第01講 集合與常用邏輯用語（八大題型）（解析版）

第01講集合與常用邏輯用語【題型歸納目錄】【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：集合的有關(guān)概念1、一般地，研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，一些元素組成的總體叫集合．2、關(guān)于集合的元素的特征（1）確定性：設(shè)A是一個(gè)給定的集合，x是某一個(gè)具體對(duì)象，則x或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立．（2）互異性：一個(gè)給定集合中的元素，指屬于這個(gè)集合的互不相同的個(gè)體（對(duì)象），因此，同一集合中不應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素．（3）無序性：集合中的元素的次序無先后之分．如：由1，2，3組成的集合，也可以寫成由1，3，2組成一個(gè)集合，它們都表示同一個(gè)集合．3、元素與集合的關(guān)系：（1）如果a是集合A的元素，就說a屬于A，記作aA（2）如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A，記作4、常用數(shù)集及其表示非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N正整數(shù)集，記作N*或N+整數(shù)集，記作Z有理數(shù)集，記作Q實(shí)數(shù)集，記作R知識(shí)點(diǎn)二：集合的表示方法1、列舉法：把集合中的元素一一列舉出來．2、描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號(hào){}內(nèi)．具體方法：在大括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征．知識(shí)點(diǎn)三．集合與集合的關(guān)系（1）一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A，B，如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合A為B的子集．記作：讀作：A包含于B（或B包含A）．圖示：（2）如果兩個(gè)集合所含的元素完全相同（），那么我們稱這兩個(gè)集合相等．記作：A讀作：A等于B．圖示：知識(shí)點(diǎn)四．真子集若集合，存在元素，則稱集合A是集合B的真子集．記作：AB（或BA）讀作：A真包含于B（或B真包含A）知識(shí)點(diǎn)五．空集不含有任何元素的集合稱為空集，記作：．規(guī)定：空集是任何集合的子集．結(jié)論：（1）（類比）（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．（3）若則（類比，則）（4）一般地，一個(gè)集合元素若為n個(gè)，則其子集數(shù)為2n個(gè)，其真子集數(shù)為2n-1個(gè)，特別地，空集的子集個(gè)數(shù)為1，真子集個(gè)數(shù)為0．知識(shí)點(diǎn)六：集合的運(yùn)算1、并集一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作：A∪B讀作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}Venn圖表示：2、交集一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集；記作：A∩B，讀作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn圖表示：3、補(bǔ)集全集：一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集，通常記作U．補(bǔ)集：對(duì)于全集U的一個(gè)子集A，由全集U中所有不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集（complementaryset），簡(jiǎn)稱為集合A的補(bǔ)集，記作：，即補(bǔ)集的Venn圖表示：4、集合基本運(yùn)算的一些結(jié)論，，，，，，，，，若A∩B=A，則，反之也成立若A∪B=B，則，反之也成立若x（A∩B），則且xB若x（A∪B），則xA，或xB求集合的并、交、補(bǔ)是集合間的基本運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關(guān)鍵是“且”與“或”，在處理有關(guān)交集與并集的問題時(shí)，常常從這兩個(gè)字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設(shè)條件，結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進(jìn)而用集合語言表達(dá)，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想方法．知識(shí)點(diǎn)七：充分條件與必要條件充要條件的概念符號(hào)與的含義“若，則”為真命題，記作：；“若，則”為假命題，記作：．充分條件、必要條件與充要條件①若，稱是的充分條件，是的必要條件．②如果既有，又有，就記作，這時(shí)是的充分必要條件，稱是的充要條件．知識(shí)點(diǎn)詮釋：對(duì)的理解：指當(dāng)成立時(shí)，一定成立，即由通過推理可以得到．①“若，則”為真命題；②是的充分條件；③是的必要條件以上三種形式均為“”這一邏輯關(guān)系的表達(dá)．知識(shí)點(diǎn)八：充分條件、必要條件與充要條件的判斷從邏輯推理關(guān)系看命題“若，則”，其條件p與結(jié)論q之間的邏輯關(guān)系①若，但，則是的充分不必要條件，是的必要不充分條件；②若，但，則是的必要不充分條件，是的充分不必要條件；③若，且，即，則、互為充要條件；④若，且，則是的既不充分也不必要條件．從集合與集合間的關(guān)系看若p：x∈A，q：x∈B，①若AB，則是的充分條件，是的必要條件；②若A是B的真子集，則是的充分不必要條件；③若A=B，則、互為充要條件；④若A不是B的子集且B不是A的子集，則是的既不充分也不必要條件．知識(shí)點(diǎn)八：全稱量詞與全稱量詞命題1、全稱量詞：一般地，“任意”“所有”“每一個(gè)”在陳述句中表示所述事物的全體，稱為全稱量詞，用符號(hào)“”表示．2、全稱量詞命題：含有全稱量詞的命題，稱為全稱量詞命題．3、全稱量詞命題的形式：對(duì)集合M中的所有元素x，，簡(jiǎn)記為：對(duì)．知識(shí)點(diǎn)九：存在量詞與存在量詞命題1、全稱量詞：一般地，“存在”“有”“至少有一個(gè)”在陳述句中表示所述事物的個(gè)體或部分，稱為全存在量詞，用符號(hào)“”表示．2、存在量詞命題：含有存在量詞的命題，稱為存在量詞命題．3、存在量詞命題的形式：存在集合M中的元素x，，簡(jiǎn)記為：對(duì)．知識(shí)點(diǎn)十：命題的否定1、一般地，對(duì)命題p加以否定，就得到一個(gè)新的命題，記作“”，讀作“非p”或p的否定．2、如果一個(gè)命題是真命題，那么這個(gè)命題的否定是假命題，反之亦然．知識(shí)點(diǎn)十一：全稱量詞命題的否定一般地，全稱量詞命題“”的否定是存在量詞命題：．知識(shí)點(diǎn)十二：存在量詞命題的否定一般地，存在量詞命題“”的否定是全稱量詞命題：．知識(shí)點(diǎn)十三：命題與命題的否定的真假判斷一個(gè)命題和它的否定不能同時(shí)為真命題，也不能同時(shí)為假命題，只能一真一假．知識(shí)點(diǎn)七：常見正面詞語的否定舉例如下：正面詞語等于大于（>）小于（<）是都是否定不等于不大于（≤）不小于（≥）不是不都是正面詞語至少有一個(gè)至多有一個(gè)任意的所有的至多有n個(gè)否定一個(gè)也沒有至少有兩個(gè)某個(gè)某些至少有n＋1個(gè)【典型例題】題型一：集合的含義與表示例1．（2024·四川成都·高一期末）已知集合，集合中所含元素的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】設(shè)，故，故有6個(gè)元素，故選：C例2．（2024·甘肅白銀·高一?？计谀┮阎希瑒t集合等于（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，；所以.故選：B.例3．（2024·北京西城·高一統(tǒng)考期末）方程組的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意，將代入，可得，即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以方程組的解集為.故選：B.變式1．（2024·山西·高一統(tǒng)考期中）已知是由0，，個(gè)元素組成的集合，且，則實(shí)數(shù)為（）A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可【答案】B【解析】因?yàn)?，所以或．?dāng)時(shí)，，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，或，但不合題意，舍去．綜上可知，．故選：B．題型二：集合的基本關(guān)系例4．（2024·安徽亳州·高一校考期末）給出下列關(guān)系：①；②；③；④．其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【解析】由于；；；，故①錯(cuò)誤；②正確；③錯(cuò)誤；④錯(cuò)誤，故選：A．例5．（2024·北京大興·高一統(tǒng)考期末）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】集合，故集合表示的是偶數(shù)集，所以.故選：D例6．（2024·甘肅臨夏·高一校考期末）下列關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】選項(xiàng)A：因?yàn)槭羌现械脑?，所以，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：因?yàn)槭侨魏渭系淖蛹?，所以，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：因?yàn)橹泻性?，1，而且還有其他元素，所以，所以選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D：因?yàn)槭菬o理數(shù)，而是有理數(shù)集，所以，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：C變式2．（2024·浙江臺(tái)州·高一統(tǒng)考期末）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所?故選：D.變式3．（2024·新疆·高一?？茧A段練習(xí)）在下列格式中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（

）①；②；③；④；⑤.A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解析】，，，，即，所以①③⑤對(duì)，②④錯(cuò).故選：B題型三：集合的基本運(yùn)算例7．（2024·廣東江門·高一新會(huì)陳經(jīng)綸中學(xué)?？计谥校┮阎?，集合，.(1)求；(2)求.【解析】（1）易知；（2）易知.例8．（2024·湖南永州·高一?？计谥校┮阎?，.(1)求；(2)定義且，求.【解析】（1）由題意集合，，所以.（2）由題意若，則，所以或.例9．（2024·新疆·高一?？茧A段練習(xí)）集合，，求，及.【解析】因?yàn)榧希?，則，，或，或，或.變式4．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高一?？茧A段練習(xí)）已知設(shè)全集，集合或.(1)求；(2)求；(3)求.【解析】（1）因?yàn)?，或，所以；?）因?yàn)椋?，所以或；?）由（1）（2）可知：，或，所以或.題型四：根據(jù)集合的交、并、補(bǔ)求參數(shù)例10．（2024·廣東佛山·高一佛山市南海區(qū)桂華中學(xué)校考階段練習(xí)）已知集合，.(1)若，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，∴.（2），則是的子集，，當(dāng)，即時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，或解得：綜上得的取值范圍是：.例11．（2024·浙江臺(tái)州·高一統(tǒng)考期末）已知集合，．(1)若，求；(2)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】（1）若，則，因?yàn)椋?；?）由題，得，由，得，若，則，得，若，即時(shí)，則有，或，得或，綜上，例12．（2024·吉林長(zhǎng)春·高一長(zhǎng)春外國(guó)語學(xué)校?？计谀┮阎?，集合.(1)求；(2)設(shè)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）依題意，集合，集合，所以或，.（2）由（1）得或，而且，所以，解得，所以的取值范圍是.變式5．（2024·湖南湘潭·高一校聯(lián)考期末）設(shè)全集，，．(1)若，求．(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，所以或，；（2）全集，，或，，分，兩種情況討論.（1）當(dāng)時(shí)，如圖可得，或，或；（2）當(dāng)時(shí)，應(yīng)有：，解得；綜上可知，或，故得實(shí)數(shù)的取值范圍.變式6．（2024·山東菏澤·高一統(tǒng)考期末）已知集合，或．(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在（2）問中的橫線上，并求解，若__________，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，或，所以，，因此，.（2）若選①，當(dāng)時(shí)，則時(shí)，即當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，由可得，解得，此時(shí).綜上，；若選②，當(dāng)時(shí)，則時(shí)，即當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，由可得，解得，此時(shí).綜上，；若選③，由可得，當(dāng)時(shí)，則時(shí)，即當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，由可得，解得，此時(shí).綜上，.題型五：充分與必要條件例13．（2024·全國(guó)·高一期末）“”是“”的什么條件（

）A．充分條件 B．必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】若，則由“”不能推出“”，故充分性不成立；若，則由“”不能推出“”，故必要性不成立；所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.例14．（2024·天津西青·高一天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)?？计谀┮阎瑒t“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由可得，即,解得或,所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A例15．（2024·江蘇宿遷·高一?？茧A段練習(xí)）二次函數(shù)有兩個(gè)異號(hào)零點(diǎn)的一個(gè)必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】有兩個(gè)異號(hào)零點(diǎn)，需滿足，解得，A選項(xiàng)，是有兩個(gè)異號(hào)零點(diǎn)的充要條件，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，與無包含關(guān)系，不合要求，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，是的真子集，滿足要求；D選項(xiàng)，是的真子集，故是充分不必要條件，D錯(cuò)誤.故選：C變式7．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)是兩個(gè)實(shí)數(shù)，命題“中至少有一個(gè)數(shù)大于1”的充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，滿足，但命題不成立；對(duì)于C，D，當(dāng)時(shí)，滿足，，但命題不成立.故選：B.題型六：根據(jù)充分與必要條件的求參數(shù)取值范圍例16．（2024·寧夏固原·高一寧夏回族自治區(qū)西吉中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合，集合.(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若“”是“”的充分不必要條件，求的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，滿足，此時(shí)，解得.當(dāng)時(shí)，由，得或，解得，綜上所述，的取值范圍為.（2）依題意，得?，則有或，解得.例17．（2024·江西宜春·高一江西省宜春中學(xué)?？计谀┮阎希?1)若，求；(2)若“”是“”充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，集合，可得或因?yàn)?，所以；?）若“”是“”的充分不必要條件，所以P是Q的真子集，①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，滿足P是Q的真子集；②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，滿足且不能同時(shí)取等號(hào)，解得，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為例18．（2024·四川綿陽·高一綿陽中學(xué)校考期末）已知集合，.(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)設(shè)，，若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由，可得，由可得，當(dāng)，則，可得，當(dāng)，則，可得，綜上所述，的取值范圍為.（2）若，是的必要不充分條件，A真包含于B，則（不能同時(shí)取等號(hào)），解得，故的取值范圍為.變式8．（2024·安徽阜陽·高一校考階段練習(xí)）(1)是否存在m的值，使得是的充要條件，若存在求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．(2)若是的充分條件，求m的取值范圍(3)若=，求m的取值范圍【解析】（1）若存在m的值滿足是的充要條件，則，得，解得，無解，故不存在這樣的m符合題意；（2）若是的充分條件，則，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得，綜上，，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為；（3）若，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)即即時(shí)，或，所以，綜上，或，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為；題型七：全稱量詞與存在量詞例19．（2024·新疆·高一?？茧A段練習(xí)）下列三個(gè)命題中有幾個(gè)真命題（

）①，；②，；③至少有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】①由，可得或，為真命題；②由，為假命題；③當(dāng)時(shí)，為真命題.故選：C例20．（2024·河南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）命題“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，則命題“，”的否定是“，”.故選：C例21．（2024·廣東佛山·高一石門中學(xué)校考期中）以下4個(gè)命題：（1）；（2）；（3）；（4）．其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】（1）令，由對(duì)稱軸為，則，又，且該二次函數(shù)開口朝上，故對(duì)，故正確；（2）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，故不正確；（3）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，故不正確；（4）因?yàn)?，由均為無