)列;[方法二]【最優(yōu)解】：由已知條件知

①于是．

②由①②得．

③又，

④由③④得．令，由，得．所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．[方法三]：

由，得，且，，．又因?yàn)椋?，所以．在中，?dāng)時，．故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．[方法四]：數(shù)學(xué)歸納法

由已知，得，，，，猜想數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，且．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．當(dāng)時顯然成立．假設(shè)當(dāng)時成立，即．那么當(dāng)時，．綜上，猜想對任意的都成立．即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）可得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，,,當(dāng)n=1時，,當(dāng)n≥2時,,顯然對于n=1不成立,∴