2023年中考數(shù)學(xué)探究性試題復(fù)習17 軸對稱【含答案】

2023年中考數(shù)學(xué)探究性試題復(fù)習17軸對稱一、綜合題1．如圖（1）【感知】如圖①，將?ABCD沿過點D的直線折疊，使點A落在CD邊上的點F處，得到折痕DE，連結(jié)EF．若AD=4，則四邊形AEFD的周長為．（2）【探究】如圖②，將四邊形AEGD沿GE折疊，點A、D的對應(yīng)點分別為A′、D′，點A′求證：四邊形AEA（3）若AB=6，CB=3，∠B=120°，CA′=1，則△2．綜合與探究在矩形ABCD的CD邊上取一點E，將△BCE沿BE翻折，使點C恰好落在AD邊上的點F處．（1）如圖①，若BC=2BA，求∠CBE的度數(shù)；（2）如圖②，當AB=5，且AF?FD=10時，求EF的長；（3）如圖③，延長EF，與∠ABF的角平分線交于點M，BM交AD于點N，當NF=AN+FD時，請直接寫出ABBC3．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，∠B=∠E=30°，AC=AF=6，用這兩個直角三角形研究圖形的變換.（1）【翻折】如圖1，將△DEF沿線段AB翻折，連接CF，下列對所得四邊形ACBF的說法正確的是.①AB平分∠CBF、∠CAF，②AB、CF互相平分，③S四邊形ACBF=12AB?CF，④A、C（2）【平移】

如圖2，將△DEF沿線段AB向右平移，使D點移到AB的中點，連接CD、CF、FB，請猜想四邊形CDBF的形狀，并說明理由.（3）【旋轉(zhuǎn)】如圖3，將△DEF繞點C(F)逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使AC∥ED，連接AE、AD，則旋轉(zhuǎn)角為°，AD=cm.4．如圖（1）【問題情境】如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是AD邊上的一個動點，以CE為邊在CE的右側(cè)作正方形CEFG，連接DG、BE，則DG與BE的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，四邊形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，點E是AD邊上的一個動點，以CE為邊在CE的右側(cè)作矩形CEFG，且CG：CE=1：2，連接DG、BE.判斷線段DG與BE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；（3）【拓展提升】如圖3，在（2）的條件下，連接BG，則2BG+BE的最小值為.5．如圖，平行四邊形ABCD中，AB=7，BC=10.點P是BC邊上的一點，連接AP，以AP為對稱軸作△ABP的軸對稱圖形△AQP（1）動手操作當點Q正好落在AD邊上時，在圖①中畫出△ABP的軸對稱圖形△AQP，并判斷四邊形ABPQ的形狀是▲；（2）問題解決如圖②，當點P是線段BC中點，且CQ=2時，求AP的長；（3）拓展探究如圖③，當點P、Q、D在同一直線上，且∠PQC=∠PQA時，求PQ的長.6．在一個數(shù)學(xué)活動中，若身旁沒有量角器或者三角尺，又需要作60°，30°，15°的角，可以采用如下的方法：【操作感知】第一步：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開.第二步；再一次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕BM，同時得到線段BN（如圖1）.（1）【猜想論證】

寫出圖1中一個30°的角：.（2）若延長MN交BC于點P，如圖2所示，試判斷△BMP的形狀，并證明.（3）【遷移探究】

小華將矩形紙片換正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：將正方形紙片ABCD按照“操作感知”的方式操作，并延長MN交CD于點Q，連接BQ.當點N在EF上時，DM=2，求正方形的邊長.7．（1）問題提出如圖①，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=12，若P是邊AC上一點，則BP的最小值為.（2）問題探究如圖②，在Rt△ABC中，AB=BC，斜邊AC的長為42，E是BC的中點，P是邊AC上一點，試求PB+PE（3）問題解決某城區(qū)有一個五邊形MBCDP空地（∠M=∠P=∠PDC=90°，∠C=150°），城建部門計劃利用該空地建造一個居民戶外活動廣場，其中△MAB的部分規(guī)劃為觀賞區(qū)，用于種植各類鮮花，△APD部分規(guī)劃為音樂區(qū)，供老年合唱團排練合唱或廣場舞使用，四邊形ABCD部分為市民健身廣場，如圖③所示.已知AD=100米，CD=50米，∠BAD=60°，∠ABC=90°.為了進一步提升服務(wù)休閑功能，滿足市民游園和健身需求，現(xiàn)要在AB，AD上分別取點E，F(xiàn)，鋪設(shè)一條由CE，EF，F(xiàn)C連接而成的步行景觀道，已知鋪設(shè)景觀道的成本為100元/米，求鋪設(shè)完這條步行景觀道所需的最低成本.8．綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“正方形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．操作：操作一：對折正方形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；操作二：在AD上選一點P，沿BP折疊，使點A落在正方形內(nèi)部點M處，把紙片展平，連接PM、BM，延長PM交CD于點Q，連接BQ．（1）探究：①如圖①，當點M在EF上時，∠EMB=▲°．②改變點P在AD上的位置（點P不與點A、D重合），如圖②，判斷MQ與CQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）拓展：若正方形紙片ABCD的邊長為8，當FQ=1時，直接寫出AP的長．9．將紙片△ABC沿DE折疊使點A落在點A'處.【感知】如圖①，點A落在四邊形BCDE的邊BE上，則∠A與∠1之間的數(shù)量關(guān)系是▲；【探究】如圖②，若點A落在四邊形BCDE的內(nèi)部，則∠A與∠1+∠2之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.【拓展】如圖③，點A落在四邊形BCDE的外部，若∠1=80°，∠2=24°，則∠A的大小為▲.10．問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們開展了以“矩形紙片折疊”為主題的探究活動（每個小組的矩形紙片規(guī)格相同），已知矩形紙片寬AB＝8，長AD＝82.動手實踐：（1）如圖1，騰飛小組將矩形紙片ABCD折疊，點A落在BC邊上的點A′處，折痕為BE，連接A′E，然后將紙片展平，得到四邊形AE（2）如圖2，永攀小組將矩形紙片ABCD沿經(jīng)過A、C兩點的直線折疊，展開后得折痕AC.再將其沿經(jīng)過點B的直線折疊，使點A落在OC上（O為兩條折痕的交點），第二條折痕與AD交于點E.請寫出OC與OA的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.（3）如圖3，探究小組將圖1中的四邊形AEA′B剪下，在AE上取中點F，將△ABF沿BF折疊得到△MBF，點P、Q分別是邊A′E，A′B上的動點（均不與頂點重合），將△A11．定義：在平面直角坐標系中，有一條直線x=m，對于任意一個函數(shù)，作該函數(shù)自變量大于m的部分關(guān)于直線x=m的軸對稱圖形，與原函數(shù)中自變量大于或等于m的部分共同構(gòu)成一個新的函數(shù)圖象，則這個新函數(shù)叫做原函數(shù)關(guān)于直線x=m的“鏡面函數(shù)”.例如：圖①是函數(shù)y=x+1的圖象，則它關(guān)于直線x=0的“鏡面函數(shù)”的圖象如圖②所示，且它的“鏡面函數(shù)”的解析式為y=x+1(x≥0)?x+1(（1）在圖③中畫出函數(shù)y=?2x+1關(guān)于直線x=1的“鏡面函數(shù)”的圖象.（2）函數(shù)y=x2?2x+2關(guān)于直線x=?1的“鏡面函數(shù)”與直線y=?x+m（3）已知A(?1，0)，B(3，0)，C(3，?2)，D(?1，12．在平面直角坐標系xOy中，對于線段AB與直線l：y=kx+b，給出如下定義：若線段AB關(guān)于直線l的對稱線段為A′B′(A′，已知點A(1，1)，（1）線段A′B′為線段AB的“[1，b]關(guān)聯(lián)線段”，點A′的坐標為(2，（2）線段A′B′為線段AB的“[k，0]關(guān)聯(lián)線段”，直線l1經(jīng)過點C(0，2)，若點A′（3）點P(?3，0)，Q(?3，3)，線段A′13．如圖（1）[基礎(chǔ)鞏固]如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，求證：AC2=AD·AB．（2）[嘗試應(yīng)用]如圖②，在矩形ABCD中，AD=2，點F在AB上，F(xiàn)B=2AF，DF⊥AC于點E，求AE的長．（3）[拓展提高]如圖③，在矩形ABCD中，點E在邊BC上，NDCE與NDFE關(guān)于直線DE對稱，點C的對稱點F在邊AB上，G為AD中點，連結(jié)GC交DF于點M，GC∥FE，若AD=2，求GM的長．14．在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，同學(xué)們對菱形的折疊問題進行了探究.如圖（1），在菱形ABCD中，∠B為銳角，E為BC中點，連接DE，將菱形ABCD沿DE折疊，得到四邊形A′B′ED，點A的對應(yīng)點為點A′，點B的對應(yīng)點為點B′.（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】A′D與B′E的位置關(guān)系是；（2）【思考表達】連接B′C，判斷∠DEC與（3）如圖（2），延長DC交A′B′于點G，連接EG（4）【綜合運用】如圖（3），當∠B=60°時，連接B′C，延長DC交A′B′于點G，連接EG，請寫出B′C

答案解析部分1．【答案】（1）16（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠AEG=∠A∵將四邊形AEGD沿GE折疊，點A、D的對應(yīng)點分別為A′、D′，點A′∴∠AGE=∠A′GE∴∠AGE=∠AEG，∴AE=AG，∴AG=A∴四邊形AEA（3）122．【答案】（1）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C=90°，∵將△BCE沿BE翻折，使點C恰好落在AD邊上點F處，∴BC=BF，∠FBE=∠CBE，∠C=∠BFE=90°，∵BC=2AB，∴BF=2AB，∴∠AFB=30°，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠CBF=∠AFB=30°，∴∠CBE=1∴∠CBE的度數(shù)為15°；（2）解：∵將△BCE沿BE翻折，使點C恰好落在AD邊上點F處，∴∠BFE=∠C=90°，F(xiàn)E=CE，又∵矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，∴∠AFB+∠DFE=90°，∠DEF+∠DFE=90°，∴∠AFB=∠DEF，∴△FAB∽△EDF，∴AFDE∴AF?DF=AB?DE，∵AF?DF=10，AB=5，∴DE=2，∴CE=DC?DE=5?2=3，∴EF=EC=3，∴EF的長為3；（3）解：ABBC的值為33．【答案】（1）①③④（2）解：∵△DEF沿線段AB向左平移，∴AB∥CF，CF=BE.∵△DEF是直角三角形，D是AB的中點，∴BE=BD=BF=1∴CF=BD∵AB∥CF，∴四邊形BDCF是平行四邊形.∵BD=BF，∴四邊形ABEF是菱形.（3）120；64．【答案】（1）DG=BE（2）解：DG=1理由如下：延長BE、GD相交于點H.∵矩形ECGF、矩形ABCD，∴∠ECG=∠BCD=90°，∴∠DCG=∠BCE，∵CD：CB=2：4=1：2，CG：CE=1：2，∴CD：CB=CG：CE，∵∠DCG=∠BCE，∴△DCG∽△BCE，∴DGBE∴DG=∵矩形ECGF∴∠FEC=∠FGC=∠F=90°∴∠HEF+∠BEC=180°-∠FEC=90°，∠FGH+∠DGC=90°，∴∠H=∠F=90°∴DG⊥BE（3）45．【答案】（1）解：如圖①，△AQP即為所求，；菱形；（2）解：如圖②，連接BQ交AP于點E，∵△AQP與△ABP是以AP為對稱軸的軸對稱圖形，由軸對稱的性質(zhì)得，AQ=AB，BP=PQ，∴AP是線段BQ的垂直平分線.∴點E是BQ的中點，∠AEB=∠BEP=90°.又∵點P是BC的中點，∴EP為△BQC的中位線，BP=1∴EP=1在Rt△BEP中，BE=B在Rt△ABE中，AE=A∴AP=AE+EP=1+5=6；（3）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC.∵△AQP與△ABP是以AP為對稱軸的軸對稱圖形，∴∠APB=∠APQ，∴∠APQ=∠DAP，∴AD=DP=10，∵∠B=∠AQP=∠PQC=∠ADC，又∵∠ADC=∠ADP+∠PDC，∠PQC=∠PDC+∠DCQ，∴∠ADP=∠DCQ.∵AD∥BC，∴∠ADP=∠DPC，∴∠DCQ=∠DPC.∵∠PDC=∠QDC，∴△PDC∽△CDQ，∴PD即107∴DQ=49∴PQ=PD?DQ=10?496．【答案】（1）∠ABM（2）解：△BMP是等邊三角形，證明：如圖所示，由（1）可知∠BMP=∠1=60°，∵AD∥BC，∴∠1=∠2=60°，∴△BMP是等邊三角形，（3）解：由（2）可得∠DMN=60°，在Rt△DMQ中，DM=2，∠MQD=30°，∴MQ=4，DQ=23∵折疊，∴AB=BN，∴BN=BC，在Rt△BNQ，BN=BCBQ=BQ∴Rt△BNQ≌Rt△BCQ(HL)，∴NQ=CQ，∴MQ=MN+NQ=MA+CQ，∵AD+DC=AM+MD+DQ+CQ=MQ+MD+DQ=4+2+23∴AD=3+37．【答案】（1）60（2）解：在Rt△ABC中，∵AB=BC，AC=42，A∴2BC2=A∴BC=4∴AB=BC=4，∵E是BC的中點，∴BE=CE=2.如圖2，以AB，BC為邊作正方形ABCD，連接DE，DP，由正方形的軸對稱性，得PB=PD，∵PE+PD≥DE，∴當D，P，E三點共線時，PB+PE最小，最小值為DE的長.由勾股定理，得DE=4∴PB+PE的最小值為25（3）解：如圖3，分別延長AB，DC，相交于點N，連接AC，在四邊形ABCD中，∠ADC=360°?(150°+90°+60°)=60°，∵∠BAD=60°，∴△AND是等邊三角形，∴AN=AD=ND=2CD=100（米），C是ND的中點，∴∠NAC=∠DAC=30°，由勾股定理，得AC=503分別作點C關(guān)于AB，AD的對稱點C′，C″，在AN，AD上任取點E，F(xiàn)，連接CC′，CC″，CE，設(shè)O是AC與C′C″的交點，由軸對稱的性質(zhì)，得C∴CE+EF+CF=C′E+EF+C″F≥C′C在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AC=503∴BC=253（米），C連接AC′，AC″，∵AB是∴△AC∴AC=AC∴四邊形AC∴O是C′C″在Rt△C′CO∴∠CC′C由勾股定理，得C′∴C∴150×100=15000（元），答：鋪設(shè)完這條步行景觀道所需的最低成本為15000元.8．【答案】（1）解：①30；②結(jié)論：MQ=CQ．理由：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠BAD=∠C=90°．由折疊可得：AB=BM，∠BAD=∠BMP=90°，∴BM=BC，∠BMQ=∠C=90°．又∵BQ=BQ，∴Rt△BCQ≌Rt△BMQ(HL)，∴MQ=CQ；（2）解：AP的長為4011或249．【答案】解：【感知】∠1=2∠A；【探究】如圖②，2∠A=∠1+∠2.理由如下：∵∠AED+∠ADE=180°?∠A，∠A′ED+∠A′DE=180°?∠A′，∴A′DA+∠A′EA=360°?(∴∠A+∠A′+∠A′DA+∠A′EA=360°，∵∠1+∠A′DA+∠2+∠A′EA=360°，∴∠A′+∠A=∠1+∠2，由折疊可得：∠A=∠A′，∴2∠A=∠1+∠2，故答案為：2∠A=∠1+∠2；【拓展】28°10．【答案】（1）8（2）解：在Rt△ABC中，AC=A∵點A落在OC上，∴BE⊥AC.∵S△ABC∴BO=AB?BC∴Rt△ABO中，OA=ARt△BOC中，OC=B∴OC=2OA；深度探究：（3）4或2511．【答案】（1）解：如圖，即為函數(shù)y=?2x+1的“鏡面函數(shù)”的圖像（2）解：如圖，對于y=x2?2x+2，當∴函數(shù)y=x2?2x+2與當直線y=?x+m經(jīng)過點(?1，5)時，此時y=x2?2x+2關(guān)于直線x=?1當直線y=?x+m與原拋物線只有一個交點時，則有：?x+m=x整理得，x2此時，Δ=(?1)解得，m=綜上，m的值為4或74（3）解：函數(shù)y=x2?2nx+2當x=?1時，y<0，∴1?2n+2<0，解得，n>3當y=x2?2nx+28?4解得n=2或n=?2（舍），此時，函數(shù)y=x2?2nx+2(n>0∴3當x=3時，y<?2∴9?6n+2<?2解得，n>13綜上，n的取值范圍為32<n<2或12．【答案】（1）2；-1（2）解：如圖，作C關(guān)于l的對稱點C′，連接OC′，OA，OC′，由題意，得直線l解析式為：y=kx，設(shè)C關(guān)于l的對稱點為C′，∴OC′=OC=2，∵AB關(guān)于l對稱點A′B′在l1上，又l1經(jīng)過點C，∴點C′在直線AB上，∵A(1，1)，B(1，-1)，∴直線AB即是直線x=1，∴C′橫坐標為1，∴C′縱坐標為22∴C′(1，3)，∴tan∠C′OK=C′KOK∴∠C′OK=60°，∵A(1，1)，∴OA=AK，∴△AOK是等腰直角三角形，∴∠AOK=45°，∴∠C′OA=∠C′OK-∠AOK=60°-45°=15°，∵A、B、C′關(guān)于直線l的對稱點是A′、B′、C，∴∠COA′=∠C′OA=15°；當A′B′在y軸的右側(cè)時，同理可求∠COA′=∠COD+∠A′OD=105°，（3）解：b≤?7213．【答案】（1）解：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°.∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠B=90°，∴∠B=∠ACD，∵∠A=∠A，∴△CAD∽△BAC，∴ACAD∴AC2=AD?AB；（2）解：∵FB=2AF，∴AB=AF+BF=3AF.∵四邊