第7章-截面幾何性質(zhì)答案

第七章截面幾何性質(zhì)基本要求與重點(diǎn)1.形心與重心（1）理解重心與形心，熟知常見規(guī)則圖形形心的位置。（2）記住以下常見規(guī)則幾何圖形的形心位置：圓及圓環(huán)、矩形、三角形。（3）能熟練計(jì)算，由規(guī)則圖形構(gòu)成的組合圖形的形心位置。2.面積靜矩（又稱靜矩或面矩）（1）了解面積靜矩的積分定義，掌握其有限式定義。（2）能熟練計(jì)算組合圖形的靜矩。（3）熟知面積靜矩的重要性質(zhì)。3.慣性矩與極慣性矩。（1）理解慣性矩與極慣性矩（2）了解慣性矩與極慣性矩的定義（3）掌握慣性矩與極慣性矩之間的關(guān)系（4）掌握平行軸定理及組合圖形慣性矩的計(jì)算方法。（5）記住圓及圓環(huán)對(duì)圓心的極慣性矩（6）記住矩形截面對(duì)其對(duì)稱軸的慣性矩。4.了解慣性積、形心主軸的概念主要內(nèi)容1.形心與重心（1）概念與性質(zhì)重心是物體的重力中心，形心是幾何體的形狀中心。對(duì)均質(zhì)物體，重心與形心位置重合。若存在幾何對(duì)稱同，則形心必在對(duì)稱軸上。（2）計(jì)算形心位置的計(jì)算公式分積分式與代數(shù)式兩種。其中，常用的是代數(shù)形式的計(jì)算公式：2.面積靜矩（又稱靜矩或面矩）（1）定義：分為代數(shù)式和積分式兩種形式有限式：幾何圖形的面積乘以形心到某軸的距離的坐標(biāo)值，稱為該圖形對(duì)該軸的靜矩。積分式：幾何圖形的元面積乘以點(diǎn)到某軸的距離的坐標(biāo)值，稱為該元面積對(duì)該軸的靜矩；所有點(diǎn)的元面積靜矩之和，為幾何圖形的對(duì)該軸的靜矩。（2）面積靜矩的重要性質(zhì)：若圖形對(duì)某軸的面積靜矩為零，則該軸過(guò)這一圖形的形心；反之亦然。也就是說(shuō)，靜矩為零與軸過(guò)形心互為充要條件。（3）計(jì)算根據(jù)實(shí)際情況可選用代數(shù)式或積分式進(jìn)行計(jì)算，工程中主要是利用代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算。3.慣性矩與極慣性矩。（1）定義點(diǎn)對(duì)軸的慣性矩：點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的極慣性矩圖形對(duì)軸的慣性矩圖形對(duì)點(diǎn)的慣性矩（3）掌握慣性矩與極慣性矩之間的關(guān)系若是某一圖形對(duì)直角坐標(biāo)系中兩軸的慣性矩，是對(duì)該坐標(biāo)系原點(diǎn)O的極慣性矩。則：（4）慣性矩的平行軸定理：幾何圖形對(duì)任意軸的慣性矩，等于對(duì)與該軸平行、且過(guò)形心的軸的慣性矩與兩軸之間距離的平方與圖形面積之積的和。（太長(zhǎng)了，慢慢讀）即：（5）組合圖形對(duì)過(guò)圖形形心軸的慣性矩的計(jì)算方法。第1步：將圖形分割為幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形，按形心計(jì)算公式求出總的形心位置。第2步：利用平行軸定理，計(jì)算各簡(jiǎn)單圖形對(duì)過(guò)總形心軸的慣性矩。第3步：將各簡(jiǎn)單圖形對(duì)同一軸的慣性矩求和。4.慣性積、形心主軸的概念慣性積與主軸是對(duì)一個(gè)平面直角坐標(biāo)系而言的。慣性積的值可為：正、負(fù)或零。當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸稱為主軸，對(duì)主軸的慣性矩稱為主慣性矩。當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)在形心時(shí)，對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸稱為形心主軸；對(duì)應(yīng)的慣性矩稱為形心主慣性矩。兩個(gè)主慣性矩分別是過(guò)該點(diǎn)的所有慣性矩的最大值與最小值。思考題與習(xí)題7-1．如圖所示T形截面，C為形心，z為形心軸，問(wèn)z軸上下兩部分對(duì)z軸的靜矩存在什么關(guān)系？答：大小相等，正負(fù)號(hào)相反（上面的靜矩為正）。7-2．如圖所示矩形截面m-m以上部分對(duì)形心軸z的靜矩和m-m以下部分對(duì)形心軸z的靜矩有何關(guān)系？答：同上。7-3．慣性矩、慣性積、極慣性矩是怎樣定義的？為什么它們的值有的恒為正？有的可正、可負(fù)、還可為零？答:定義在主要內(nèi)容中所詳細(xì)說(shuō)明。由定義可知，它們分別是面積元與坐標(biāo)的函數(shù)的積的定積分。面積元為正，坐標(biāo)可能為正、負(fù)、零。所以慣性積，可為正、負(fù)、零。而（極）慣性矩是面積與坐標(biāo)平方的積，恒為正，所以它們的積分也為正。7-4．圖a所示矩形截面，若將形心軸z附近的面積挖去，移至上下邊緣處，成為工字形截面圖b，問(wèn)此截面對(duì)z軸的慣性矩有何變化？為什么？答：慣性矩為變大。因?yàn)辄c(diǎn)到軸的距離越遠(yuǎn)越慣性矩越大，b)圖離軸遠(yuǎn)的點(diǎn)更多。7-5．圖示直徑為D的半圓，已知它對(duì)z軸的慣性矩，則對(duì)z1軸的慣性矩如下計(jì)算是否正確？為什么？答：不對(duì)。平行移軸公式中，的軸必須是過(guò)形心且與z平行的軸。7-6．慣性半徑與慣性矩有什么關(guān)系？慣性半徑iz是否就是圖形形心到該軸的距離？答：1.慣性半徑與慣性矩兩者之間的關(guān)系是：。慣性半徑不是圖形形心到該軸的距離。2.不是，由上式可以看出慣性半徑恒大于零，圖形形心到該軸的距離可以等于零。（什么時(shí)候？）7-7．圖示各截面圖形，以各截面的底邊為軸，試計(jì)算對(duì)z1軸的靜矩。解：a)b)或c)7-8．如圖7—20所示截面圖形，求（1）形心C的位置；（2）陰影部分對(duì)z軸的靜矩。解：1.求形心C的位置。形心在y軸上，設(shè)到底邊的距離為。2.陰影部分對(duì)z軸的靜矩若利用圖形對(duì)形心軸的靜矩為零的性質(zhì)，可以計(jì)算上半部分的靜矩，取相反數(shù)，更簡(jiǎn)單。即7-9．計(jì)算圖示矩形截面對(duì)其形心軸z的慣性矩；已知b=150mm，h=300mm。如按圖中虛線所示，將矩形截面的中間部分移至兩邊緣變成工字形，計(jì)算此工字形截面對(duì)z軸的慣性矩，并求出工字形截面的慣性矩較矩形截面的慣性矩增大的百分比。解：1.矩形慣性矩2.工字形慣性矩或用負(fù)面積法3.計(jì)算增大的百分比p。7-10．計(jì)算圖示各圖對(duì)形心軸zc、yc的慣性矩。解：a)圖b)圖7-11．計(jì)算圖示圖形對(duì)其形心軸z的慣性矩。解1.計(jì)算形心軸到頂邊的距離d。2.計(jì)算對(duì)形心軸z的慣性矩。7-12．計(jì)算圖所示組合圖形對(duì)形心主軸的慣性矩。解：由型鋼表可查得。單個(gè)參數(shù)如下：面積形心到邊的距離對(duì)平行于邊且過(guò)形心的軸的慣性矩由于是對(duì)稱軸，且過(guò)形心，根據(jù)形心主軸的性質(zhì)可知、是形心主軸。7-13．要使圖示兩個(gè)№10工字鋼組成的截面對(duì)兩個(gè)形心主軸的慣性矩相等，求距離a的值。解：查表得對(duì)單個(gè)工字鋼：面積對(duì)兩個(gè)工字鋼要使截面對(duì)兩個(gè)形心主軸的慣性矩相等，即：解得：

補(bǔ)充與拓展1.三角形的形心位置的討論三角形的形心在頂點(diǎn)與邊中點(diǎn)連線的交點(diǎn)上，其到邊的垂直距離為高的。下面介紹另一種常見情況，形心到底邊一角的水平距離。注意：對(duì)于鈍角三角形是：推導(dǎo)方法一：按計(jì)算形心到E的水平距離，再減去a。推導(dǎo)方法二：用代替a代入到銳角三角形的公式中即可。2.梯形的形心位置梯形也是常見的形狀之，下面給出其形心位置公式。1）形心到底的距離用AE將其分為兩個(gè)三角形計(jì)算。公式記憶技巧：三角形到底的公式乘以一個(gè)系數(shù)，1加遠(yuǎn)端底與兩底和之比。2）形心到底角的垂直距離依然用AE將其分為兩個(gè)三角形計(jì)算。其中，形心到B的垂直距離是這個(gè)公式并不好記憶。對(duì)于以后用的比較多的直角梯形可化簡(jiǎn)為：【前面所有公式推導(dǎo)過(guò)程中，三角形面積前的都沒(méi)有寫。只是為了省事，非正式的過(guò)程中，可以這樣做，最后結(jié)果不變】2.關(guān)于公式與定理的學(xué)習(xí)公式與定理是力學(xué)學(xué)習(xí)中不可回避的重要部分。這是我們學(xué)習(xí)的重點(diǎn)過(guò)程中的重點(diǎn)。提高這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)效率，對(duì)整個(gè)力學(xué)的學(xué)習(xí)有很大的幫助。大家一定有很多這方面學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，下面我們從另一個(gè)角度介紹一下這部分內(nèi)容學(xué)習(xí)的一個(gè)方法。其基本原理是建立在，“公式是符號(hào)化的定理，定理是文字化的公式”。這一命題上的。例子1：用全中文文字述說(shuō)。答：所有的力對(duì)某一點(diǎn)之矩的代數(shù)和等于零。例子2：用全中文文字述說(shuō)答：所有的力分別對(duì)不同的三點(diǎn)之矩求代數(shù)和，其值都等于零。3.坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換設(shè)某一平面內(nèi)的一個(gè)直角坐標(biāo)系，將整體繞其坐標(biāo)原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)角度，得新的坐標(biāo)系。某點(diǎn)A在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為，。試求，A點(diǎn)在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。解：（1）如圖所示，過(guò)點(diǎn)A分別作4個(gè)坐標(biāo)軸的垂線得到4個(gè)交點(diǎn)，B、C、D