2023年中考數(shù)學(xué)探究性試題復(fù)習(xí)20 銳角三角函數(shù)【含答案】

2023年中考數(shù)學(xué)探究性試題復(fù)習(xí)20銳角三角函數(shù)一、綜合題1．（1）【教材呈現(xiàn)】以下是浙教版八年級下冊數(shù)學(xué)教材第85頁的部分內(nèi)容．先觀察圖4－17，直線l1∥l2，點(diǎn)A，B在直線l2上，點(diǎn)C1，C2，C3，C4在直線l1上．△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4這些三角形的面積有怎樣的關(guān)系？請說明理由。

（2）【基礎(chǔ)鞏固】如圖1，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，直徑MN∥AD，求陰影面積與圓面積的比值；（3）【嘗試應(yīng)用】如圖2，在半徑為5的⊙O中，BD＝CD，∠ACO＝2∠BDO，cos∠BOC＝x，用含x的代數(shù)式表示S△ABC；（4）【拓展提高】如圖3，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是OB上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作弦CD⊥AB于點(diǎn)P，點(diǎn)F是⊙O上的點(diǎn)，且滿足CF＝CB，連接BF交CD于點(diǎn)E，若BF＝8EP，S△CEF=102，求⊙O的半徑．2．定義，若四邊形的一條對角線平分這個四邊形的面積，則稱這個四邊形為倍分四邊形，這條對角線稱為這個四邊形的倍分線。如圖①，在四邊形ABCD中，若S△ABC=S△ADC，則四邊形ABCD為倍分四邊形，AC為四邊形ABCD的倍分線（1）判斷：若是真命題請?jiān)诶ㄌ杻?nèi)打√，若是假命題請?jiān)诶ㄌ杻?nèi)打×①平行四邊形是倍分四邊形（）②梯形是倍分四邊形（）（2）如圖①，倍分四邊形ABCD中，AC是倍分線，若AC⊥AB，AB=3，AD=DC=5，求BC；（3）如圖②，△ABC中BA=BC，以BC為直徑的00分別交AB、AC于點(diǎn)N、M，已知四邊形BCMN是倍分四邊形。①求sinC；②連結(jié)BM，CN交于點(diǎn)D，取OC中點(diǎn)F，連結(jié)MF交NC于E(如圖③)，若OF=3，求DE．3．綜合與實(shí)踐：在學(xué)習(xí)《解直角三角形》一章時，小邕同學(xué)對一個角的倍角的三角函數(shù)值與這個角的三角函數(shù)值是否有關(guān)系產(chǎn)生了濃厚的興趣，并進(jìn)行研究.（1）【初步嘗試】我們知道：tan60°=，tan30°=發(fā)現(xiàn)：tanA2tan(12（2）【實(shí)踐探究】在解決“如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，求tan(12A)的值”這一問題時，小邕想構(gòu)造包含12A的直角三角形，延長CA到點(diǎn)D，使DA=AB，連接BD，所以可得（3）【拓展延伸】如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，tanA=134．綜合與實(shí)踐[問題情境]學(xué)習(xí)完《解直角三角形的應(yīng)用》后，同學(xué)們對如何建立解直角三角形的模型測量物體的實(shí)際高度產(chǎn)生了濃厚的興趣，數(shù)學(xué)老師決定開展一次主題為《測量學(xué)校旗桿高度》的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動，并為各小組準(zhǔn)備了卷尺、測角儀等工具，要求各小組建立測高模型并測量學(xué)校旗桿的高度.[問題探究]第一小組的同學(xué)經(jīng)過討論，制定出了如下測量實(shí)施方案：第一步，建立測高模型，畫出測量示意圖（如圖1），明確需要測量的數(shù)據(jù)和測量方法：用卷尺測量測角儀CD的高度和測角儀底部C與旗桿底部A之間的距離，用測角儀測量旗桿頂端B的仰角α；第二步，進(jìn)行組員分工，制作測量數(shù)據(jù)記錄表；第三步，選擇不同的位置測量三次，依次記錄測量數(shù)據(jù)；第四步，整理數(shù)據(jù)，計(jì)算旗桿的高，撰寫研究報(bào)告.如表是該組同學(xué)研究報(bào)告中的數(shù)據(jù)記錄和計(jì)算結(jié)果：測量組別CD的長（米）AC的長（米）仰角α計(jì)算AB的高（米）位置111440°13位置211636°12位置311538°13平均值13研究結(jié)論：旗桿的高為n米（1）表中n的值為；該小組選擇不同的位置測量三次，再以三次測量計(jì)算的旗桿高度的平均數(shù)作為研究結(jié)論，這樣做的目的是.（2）該測量模型中，若CD=a，AC=b，仰角為α，用含a，b，α的代數(shù)式表示旗桿AB的高度為.（3）[拓展應(yīng)用]第二小組同學(xué)設(shè)計(jì)的是另外一種測量方案，他們畫出的測量示意圖如圖2，測量時，固定測角儀的高度為1m，先在點(diǎn)C處測得旗桿頂端B的仰角α=30°，然后朝旗桿方向前進(jìn)14m到達(dá)點(diǎn)H處，再次測得旗桿頂端B的仰角β=60°，請你幫他們求出旗桿AB的高度（結(jié)果保留根號）.5．定義：我們把一組對邊平行另一組對邊相等且不平行的四邊形叫做等腰梯形．【性質(zhì)初探】如圖1，已知，?ABCD，∠B＝80°，點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，連結(jié)CE，四邊形ABCE恰為等腰梯形．求∠BCE的度數(shù)；【性質(zhì)再探】如圖2，已知四邊形ABCD是矩形，以BC為一邊作等腰梯形BCEF，BF＝CE，連結(jié)BE、CF．求證：BE＝CF；【拓展應(yīng)用】如圖3，?ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)O，AB＝2，∠ABC＝45°，過點(diǎn)O作AC的垂線交BC的延長線于點(diǎn)G，連結(jié)DG．若∠CDG＝90°，求BC的長．6．如圖，點(diǎn)G在線段AC上，AG=6，點(diǎn)B是線段AG上一動點(diǎn)，以AB為邊向下方作正方形ABEF，以BC為腰向下方作等腰直角三角形BCD，∠CBD=90°，當(dāng)AB＜BC時，2BG－DE=4．（1）如下表，某同學(xué)分別用特殊值法和一般法求CG的長，請你將解答過程補(bǔ)充完整．探究1假設(shè)BG=3，求CG的長．探究2設(shè)BG=x，求CG的長．解：…解：…（2）過點(diǎn)A，F(xiàn)，G的⊙O交邊CD于點(diǎn)H．①連結(jié)GH，F(xiàn)H，若△CGH是等腰三角形，求AB的長．②當(dāng)⊙O與邊CD有兩個交點(diǎn)時，求AB的取值范圍．7．我們給出以下定義：如圖（1）若點(diǎn)P在不大于90°的∠MON的內(nèi)部，作PQ⊥OM于點(diǎn)Q，PI⊥ON于點(diǎn)I，則PQ+PI稱為點(diǎn)P與∠MON的“點(diǎn)角距離”記作d(P，∠MON).如圖（2）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，x、y的正半軸組成的（1）如圖（2）點(diǎn)A(4，1)，則d(A（2）若點(diǎn)B為∠XOY內(nèi)一點(diǎn)，d(B，∠XOY)=6，以點(diǎn)B為圓心r為半徑作圓，（3）已知點(diǎn)C(2，①已知點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，3)，求OC的解析式和②已知點(diǎn)E(s，t)在∠COY的內(nèi)部，d(E，8．如圖（1）【基礎(chǔ)鞏固】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三形，點(diǎn)B、D、E在同條直線上，AC與BE交于點(diǎn)F.求證：△ADF∽△CEF.（2）【嘗試應(yīng)用】

如圖2，在（1）的條件下，若EF=2DF=4，求CF的長度.（3）【拓展提高】

如圖3，在平行四邊形ABCD中，∠BAG=∠EAD=∠EDA=60°，BE=3，F(xiàn)D=2，求tan∠BAE9．某班在“圖形與坐標(biāo)”的主題學(xué)習(xí)中，第四學(xué)習(xí)小組提出如下背景“如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將一個邊長為2的等邊三角形ABC沿x軸平移（邊AB在x軸上，點(diǎn)C在x軸上方），其中A（a，0），三角形ABC與反比例函數(shù)y=2（1）第一小組提出“當(dāng)a＝2時，求點(diǎn)D的坐標(biāo)”；（2）第二小組提出“若AD＝CE，求a的值”：（3）第三小組提出“若將點(diǎn)E繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°至點(diǎn)E′，點(diǎn)E′恰好也在10．如圖，在矩形ABCD中，AD=nAB(n>1)，點(diǎn)E是AD邊上一動點(diǎn)（點(diǎn)E不與A，D重合），連接BE，以BE為邊在直線BE的右側(cè)作矩形EBFG，使得矩形EBFG∽矩形ABCD，EG交直線CD于點(diǎn)H.（1）【嘗試初探】在點(diǎn)E的運(yùn)動過程中，△ABE與△DEH始終保持相似關(guān)系，請說明理由.（2）【深入探究】若n=2，隨著E點(diǎn)位置的變化，H點(diǎn)的位置隨之發(fā)生變化，當(dāng)H是線段CD中點(diǎn)時，求tan∠ABE（3）【拓展延伸】連接BH，F(xiàn)H，當(dāng)△BFH是以FH為腰的等腰三角形時，求tan∠ABE的值（用含n11．知識再現(xiàn)：如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c．∵sinA=a∴c=asin∴a（1）拓展探究：如圖2，在銳角ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c．請?zhí)骄縜sinA，bsin（2）解決問題：如圖3，為測量點(diǎn)A到河對岸點(diǎn)B的距離，選取與點(diǎn)A在河岸同一側(cè)的點(diǎn)C，測得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．請用拓展探究中的結(jié)論，求點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離．12．某數(shù)學(xué)興趣小組自制測角儀到公園進(jìn)行實(shí)地測量，活動過程如下：（1）探究原理制作測角儀時，將細(xì)線一段固定在量角器圓心O處，另一端系小重物G.測量時，使支桿OM、量角器90°刻度線ON與鉛垂線OG相互重合（如圖①），繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動量角器，使觀測目標(biāo)P與直徑兩端點(diǎn)A、B共線（如圖②），此目標(biāo)P的仰角∠POC=∠GON.請說明兩個角相等的理由.（2）實(shí)地測量如圖③，公園廣場上有一棵樹，為了測量樹高，同學(xué)們在觀測點(diǎn)K處測得頂端P的仰角∠POQ=60°，觀測點(diǎn)與樹的距離KH為5米，點(diǎn)O到地面的距離OK為1.5米；求樹高PH.（（3）拓展探究公園高臺上有一涼亭，為測量涼亭頂端P距離地面高度PH（如圖④），同學(xué)們討論，決定先在水平地面上選取觀測點(diǎn)E、F（E、F、H在同一直線上），分別測得點(diǎn)P的仰角α、β，再測得E、F間的距離m，點(diǎn)O1、O2到地面的距離O1

答案解析部分1．【答案】（1）解：∵△ABC1，△ABC2，∴S（2）解：連結(jié)OC、OD∵AD∥MN∴S△AON=∴S陰影=S（3）解：∵BD＝CD，BO＝CO，DO＝DO

∴△BDO≌△CDO

∴∠BDO＝∠CDO∴∠BDC＝∠BAC＝2∠BDO

∵∠ACO＝2∠BDO

∴∠BAC＝∠ACO∴CO∥AB∴∠ABO＝∠BOC，S連接AO，過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H

∴BH=OB×cos∠ABO=5×cos∠BOC=5x，∴S（4）解：連結(jié)DF，BD，OD∵AB為直徑，CD⊥AB于點(diǎn)P

∴弧CB＝弧BD，CP＝PD

∵CF＝CB

∴弧CF＝弧CB＝弧BD∴∠BFD＝∠CBF，弧FCB＝弧CBD∴BC∥DF，BF＝CD設(shè)EP＝a，則CD＝8a，PC＝PD＝4a，CE＝3a∵弧CF＝弧BD

∴∠DCB＝∠CBF

∴BE＝CE＝3a，

PB=∵BC∥DF∴S△CBF=∴12ED?PB=125a?22在Rt△ODP中，OP2+P則(r?4)2+(42)2．【答案】（1）①√；②×.（2）解：作DE⊥AC交AC于點(diǎn)E，∵AC是四邊形ABCD的倍分線，AC⊥AB∴12AC×AB=1∴DE=AB=3∵DE⊥AC，AD=DC=5，∴∠DEA=90°，AC=2AE∴AE=AD∴AC=2AE=8∴BC=（3）解：①連結(jié)OM交CN于點(diǎn)H，連結(jié)BM∵BC為⊙O的直徑∴∠BNC=∠BMC=90°∵BA=BC，∴AM=CM，S∴倍分四邊形BCMN中，CN是倍分線，即S在Rt△ANC中，MN=CM=AM=12∴弧MN=弧MC∴OM⊥NC，NH=CH設(shè)OH=a，則BN=2OH=2a∵S∴MH=BN=2a∴OC=OM=OH+MH=3a，BC=6a∴Rt△COH中，CH=∴Rt△CMH中，MC=∴BM=∴sin②連結(jié)OM交CN于點(diǎn)H，作MF中點(diǎn)P，連結(jié)DP∵F為OC中點(diǎn)，∴OC=2OF=6，BC=2OC=12，BF=9∴在Rt△BCM中，BM=BC×∴MC=由①得BN=MH，∠BND=∠MHD=90°，∠BDN=∠MDH，∴ΔBDN?ΔMDH（AAS）∴DM=BD=∴CD=∵P為MF的中點(diǎn)，∴DP為△MBF的中位線∴DP=12∴△DPE∽△CFE∴DE∴DE=3．【答案】3,33,≠【實(shí)踐探究】在解決“如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，求tan(12A)的值”這一問題時，小邕想構(gòu)造包含12A的直角三角形，延長CA到點(diǎn)D，使DA=AB，連接BD，所以可得∠D=12∠BAC，問題即轉(zhuǎn)化為求∠D的正切值，請按小邕的思路求tan(12A)的值【答案】解：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，∴AB=AC2+BC2=5.∴AD=AB=5，∴∠D=∠ABD，∴∠BAC=2∠D，CD=AD+AC=2+5，∴tan12A=tanD=BC5+2=5?2.【拓展延伸】如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，tanA=13.請模仿小邕的思路或者用你的新思路，試著求一求tan2A的值.【答案】解：如圖2，作AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)E，連接BE.則∠BEC=2∠A，（1）3；33；（2）解：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，

∴AB=AC2+BC2=5.

∴AD=AB=5，

∴∠D=∠ABD，

∴（3）解：如圖2，作AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)E，連接BE.

則∠BEC=2∠A，AE=BE，∠A=∠ABE.

∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，tanA=13.

∴BC=1，AB=10.

設(shè)AE=x，則EC=3?x，

在Rt△EBC中，x2=(3?x)2+1，

解得x=54．【答案】（1）13.1；減小誤差（2）btanα+a（3）解：由題意得：DC=FH=AE=1m，DF=CH=14m，∠DEB=90°，∠BFE=60°，∠BDF=30°，∵∠BFE是△DBF的外角，∴∠DBF=∠BFE?∠BDF=30°，∴∠BDF=∠DBF=30°，∴FD=FB=14m，在Rt△BFE中，BE=BF·∴AB=BE+AE=1+73∴旗桿AB的高度為(1+735．【答案】解：【性質(zhì)初探】過點(diǎn)A作AG⊥BC交于G，過點(diǎn)E作EH⊥BC交于H，∵?ABCD，∴AE∥BC，∴AG＝EH，∵四邊形ABCE恰為等腰梯形，∵AB＝EC，∴Rt△ABG≌Rt△ECG（HL），∴∠B＝∠ECH，∵∠B＝80°，∴∠BCE＝80°；【性質(zhì)再探】證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AE∥BC，∵四邊形BCEF是等腰梯形，∴BF＝CE，由（1）可知，∠FBC＝∠ECB，∴△BFC≌△CEB（SAS），∴BE＝CF；【拓展應(yīng)用】解：連接AC，過G點(diǎn)作GM⊥AD交延長線于點(diǎn)M，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點(diǎn)，∵GO⊥AC，∴AC＝CG，∵AB∥CD，∠ABC＝45°，∴∠DCG＝45°，∴∠CDG＝90°，∴CD＝DG，∴BA＝DG＝2，∵∠CDG＝90°，∴CG＝22，∴AG＝22，∵∠ADC＝∠DCG＝45°，∴∠CDM＝135°，∴∠GDM＝45°，∴GM＝DM＝2，在Rt△AGM中，（22）2＝（AD+2）2+（2）2，∴AD＝6-2，∴BC＝6-2．6．【答案】（1）解：如圖，

探究1：∵AG=6，BG=3∴AB=3∵四邊形ABEF是正方形∴BE=AB=3又∵2BG－DE=4∴DE=6－4=2∴BD=3+2=5∵△BCD是等腰直角三角形∴BC=BD=5∴CG=BC－BG=5-3=2探究2：∵2BG－DE=4∴DE=2x－4∵四邊形ABEF是正方形，AG=6∴BE=AB=6－x∵△BCD是等腰直角三角形∴CG=BC－BG=BD－BG=2x－4＋6－x－x=2（2）解：①Ⅰ．當(dāng)CG=GH時，∠C=∠GHC=45°∴∠CGH=90°=∠AGH，GH=CG=2∵∠A+∠FHG=180°，∠A=90°∴∠FHG=90°∴四邊形AFHG是矩形∴AF=GH=2∴AB=2Ⅱ．當(dāng)CG=CH時，CH=2，作HM⊥AC，HN⊥AF，CM=HM=∴MG=2?∵∠GHM=∠FHN∴FN=HN?∴AB=AN+NF=102-10．②當(dāng)點(diǎn)D在圓上時，連結(jié)DF，DG，設(shè)AB=m，則EF=m，BC=BD=8-m，BG=6-m，DE=DB-BE=8-m-m=8-2m，由△DEF~△GBD得，DEEF=BG當(dāng)⊙O與邊CD相切于點(diǎn)H時，連結(jié)FG，OH，作OR//AC交CD于點(diǎn)R，作OP⊥AC，RQ⊥AC，易知PG=AP=3，設(shè)OP=n，則QR=n=CQ，∴OH=由OG=OH得[22綜上所述，827．【答案】（1）5（2）解：如圖，過點(diǎn)B作BE⊥y軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，∵d(B，∴BE+BF=6，∵⊙B與x軸、y軸均相切，∴BE=BF，∴BE=BF=3，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，（3）解：設(shè)直線OC的解析式為y=kx(k≠0)，把點(diǎn)C(2，4)代入得：4=2k，解得：∴直線OC的解析式為y=2x；過點(diǎn)D作DG⊥y軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作DH⊥OC于點(diǎn)H，連接CD，∵C(2，4)，D(1，∴DG=1，OC=22+42設(shè)OH=x，則CH=25在Rt△CDH中，DH在Rt△ODH中，DH∴2?(25?x)∴DH2=O∴d(D，②過點(diǎn)E作EM⊥y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN⊥OC于點(diǎn)N，∵E(s，∴ME=s把y=t代入y=2x，得：t=2x，解得：x=t∴P(t2，∴PE=t根據(jù)勾股定理可得：OP=O∴sin∠MPO=∴EN=PE?sin∴d(E∵d(E，∴55t?2即t=s+5∵當(dāng)s為大于0的任意實(shí)數(shù)時，代數(shù)式mt?5∴mt?5s?ms=0，則把t=s+5s代入得：∴m=1，把m=1代入mt?5s?ms+3m得：綜上：m=1，定值為3.8．【答案】（1）證明：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴∠AED=∠ACB=60°，∴A，B，C，E四點(diǎn)共圓，∠BEC=∠BAC=60°，∴∠ADF=∠CEF，∵∠AFD=∠CFE，∴△ADF∽△CFE（2）解：∵△ADE是等邊三角形，∴AD=DE=AE，∵EF=2DF=4，∴DF=2，AD=DE=AE=6，∵△ADF∽△CEF，∴AFCF=∵∠BAD+∠DAF=∠DAF+∠CAE，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE=12，∵∠AEF=∠BCF=60°，∠AFE=∠BFC，∴△AFE∽△BFC，設(shè)AF=a，CF=2a，∴AFBF=EFCF∴CF=47（3）解：如圖添加輔助線，構(gòu)造以AB為邊的等邊△ABH，連接DH，過點(diǎn)B作BM⊥AE交AE的延長線于點(diǎn)M，∵∠EAD=∠EDA=60°，∴△EAD是正三角形，∵∠BAE+∠EAF=∠EAF+∠HAD=60°，∴∠BAE=∠HAD，在△BAE和△HAD中，AB=AH∠BAE=∠HAD∴△BAE≌△HAD，∴∠AEB=∠ADH=120°，BE=DH=3，∴∠FDH=∠AED=60°，∴AE∥DH，∴△AEF∽△HDF，AEHD設(shè)EF=x，AE=ED=x+2，則x+23解得x=4，∴AE=6，在Rt△BEM中，∠BEM=60°，∴EM=BE?cos60°=3∴tan9．【答案】（1）解：過點(diǎn)C作CH⊥AB，

∵等邊三角形ABC

∴AC=AB=2，AH=1，∠AFC=90°，∠CAH=60°，

∴CF=AHtan∠CAH=tan60°=3

∵a=2，

∴點(diǎn)C（3，3）

設(shè)直線AC的函數(shù)解析式為y=kx+b

∴2k+b=03k+b=3

解之：k=3b=?2與反比例函數(shù)聯(lián)立方程組y=解得：x1=3帶入y=3x?2（2）解：過點(diǎn)D作DF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F設(shè)AF=m，則DF=∴點(diǎn)D因?yàn)锳D=CE∴點(diǎn)E因?yàn)辄c(diǎn)D，E均在反比例函數(shù)y=2∴3由（1）得：a+m=2帶入（2）得(化簡得：2由（3）得：?a=（3）解：連接CE′，過點(diǎn)E做EG⊥x易得△AC∴∠AC∴∠AC故C∴點(diǎn)C(1+a，3∴C∴BG=a?12，EG=∵點(diǎn)E在反比例函數(shù)y=2∴a+5解得：a