人教A版高中數(shù)學(xué)必修一期末復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

人教A版高中數(shù)學(xué)必修一期末復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)1.1集合的概念1.集合的描述：一般地，我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合，簡(jiǎn)稱為集.2.集合的三個(gè)特性：（1）描述性：“集合”是一個(gè)原始的不加定義的概念，它同平面幾何中的“點(diǎn)”、“線”、“面”等概念一樣，都只是描述性地說(shuō)明.（2）整體性：集合是一個(gè)整體，暗含“所有”、“全部”、“全體”的含義，因此一些對(duì)象一旦組成了集合，這個(gè)集合就是這些對(duì)象的總體.（3）廣泛性：組成集合的對(duì)象可以是數(shù)、點(diǎn)、圖形、多項(xiàng)式、方程，也可以是人或物等.3.集合中元素的三個(gè)特性：（1）確定性：對(duì)于給定的集合，它的元素必須是確定的.即按照明確的判斷標(biāo)準(zhǔn)（不能是模棱兩可的）判斷給定的元素，或者在這個(gè)集合里，或者不在這個(gè)集合里，二者必居其一.（2）互異性：一個(gè)給定的集合中的元素是互不相同的.也就是說(shuō)集合中的元素是不能重復(fù)出現(xiàn)的.（3）無(wú)序性：集合中的元素排列無(wú)先后順序，任意調(diào)換集合中的元素位置，集合不變.4.集合的符號(hào)表示通常用大寫(xiě)的字母，，，…表示集合，用小寫(xiě)的字母，，表示集合中的元素.5.集合的相等當(dāng)兩個(gè)集合的元素是一樣時(shí)，就說(shuō)這兩個(gè)集合相等.集合與集合相等記作.6.元素與集合之間的關(guān)系（1）屬于：如果是集合中的元素，就說(shuō)屬于集合，記作，讀作屬于.（2）不屬于:如果不是集合中的元素，就說(shuō)不屬于集合，記作，讀作不屬于.7.集合的分類(lèi)（1）有限集：含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集.如方程的實(shí)數(shù)根組成的集合.（2）無(wú)限集：含有無(wú)限個(gè)元素的集合叫做無(wú)限集.如不等式的解組成的集合.8.常用數(shù)集及其記法（1）正整數(shù)集：全體正整數(shù)組成的集合叫做正整數(shù)集，記作或.（2）自然數(shù)集：全體非負(fù)整數(shù)組成的集合叫做自然數(shù)集，記作.（3）整數(shù)集：全體整數(shù)組成的集合叫做整數(shù)集，記作.（4）有理數(shù)集：全體有理數(shù)組成的集合叫做有理數(shù)集，記作.（5）實(shí)數(shù)集：全體實(shí)數(shù)組成的集合叫做實(shí)數(shù)集，記作.9.集合表示的方法（1）自然語(yǔ)言：用文字?jǐn)⑹龅男问矫枋黾系姆椒?如所有正方形組成的集合，所有實(shí)數(shù)組成的集合.例如，三角形的集合.（2）列舉法：把集合的元素一一列舉出來(lái)表示集合的方法叫做列舉法.其格式是把集合的元素一一列舉出來(lái)并用逗號(hào)隔開(kāi)，然后用花括號(hào)括起來(lái).例如，我們可以吧“地球上的四大洋”組成的集合表示為太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋，把“方程的所有實(shí)數(shù)根”組成的集合表示為.（3）描述法：通過(guò)描述集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.一般格式為，其中是集合中的元素代表，則表示集合中的元素所具有的共同特征.例如，不等式的解集可以表示為.1.2集合間的基本關(guān)系1.子集一般地，對(duì)于兩個(gè)集合,,如果集合中任意一個(gè)元素都是集合中的元素，我們就說(shuō)這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合為集合的子集，記為或（）讀作集合包含于集合（或集合包含集合）.集合是集合的子集可用圖表示如下：或關(guān)于子集有下面的兩個(gè)性質(zhì)：（1）反身性：；（2）傳遞性：如果，且，那么.2.真子集如果集合，但存在元素，且，我們稱集合是集合的真子集，記為（或），讀作集合真包含于集合（或集合真包含集合）.集合是集合的真子集可用圖表示如右.3.集合的相等如果集合，且，此時(shí)集合與集合的元素是一樣的，我們就稱集合與集合相等，記為.集合與集合相等可用圖表示如右.4.空集我們把不含任何元素的集合叫做空集，記為.我們規(guī)定空集是任何一個(gè)集合的子集，空集是任何一個(gè)非空集合的真子集，即（1）（是任意一個(gè)集合）；（2）（）.1.3集合的運(yùn)算1.并集自然語(yǔ)言：一般地，由所有屬于集合或?qū)儆诩系脑亟M成的集合，稱為集合與的并集，記作（讀作“并”）.符號(hào)語(yǔ)言：.圖形語(yǔ)言：理解：或包括三種情況：且；且；且.并集的性質(zhì)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），；（6）.2.交集自然語(yǔ)言：一般地，由屬于集合且屬于集合的所有元素組成的集合，稱為與的交集，記作（讀作“交”）.符號(hào)語(yǔ)言：.圖形語(yǔ)言：理解：當(dāng)與沒(méi)有公共元素時(shí)，不能說(shuō)與沒(méi)有交集，只能說(shuō)與的交集是.交集的性質(zhì)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），；（6）.3.補(bǔ)集（1）全集的概念：一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問(wèn)題中涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集，通常記作.（2）補(bǔ)集的概念自然語(yǔ)言：對(duì)于一個(gè)集合，由屬于全集且不屬于集合的所有元素組成的集合稱為集合相對(duì)于全集的補(bǔ)集，記為.符號(hào)語(yǔ)言：圖形語(yǔ)言：補(bǔ)集的性質(zhì)（1）；（2）；（3）；（4）.1.4充分條件與必要條件1.充分條件與必要條件一般地，“若，則”為真命題，是指由通過(guò)推理可以得出.這時(shí)，我們就說(shuō)，由可推出，記作，并且說(shuō)是的充分條件，是的必要條件.在生活中，是成立的必要條件也可以說(shuō)成是:（表示不成立），其實(shí)，這與是等價(jià)的.但是，在數(shù)學(xué)中，我們寧愿采用第一種說(shuō)法.如果“若，則”為假命題，那么由推不出，記作.此時(shí)，我們就說(shuō)不是的充分條件，不是的必要條件.2.充要條件如果“若，則”和它的逆命題“若則”均是真命題，即既有，又有就記作.此時(shí)，我們就說(shuō)是的充分必要條件，簡(jiǎn)稱為充要條件.顯然，如果是的充要條件，那么也是的充要條件.概括地說(shuō)，如果，那么與互為充要條件.“是的充要條件”,也說(shuō)成“等價(jià)于”或“當(dāng)且僅當(dāng)”等.1.5全稱量詞與存在量詞1.全稱量詞與存在量詞（1）全稱量詞短語(yǔ)“所有的”，“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“”表示.常見(jiàn)的全稱量詞還有“一切”，“每一個(gè)”，“任給”，“所有的”等.含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題.全稱量詞命題“對(duì)中的任意一個(gè)，有成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為，，讀作“對(duì)任意屬于，有成立”.（2）存在量詞短語(yǔ)“存在一個(gè)”，“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“”表示.常見(jiàn)的存在量詞還有“有些”，“有一個(gè)”，“對(duì)某個(gè)”，“有的”等.含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題.存在量詞命題“存在中的元素，使成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為，，讀作“存在中的元素，使成立”.2.全稱量詞命題和存在量詞命題的否定（1）全稱量詞命題的否定全稱量詞命題：，，它的否定：，.全稱量詞命題的否定是存在量詞命題.（2）存在量詞命題的否定存在量詞命題：，，它的否定：，.存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)1.比較原理；；.2.等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1如果，那么；性質(zhì)2如果，，那么；性質(zhì)3如果，那么；性質(zhì)4如果，那么；性質(zhì)5如果，，那么.3.不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1如果，那么；如果，那么.即性質(zhì)2如果，，那么.即，.性質(zhì)3如果，那么.由性質(zhì)3可得，.這表明，不等式中任何一項(xiàng)可以改變符號(hào)后移到不等號(hào)的另一邊.性質(zhì)4如果，，那么；如果，，那么.性質(zhì)5如果，，那么.性質(zhì)6如果，，那么.性質(zhì)7如果，那么（，）.2.2基本不等式1.重要不等式，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.2.基本不等式如果，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.叫做正數(shù)，的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù).基本不等式表明：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).3.與基本不等式相關(guān)的不等式（1）當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.（2）當(dāng)，時(shí)，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.（3）當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.4.利用基本不等式求最值已知，，那么（1）如果積等于定值，那么當(dāng)時(shí)，和有最小值；（2）如果和等于定值，那么當(dāng)時(shí)，積有最大值.2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式1.一元二次不等式只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式.2.二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系二次函數(shù)（）的圖象一元二次方程有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根無(wú)實(shí)根R第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.1函數(shù)的概念及其表示1.函數(shù)的概念設(shè),是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合中的任意一個(gè)數(shù)，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在集合中都有唯一確定的的數(shù)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱為從集合到集合的一個(gè)函數(shù)，記作,.其中，叫做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，與的值相對(duì)應(yīng)的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域，顯然，值域是集合的子集.2.區(qū)間：設(shè),是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且，我們規(guī)定：（1）滿足不等式的實(shí)數(shù)的集合叫做閉區(qū)間，表示為；（2）滿足不等式的實(shí)數(shù)的集合叫做開(kāi)區(qū)間，表示為；（3）滿足不等式或的實(shí)數(shù)的集合叫做半開(kāi)半閉區(qū)間，分別表示為：,.這里的實(shí)數(shù)，都叫做相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn).這些區(qū)間的幾何表示如下表所示.定義名稱符號(hào)數(shù)軸表示閉區(qū)間開(kāi)區(qū)間半開(kāi)半閉區(qū)間半開(kāi)半閉區(qū)間（4）實(shí)數(shù)集可以表示為,“”讀作“無(wú)窮大”，“”讀作“負(fù)無(wú)窮大”，“”讀作“正無(wú)窮大”.滿足，，，的實(shí)數(shù)的集合，用區(qū)間分別表示為，，.這些區(qū)間的幾何表示如下表所示.定義符號(hào)數(shù)軸表示注意：（1）“”是一個(gè)趨向符號(hào)，表示無(wú)限接近，卻永遠(yuǎn)達(dá)不到，不是一個(gè)數(shù).（2）以“”或“”為區(qū)間的一端時(shí)，這一端點(diǎn)必須用小括號(hào).3.函數(shù)的三要素（1）定義域；（2）對(duì)應(yīng)關(guān)系；（3）值域.值域隨定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系的確定而確定.4.函數(shù)的相等如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系分別相同，那么就說(shuō)這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù).5.函數(shù)的表示方法（1）解析法用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法叫做解析法.解析法是表示函數(shù)的一種重要的方法，這種表示法從“數(shù)”的方面簡(jiǎn)明、全面地概括了變量之間的數(shù)量關(guān)系.（2）圖象法用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法叫做圖象法.圖象法直觀地表示了函數(shù)值隨自變量值改變的變化趨勢(shì)，從“形”的方面刻畫(huà)了變量之間的數(shù)量關(guān)系.說(shuō)明：將自變量的一個(gè)值作為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值作為縱坐標(biāo)，就得到坐標(biāo)平面上的一個(gè)點(diǎn).當(dāng)自變量取遍函數(shù)的定義域中的每一個(gè)值時(shí)，就得到一系列這樣的點(diǎn)，所有這些點(diǎn)組成的圖形就是函數(shù)的圖象.函數(shù)的圖象在軸上的射影構(gòu)成的集合就是函數(shù)的定義域，在軸上的射影構(gòu)成的集合就是函數(shù)的值域.函數(shù)的圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點(diǎn)，等等.（3）列表法通過(guò)列表來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法叫做列表法.例如，初中學(xué)習(xí)過(guò)的平方表、立方表都是表示函數(shù)關(guān)系的.6.分段函數(shù)（1）分段函數(shù)的概念有些函數(shù)在其定義域內(nèi)，對(duì)于自變量的不同取值區(qū)間，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù).如（1），（2）.說(shuō)明：①分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù).處理分段函數(shù)問(wèn)題時(shí)，要先確定自變量的取值在哪個(gè)區(qū)間，從而選取相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.②分段函數(shù)在書(shū)寫(xiě)時(shí)用大括號(hào)把各段函數(shù)合并寫(xiě)成一個(gè)函數(shù)的形式.并且必須指明各段函數(shù)自變量的取值范圍.③分段函數(shù)的定義域是自變量所有取值區(qū)間的并集，分段函數(shù)的定義域只能寫(xiě)成一個(gè)集合的形式，不能分開(kāi)寫(xiě)成幾個(gè)集合的形式.④分段函數(shù)的值域是各段函數(shù)在對(duì)應(yīng)自變量的取值范圍內(nèi)值域的并集.（2）分段函數(shù)的圖象分段函數(shù)有幾段，它的圖象就由幾條曲線組成.在同一坐標(biāo)系中，根據(jù)每段的定義區(qū)間和表達(dá)式依次畫(huà)出圖象，要注意每段圖象的端點(diǎn)是空心點(diǎn)還是實(shí)心點(diǎn)，組合到一起就得到整個(gè)分段函數(shù)的圖象.3.2函數(shù)的基本性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)是指在函數(shù)變化過(guò)程中的不變性和規(guī)律性.1.單調(diào)性與最大（?。┲担?）增函數(shù)設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镮,區(qū)間DI.如果，，當(dāng)時(shí)，都有,那么就稱函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞增.特別地，當(dāng)函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，我們就稱它是增函數(shù).（2）減函數(shù)設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镮，區(qū)間DI.如果，，當(dāng)時(shí)，都有,那么就稱函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞增.特別地，當(dāng)函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí)，我們就稱它是減函數(shù).（3）單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間、單調(diào)函數(shù)如果函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說(shuō)函數(shù)在區(qū)間D上具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做的單調(diào)區(qū)間.如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上具有單調(diào)性，那么就稱此函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上是單調(diào)函數(shù).（4）證明函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，基本步驟如下：①設(shè)值：設(shè)，且；②作差：；③變形：對(duì)變形，一般是通分，分解因式，配方等.這一步是核心，要注意變形到底；④判斷符號(hào)，得出函數(shù)的單調(diào)性.（5）函數(shù)的最大值與最小值①最大值：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足:（1）對(duì)于任意的，都有；（2）存在，使得.那么我們稱M是函數(shù)的最大值.②最小值：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)m滿足:（1）對(duì)于任意的，都有；（2）存在，使得.那么我們稱是函數(shù)的最小值.2.奇偶性（1）偶函數(shù)設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻?，都有，且，那么函?shù)就叫做偶函數(shù).關(guān)于偶函數(shù)有下面的結(jié)論：①偶函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.也就是說(shuō)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)為偶函數(shù)的一個(gè)必要條件；②偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱.反之也成立；③偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上的增減性相反.（2）奇函數(shù)設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻?，都有，且，那么函?shù)就叫做奇函數(shù).關(guān)于奇函數(shù)有下面的結(jié)論：①奇函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.也就是說(shuō)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)為奇函數(shù)的一個(gè)必要條件；②奇函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.反之也成立；③如果奇函數(shù)當(dāng)時(shí)有意義，那么.即當(dāng)有意義時(shí)，奇函數(shù)的圖象過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；④奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上的增減性相同.3.3冪函數(shù)1.冪函數(shù)的概念一般地，形如（，為常數(shù)）的函數(shù)稱為冪函數(shù).對(duì)于冪函數(shù)，我們只研究，，，，時(shí)的圖象與性質(zhì).2.五個(gè)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)定義域值域奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶奇函數(shù)單調(diào)性增函數(shù)在上遞減在上遞增增函數(shù)增函數(shù)在，上遞減定點(diǎn)第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.1指數(shù)1.n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪（1）方根如果，那么叫做的次方根，其中，且.①當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的方根是負(fù)數(shù).這時(shí)，的方根用符號(hào)表示.②當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).這時(shí)，正數(shù)的正的次方根用符號(hào)表示，負(fù)的次方根用符號(hào)表示.正的次方根與負(fù)的次方根可以合并寫(xiě)成（）.負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根.0的任何次方根都是0，記作.式子叫做根式，這里叫做根指數(shù)，叫做被開(kāi)方數(shù).關(guān)于根式有下面兩個(gè)等式：；.2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪（1）正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪（，，，）.0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0.（2）負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪（，，，）.0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義.（3）有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)①（，，）；②（，，）；③（，，）.3.無(wú)理數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì)（1）無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的概念當(dāng)是無(wú)理數(shù)時(shí)，是無(wú)理數(shù)指數(shù)冪.我們可以通過(guò)有理數(shù)指數(shù)冪來(lái)認(rèn)識(shí)無(wú)理數(shù)指數(shù)冪.當(dāng)?shù)牟蛔憬浦岛瓦^(guò)剩近似值逐漸逼近時(shí)，和都趨向于同一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)就是.所以無(wú)理數(shù)指數(shù)冪（，是無(wú)理數(shù)）是一個(gè)確定的數(shù).（2）實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)也適用于實(shí)數(shù)指數(shù)冪，即對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，均有下面的運(yùn)算性質(zhì).①（，，）；②（，，）；③（，，）.4.2指數(shù)函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)（，且）叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)是自變量，定義域是.2.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)一般地，指數(shù)函數(shù)（，且）的圖象和性質(zhì)如下表所示：圖象定義域值域性質(zhì)（1）過(guò)定點(diǎn)，即時(shí)，（2）在上是減函數(shù)（2）在上是增函數(shù)4.3對(duì)數(shù)1.對(duì)數(shù)的概念一般地，如果，那么數(shù)叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作.其中叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù).當(dāng)，且時(shí)，.2.兩個(gè)重要的對(duì)數(shù)（1）常用對(duì)數(shù)：以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，并把記為.（2）自然對(duì)數(shù)：以（是無(wú)理數(shù)，…）為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，并把記作.3.關(guān)于對(duì)數(shù)的幾個(gè)結(jié)論（1）負(fù)數(shù)和0沒(méi)有對(duì)數(shù)；（2）；（3）.4.對(duì)數(shù)的運(yùn)算如果，且，，，那么（1）；（2）；（3）（）.5.換底公式（，且，，，）.4.4對(duì)數(shù)函數(shù)1.對(duì)數(shù)函數(shù)的概念一般地，函數(shù)（，且）叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中是自變量，定義域是.2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)圖象定義域值域性質(zhì)（1）過(guò)定點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，.（2）增函數(shù)（2）減函數(shù)3.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)（，且）與對(duì)數(shù)函數(shù)（，且）互為反函數(shù)，它們的定義域與值域正好互換.互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.4.不同函數(shù)增長(zhǎng)的差異對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)（）、一次函數(shù)（）、指數(shù)函數(shù)（）來(lái)說(shuō)，盡管它們?cè)谏隙际窃龊瘮?shù)，但是隨著的增大，它們?cè)鲩L(zhǎng)的速度是不相同的.其中對(duì)數(shù)函數(shù)（）的增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢；一次函數(shù)（）增長(zhǎng)的速度始終不變；指數(shù)函數(shù)（）增長(zhǎng)的速度越來(lái)越快.總之來(lái)說(shuō)，不管（），（），（）的大小關(guān)系如何，（）的增長(zhǎng)速度最終都會(huì)大大超過(guò)（）的增長(zhǎng)速度；（）的增長(zhǎng)速度最終都會(huì)大大超過(guò)（）的增長(zhǎng)速度.因此，總會(huì)存在一個(gè)，當(dāng)時(shí)，恒有.4.5函數(shù)的應(yīng)用（二）1.函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解（1）函數(shù)零點(diǎn)的概念對(duì)于函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn).函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)解，也是函數(shù)的圖象與軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo).所以方程有實(shí)數(shù)解函數(shù)有零點(diǎn)函數(shù)的圖象與軸有公共點(diǎn).（2）函數(shù)零點(diǎn)存在定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在，使得，這個(gè)也就是方程的解.2.用二分法求方程的近似解對(duì)于在區(qū)間上圖象連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過(guò)不斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.給定精確度，用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值的一般步驟如下：（1）確定零點(diǎn)的初始區(qū)間，驗(yàn)證.（2）求區(qū)間的中點(diǎn).（3）計(jì)算，并進(jìn)一步確定零點(diǎn)所在的區(qū)間：①若（此時(shí)），則就是函數(shù)的零點(diǎn)；②若（此時(shí)），則令；③若（此時(shí)），則令.（4）判斷是否達(dá)到精確度：若，則得到零點(diǎn)的近似值（或）；否則重復(fù)步驟（2）~（4）.由函數(shù)零點(diǎn)與相應(yīng)方程解的關(guān)系，我們可以用二分法來(lái)求方程的近似解.3.函數(shù)模型的應(yīng)用用函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的基本過(guò)程如下：這一過(guò)程包括分析和理解實(shí)際問(wèn)題的增長(zhǎng)情況（是“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“直線上升”還是“指數(shù)爆炸”）；根據(jù)增長(zhǎng)情況選擇函數(shù)類(lèi)型構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問(wèn)題化歸為數(shù)學(xué)問(wèn)題；通過(guò)運(yùn)算、推理、求解函數(shù)模型；用得到的函數(shù)模型描述實(shí)際問(wèn)題的變化規(guī)律，解決有關(guān)問(wèn)題.在這一過(guò)程中，往往需要利用信息技術(shù)幫助畫(huà)圖、運(yùn)算等.第五章三角函數(shù)5.1任意角和弧度制1.任意角（1）角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形.射線的端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，射線在起始位置和終止位置分別叫做角的始邊和終邊.（2）正角、負(fù)角、零角按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所成的角叫正角；按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所成的角叫負(fù)角；一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)而形成的角叫零角.這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角.（3）象限角當(dāng)角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，那么角的終邊（除端點(diǎn)外）在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角.如果角的終邊落在坐標(biāo)軸上，這時(shí)這個(gè)角不屬于任何象限.（4）終邊相同的角所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個(gè)周角的和.終邊相同的角不一定相等，但相等的角，終邊一定相同；終邊相同的角有無(wú)數(shù)多個(gè)，它們相差的整數(shù)倍；象限角的表示：第一象限角的集合第二象限角的集合第三象限角的集合第四象限角的集合終邊落在坐標(biāo)軸上的角在以后的學(xué)習(xí)中很重要，它們的表示如下表.位置表示終邊在軸非負(fù)半軸終邊在軸非正半軸終邊在軸終邊在軸非負(fù)半軸終邊在軸非正半軸終邊在軸終邊在坐標(biāo)軸2.弧度制（1）弧度的概念長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角.在半徑為的圓中，弧長(zhǎng)為的弧所對(duì)的圓心角為，那么.正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.（2）弧度與角度的換算（3）關(guān)于扇形的幾個(gè)公式設(shè)扇形的圓心角為（），半徑為，弧長(zhǎng)為，則有①；②；③.5.2三角函數(shù)的概念1.三角函數(shù)的概念（1）三角函數(shù)的定義一般地，任意給定一個(gè)角，它的終邊與單位圓相交于點(diǎn).把點(diǎn)的縱坐標(biāo)叫做的正弦函數(shù)，記作，即；把點(diǎn)的橫坐標(biāo)叫做的余弦函數(shù)，記作，即；把點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值叫做的正切函數(shù)，記作，即（）.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，通常將它們記為：正弦函數(shù)，；余弦函數(shù)，；正切函數(shù)，（）.設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊上任意一點(diǎn)（不與原點(diǎn)重合）的坐標(biāo)為，點(diǎn)與原點(diǎn)的距離為.可以證明：；；.（2）幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值，，，的三角函數(shù)值如下表所示：函數(shù)不存在不存在（3）三角函數(shù)值的符號(hào)（4）誘導(dǎo)公式（一）終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.，，，其中.2.同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系（1）平方關(guān)系.（2）商數(shù)關(guān)系.作用：（1）已知的某一個(gè)三角函數(shù)值，求其余的兩個(gè)三角函數(shù)值；（2）化簡(jiǎn)三角函數(shù)式；（3）證明三角函數(shù)恒等式.5.3誘導(dǎo)公式1.公式二，，.2.公式三，，.3.公式四，，.小結(jié)：（1）（），，，的三角函數(shù)，等于的同名函數(shù)，前面加上把看成銳角時(shí)原三角函數(shù)值的符號(hào).（2）利用公式一～公式四，可以把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，一般可按下面步驟進(jìn)行：4.公式五，.5.公式六，.小結(jié)：，的正弦（余弦），等于的余弦（正弦），前面加上把看成銳角時(shí)原三角函數(shù)值的符號(hào).5.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象（1）正弦函數(shù)的圖象.①畫(huà)點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出以原點(diǎn)為圓心的單位圓，與軸正半軸的交點(diǎn)為.在單位圓上，將點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)弧度至點(diǎn)，根據(jù)正弦函數(shù)的定義，點(diǎn)的縱坐標(biāo).由此，以為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)畫(huà)點(diǎn)，即得到函數(shù)圖象上的點(diǎn).②畫(huà)（）的圖象把軸上從到這一段分成等份，使的值分別為，，，，…，，它們所對(duì)應(yīng)的角的終邊與單位圓的交點(diǎn)將圓周等份，再按上述畫(huà)點(diǎn)的方法，就可畫(huà)出自變量取這些值時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象上的點(diǎn).然后將這些點(diǎn)用光滑的曲線連接起來(lái)，即得（）的圖象.③（）的圖象由誘導(dǎo)公式一可知，函數(shù)，，且的圖象，與函數(shù)，的圖象形狀完全一樣.因此將函數(shù)，的圖象不斷向左、向右平行移動(dòng)（每次個(gè)單位長(zhǎng)度），就可以得到正弦函數(shù)，的圖象（如下圖）.正弦函數(shù)的圖象叫做正弦曲線.④五點(diǎn)作圖法在函數(shù)，的圖象上，有以下五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：，，，，.畫(huà)出這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，然后用光滑的曲線將它們連接起來(lái)，可得到正弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖.這種作圖的方法稱為”五點(diǎn)作圖法”.（2）余弦函數(shù)的圖象因?yàn)?，所以可將正弦函?shù)，的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度即得余弦函數(shù)，的圖象.余弦函數(shù)，的圖象叫做余弦曲線.余弦函數(shù)，的圖象上五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：，，，，.2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)（1）周期性一般地，對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有，那么函數(shù)就叫做周期函數(shù).非零常數(shù)叫做這個(gè)函數(shù)的周期.如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做的最小正周期.正弦函數(shù)是周期函數(shù)，（且）都是它的周期，最小正周期是.余弦函數(shù)也是周期函數(shù)，（且）都是它的周期