2024年春學(xué)期廣州市黃埔區(qū)高三數(shù)學(xué)開學(xué)考卷附答案解析

年春學(xué)期廣州市黃埔區(qū)高三數(shù)學(xué)開學(xué)考卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目.1．學(xué)校組織班級(jí)知識(shí)競(jìng)賽，某班的12名學(xué)生的成績(jī)（單位：分）分別是：，則這12名學(xué)生成績(jī)的分位數(shù)是（

）．A．92 B．87 C．93 D．912．已知雙曲線的虛軸長(zhǎng)是2，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．3．在等比數(shù)列中，，，則（

）A．-8 B．16 C．32 D．-324．已知直線和平面，那么能得出//的一個(gè)條件是（

）A．存在一條直線，//且B．存在一條直線，//且C．存在一個(gè)平面，且//D．存在一個(gè)平面，//且//5．包含甲同學(xué)在內(nèi)的5個(gè)學(xué)生去觀看滑雪、馬術(shù)、氣排球3場(chǎng)比賽，每場(chǎng)比賽至少有1名學(xué)生且至多有2名學(xué)生前往觀看，則甲同學(xué)不去觀看氣排球的方案種數(shù)有（

）A．120 B．72 C．60 D．546．已知點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別是點(diǎn)A，B，則四邊形PACB的面積的最小值為（

）A． B． C． D．7．已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．8．已知點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若是的角平分線上的一點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．f（x）的最大值為2B．f（x）在上單調(diào)遞增C．f（x）在上有4個(gè)零點(diǎn)D．把f（x）的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象關(guān)于直線對(duì)稱10．已知，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．11．定義：已知兩個(gè)非零向量與的夾角為．我們把數(shù)量叫做向量與的叉乘的模，記作，即．則下列命題中正確的有（

）A．若平行四邊形ABCD的面積為4，則B．在正△ABC中，若，則C．若，則的最小值為2D．若，，且為單位向量，則的值可能為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．13．已知，，若，或，則的取值范圍是14．若數(shù)列中不超過(guò)的項(xiàng)數(shù)恰為，則稱數(shù)列是數(shù)列的生成數(shù)列，稱相應(yīng)的函數(shù)是數(shù)列生成的控制函數(shù).已知，且，數(shù)列的前m項(xiàng)和為，若，則m的值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率為2.（1）求a的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.16．西梅以“梅”為名，實(shí)際上不是梅子，而是李子，中文正規(guī)名叫“歐洲李”，素有“奇跡水果”的美譽(yù).因此，每批西梅進(jìn)入市場(chǎng)之前，會(huì)對(duì)其進(jìn)行檢測(cè)，現(xiàn)隨機(jī)抽取了10箱西梅，其中有4箱測(cè)定為一等品.(1)現(xiàn)從這10箱中任取3箱，求恰好有1箱是一等品的概率；(2)以這10箱的檢測(cè)結(jié)果來(lái)估計(jì)這一批西梅的情況，若從這一批西梅中隨機(jī)抽取3箱，記表示抽到一等品的箱數(shù)，求的分布列和期望.17．由各棱長(zhǎng)均相等的四棱柱截去三棱錐后得到的幾何體如圖所示，底面為正方形，點(diǎn)O為線段與的交點(diǎn)，點(diǎn)E為線段中點(diǎn)，平面.(1)證明：平面；(2)若點(diǎn)M為線段（包含端點(diǎn)）上一點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值的最大值.18．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)作直線（與軸不重合）交于兩點(diǎn)，且當(dāng)為的上頂點(diǎn)時(shí)，的周長(zhǎng)為8，面積為(1)求的方程；(2)若是的右頂點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，求證：為定值.19．對(duì)于，若數(shù)列滿足，則稱這個(gè)數(shù)列為“數(shù)列”.（1）已知數(shù)列1，，是“數(shù)列”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）是否存在首項(xiàng)為的等差數(shù)列為“數(shù)列”，且其前n項(xiàng)和使得恒成立？若存在，求出的通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）已知各項(xiàng)均為正整數(shù)的等比數(shù)列是“數(shù)列”，數(shù)列不是“數(shù)列”，若，試判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”，并說(shuō)明理由.1．C【分析】根據(jù)百分位數(shù)的概念，計(jì)算，即可求得答案.【詳解】因?yàn)椋实姆治粩?shù)是，故選：C2．C【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到且，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，雙曲線的虛軸長(zhǎng)是2，實(shí)軸在y軸，所以且，解得．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，以及熟練應(yīng)用雙曲線的幾何性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．3．D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解．【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為則，所以故故選：D4．C【解析】根據(jù)線面平行的判定定理，可得結(jié)果.【詳解】在選項(xiàng)A，B，D中，均有可能在平面內(nèi)，錯(cuò)誤；在C中，兩平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都平行于另一個(gè)平面，故C正確故選：C【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定，屬基礎(chǔ)題.5．C【分析】分甲同學(xué)去去觀看滑雪比賽和甲同學(xué)去觀看馬術(shù)比賽兩種情況進(jìn)行討論，結(jié)合排列組合知識(shí)求解.【詳解】甲同學(xué)去觀看滑雪比賽時(shí)，共有種；甲同學(xué)去觀看馬術(shù)比賽時(shí)，也有30種；則甲同學(xué)不去觀看氣排球的方案種數(shù)有種.故選：C6．B【分析】四邊形PACB的面積是兩個(gè)全等的三角形的面積的和，PC最小時(shí)四邊形面積最小，當(dāng)垂直于直線時(shí)，利用點(diǎn)到直線距離和勾股定理即可求解，從而得到四邊形PACB的面積的最小值.【詳解】圓C：，即圓C：，圓心坐標(biāo)，半徑為3；由題意過(guò)點(diǎn)P作圓C：的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，可知四邊形PACB的面積是兩個(gè)全等的三角形的面積的和，因?yàn)?，，顯然PC最小時(shí)四邊形面積最小，即，所以所以四邊形PACB的面積的最小值為，故選：B.7．C【分析】根據(jù)兩角和的正切公式結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，則，可得，即，且，整理得，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即，整理得，解得或（舍去），所以的最小值為.故選：C.8．A【分析】延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，由條件判斷為等腰三角形，為的中位線，故，再根據(jù)的值域，求得的最值，從而得到結(jié)果.【詳解】如圖，

延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，則是的角平分線，由可得與垂直，可得為等腰三角形，故為的中點(diǎn)，由于為的中點(diǎn)，則為的中位線，故，由于，所以，所以，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最值，而的最小值為，的最大值為，即的值域?yàn)椋十?dāng)或時(shí)，取得最大值為，當(dāng)時(shí)，在軸上，此時(shí)與重合，取得最小值為0，又由題意，最值取不到，所以的取值范圍是，故選：A.【點(diǎn)睛】該題考查的是與橢圓相關(guān)的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有橢圓的定義，橢圓的性質(zhì)，角分線的性質(zhì)，屬于較難題目.9．ACD【分析】先對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)變形得，然后利用余弦函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)分析判斷即可【詳解】因?yàn)?，所以A正確；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上先增后減，無(wú)單調(diào)性，故B不正確；令，得，故，因?yàn)?，所以，故C正確；把的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，當(dāng)時(shí)．取得最小值－2，故D正確．故選：ACD10．BCD【分析】設(shè)，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算和模的運(yùn)算求解，逐項(xiàng)判斷.【詳解】解：設(shè)，則，所以，，則，故A錯(cuò)誤；，，所以，故B正確；因?yàn)椋?，故C正確；因?yàn)椋?，而，所以，故D正確故選：BCD11．ACD【分析】根據(jù)兩個(gè)向量叉乘的模的定義及向量數(shù)量積的運(yùn)算逐個(gè)分析判斷.【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD的面積為4，所以，所以，故A正確；對(duì)于B，設(shè)正的邊邊上的中點(diǎn)為，則，因?yàn)椋?，所以，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，所以C正確；對(duì)于D，若，，且為單位向量，則當(dāng)時(shí)，可以等于，此時(shí)，所以D正確.故選：ACD.12．【解析】利用集合的包含關(guān)系即可求解.【詳解】由，，因?yàn)?，所以?shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了集合的包含關(guān)系求參數(shù)的取值范圍，屬于基礎(chǔ)題.13．【分析】首先分析在時(shí)，，則舍去此種情況，再對(duì)m進(jìn)行進(jìn)行討論即可.【詳解】首先看沒(méi)有參數(shù)，從入手，顯然時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，而對(duì)，或成立即可，故只要時(shí)，（*）恒成立即可，當(dāng)時(shí)，,不符合（*）式，舍去；當(dāng)時(shí)，由得，并不對(duì)成立，舍去；當(dāng)時(shí)，由，注意，故，所以，即，又，故，所以又，故，綜上，的取值范圍是，故答案為：.14．11【分析】討論m為奇數(shù)或偶數(shù)，從而求得的表達(dá)式，進(jìn)而求出的表達(dá)式，結(jié)合解方程，即可求得答案.【詳解】由題意可得，m為偶數(shù)時(shí)，則，則；m為奇數(shù)時(shí)，則，則；，m為偶數(shù)時(shí)，則，m為奇數(shù)時(shí)，則，由，則，或，因?yàn)?，得，故答案為?5．（1）；（2）當(dāng)時(shí)，遞減；當(dāng)時(shí)，遞增；極小值為，無(wú)極大值.【分析】（1）求出，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，列出方程，求解即可；（2）利用（1）中結(jié)論，求出，令，求出的值，確定函數(shù)的單調(diào)性，由極值的定義求解即可．【詳解】解：（1）∵，∴∵函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率為2，∴∴∴；（2）由（1）得，∴令即，解得∴當(dāng)時(shí)，，遞減；當(dāng)時(shí)，，遞增.極小值為，無(wú)極大值.16．(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式以及組合數(shù)的計(jì)算求得所求概率.（2）利用二項(xiàng)分布的知識(shí)求得分布列并求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）設(shè)抽取的3箱西梅恰有1箱是一等品為事件，則；因此，從這10箱中任取3箱，恰好有1箱是一等品的概率為.（2）由題意可知，從這10箱中隨機(jī)抽取1箱恰好是一等品的概率，由題可知的所有可能取值為0，1，2，3，則，，，，所以的分布列為0123P.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線面平行的判定定理證明即可；（2）以，，為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，設(shè)，，可得則，設(shè)與平面所成角為，由線面角的向量公式結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連接，，∵，且，故四邊形為平行四邊形，故得：，且，∵，∴，，故四邊形為平行四邊形，∴，且平面，平面，∴平面.（2）由題意，易證，，兩兩垂直，所以分別以，，為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)棱長(zhǎng)為2，則易得以下點(diǎn)坐標(biāo)：，，，，，，∴，，設(shè)為平面的法向量，則有，取，則，所以，設(shè)，，因?yàn)辄c(diǎn)M在線段上，則，設(shè)與平面所成角為，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故與平面所成角的正弦值的最大值為.18．(1);(2)證明見解析.【分析】（1）利用三角形周長(zhǎng)求出a，當(dāng)為的上頂點(diǎn)時(shí)，求出直線l方程，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角形面積求出b作答.（2）設(shè)出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合斜率坐標(biāo)公式計(jì)算推理作答.【詳解】（1）依題意，的周長(zhǎng)，解得，則橢圓，令橢圓的半焦距為c，當(dāng)為的上頂點(diǎn)時(shí)，直線為：，由消去y得，解得或，于是得點(diǎn)，又的面積為，則，整理得，則有，解得或，有或，因?yàn)椋瑒t，所以橢圓的方程為.（2）由（1）知，，，直線的方程為，由消去得，設(shè)，則，而，，所以為定值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)．(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．19．（1）；（2）不存在，理由見解析；（3）答案見解析.【解析】（1）根據(jù)題意得到，，再解不等式組即可；（2）首先假設(shè)存在等差數(shù)列符合要求，從而得到成立，再分類討論和的情況，即可得到答案.（3）首先設(shè)數(shù)列的公比為q，則，根據(jù)題意得到，從而得到為最小項(xiàng)，同理得到為最小項(xiàng)，再利用“數(shù)列”的定義得到，或，，再分類討論即可得到答案.【詳解】（1）由題意得，，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.（2）假設(shè)存在等差數(shù)列符合要求，設(shè)公差為d，則，由，得，由題意，得對(duì)均成立，即.①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，與矛盾，所以這樣的等差數(shù)