線代試題及答案

線代試題及答案線性代數(shù)作為數(shù)學(xué)中的一個重要分支，應(yīng)用十分廣泛。因此，在大學(xué)數(shù)學(xué)課程中，線性代數(shù)也是必修課之一。而提高線性代數(shù)知識的重要方法之一，就是通過線性代數(shù)試題的練習(xí)。本文將介紹幾道常見的線性代數(shù)試題，并提供詳細(xì)解答，希望對廣大學(xué)生有所幫助。一、試題1.設(shè)有一個3×3的實對稱矩陣$$A=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&1\\0&1&1\end{pmatrix}$$求出其特征值與特征向量。2.設(shè)$A、B$均為$m×n$矩陣，且滿足$AB=0$，證明：$\operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B)\leqslantn$。3.設(shè)三維向量$a,b$，$c$的坐標(biāo)分別為$(1,0,1)$，$(1,1,0)$和$(0,1,1)$，求滿足$ax+by+cz=0$的所有解。二、解答1.求特征值：首先，根據(jù)特征值和特征向量的定義，有$A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$，其中$\lambda$為特征值，$\boldsymbol{x}$為對應(yīng)于特征值$\lambda$的特征向量。將$\boldsymbol{x}$視為一個列向量，可以得到：$$\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&1\\0&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$$將其變形為：$$\begin{pmatrix}1-\lambda&1&0\\1&2-\lambda&1\\0&1&1-\lambda\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$因為$\boldsymbol{x}$不等于零向量，所以必須有$\operatorname{det}(A-\lambdaI)=0$，即：$$\begin{vmatrix}1-\lambda&1&0\\1&2-\lambda&1\\0&1&1-\lambda\end{vmatrix}=0$$解得：$$\lambda_1=1,\lambda_2=2+\sqrt{2},\lambda_3=2-\sqrt{2}$$求特征向量：當(dāng)$\lambda=1$時，將矩陣$A-\lambdaI$化為階梯形式：$$\begin{pmatrix}0&1&0\\0&1&1\\0&0&0\end{pmatrix}$$得到方程組：$$\begin{cases}y=0\\y+z=0\\\end{cases}$$解得：$$\boldsymbol{x_1}=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}$$當(dāng)$\lambda=2+\sqrt{2}$時，將矩陣$A-\lambdaI$化為階梯形式：$$\begin{pmatrix}-\sqrt{2}&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}$$得到方程組：$$\begin{cases}-\sqrt{2}x+y=0\\z=0\\\end{cases}$$解得：$$\boldsymbol{x_2}=\begin{pmatrix}1\\\sqrt{2}\\0\end{pmatrix}$$當(dāng)$\lambda=2-\sqrt{2}$時，將矩陣$A-\lambdaI$化為階梯形式：$$\begin{pmatrix}\sqrt{2}&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}$$得到方程組：$$\begin{cases}\sqrt{2}x+y=0\\z=0\\\end{cases}$$解得：$$\boldsymbol{x_3}=\begin{pmatrix}1\\-\sqrt{2}\\0\end{pmatrix}$$因此，$A$的特征值和特征向量為：$$\lambda_1=1,\boldsymbol{x_1}=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix},\lambda_2=2+\sqrt{2},\boldsymbol{x_2}=\begin{pmatrix}1\\\sqrt{2}\\0\end{pmatrix},\lambda_3=2-\sqrt{2},\boldsymbol{x_3}=\begin{pmatrix}1\\-\sqrt{2}\\0\end{pmatrix}$$2.證明：因為$AB=0$，所以對于任意的$\boldsymbol{x}$，有$(AB)\boldsymbol{x}=0$。因為$A$的列向量張成的向量空間為$\mathbb{R}^m$，所以$\forall\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^m$，均能表示為$A\boldsymbol{y}$。因此，$(AB)\boldsymbol{x}=(A(B\boldsymbol{x}))=0$。由此，$B\boldsymbol{x}$在$A$的列空間中，即$B\boldsymbol{x}$可以表示為$A$的列向量的線性組合。因此，有：$$\operatorname{rank}(B\boldsymbol{x})\leqslant\operatorname{rank}(A)$$又因為$\operatorname{rank}(A\boldsymbol{y})=\operatorname{rank}(A)$，所以：$$\operatorname{rank}(B\boldsymbol{x})=\operatorname{rank}(A\boldsymbol{y})\leqslant\operatorname{rank}(A)$$對于任意的$\boldsymbol{x}$，都有上述不等式成立，因此：$$\sum_{i=1}^{n}\operatorname{rank}(B\boldsymbol{e_i})\leqslant\sum_{i=1}^{n}\operatorname{rank}(A\boldsymbol{y_i})\leqslantn\operatorname{rank}(A)$$其中$\boldsymbol{e_i}$表示第$i$個單位向量，$\boldsymbol{y_i}$表示某個向量。3.解法：代入題目給出的向量坐標(biāo)和方程，則有：$$x+z=0\\x+y=0$$解得：$$x=-y,z=-x\\\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-y\\y\\-x\end{pmatrix}=y\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+x\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}$$其中，$x$和$y$為任意實數(shù)。因此，$\boldsymbol{x}$滿足條件$ax+by+cz=0$的所有解為：$$\boldsymbol{x}=y\begin{