高中三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)和常見習(xí)題類型解法

./三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)與常見習(xí)題類型解法1、任意角的三角函數(shù)：〔1弧長(zhǎng)公式：R為圓弧的半徑,為圓心角弧度數(shù),為弧長(zhǎng)?！?扇形的面積公式：R為圓弧的半徑,為弧長(zhǎng)?！?同角三角函數(shù)關(guān)系式：①倒數(shù)關(guān)系：②商數(shù)關(guān)系：,③平方關(guān)系：〔4誘導(dǎo)公式：〔奇變偶不變,符號(hào)看象限所謂奇偶指的是整數(shù)的奇偶性；函數(shù)2、兩角和與差的三角函數(shù)：〔1兩角和與差公式：[注：公式的逆用或者變形]〔2二倍角公式：從二倍角的余弦公式里面可得出：降冪公式：,〔3半角公式〔可由降冪公式推導(dǎo)出：,,3、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)：〔其中三角函數(shù)圖像定義域〔-∞,+∞〔-∞,+∞值域[-1,1][-1,1]〔-∞,+∞最小正周期奇偶性奇偶奇單調(diào)性單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增對(duì)稱性對(duì)稱軸：對(duì)稱中心：對(duì)稱軸：對(duì)稱中心：對(duì)稱中心：零值點(diǎn)最值點(diǎn)無(wú)4、函數(shù)的圖像與性質(zhì)：〔本節(jié)知識(shí)考察一般能化成形如圖像及性質(zhì)〔1函數(shù)和的周期都是〔2函數(shù)和的周期都是〔3五點(diǎn)法作的簡(jiǎn)圖,設(shè),取0、、、、來(lái)求相應(yīng)的值以及對(duì)應(yīng)的值再描點(diǎn)作圖?！?關(guān)于平移伸縮變換可具體參考函數(shù)平移伸縮變換,提倡先平移后伸縮。切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母而言,即圖像變換要看"變量"起多大變化,而不是"角變化"多少。[函數(shù)的平移變換]：①將圖像沿軸向左〔右平移個(gè)單位〔左加右減②將圖像沿軸向上〔下平移個(gè)單位〔上加下減[函數(shù)的伸縮變換]：①將圖像縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮到原來(lái)的倍〔縮短,伸長(zhǎng)②將圖像橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的A倍〔伸長(zhǎng),縮短[函數(shù)的對(duì)稱變換]：①>將圖像繞軸翻折180°〔整體翻折；〔對(duì)三角函數(shù)來(lái)說(shuō)：圖像關(guān)于軸對(duì)稱②將圖像繞軸翻折180°〔整體翻折；〔對(duì)三角函數(shù)來(lái)說(shuō)：圖像關(guān)于軸對(duì)稱③將圖像在軸右側(cè)保留,并把右側(cè)圖像繞軸翻折到左側(cè)〔偶函數(shù)局部翻折；④保留在軸上方圖像,軸下方圖像繞軸翻折上去〔局部翻動(dòng)5、方法技巧——三角函數(shù)恒等變形的基本策略?！?常值代換：特別是用"1"的代換；如等?！?項(xiàng)的分拆與角的配湊。如分拆項(xiàng)：；配湊角：；等。〔3降次與升次；切化弦法?！?引入輔助角。,這里輔助角所在象限由的符號(hào)確定,角的值由確定。[典型例題]：1、已知,求的值．解：因?yàn)?又,聯(lián)立得解這個(gè)方程組得2、求的值。解：原式3、若,求的值．解：法一：因?yàn)樗缘玫?又,聯(lián)立方程組,解得所以法二：因?yàn)樗?所以,所以,所以有4、求證：。證明：法一：右邊＝；法二：左邊=5、求函數(shù)在區(qū)間上的值域。解：因?yàn)?所以,由正弦函數(shù)的圖象,得到,所以6、求下列函數(shù)的值域．〔1； 〔2>解：〔1=令,則利用二次函數(shù)的圖象得到<2>=令,則則利用二次函數(shù)的圖象得到7、若函數(shù)y=Asin<ωx+φ><ω＞0,φ＞0>的圖象的一個(gè)最高點(diǎn)為,它到其相鄰的最低點(diǎn)之間的圖象與x軸交于<6,0>,求這個(gè)函數(shù)的一個(gè)解析式。解：由最高點(diǎn)為,得到,最高點(diǎn)和最低點(diǎn)間隔是半個(gè)周期,從而與x軸交點(diǎn)的間隔是個(gè)周期,這樣求得,T=16,所以又由,得到可以取8、已知函數(shù)f<x>=cos4x－2sinxcosx－sin4x．<Ⅰ>求f<x>的最小正周期；<Ⅱ>若求f<x>的最大值、最小值．?dāng)?shù)的值域．解：<Ⅰ>因?yàn)閒<x>=cos4x－2sinxcosx－sin4x＝<cos2x－sin2x><cos2x＋sin2x>－sin2x所以最小正周期為π．<Ⅱ>若,則,所以當(dāng)x=0時(shí),f<x>取最大值為當(dāng)時(shí),f<x>取最小值為9、已知,求〔1；〔2的值.解：〔1；<2>.說(shuō)明：利用齊次式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)〔如果不具備,通過(guò)構(gòu)造的辦法得到,進(jìn)行弦、切互化,就會(huì)使解題過(guò)程簡(jiǎn)化。10、求函數(shù)的值域。解：設(shè),則原函數(shù)可化為,因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以,函數(shù)的值域?yàn)椤?1、已知函數(shù)；〔1求的最小正周期、的最大值及此時(shí)x的集合；〔2證明：函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱。解：<1>所以的最小正周期,因?yàn)?所以,當(dāng),即時(shí),最大值為；<2>證明：欲證明函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,只要證明對(duì)任意,有成立,因?yàn)?,所以成立,從而函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱。12、已知函數(shù)y=cos2x+sinx·cosx+1〔x∈R,〔1當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí),求自變量x的集合；〔2該函數(shù)的圖像可由y=sinx<x∈R>的圖像經(jīng)過(guò)怎樣的平移和伸縮變換得到？解：〔1y=cos2x+sinx·cosx+1=<2cos2x－1>++〔2sinx·cosx+1=cos2x+sin2x+=<cos2x·sin+sin2x·cos>+=sin<2x+>+所以y取最大值時(shí),只需2x+=+2kπ,〔k∈Z,即x=+kπ,〔k∈Z。所以當(dāng)函數(shù)y取最大值時(shí),自變量x的集合為{x|x=+kπ,k∈Z}〔2將函數(shù)y=sinx依次進(jìn)行如下變換：〔i把函數(shù)y=sinx的圖像向左平移,得到函數(shù)y=sin<x+>的圖像；〔ii把得到的圖像上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍〔縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=sin<2x+>的圖像；〔iii把得到的圖像上各點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍〔橫坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=sin<2x+>的圖像；〔iv把得到的圖像向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)y=sin<2x+>+的圖像。綜上得到y(tǒng)=cos2x+sinxcosx+1的圖像。歷年高考綜合題一、選擇題：1、〔08全國(guó)一6是〔A、最小正周期為的偶函數(shù) B、最小正周期為的奇函數(shù)C、最小正周期為的偶函數(shù) D、最小正周期為的奇函數(shù)2、〔08全國(guó)一9為得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖像〔A、向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 B、向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位C、向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 D、向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位3、<08全國(guó)二1>若且是,則是〔A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角4、〔08全國(guó)二10．函數(shù)的最大值為〔A、1B、C、D、25、〔08XX卷8函數(shù)圖像的對(duì)稱軸方程可能是〔A、 B、 C、 D、6、〔08XX卷7函數(shù)y=cosx<x∈R>的圖象向左平移個(gè)單位后,得到函數(shù)y=g<x>的圖象,則g<x>的解析式為<>A、-sinxB、sinxC、-cosxD、cosx7、〔08XX卷5已知函數(shù),則是〔A、最小正周期為的奇函數(shù)B、最小正周期為的奇函數(shù)C、最小正周期為的偶函數(shù)D、最小正周期為的偶函數(shù)8、〔08XX卷11函數(shù)的最小值和最大值分別為〔A、－3,1 B、－2,2 C、－3, D、－2,9、〔08XX卷7將函數(shù)的圖象F向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到圖象F′,若F′的一條對(duì)稱軸是直線則的一個(gè)可能取值是〔A、B、C、D、10、〔08XX卷6函數(shù)是〔A、以為周期的偶函數(shù)B、以為周期的奇函數(shù)C、以為周期的偶函數(shù)D、以為周期的奇函數(shù)11、若動(dòng)直線與函數(shù)和的圖像分別交于兩點(diǎn),則的最大值為〔A、1 B、 C、 D、212、〔08XX卷10已知,則的值是〔A、 B、 C、 D、13、08XX卷1等于〔A、 B、 C、 D．14、〔08XX卷4<>Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、15、〔08天津卷6把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度,再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍〔縱坐標(biāo)不變,得到的圖象所表示的函數(shù)是〔A、 B、C、 D、16、〔08天津卷9設(shè),,,則〔A、 B、 C、 D、17、〔08XX卷2函數(shù)的最小正周期是〔A、B、C、D、18、〔08XX卷7在同一平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)的圖象和直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是〔A、0B、1C、2D、4二、填空題19、〔08北京卷9若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn),則的值為．20、〔08XX卷1的最小正周期為,其中,則=．21、〔08XX卷16設(shè),則函數(shù)的最小值為．22、〔08XX卷12若,則_________。23、〔08上海卷6函數(shù)f<x>＝eq\r<3>sinx+sin<eq\f<,2>+x>的最大值是三、解答題24、〔08XX卷17求函數(shù)的最大值與最小值。25、〔08北京卷15已知函數(shù)〔的最小正周期為；〔Ⅰ求的值；〔Ⅱ求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍．26、〔08天津卷17已知函數(shù)〔的最小值正周期是；〔Ⅰ求的值；〔Ⅱ求函數(shù)的最大值,并且求使取得最大值的的集合．27、〔08XX卷17已知函數(shù),〔Ⅰ求函數(shù)的最小正周期和圖象的對(duì)稱軸方程；〔Ⅱ求函數(shù)在區(qū)間上的值域28、〔08XX卷17已知函數(shù)．〔Ⅰ求函數(shù)的最小正周期及最值；〔Ⅱ令,判斷函數(shù)的奇偶性,并說(shuō)明理由．參考答案：一、選擇題：1—10：D、C、C、B、B、A、D、C、9、A、A；11—20:11、C、13、B、14、D15、C16、D17、B18、C；二、填空題：19、20、1021、22、23、2。三、解答題：24、解：由于函數(shù)在中的最大值為：最小值為：故當(dāng)時(shí)取得最大值,當(dāng)時(shí)取得最小值[點(diǎn)評(píng)]：此題重點(diǎn)考察三角函數(shù)基本公式的變形,配方法,符合函數(shù)的值域及最值；[突破]：利用倍角公式降冪,利用配方變?yōu)閺?fù)合函數(shù),重視復(fù)合函數(shù)中間變量的范圍是關(guān)鍵；25、解：〔Ⅰ．因?yàn)楹瘮?shù)的最